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第=page11頁(yè),共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年北京五中高一(上)期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題:本題共10小題,每小題4分,共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x≥0},B={x|x≤3},則A∩(?RB)=A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.(?∞,3] D.(3,+∞)2.命題p:?x∈Z,|x|>0.則¬p是(
)A.?x∈Z,|x|≤0 B.?x∈Z,|x|≥0
C.?x∈Z,|x|≤0 D.?x∈Z,|x|≥03.已知a>b,c>d,則下面不等式一定成立的是(
)A.a+d>b+c B.a+d<b+c C.a?d>b?c D.a?d<b?c4.“x>1”是不等式(x+1)(x?1)>0成立的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)在(?∞,0]上是增函數(shù),且f(?1)=0,則使f(x)>0的x的取值范圍是(
)A.(?1,0) B.(0,1)
C.(?1,1) D.(?∞,?1)∪(1,+∞)6.已知函數(shù)f(x)=(a?3)x+5,x≤12ax,x>1是(?∞,+∞)上的減函數(shù),那么aA.(0,3) B.(0,3] C.(0,2) D.(0,2]7.如圖所示,點(diǎn)P在邊長(zhǎng)為1的正方形的邊上運(yùn)動(dòng),設(shè)M是CD邊的中點(diǎn),則當(dāng)點(diǎn)P沿著A?B?C?M運(yùn)動(dòng)時(shí),以點(diǎn)P經(jīng)過的路程x為自變量,三角形APM的面積函數(shù)的圖象形狀大致是(
)A.B.
C.D.8.如圖所示,4個(gè)長(zhǎng)為a,寬為b的長(zhǎng)方形,拼成一個(gè)正方形ABCD,中間圍成一個(gè)小正方形A1B1C1DA.(a+b)2≥4ab
B.當(dāng)a=b時(shí),A1,B1,C1,D19.大西洋鮭魚每年都要逆流而上3000英里游回它們出生的地方產(chǎn)卵繁殖.研究鮭魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速v(單位:m/s)可以表示為v=12log3O100,其中A.8100 B.900 C.81 D.910.奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)的圖象分別如圖1、圖2所示,方程f[g(x)]=0和g[f(x)]=0的實(shí)根個(gè)數(shù)分別a,b,則a+b=(
)A.3 B.7 C.10 D.14二、填空題:本題共5小題,每小題5分,共25分。11.函數(shù)y=11?x12.函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù),且f(1+x)=f(1?x),若x∈[1,+∞),f(x)=x2,f(0)=______.13.已知函數(shù)f(x)同時(shí)滿足:①定義域是實(shí)數(shù)集R的一個(gè)子集;②是非奇非偶函數(shù);③有最大值而無(wú)最小值.則滿足條件的函數(shù)f(x)=______.(寫出滿足條件的一個(gè)函數(shù)即可)14.農(nóng)業(yè)技術(shù)員進(jìn)行某種作物的種植密度試驗(yàn),把一塊試驗(yàn)田劃分為8塊面積相等的區(qū)域(除了種植密度,其它影響作物生長(zhǎng)的因素都保持一致),種植密度和單株產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)如圖:
根據(jù)上表所提供信息,第
號(hào)區(qū)域的總產(chǎn)量最大,該區(qū)域種植密度為
株/m2.15.對(duì)于函數(shù)f(x)=2x?12x+1,下列說法正確的是______.(寫出所有正確命題的序號(hào))
①函數(shù)f(x)為奇函數(shù);
②函數(shù)f(x)的值域?yàn)??23,23);三、解答題:本題共6小題,共85分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。16.(本小題12分)
計(jì)算:
(Ⅰ)614+(338)13+317.(本小題15分)
已知關(guān)于x的不等式(ax?1)(x?2)>2的解集為A,且3?A.
(I)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(II)求集合A.18.(本小題13分)
函數(shù)f(x)=4x+2x+a,g(x)=2x.
(Ⅰ)若f(x)過點(diǎn)(0,3),求a的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,若x∈[0,1],求f(x)的最大值;
(Ⅲ)若19.(本小題15分)
已知函數(shù)f(x)=ax2+bx,且f(1)=2,f(2)=52.
(Ⅰ)確定函數(shù)f(x)的解析式,并判斷奇偶性;
(Ⅱ)用定義證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(?∞,?1)上單調(diào)遞增;
(Ⅲ)20.(本小題15分)
定義:若函數(shù)f(x)對(duì)于其定義域內(nèi)的某一數(shù)x0,有f(x0)=x0,則稱x0是f(x)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù)f(x)=ax2+(b+1)x+b?1(a≠0).
(1)當(dāng)a=1,b=?2時(shí),求函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn);
(2)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)b,函數(shù)f(x)恒有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若y=f(x)圖象上兩個(gè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn),且線段21.(本小題15分)
設(shè)A是正整數(shù)集的非空子集,稱集合B={|u?v||u,v∈A,且u≠v}為集合A的生成集.
(1)當(dāng)A={1,3,6}時(shí),寫出集合A的生成集B;
(2)若A是由5個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合,求其生成集B中元素個(gè)數(shù)的最小值;
(3)判斷是否存在4個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合A,使其生成集B={2,3,5,6,10,16},并說明理由.
參考答案1.D
2.C
3.C
4.A
5.C
6.D
7.A
8.C
9.C
10.C
11.{x|x<1}
12.4
13.?x2,x∈(?2,1)(答案不唯一14.5;3.6
15.①③④
16.解:(Ⅰ)614+(338)13+3125=254+(17.解:(I)∵3?A,
∴當(dāng)x=3時(shí),有(ax?1)(x?2)≤2,
即3a?1≤2;
解得a≤1,
即a的取值范圍是{a|a≤1};…(3分)
(II)(ax?1)(x?2)>2,
∴(ax?1)(x?2)?2>0,
∴ax2?(2a+1)x>0,…(4分)
當(dāng)a=0時(shí),集合A={x|x<0};…(5分)
當(dāng)a<?12時(shí),集合A={x|0<x<2+1a};…(6分)
當(dāng)a=?12時(shí),原不等式的解集A為空集;…(7分)
當(dāng)?12<a<0時(shí),集合18.解:(Ⅰ)由題意得f(0)=40+20+a=3,解得a=1;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=4x+2x+1,
令2x=t,因?yàn)閤∈[0,1],所以t∈[1,2],
則y=t2+t+1,t∈[1,2],
由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知y=t2+t+1在t∈[1,2]上單調(diào)遞增,
故當(dāng)t=2時(shí),y=t2+t+1取得最大值,最大值為22+2+1=7,
即f(x)的最大值為7;
(Ⅲ19.解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)=ax2+bx,且f(1)=a+b=2,①
f(2)=4a+b2=52,②
聯(lián)立①②解得a=b=1,
故f(x)=x2+1x=x+1x,為奇函數(shù),理由如下:
由于x≠0,故其定義域?yàn)??∞,0)∪(0,+∞),
又f(?x)=?x?1x=?(x+1x)=?f(x),
故f(x)=x2+1x為奇函數(shù);
(Ⅱ)令x1<x2<?1,
則f(x1)?f(x2)=x1+1x1?x2?1x2=(x1?x2)?x1?x2x1x20.解:(1)當(dāng)a=1,b=?2時(shí),f(x)=x2?x?3,由x2?x?3=x,解得x=3或x=?1,
故所求的不動(dòng)點(diǎn)為?1和3;
(2)令f(x)=x,則ax2+bx+b?1=0,①
由題意,方程①恒有兩個(gè)不等實(shí)根,
所以Δ=b2?4a(b?1)>0,
即b2?4ab+4a>0對(duì)任意的b∈R恒成立,
則Δ1=16a2?16a<0,解得0<a<1,
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1);
(3)依題意設(shè)A(x1,x1),B(x2,x2)(x1≠x2),
則AB中點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x1+x22,x1+x22)21.解:(1)因?yàn)锳={1,3,6},所以|1?3|=2,|1?6|=5,|3?6|=3,
所以B={2,3,5};
(2)設(shè)A={a1,a2,a3,a4,a5},不妨設(shè)0<a1<a2<a3<a4<a5,
因?yàn)閍2?a1<a3?a1<a4?a1<a5?a1,
所以B中元素個(gè)數(shù)大于等于4個(gè),
又A={1,2,3,4,5},則B={1,2,3,4},此
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