人教版高一上學期數學(必修1)《4.1指數》同步測試題帶答案

第第頁人教版高一上學期數學(必修1)《4.1指數》同步測試題帶答案考試時間：60分鐘；滿分：100分學校：___________班級：___________姓名：___________考號：___________1．根式(1)n次方根的定義與性質(2)根式的定義與性質2．分數指數冪注：分數指數冪是指數概念的又一推廣，分數指數冪是根式的一種新的寫法，不可理解為個a相乘.在這樣的規(guī)定下，根式與分數指數冪是表示相同意義的量，只是形式不同而已.3．有理數指數冪的運算(1)規(guī)定了分數指數冪的意義以后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數.整數指數冪的運算性質對于有理數指數冪也同樣適用，即對于任意有理數r，s，均有下面的運算性質：

①(a>0,r,s∈Q)；

②(a>0,r,s∈Q)；

③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).(2)指數冪的幾個常用結論：①當a>0時，>0；

②當a≠0時，=1，而當a=0時，無意義；

③若(a>0,且a≠1)，則r=s；

④乘法公式仍適用于分數指數冪.4．無理數指數冪及實數指數冪(1)無理數指數冪一般地，無理數指數冪(a>0,是無理數)是一個確定的實數.這樣，我們就將指數冪(a>0)中指數x的取值范圍從整數逐步拓展到了實數.

(2)實數指數冪的運算性質：

整數指數冪的運算性質也適用于實數指數冪，區(qū)別只有指數的取值范圍不同.【題型1根式與分數指數冪的互化】【方法點撥】根據根式與分數指數冪的互化運算法則，進行計算即可.【例1】（2022?揚中市校級開學）下列根式、分數指數冪的互化中，正確的是（）A．?x=(?x)?12B．x?C．(xy)?34D．4y2=1y【變式1-1】（2022?茂名模擬）下列根式與分數指數冪的互化正確的是（）A．?x=(?x)12C．6y2=y【變式1-2】（2021秋?電白區(qū)期中）下列根式中，分數指數冪的互化，正確的是（）A．?x=(?x)12C．x?34=【變式1-3】（2021秋?水磨溝區(qū)校級月考）下列根式與分數指數冪的互化，正確的是（）A．?x=(?x)12C．x?34=【題型2指數式的化簡】【方法點撥】利用指數冪的運算性質，進行化簡計算即可．【例2】（2021秋?惠陽區(qū)校級月考）（112）0﹣（1﹣0.5﹣2）÷A．?13 B．13 C．43【變式2-1】（2021秋?杭州期中）20+A．25 B．35?1 C．35+1 【變式2-2】（2021秋?龍湖區(qū)校級期末）設a＞0，b＞0，化簡(aA．?13a23 B．?3a23【變式2-3】（2021秋?秦淮區(qū)校級月考）計算12A．1e B．e C．e2 D．【題型3根據指數式求參】【方法點撥】根據所給的指數關系式，利用指數冪的運算性質，化簡求解參數的值.【例3】（2021秋?海陵區(qū)校級月考）已知x7＝5，則x的值為（）A．5 B．75 C．?75 【變式3-1】（2021?廣東學業(yè)考試）已知x?23=A．±18 B．±8 C．344【變式3-2】（2022秋?諸暨市校級月考）若4a2?4a+1A．a≥12 B．a≤12 C【變式3-3】（2021秋?聊城期中）若69a2A．（﹣∞，3） B．（﹣∞，13] C．[13，+∞） D．（13【題型4指數式的給條件求值問題】【方法點撥】利用指數冪的運算性質解決帶有附加條件的求值問題，一般有三種思路：(1)將條件中的式子用待求式表示出來，進而代入化簡得出結論.(2)當直接代入不易求解時，可以從總體上把握已知,式和所求式的特點，從而快速巧妙求解.一般先利用平方差、立方和(差)以及完全平方公式及其變形進行化簡，再用整體代入法來求值.(3)適當應用換元法，能使公式的使用更清晰，過程更簡潔.【例4】（2021秋?昌吉州期末）已知a+1a=4A．2 B．2 C．?2 D．±【變式4-1】（2022?長沙縣校級開學）若0＜a＜1，b＞0，且ab﹣a﹣b＝﹣2，則ab+a﹣b的值為（）A．22 B．±22 C．?2【變式4-2】（2021秋?泉山區(qū)校級月考）已知10m＝2，10n＝3，則10A．49 B．89 C．23 【變式4-3】（2021秋?甌海區(qū)校級月考）已知實數a，b滿足(a+a2+1)(b+bA．﹣1 B．1 C．±1 D．0【題型5指數冪等式及冪的方程問題】【方法點撥】指數方程常見的類型有：(1)f(x)=g(x)；(2)=0.其中類型(1)利用同底法解，類型(2)利用換元法解.【例5】（2021秋?興慶區(qū)校級期末）方程3x?1A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1【變式5-1】（2021?閻良區(qū)校級自主招生）方程5x﹣1?103x＝8x的解集是（）A．{1，4} B．{14} C．{1，14} D．{4，【變式5-2】（2022春?汪清縣校級月考）方程4x﹣1=1A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1【變式5-3】（2021秋?青浦區(qū)期末）方程4x﹣10?2x+16＝0的解集是．【題型6指數冪等式的證明】【方法點撥】指數冪等式的證明中，設輔助參數是對數學問題的“層次性”的深刻認識的體現，是把復雜問題轉化為兩個或多個基本問題的重要分析方法.【例6】已知a＞0且a≠1，（2a）m＝a，（3a）m＝2a，求證：（32）mn＝2n【變式6-1】已知6|m|3k2+2?m22+3k2【變式6-2】已知：a＞0，b＞0，且ab＝ba，求證：（ab）a【變式6-3】已知ax3＝by3＝cz3，且1x+1y+1z=1，求證：（ax2+參考答案【題型1根式與分數指數冪的互化】【方法點撥】根據根式與分數指數冪的互化運算法則，進行計算即可.【例1】（2022?揚中市校級開學）下列根式、分數指數冪的互化中，正確的是（）A．?x=(?x)?12B．x?C．(xy)?34D．4y2=1y【解題思路】由已知結合二次根式與分數指數冪的相互轉化分別檢驗各選項即可判斷．【解答過程】解：?x=?x12x?13（xy）?344y2=故選：C．【變式1-1】（2022?茂名模擬）下列根式與分數指數冪的互化正確的是（）A．?x=(?x)12C．6y2=y【解題思路】根據指數冪的運算法則化簡判斷即可．【解答過程】解：對于A：?x=?對于B：x?34=4(1對于C：6y2=|y對于D：[3(?x)2]34=((?x故選：B．【變式1-2】（2021秋?電白區(qū)期中）下列根式中，分數指數冪的互化，正確的是（）A．?x=(?x)12C．x?34=【解題思路】利用根式與分數指數冪的關系得出A?x=?x12（x＞0），6y2=(y【解答過程】解：A．?x=?x12（xB.6y2=(yC.x?34=4(1D.x?13故選：C．【變式1-3】（2021秋?水磨溝區(qū)校級月考）下列根式與分數指數冪的互化，正確的是（）A．?x=(?x)12C．x?34=【解題思路】根據有理數指數冪與根式互化的運算性質對應各個選項逐個化簡即可．【解答過程】解：選項A：由運算性質可得：?x=?x選項B：因為x≤0，所以6x2=選項C：x?34=1x34選項D：x?13=1x13故選：C．【題型2指數式的化簡】【方法點撥】利用指數冪的運算性質，進行化簡計算即可．【例2】（2021秋?惠陽區(qū)校級月考）（112）0﹣（1﹣0.5﹣2）÷A．?13 B．13 C．43【解題思路】根據指數冪的運算性質即可求出．【解答過程】解：原式＝1﹣（1﹣4）÷（32）2＝1+3×故選：D．【變式2-1】（2021秋?杭州期中）20+A．25 B．35?1 C．35+1 【解題思路】利用有理數指數冪的運算性質求解．【解答過程】解：原式=25+5+2﹣1＝故選：C．【變式2-2】（2021秋?龍湖區(qū)校級期末）設a＞0，b＞0，化簡(aA．?13a23 B．?3a23【解題思路】利用有理數指數冪的性質進行運算即可．【解答過程】解：(a23b13)?(?a12b故選：D．【變式2-3】（2021秋?秦淮區(qū)校級月考）計算12A．1e B．e C．e2 D．【解題思路】根據指數冪的運算性質計算即可．【解答過程】解：原式=2+1﹣1+e?故選：B．【題型3根據指數式求參】【方法點撥】根據所給的指數關系式，利用指數冪的運算性質，化簡求解參數的值.【例3】（2021秋?海陵區(qū)校級月考）已知x7＝5，則x的值為（）A．5 B．75 C．?75 【解題思路】根據根式性質計算即可．【解答過程】解：由根式的定義知x7＝5，則x=7故選：B．【變式3-1】（2021?廣東學業(yè)考試）已知x?23=A．±18 B．±8 C．344【解題思路】把已知等式變形，可得3x2=14【解答過程】解：由x?23=4，得∴x2=164故選：A．【變式3-2】（2022秋?諸暨市校級月考）若4a2?4a+1A．a≥12 B．a≤12 C【解題思路】先對4a2?4a+1=3(1?2a)3進行化簡，然后根據絕對值方程|m|【解答過程】解：∵4a∴|2a﹣1|＝1﹣2a則2a﹣1≤0解得a≤故選：B．【變式3-3】（2021秋?聊城期中）若69a2A．（﹣∞，3） B．（﹣∞，13] C．[13，+∞） D．（13【解題思路】根據nan=a,n為奇數【解答過程】解：∵69a2?6a+1=∴1﹣3a≥0，∴a≤1故選：B．【題型4指數式的給條件求值問題】【方法點撥】利用指數冪的運算性質解決帶有附加條件的求值問題，一般有三種思路：(1)將條件中的式子用待求式表示出來，進而代入化簡得出結論.(2)當直接代入不易求解時，可以從總體上把握已知,式和所求式的特點，從而快速巧妙求解.一般先利用平方差、立方和(差)以及完全平方公式及其變形進行化簡，再用整體代入法來求值.(3)適當應用換元法，能使公式的使用更清晰，過程更簡潔.【例4】（2021秋?昌吉州期末）已知a+1a=4A．2 B．2 C．?2 D．±【解題思路】推導出（a12?a?12）2【解答過程】解：∵a+1a∴（a12?a?12）2＝a+1∴a1故選：D．【變式4-1】（2022?長沙縣校級開學）若0＜a＜1，b＞0，且ab﹣a﹣b＝﹣2，則ab+a﹣b的值為（）A．22 B．±22 C．?2【解題思路】根據題意，由ab﹣a﹣b＝﹣2變形可得（ab﹣a﹣b）2＝a2b+a﹣2b﹣2＝4，由此求出a2b+a﹣2b的值，又由（ab+a﹣b）2＝a2b+a﹣2b+2，變形計算可得答案．【解答過程】解：根據題意，ab﹣a﹣b＝﹣2，則（ab﹣a﹣b）2＝a2b+a﹣2b﹣2＝4，則有a2b+a﹣2b＝6，又由（ab+a﹣b）2＝a2b+a﹣2b+2＝6+2＝8，則有ab+a﹣b＝±22，又由0＜a＜1，b＞0，ab+a﹣b＞0，則有ab+a﹣b＝22，故選：A．【變式4-2】（2021秋?泉山區(qū)校級月考）已知10m＝2，10n＝3，則10A．49 B．89 C．23 【解題思路】利用指數冪的運算性質即可得出．【解答過程】解：∵10m＝2，10n＝3，∴103m?2n2=103m2÷故選：D．【變式4-3】（2021秋?甌海區(qū)校級月考）已知實數a，b滿足(a+a2+1)(b+bA．﹣1 B．1 C．±1 D．0【解題思路】設m＝a+a2+1，n＝b+b2+1，則mn＝1，化簡1m=a2+1?【解答過程】解：∵實數a，b滿足(a+a2+1)(b+b2設m＝a+a2+1，n＝則1m=1a+a2+1所以m?1m=(a+a2+1)?（a2同理可得b=n?因為mn＝1，所以n=1m，m所以a=m?1m2所以a+b=m?n2故選：D．【題型5指數冪等式及冪的方程問題】【方法點撥】指數方程常見的類型有：(1)f(x)=g(x)；(2)=0.其中類型(1)利用同底法解，類型(2)利用換元法解.【例5】（2021秋?興慶區(qū)校級期末）方程3x?1A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1【解題思路】利用指數的運算性質即可解出．【解答過程】解：∵方程3x?1=19，∴3x﹣1＝3﹣2，∴x﹣1＝﹣2，∴x＝﹣1，因此方程3x?1故選：B．【變式5-1】（2021?閻良區(qū)校級自主招生）方程5x﹣1?103x＝8x的解集是（）A．{1，4} B．{14} C．{1，14} D．{4，【解題思路】先把103x轉化為53x23x，8x＝23x，然后再化簡求值即可．【解答過程】解：原方程可化為：5x﹣153x23x＝23x，即54x﹣1＝1，解得：x=1故選：B．【變式5-2】（2022春?汪清縣校級月考）方程4x﹣1=1A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1【解題思路】由4x﹣1=116=4﹣2，得x﹣1＝﹣2，由此能求出方程4x﹣【解答過程】解：∵4x﹣1=116=4∴x﹣1＝﹣2，∴x＝﹣1．故選：C．【變式5-3】（2021秋?青浦區(qū)期末）方程4x﹣10?2x+16＝0的解集是{1，3}．【解題思路】利用換元法將方程轉化為一元二次方程進行求解即可．【解答過程】解：由4x﹣10?2x+16＝0得（2x）2﹣10?2x+16＝0，設t＝2x，則t＞0，則原方程等價為t2﹣10t+16＝0，即（t﹣2）（t﹣8）＝0，解得t＝2或t＝8．由t＝2x＝2，解得x＝1．由t＝2x＝8，解得x＝3．故方程的解集為{1，3}．故答案為：{1，3}．【題型6指數冪等式的證明】【方法點撥】指數冪等式的證明中，設輔助參數是對數學問題的“層次性”的深刻認識的體現，是把復雜問題轉化為兩個或