第十三講第六章平面圖形壓軸-線段講義2024－2025學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)

第十三講：平面圖形壓軸線段題型一：中點(diǎn)類1.如圖，點(diǎn)M在線段AN的延長線上，且線段MN=10，第一次操作：分別取線段AM和AN的中點(diǎn)M1、N1；第二次操作：分別取線段AM1和AN1的中點(diǎn)M2，N2；第三次操作：分別取線段AM2和AN2的中點(diǎn)A．10+522022 B．10+5220232.如圖，已知A，B，C是數(shù)軸上三點(diǎn)，點(diǎn)C表示的數(shù)為6，BC＝4，AB＝12．(1)寫出數(shù)軸上點(diǎn)A，B表示的數(shù)．(2)動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從A，C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒6個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)．若M為AP的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段CQ上，且CN＝13CQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts(t＞0)①寫出數(shù)軸上點(diǎn)M，N表示的數(shù)(用含t的式子表示)．②t為何值時(shí)，原點(diǎn)O恰為線段PQ的中點(diǎn)?3.【探索新知】如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，圖中共有3條線段：AB、AC、和BC，若其中有一條線段的長度是另一條線段長度的兩倍，則稱點(diǎn)C是線段AB的“二倍點(diǎn)”.（1）一條線段的中點(diǎn)這條線段的“二倍點(diǎn)”；（填“是”或“不是”）【深入研究】如圖2，點(diǎn)A表示數(shù)10，點(diǎn)B表示數(shù)20，若點(diǎn)M從點(diǎn)B，以每秒3cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.（2）點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過程中表示的數(shù)為（用含t的代數(shù)式表示）；（3）求t為何值時(shí)，點(diǎn)M是線段AB的“二倍點(diǎn)”；（4）同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)A的位置開始，以每秒2cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，并與點(diǎn)M同時(shí)停止.請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M是線段AN的“二倍點(diǎn)”時(shí)t的值.4.【背景知識(shí)】數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地結(jié)合．研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律：若數(shù)軸上點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的數(shù)分別為a、b，則A，B兩點(diǎn)之間的距離AB＝|a﹣b|，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為．【問題情境】如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣2，點(diǎn)B表示的數(shù)為8，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．【綜合運(yùn)用】（1）填空：①A、B兩點(diǎn)間的距離AB＝，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為；②用含t的代數(shù)式表示：t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)為；點(diǎn)Q表示的數(shù)為．（2）求當(dāng)t為何值時(shí)，P、Q兩點(diǎn)相遇，并寫出相遇點(diǎn)所表示的數(shù)；（3）求當(dāng)t為何值時(shí)，PQ＝AB；（4）若點(diǎn)M為PA的中點(diǎn)，點(diǎn)N為PB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，線段MN的長度是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)求出線段MN的長．題型二：和倍差類5.【新知理解】如圖①，點(diǎn)M在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AM和BM，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點(diǎn)M是線段AB的“和諧點(diǎn)”．(1)線段的中點(diǎn)___________這條線段的“和諧點(diǎn)”（填“是”或“不是”）；(2)【初步應(yīng)用】如圖②，若CD＝12cm，點(diǎn)N是線段CD的和諧點(diǎn)，則CN＝___________cm；(3)【解決問題】如圖③，已知AB＝15cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s速度沿AB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)：點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以2m/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t，請(qǐng)直接寫出t為何值時(shí)，A、P、Q三點(diǎn)中其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的和諧點(diǎn)．6.在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小軒同學(xué)借助于兩根小木棒m、n研究數(shù)學(xué)問題：如圖，他把兩根木棒放在數(shù)軸上，木棒的端點(diǎn)A、B、C、D在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a、b、3、8，已知a(1)求a和b的值：(2)若小軒把木棒m沿x軸正方向移動(dòng)，m的速度為4個(gè)單位/s，設(shè)平移時(shí)間為t(s)，在平移過程中原點(diǎn)O恰好是木棒m的中點(diǎn)，求t(3)若小軒把木棒n與m同時(shí)沿x軸正方向移動(dòng)，m的速度為4個(gè)單位/s，n的速度為3個(gè)單位s，設(shè)平移時(shí)間為t(s)．在平移過程中，當(dāng)木棒m、n重疊部分的長為37.如圖，已知數(shù)軸上有A、B、C三個(gè)點(diǎn)，它們表示的數(shù)分別是18，8，-10。（1）填空：AB=

，BC=

；（2）若點(diǎn)M、N分別是線段AB、BC的中點(diǎn)，則①點(diǎn)M、N在數(shù)軸上表示的數(shù)分是

；②在數(shù)軸上表示出點(diǎn)M、N的位置，③直接寫出線段MN與線段AC的數(shù)量關(guān)系為

。（3）現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P、Q都從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C移動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q才從A點(diǎn)出發(fā)，并以每秒3個(gè)單位長度的速度向左移動(dòng)，且當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q就停止移動(dòng)．點(diǎn)P移動(dòng)幾秒時(shí)P、Q兩點(diǎn)間的距離為6。

8.已知數(shù)軸上有三點(diǎn)A、B、C，其位置如圖1所示，數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)為-40，AB=120，AC=2AB（1）圖1中點(diǎn)C在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)是______

（2）如圖2，動(dòng)點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)從C、A出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)A向左運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)P的速度是點(diǎn)R的速度的3倍，點(diǎn)Q的速度是點(diǎn)R的速度2倍少5個(gè)單位長度/秒，點(diǎn)P在點(diǎn)Q左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過5秒，點(diǎn)P、Q之間的距離與點(diǎn)Q、R之間的距離相等，求動(dòng)點(diǎn)Q的速度

（3）如圖3，若T點(diǎn)是A點(diǎn)右側(cè)一點(diǎn)，點(diǎn)T在數(shù)軸上所表示的數(shù)為n，TB的中點(diǎn)為M，N為TA的4等分點(diǎn)且靠近于T點(diǎn)，若TM=2AN，求n的值．9.如圖，數(shù)軸上線段AB=2，CD=4，點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是-10，點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)是16，若線段AB以6個(gè)單位/秒的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段CD以2個(gè)單位/秒的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)。（1）問運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)BC=8？（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)到BC=8時(shí)，點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)是

（3）當(dāng)3≤t<134，B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段CD上時(shí)，P是線段AB上一點(diǎn)，是否存在關(guān)系式BD-AP=3PC？若存在，求線段PC的長；若不存在，請(qǐng)說明理由。題型三：定值類10.如圖，在數(shù)軸上的A點(diǎn)表示數(shù)，B點(diǎn)表示數(shù)，滿足。(1)點(diǎn)A表示的數(shù)為_______，點(diǎn)B表示的數(shù)為__________.(2)若在原點(diǎn)O處放一擋板，一小球甲從點(diǎn)A處以2個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)；同時(shí)另一小球乙從點(diǎn)B處以3個(gè)單位/秒的速度也向左運(yùn)動(dòng)，在碰到擋板后（忽略球的大小，可看作一點(diǎn)）以原來的速度向相反的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．①當(dāng)時(shí)，乙小球到原點(diǎn)的距離=_________；當(dāng)時(shí)，乙小球到原點(diǎn)的距離=____________．②試探究：甲、乙兩小球到原點(diǎn)的距離可能相等嗎？若不能，請(qǐng)說明理由；若能，請(qǐng)計(jì)算說明．(3)現(xiàn)將小球乙看成動(dòng)點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段OB上時(shí)，分別取OB和AP的中點(diǎn)，試判斷的值是否為定值，若不是，請(qǐng)說明理由；若是，請(qǐng)求出該定值．

11.如圖，B是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，沿的路線以的速度往返運(yùn)動(dòng)1次，C是線段BD的中點(diǎn)，AD=10cm，設(shè)點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)當(dāng)時(shí)，則線段AB=________，線段CD=________；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，AB=CD？(3)點(diǎn)B從點(diǎn)出發(fā)的同時(shí)，點(diǎn)也從點(diǎn)出發(fā)，以的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，若當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t滿足時(shí)，線段的長度始終是一個(gè)定值，求這個(gè)定值和a的值．12.【閱讀材料】若數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B所表示的數(shù)分別為a和b（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），則有①A、B兩點(diǎn)的中點(diǎn)表示的數(shù)為；②A、B兩點(diǎn)間的距離為．【解決問題】數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B所表示的數(shù)分別為a和b，且滿足，（1）直接寫出A、B兩點(diǎn)的中點(diǎn)C表示的數(shù)為______；（2）若數(shù)軸上有一點(diǎn)D，且AD+BD=16，則點(diǎn)D在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為______；【拓展思考】若數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B所表示的數(shù)分別為a和b（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)（點(diǎn)C不與A、B重合），當(dāng)AC:BC=1:2時(shí)，稱點(diǎn)C為線段AB的左三等分點(diǎn)；當(dāng)AC:BC=2:1時(shí)，則稱點(diǎn)C為線段AB的右三等分點(diǎn)．（3）①如圖，若點(diǎn)C為線段AB的左三等分點(diǎn)，則點(diǎn)C表示的數(shù)為：______；（用含a、b的代數(shù)式表示），②在【解決問題】（1）的條件下，點(diǎn)F以每秒1個(gè)單位的速度從原點(diǎn)O出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)以每秒3個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒6個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P為線段MF的左三等分，點(diǎn)Q為ON的中點(diǎn)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，試探究下列結(jié)論：隨著t的變化，是否存在m，使得MN+OF-mPQ的值為定值，若存在，求出題型四：動(dòng)點(diǎn)存在探究類13.如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A，C對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為和4，線段AC=8cm，AB=2cm，CD=4cm，若線段以3cm/秒的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段CD以1cm/秒的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)．(1)問運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)？(2)線段AB與線段CD從開始相遇到完全離開共經(jīng)過多長時(shí)間？(3)P是線段AB上一點(diǎn)，當(dāng)B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段上時(shí)，是否存在關(guān)系式BD-AP=3PC．若存在，求線段PD14.如圖，點(diǎn)A、點(diǎn)B在數(shù)軸上分別表示數(shù)a、b，則A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為．【探索新知】如圖1，點(diǎn)C將線段AB分成AC和BC兩部分，若BC=πAC，則稱點(diǎn)C是線段AB的圓周率點(diǎn)，線段AC、BC稱作互為圓周率伴侶線段(1)若AC=2(2)若點(diǎn)D也是圖1中線段的圓周率點(diǎn)（不同于C點(diǎn)），則______（填“<”、“”、“>”）【深入研究】如圖2，現(xiàn)有一個(gè)直徑為1個(gè)單位長度的圓片，將圓片上的某點(diǎn)與數(shù)軸上表示1的點(diǎn)重合，并把圓片沿?cái)?shù)軸向右無滑動(dòng)地滾動(dòng)1周，該點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)C的位置(3)若點(diǎn)M、N均為線段OC的圓周率點(diǎn)，求線段MN的長度；(4)在圖2中，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)O、C位置同時(shí)出發(fā)，分別以每秒3個(gè)單位長度、每秒2個(gè)單位長度的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C左側(cè)時(shí)，P、C、Q三點(diǎn)中某一點(diǎn)為其余兩點(diǎn)所構(gòu)成線段的圓周率點(diǎn)，請(qǐng)求出t的值題型五：新定義類15.【新知理解】如圖①，點(diǎn)C在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AC和BC，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點(diǎn)C是線段AB的“巧點(diǎn)”．（1）線段的中點(diǎn)______這條線段的“巧點(diǎn)”；（填“是”或“不是”）．（2）若AB=24cm，點(diǎn)C是線段AB的“巧點(diǎn)”，則AC=______；【解決問題】（3）如圖②，已知AB=24cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以的速度沿AB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)：點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為ts．當(dāng)t為何值時(shí)，A、P、Q三點(diǎn)中其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的“巧點(diǎn)”？并說明理由．

16.點(diǎn)在線段上，若，則稱是點(diǎn)在線段上的“分點(diǎn)值”，記作．例如，如圖1，若，則點(diǎn)在線段上的“分點(diǎn)值”是，記作；若，則，故點(diǎn)在線段上的“分點(diǎn)值”是，記作．【理解與應(yīng)用】(1)已知點(diǎn)在線段上．若，，則________；若，，則_________．(2)如圖2，線段，是線段上一點(diǎn)，、兩點(diǎn)分別從點(diǎn)、出發(fā)以，的速度同時(shí)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)．①若點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有PD=2AC，求出的值；②若，則當(dāng)為何值時(shí)，；③若時(shí)，，則___________．17.如圖1，數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是和3，將這兩點(diǎn)在數(shù)軸上以相同的速度同時(shí)相向運(yùn)動(dòng)，若A，B分別到達(dá)M，N兩點(diǎn)（我們用AB表示以點(diǎn)A、點(diǎn)B為端點(diǎn)的線段的長，MN、M2N2表示的含義以此類推），且滿足MN=kAB（k為正整數(shù)），我們稱AB兩點(diǎn)完成了一次“準(zhǔn)相向運(yùn)動(dòng)”．如圖2若它們按照原來的速度和方向繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，分別到達(dá)M2，N2兩點(diǎn)，且滿足MN=kM2N2（(1)若A，B兩點(diǎn)完成了一次“準(zhǔn)相向運(yùn)動(dòng)”．①當(dāng)時(shí)，M，N兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為、；②當(dāng)k為任意正整數(shù)時(shí)，求M，N兩點(diǎn)表示的數(shù)；(2)如圖2所示，若A，B兩點(diǎn)完成了兩次“準(zhǔn)相向運(yùn)動(dòng)”，并分別到達(dá)M2，N2兩點(diǎn)，若k不變，求M2，N(3)若A，B兩點(diǎn)完成了n次“準(zhǔn)相向運(yùn)動(dòng)”，并分別到達(dá)Mn,Nn兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)是否存在點(diǎn)Mn，使其表示的數(shù)為65？如果存在，求完成的次數(shù)類型六：折疊類18.數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地結(jié)合．研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律：若數(shù)