專題02承上啟下篇-勾股定理

專題02承上啟下篇勾股定理題型聚焦：核心考點+中考考點，有的放矢重點專攻：知識點和關(guān)鍵點梳理，查漏補缺提升專練：真題感知+精選專練，全面突破【題型1用勾股定理或其逆定理解三角形】【題型2折疊問題】【題型3勾股定理與全等三角形】【題型4網(wǎng)格問題】【題型5勾股定理的實際應(yīng)用】【題型6勾股定理的證明及其在平面直角坐標系的應(yīng)用】【題型7勾股定理選擇、填空題綜合】【題型8勾股定理、全等三角形綜合難點分析】知識點一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（即：）知識點二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.知識點三、勾股定理與全等三角形題型歸納【題型1用勾股定理或其逆定理解三角形】1．如圖，在中，(1)，，求AB的長；(2)，，求的長．【答案】(1)13(2)【分析】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么（1）根據(jù)勾股定理計算即可；（2）根據(jù)勾股定理計算即可．【解析】（1）解：在中，，，，由勾股定理得：，的長為13；（2）在中，，，，由勾股定理得：，的長為2．如圖，在直角三角形中，，于點，已知，．(1)求斜邊的長；(2)求的長．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了勾股定理以及等面積法，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)勾股定理求解即可．（2）根據(jù)，即可求解．【解析】（1）解：在直角三角形中，，，，；（2），，即，．3．如圖，在四邊形中，，且，求AB的長．【答案】【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，連接，求出即可求解；【解析】解：連接，如圖所示：∵，∴∵，，∴∴解得：4．如圖，已知是邊上的中線，若，，，求的面積．【答案】12【分析】本題考查了關(guān)于三角形面積計算的題，由是邊上的中線可得到，結(jié)合已知，利用勾股定理逆定理可得是直角三角形，過點A作，垂足為E，在中求出的長，即得高，即可求出面積．【解析】解：是邊上的中線是直角三角形且過A作，垂足為E，如圖：，【題型2折疊問題】5．如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊，將折疊，使點B與點A重合，折痕為．(1)求的周長．(2)求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）由翻折易得，則的周長；（2）由翻折易得，利用直角三角形，勾股定理即可求得長．本題考查了折疊性質(zhì)以及勾股定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【解析】（1）解：∵將折疊，使點B與點A重合，折痕為，∴，則的周長；（2）解：由題意得；設(shè)，則，，在中，根據(jù)勾股定理得：，即，解得；即．6．如圖，將長方形紙片沿折疊，使點恰好落在邊上點處，若，，求的長．【答案】．【分析】本題考查了翻折變換，勾股定理．根據(jù)折疊的性質(zhì)及勾股定理求解．【解析】解：由翻折可得，，四邊形為長方形，，，，在中，由勾股定理得，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，即，解得，即．7．在中，，，，D，E分別是斜邊AB和直角邊CB上的點，把沿著直線DE折疊，頂點B的對應(yīng)點是．(1)如圖1，如果點和頂點A重合，求CE的長．(2)如圖2，如果點落在的中點上，求CE的長．【答案】(1)(2)【分析】本題考查折疊問題以及勾股定理，熟練掌握折疊的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵；（1）設(shè)，則，在中，利用勾股定理列出方程解方程即可；（2）根據(jù)中點性質(zhì)，先得到，在中，再利用勾股定理列出方程解方程即可．【解析】（1）解：設(shè)，則．由折疊可得：．在中，由，得：，解得：，即的長為．（2）∵點落在的中點上，．設(shè)，則．在中，由，得，解得：，即的長為．【題型3勾股定理與全等三角形】8．在中，，D是邊上一點，于點F，．(1)求證：．(2)當(dāng)，求的長．【答案】(1)見解析(2)6【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．（1）先證明，推出，再利用可證明；（2）由，推出，再在中，利用勾股定理即可求解.【解析】（1）證明：∵∴，∴∴又∵∴（2）解：∵，∴，∴，在中，9．如圖，，，E是上的一點，且，．(1)求證：．(2)若，，求的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，證明是本題的關(guān)鍵．（1）由“”可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，由余角的性質(zhì)可得，由勾股定理可求的長根據(jù)三角形的面積公式可求解．【解析】（1）證明：，，，在與中，，，；（2）解：由（1）可知，∴，，，為等腰直角三角形；又，，，，的面積．10．如圖，在中，，點D是上一動點，連接，過點A作，并且始終保持，連接．(1)求證：；(2)若平分交于．求的值．【答案】(1)見解析(2)13【分析】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，勾股定理．掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵，解（2）時正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可證，結(jié)合，，即可證；（2）連接，由全等三角形的性質(zhì)可得出，，即可求出，再根據(jù)勾股定理可求出．又易證，即得出．【解析】（1）證明：∵，∴，∴，即．又∵，，∴；（2）解：如圖，連接．∵，∴，．∵，∴，即，∴．∵平分，∴．∵，，∴，∴，∴．11．如圖，中，，，，分別以、為直角邊向外作等腰直角和等腰直角．(1)求證：；(2)求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理應(yīng)用，正確得出是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)全等三角形的判定方法得出，進而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；（2）利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理解答即可．【解析】（1）證明：，，在和中，，；（2）解：，，是等腰直角三角形，，，是直角三角形，，，，，．12．如圖，在等腰直角中，，，為邊上一點，連接，且，連接，．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)證明見解析；(2)的長為．【分析】（）由，得，然后通過“”證明即可；（）連接，由勾股定理得，由（）得，，，則，由勾股定理得，則，故，最后由勾股定理即可求解；本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【解析】（1）證明：∵，，∴，∴，在和中，∴；（2）解：如圖，連接，∵，，，∴由勾股定理得：，∵，，∴，由（）得：，∴，，∴，∴由勾股定理得：，∴，∴，∴由勾股定理得：，∴的長為．13．如圖，在和中，，，點A，C，D依次在同一直線上，且．(1)求證：；(2)連接，若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)13【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，（1）根據(jù)，可得，進而根據(jù)證明即可；（2）根據(jù)全等的性質(zhì)可得，，在中，根據(jù)勾股定理即可求解．【解析】（1）證明：∵點A，C，D依次在同一直線上，且．∴又∵，，在和中，∴，∴；（2）解：∵，，，∴，，在中，根據(jù)勾股定理可得．14．如圖，在中，，，點是內(nèi)部的一點，連接，作，，垂足分別為點，．(1)求證：；(2)若，，，求的周長．【答案】(1)見解析(2)30【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）由垂直的定義得到，利用三角形內(nèi)角和定理證明，則可利用證明；（2）由全等三角形的性質(zhì)得到，則，再根據(jù)勾股定理求出，然后利用三角形周長公式計算即可．【解析】（1）證明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴在和中，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵∴∴的周長．15．如圖，在中，，，，為中點，點，分別在直線，上，，連接．

(1)如圖1，當(dāng)點與點重合時，求的長；(2)如圖2，當(dāng)點不與點重合時，求證：；(3)若，求線段的長．【答案】(1)；(2)證明見詳解；(3)或．【分析】（1）由垂直平分線性質(zhì)定理得，然后在中，由勾股定理即可求出的長；（2）延長至點，使，連接，先證得，，再證明，然后由勾股定理得證；（3）分兩種情況討論：①當(dāng)E在線段上時，如圖所示；②當(dāng)點E在延長線上時，如圖所示；然后由（2）中結(jié)論求解即可．【解析】（1）解：如圖1，為中點，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理，得，解得，；故的長為；（2）解：延長至點，使，連接，如圖2所示，，為中點，，，在和中，，，，，，，即，在中，，；（3）解：①當(dāng)E在線段上時，如圖所示，由（2）中結(jié)論，當(dāng)時，，設(shè)，則，，，；②當(dāng)點E在延長線上時，如圖所示，同①理，可得，；綜上所述，線段的長為或．【點睛】此題直角三角形的綜合題，主要考查了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并添加合適的輔助線構(gòu)造全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．【題型4網(wǎng)格問題】16．已知在正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長均為1）中，格點（即的三個頂點都在小正方形的頂點處）的三條邊，，的長分別為，，．(1)在網(wǎng)格中畫出．(2)求邊上的高．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了勾股定理和網(wǎng)格中三角形面積的計算，熟練掌握割補法求三角形的面積是解題的關(guān)鍵．（1）利用勾股定理得出格點A、B、C，再畫出即可；（2）作出邊上的高，先利用割補法求出，再根據(jù)，得，求解即可．【解析】（1）解：如圖所示，即為所求；∵，，．∴即為所求．（2）解：作邊上的高，如圖，∵，又∵，∴，∴，即邊上的高為．17．在中，、、三邊的長分別為、、，求這個三角形的面積．小華同學(xué)在解答這道題時，先畫一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點（即三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖1所示．這樣不需求的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積．這種方法叫做構(gòu)圖法．

(1)的面積為：．(2)若三邊的長分別為、、，請在圖2的正方形網(wǎng)格中畫出相應(yīng)的【答案】(1)(2)見解析【分析】本題考查作圖?應(yīng)用與設(shè)計、勾股定理；（1）利用構(gòu)圖法求解即可；（2）利用勾股定理和構(gòu)圖法作圖即可．【解析】（1）解：由圖可得，，故答案為：．（2）解：如圖，即為所求；

18．正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點，以下畫圖要求所畫圖形的頂點都在格點．(1)在圖①中畫一個面積為5的正方形；(2)在圖②中畫一個直角三角形，使它的兩邊長是無理數(shù)，另一邊長是有理數(shù)；(3)在圖③中畫一個等腰三角形，使它的三邊長都是無理數(shù)；(4)在圖④中畫一個三角形，使它的三邊長分別是，，．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)見解析【分析】對于（1），根據(jù)作以為邊長的正方形；對于（2），根據(jù)作一個邊長為，，2的直角三角形；對于（3），作一個邊長為，，的等腰三角形；對于（4），根據(jù)畫出一邊，再根據(jù)畫出第二邊，最后根據(jù)畫出第三邊．【解析】（1）如圖所示．（2）如圖所示．（3）如圖所示．（4）如圖所示．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正方形的判定，等腰三角形的判定，直角三角形的判定等，理解圖形的特點是解題的關(guān)鍵．19．如圖，每個小正方形的邊長都為1．(1)四邊形的面積________；(2)四邊形的周長________；(3)與有什么關(guān)系？請說明理由．【答案】(1)12(2)(3)相等，且垂直【分析】（1）根據(jù)正方形的面積減去三個直角三角形的面積計算即可；（2）根據(jù)勾股定理計算即可；（3）先根據(jù)勾股定理的逆定理確定是直角三角形，可得答案．【解析】（1）四邊形的面積；故答案為：12；（2）四邊形的周長為；故答案為：；（3）相等，且垂直．理由：如圖所示，連接．根據(jù)勾股定理，得，∴，∴是直角三角形，∴，所以，且．【點睛】本題主要考查了勾股定理在網(wǎng)格中的應(yīng)用，勾股定理逆定理，求不規(guī)則圖形的面積等，將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和或差是解題的關(guān)鍵．【題型5勾股定理的實際應(yīng)用】20．明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計算秋千繩索長度的詞，翻譯為：如圖秋千細索懸掛于O點，靜止時豎直下垂，A點為踏板位置，踏板離地高度為1米（米）．將它往前推進一些（于點E，且米），踏板升高到點B位置，此時踏板離地2米（米），求秋千繩（或）的長度．【答案】【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，設(shè)米，在中利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．【解析】解：設(shè)米，米，米，米，根據(jù)勾股定理可得，，解得．的長度為米．21．一架云梯長，按如圖所示的方式斜靠在一面墻上，云梯底端離墻的距離為．(1)求此架云梯的頂端到地面的距離；(2)如果云梯的頂端A下滑了到達E處，求它的底部B在水平方向移動的距離的長．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）利用勾股定理直接求解即可．（2）如果云梯的頂端A下滑了到達E處，則，再利用勾股定理求出，再根據(jù)求解即可．【解析】（1）解：，則此架云梯的頂端到地面的距離為.（2）解：如果云梯的頂端A下滑了到達E處，則，則，∴22．在“歡樂周末·非遺市集”活動現(xiàn)場，諸多非遺項目集中亮相，讓過往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明買了一個年畫風(fēng)箏，并進行了試放，為了解決一些問題，他設(shè)計了如下的方案：先測得放飛點與風(fēng)箏的水平距離為15m；根據(jù)手中余線長度，計算出的長度為17m；牽線放風(fēng)箏的手到地面的距離為1.5m．已知點A，B，C，D在同一平面內(nèi)．(1)求風(fēng)箏離地面的垂直高度；(2)在余線僅剩9m的情況下，若想要風(fēng)箏沿射線方向再上升12m，請問能否成功？請運用數(shù)學(xué)知識說明．【答案】(1)9.5m(2)不能成功．【分析】本題主要考查勾股定理的運用，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．（1）過點作于點，在中，根據(jù)勾股定理即可求解；（2）假設(shè)能上升12m，作圖，根據(jù)勾股定理可得，再根據(jù)題意，即可求解．【解析】（1）解：如圖1所示，過點作于點，則，，，在中，，．（2）解：不能成功，理由如下：假設(shè)能上升12m，如圖所示，延長至點，連接，則，．在中，．，余線僅剩7m，∴，∴不能上升12m，即不能成功．23．某游樂場部分平面圖如圖所示，點在同一直線上，點在同一直線上，，測得．(1)求入口到大擺錘的距離；(2)現(xiàn)要在距離大擺錘的處修建游樂項目旋轉(zhuǎn)木馬（即），點在同一直線上，且使旋轉(zhuǎn)木馬到過山車的距離最近．求過山車到旋轉(zhuǎn)木馬的距離．【答案】(1)入口到大擺錘的距離為．(2)過山車到旋轉(zhuǎn)木馬的距離為．【分析】本題主要考查了勾股定理的實際應(yīng)用，垂線段最短，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．（1）在中，根據(jù)勾股定理，即可求解的值．（2）根據(jù)垂線段最短，可得，再根據(jù)勾股定理，即可求解的值．【解析】（1）解：∵，∴，∵，∴，答：入口到大擺錘的距離為．（2）解：∵使旋轉(zhuǎn)木馬到過山車的距離最近，∴，∵，，∴，答：過山車到旋轉(zhuǎn)木馬的距離為．24．現(xiàn)有一艘快艇即將靠岸，當(dāng)快艇到達點的位置后，關(guān)閉發(fā)動機，在離水面高度為的岸上，工作人員用繩子牽引靠岸，開始時繩子的長為．（假設(shè)繩子一直處于繃直狀態(tài)，結(jié)果保留根號）(1)若工作人員以的速度收繩，后快艇移動到點D的位置，問此時快艇距離岸邊還有多少？(2)若快艇關(guān)閉發(fā)動機后，保持的速度勻速靠岸，后快艇由點移動到點的位置，工作人員手中的繩子被收上來多少？【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵；（1）由題意易得，然后根據(jù)勾股定理可進行求解；（2）由題意易得，則有，然后根據(jù)勾股定理可進行求解．【解析】（1）解：因為工作人員以的速度收繩，后船移動到點的位置，所以，在中，，所以快艇距離岸邊還有；（2）解：因為在中，，所以，所以，，所以繩子被收上來．25．葛藤是一種“刁鉆”的植物，它自己腰桿不硬，為爭奪雨露陽光，常常繞著樹干盤旋而上，它還有一手絕招，就是它繞樹盤升的路徑總是沿最短路線螺旋上升.難道植物也懂?dāng)?shù)學(xué)？(1)想一想怎樣找出最短路徑；(2)如圖，若樹干周長為，葛藤繞一圈升高，則它爬行一周的路程是多少米？【答案】(1)見解析(2)【分析】（）以AB為切口把樹干側(cè)面展開為矩形，則對角線的長為最短路徑；（）由勾股定理即可求解；本題考查了平面展開——最短路徑問題，勾股定理，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【解析】（1）解：如圖，以AB為切口把樹干側(cè)面展開為矩形，則對角線的長為最短路徑；（2）解：根據(jù)題意，得，，∴答：它爬行一周的路程是．【題型6勾股定理的證明及其在平面直角坐標系的應(yīng)用】26．用不同的方式表示同一圖形的面積可以解決線段長度的有關(guān)問題，這種方法稱為等面積法，這是一種重要的數(shù)學(xué)方法，請你用等面積法來探究下列三個問題：(1)如圖1是著名的“趙爽弦圖”，由四個全等的直角三角形拼成，請驗證勾股定理：；(2)如圖2，在中，，CD是AB邊上的高，，，求CD的長度．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查勾股定理的證明以及應(yīng)用；（1）用不同方法表示出外面大正方形的面積，再根據(jù)面積相等列出等式，整理即可證明出結(jié)論；（2）先根據(jù)勾股定理先求出AB，再根據(jù)等面積法即可求出CD的長度．【解析】（1）解：∵外面大正方形的面積，外面大正方形的面積里面小正方形的面積個直角三角形的面積，，整理，得；（2）在中，，，，由勾股定理，得，是AB邊上的高，，．27．在一節(jié)數(shù)學(xué)探究課上老師提供了若干張直角邊分別為、的直角三角形紙板，如圖所示．經(jīng)過同學(xué)們探究后得出如下結(jié)論：選用若下張這樣的紙片可以互不重疊的拼成一個大正方形，并且內(nèi)部留下一個“空隙”是一個較小的正方形，圖是同學(xué)們的一種拼法．(1)若圖中大正方形的面積是“空隙”小正方形面積的倍，求的值；(2)請你選擇若干張紙片拼出一個符合探究結(jié)論的圖形（與圖不同），畫出示意圖并直接用含的代數(shù)式表示大正方形、小正方形的面積．【答案】(1)；(2)畫圖見解析；大正方形面積為，“空隙”小正方形面積．【分析】（）根據(jù)題意列出代數(shù)式，再由大正方形的面積是“空隙”小正方形面積的倍，得出，然后求解即可；（）根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)圖形求出面積即可；本題主要考查了完全平方公式，勾股定理的幾何背景等知識，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【解析】（1）解：由圖可知，大正方形的面積為，“空隙”小正方形面積，∵大正方形的面積是“空隙”小正方形面積的倍，∴，解得：，，∵，∴；（2）解：如圖，∴大正方形面積為，“空隙”小正方形面積．28．我國是最早了解勾股定理的國家之一，漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖1所示“趙爽弦圖”（邊長為c的大正方形中放四個全等的直角三角形，兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c）．(1)如圖1，請用兩種不同方法表示圖中陰影部分面積．方法1：______；方法2：______；根據(jù)以上信息，可以得到等式：______；(2)小亮將“弦圖”中的4個三角形進行了運動變換，得到圖2，請利用圖2證明勾股定理；(3)如圖3，將圖2的2個三角形進行了運動變換，若，，求陰影部分的面積．【答案】(1)；；(2)見解析(3)27【分析】本題考查了勾股定理的證明與運用，靈活掌握等面積法在證明勾股定理中的作用是解題的關(guān)鍵．（1）方法1：求得小正方形的邊長為，方法2：大正方形的面積減4個直角三角形的面積，據(jù)此計算即可；（2），列式計算即可證明；（3）先用勾股定理計算出c，再利用計算面積即可．【解析】（1）解：方法1：；方法2：；∵，即，故；根據(jù)以上信息，可以得到等式：；故答案為：；；；（2）解：∵，即，整理得，故；（3）解：如圖，，∵，，∴，則，∴，故陰影部分的面積為27．29．閱讀一段文字，再回答下列問題：已知在平面內(nèi)兩點，，則該兩點間距離公式為，同時，當(dāng)兩點在同一坐標軸上或所在直線平行于x軸、平行于y軸時，兩點間的距離公式可分別化簡成和．(1)若已知兩點，，試求A，B兩點間的距離；(2)已知點M，N在平行于y軸的同一條直線上，點M的縱坐標為7，點N的縱坐標為，試求M，N兩點間的距離．【答案】(1)(2)9【分析】本題考查兩點間的距離，解題的關(guān)鍵是巧妙的運用兩點間的距離公式求出任意兩點間的距離．（1）根據(jù)兩點間的距離公式進行計算即可；（2）根據(jù)點，在平行于軸的直線上，點的縱坐標為7，點的縱坐標為，可以利用垂直于軸的距離公式進行計算即可．【解析】（1）解：點，，，即，兩點間的距離是；（2）解：點，在平行于軸的直線上，點的縱坐標為7，點的縱坐標為，，即，兩點間的距離是9．【題型7勾股定理選擇、填空題綜合】30．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．1，2，3 B．4，6，8 C．，， D．5，12，13【答案】D【分析】本題考查了勾股數(shù)的定義，熟練掌握勾股數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股數(shù)是滿足較小的兩個數(shù)的平方之和等于最大的數(shù)的平方的一組正整數(shù)，據(jù)此逐項分析即可作答．【解析】解：A、，故該選項是錯誤的；B、，故該選項是錯誤的；C、，，不是正整數(shù)，故該選項是錯誤的；D、，故該選項是正確的；故選：D．31．已知直角三角形的兩邊長分別為3、4．則第三邊長為．【答案】5或【分析】已知直角三角形兩邊的長，但沒有明確是直角邊還是斜邊，因此分兩種情況討論．【解析】解：①長為3的邊是直角邊，長為4的邊是斜邊時，第三邊的長為：；②長為3、4的邊都是直角邊時，第三邊的長為：；∴第三邊的長為：或5，故答案為：或5．32．木工師傅想利用木條制作一個直角三角形，那么下列各組數(shù)據(jù)不符合直角三角形的三邊長的是（

）A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，15，17【答案】D【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．【解析】解：A、∵32+42=52，∴能夠成直角三角形，故本選項錯誤；B、∵62+82=102，∴能夠成直角三角形，故本選項錯誤；C、∵52+122=132，∴能夠成直角三角形，故本選項錯誤；D、∵72+152≠172，∴不能夠成直角三角形，故本選項正確．故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用．理解判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．33．已知，如圖所示，Rt△ABC的周長為4+23，斜邊AB的長為23，則Rt△ABC的面積為．【答案】1.【分析】設(shè)AC=a，BC=b，根據(jù)題意列出關(guān)于a、b的方程組，然后解方程得到ab的值，再利用三角形的面積公式求解即可.【解析】設(shè)AC=a，BC=b，由題意得，∴，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=12+2ab=16，∴ab=2，則Rt△ABC的面積為ab=1.故答案為1.【點睛】本題主要考查勾股定理，解此題的關(guān)鍵在于利用勾股定理列出方程組，然后求得ab的值.34．如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻壁，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為米，頂端距離地面米若梯子底端位置保持不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面米，則小巷的寬度為(

)A．米 B．米 C．2米 D．米【答案】A【分析】先根據(jù)勾股定理求出梯子的長，進而根據(jù)勾股定理可得出小巷的寬度.【解析】由題意可得：，在中，，米，，，，，，小巷的寬度為（米）.故選.【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準確的示意圖.35．如圖，在矩形中，在數(shù)軸上，若以點A為圓心，對角線的長為半徑作弧交數(shù)軸于點M，則點M表示的數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用矩形的性質(zhì)得AD=BC=1，再由勾股定理求出AC的長，最后根據(jù)AM=AC，可得答案．【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=1，∠ABC=90°在Rt△ABC中，AC=，∴AM=AC=，∴點M表示的數(shù)是，故選：A．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，實數(shù)與數(shù)軸等知識，利用勾股定理求出AC的長是解題的關(guān)鍵．36．在中，，，則．【答案】50【分析】直接利用勾股定理即可求解．【解析】解：如圖；，，，故答案是：．【點睛】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的使用．37．已知三角形三邊長為正整數(shù)，則此三角形是三角形．【答案】直角【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形判定則可．如果沒有這種關(guān)系，這個三角形就不是直角三角形．【解析】解：∵==，====，∴，∴此三角形是直角三角形．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理．掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．38．如圖，在高為3米，斜坡長為5米的樓梯臺階上鋪地毯，則地毯的長度至少要（）A．4米 B．5米 C．6米 D．7米【答案】D【分析】先求出AC的長，再利用平移的知識即可得出地毯的長度．【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，∴AC＝＝4米，∴可得地毯長度＝AC+BC＝7米，故選D．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用及平移的知識，利用勾股定理求出AC的長度是解答本題的關(guān)鍵．39．如圖，在中，平分，平分，且交于，若，則的值為A．36 B．9 C．6 D．18【答案】A【分析】先根據(jù)角平分線的定義、角的和差可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)、等量代換可得，然后根據(jù)等腰三角形的定義可得，從而可得，最后在中，利用勾股定理即可得．【解析】平分，平分，，，，，，，，在中，由勾股定理得：，故選：A．【點睛】本題考查了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的定義、勾股定理等知識點，熟練掌握等腰三角形的定義是解題關(guān)鍵．【題型8勾股定理、全等三角形綜合難點分析】40．如圖，用一副三角板擺放三種不同圖形．在中，，；中，，．(1)如圖，當(dāng)頂點擺放在線段上時，過點作，垂足為點，過點作，垂足為點，請在圖中找出一對全等三角形，并說明理由；(2)如圖，當(dāng)頂點在線段DE上且頂點在線段上時，過點作，垂足為點，猜想線段、、的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖，當(dāng)頂點在線段DE上且頂點在線段上時，若，，連接CE，則的面積為．【答案】(1)，見解析(2)，見解析(3)10【分析】（1）利用、互余，、互余可推得，再根據(jù)“角角邊”即可證明；（2）由、互余，、互余推得，再根據(jù)“角角邊”即可證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可推得、、的數(shù)量關(guān)系；（3）作延長線交于點，同理證明后，求得垂線的長度，根據(jù)即可得解．【解析】（1）解：，，，，又，，，在和中，，．（2）解：猜想，證明如下：，，，，，，，即，在和中，，，，，，．（3）解：作延長線交于點，，，，，，，在和中，，，，，中，，，，，．故答案為10．【點睛】本題考查的知識點是全等三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理，解題關(guān)鍵是熟練掌握一線三等角模型的全等判定方法．41．在中，，，點是直線AB上一點，作于點，于點．(1)如圖1，點在線段AB上，BH交AC于點，若為MB的中點，，則______；(2)如圖2，取AC中點，連接DH．①若點在線段AB上，求證：②若點在直線AB上，，，求AB的長．【答案】(1)(2)①見解析②【分析】（1）在上截取，連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出，根據(jù)等腰三角形的判定推出，根據(jù)線段的和差即可得解；（2）①連接，根據(jù)垂直的定義及直角三角形的性質(zhì)求出，利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)推出，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理推出，利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出，，進而推出是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得解；②證明得設(shè)可得，由列方程求出x的值即可求解．【解析】（1）如圖1，在上截取，連接，

∵，∴，∵F為的中點，∴，∵于點F，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：；（2）①證明：如圖2，連接，

∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，點D為的中點，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴；②由①知，,,又又，，設(shè)可得，由勾股定理得，，解得，．【點睛】此題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練運用等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．42．【問題情境】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到E，使，連接．請根據(jù)小明的方法思考：

（1）由已知和作圖能得到，依據(jù)是___________．A．SSS

B．ASA

C．AAS

D．SAS（2）由“三角形的三邊關(guān)系”可求得的取值范圍是___________．解后反思：題目中出現(xiàn)“中點”“中線”等條件，可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．【初步運用】（3）如圖2，是的中線，交于E，交于F，且．若，，求線段的長．【靈活運用】（4）如圖3，在中，，D為中點，，交于點E，交于點F，連接，試猜想線段，，三者之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）D；（2）；（3）；（4）線段、，之間的等量關(guān)系為：【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系以及勾股定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)全等三角形的判定方法證明即可解答；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形的三邊關(guān)系計算即可；（3）延長到M，使，連接BM，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（4）延長到點G，使，連結(jié)，證明，得到，根據(jù)勾股定理解答．【解析】解：（1）在和中，，∴，故選D；（2）∵，∴，在中，，∴∴；（3）延長到M，使，連接，

∵，，∴，∵AD是中線，∴，∵在和中，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，即；（4）線段之間的等量關(guān)系為：．證明：如圖，延長到點G，使，連結(jié)，

∵，∴，∵D是的中點，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴中，，∴．43．已知：在中，，．

(1)如圖1，若點D在線段上，連接，在的右側(cè)作，．①線段和線段存在何種數(shù)量關(guān)系？請說明理由．②請直接寫出線段、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系_________．(2)如圖2，若點D在線段延長線上，連接，在的右側(cè)作，，則線段、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系是_________．(3)如圖3，若點D在直線上，連接，在的左側(cè)作，當(dāng)，時，的面積為_________．【答案】(1)①；②(2)(3)或【分析】（1）①連接，證明即可得到；②由全等可得，，從而得出，再由勾股定理即可得到答案；（2）連接，，證明即可得到，，從而得出，再由勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出答案；（3）分兩種情況：當(dāng)點在點的左側(cè)時，連接；當(dāng)點在之間時，連接，類比（2）證明，分別利用三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識進行計算即可得到答案．【解析】（1）解：①，理由如下：如圖，連接，

∵，，∴，∴，即，在和中，，∴，∴；②∵在中，，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，故答案為：；（2）如圖，連接，

∵，，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，，∵在中，，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，

∴，故答案為：；（3）解：如圖，當(dāng)點在點的左側(cè)時，連接，

∵，，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，∵在中，，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；如圖，當(dāng)點在之間時，連接，

同理可證得：，∴，∵在中，，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；綜上所述，的面積為或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，熟練掌握以上知識點，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，采用分類討論的思想解題，是解此題的關(guān)鍵．過關(guān)檢測一、單選題1．下列三個數(shù)中，能組成一組勾股數(shù)的是（

）A．，， B．，，C．12，15，9 D．，，【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理的定義：滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，據(jù)此求解即可．【解析】解：A、三邊，，，不是正整數(shù)，故本選項不符合題意；B、三邊為1，2，9，且，不符合勾股定理的逆定理，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項不符合題意．C、，三邊是正整數(shù)，且符合勾股定理的逆定理，能構(gòu)成直角三角形，故本選項符合題意．D、三邊，，，不是正整數(shù)，故本選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了勾股數(shù)問題，滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．2．在中，，，的對邊分別是a，b，c，且，則（

）A． B． C． D．不確定哪個角是直角【答案】A【分析】根據(jù)題意直接利用勾股定理的逆定理進行判斷即可得出答案．【解析】解：∵在中，，，的對邊分別是a，b，c，且，∴．∴b、c是兩直角邊，a是斜邊，∴．故選：A．【點睛】本題考查勾股定理的逆定理．注意掌握如果三角形的三邊長a，b，c滿足，那么這個三角形就是直角三角形．二、填空題3．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，則BC∶AC∶AB=．【答案】1∶∶2【分析】根據(jù)直角三角形中30度角所對直角邊為斜邊的一半，可設(shè)BC=x，則AB=2x，再利用勾股定理求AC的長即可得解.【解析】已知△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，設(shè)BC=x，則AB=2x，