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文檔簡介
內(nèi)蒙古包頭市稀土高新區(qū)二中2025屆高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知向量與向量平行,,且,則()A. B.C. D.2.正方形的邊長為,是正方形內(nèi)部(不包括正方形的邊)一點,且,則的最小值為()A. B. C. D.3.若集合,,則()A. B. C. D.4.在棱長為a的正方體中,E、F、M分別是AB、AD、的中點,又P、Q分別在線段、上,且,設(shè)平面平面,則下列結(jié)論中不成立的是()A.平面 B.C.當(dāng)時,平面 D.當(dāng)m變化時,直線l的位置不變5.若(),,則()A.0或2 B.0 C.1或2 D.16.設(shè)點是橢圓上的一點,是橢圓的兩個焦點,若,則()A. B. C. D.7.已知某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖與側(cè)視圖是全等的直角三角形,則該幾何體的各個面中,最大面的面積為()A.2 B.5 C. D.8.已知,,分別是三個內(nèi)角,,的對邊,,則()A. B. C. D.9.已知函數(shù)在區(qū)間有三個零點,,,且,若,則的最小正周期為()A. B. C. D.10.《九章算術(shù)》勾股章有一“引葭赴岸”問題“今有餅池徑丈,葭生其中,出水兩尺,引葭赴岸,適與岸齊,問水深,葭各幾何?”,其意思是:有一個直徑為一丈的圓柱形水池,池中心生有一顆類似蘆葦?shù)闹参铮冻鏊鎯沙?,若把它引向岸邊,正好與岸邊齊,問水有多深,該植物有多高?其中一丈等于十尺,如圖若從該葭上隨機取一點,則該點取自水下的概率為()A. B. C. D.11.已知復(fù)數(shù)z滿足(i為虛數(shù)單位),則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.某歌手大賽進行電視直播,比賽現(xiàn)場有名特約嘉賓給每位參賽選手評分,場內(nèi)外的觀眾可以通過網(wǎng)絡(luò)平臺給每位參賽選手評分.某選手參加比賽后,現(xiàn)場嘉賓的評分情況如下表,場內(nèi)外共有數(shù)萬名觀眾參與了評分,組織方將觀眾評分按照,,分組,繪成頻率分布直方圖如下:嘉賓評分嘉賓評分的平均數(shù)為,場內(nèi)外的觀眾評分的平均數(shù)為,所有嘉賓與場內(nèi)外的觀眾評分的平均數(shù)為,則下列選項正確的是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.農(nóng)歷五月初五是端午節(jié),民間有吃粽子的習(xí)慣,粽子又稱粽籺,俗稱“粽子”,古稱“角黍”,是端午節(jié)大家都會品嘗的食品,傳說這是為了紀(jì)念戰(zhàn)國時期楚國大臣、愛國主義詩人屈原.如圖,平行四邊形形狀的紙片是由六個邊長為1的正三角形構(gòu)成的,將它沿虛線折起來,可以得到如圖所示粽子形狀的六面體,則該六面體的體積為____;若該六面體內(nèi)有一球,則該球體積的最大值為____.14.過且斜率為的直線交拋物線于兩點,為的焦點若的面積等于的面積的2倍,則的值為___________.15.展開式中的系數(shù)為_________.16.設(shè)等差數(shù)列的前項和為,若,,則數(shù)列的公差________,通項公式________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,三棱臺的底面是正三角形,平面平面,.(1)求證:;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)已知函數(shù),.(Ⅰ)判斷函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù),并證明;(Ⅱ)函數(shù)在區(qū)間上的極值點從小到大分別為,,證明:19.(12分)已知函數(shù)(其中是自然對數(shù)的底數(shù))(1)若在R上單調(diào)遞增,求正數(shù)a的取值范圍;(2)若f(x)在處導(dǎo)數(shù)相等,證明:;(3)當(dāng)時,證明:對于任意,若,則直線與曲線有唯一公共點(注:當(dāng)時,直線與曲線的交點在y軸兩側(cè)).20.(12分)已知關(guān)于的不等式解集為().(1)求正數(shù)的值;(2)設(shè),且,求證:.21.(12分)已知函數(shù),設(shè)為的導(dǎo)數(shù),.(1)求,;(2)猜想的表達(dá)式,并證明你的結(jié)論.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,有一個微型智能機器人(大小不計)只能沿著坐標(biāo)軸的正方向或負(fù)方向行進,且每一步只能行進1個單位長度,例如:該機器人在點處時,下一步可行進到、、、這四個點中的任一位置.記該機器人從坐標(biāo)原點出發(fā)、行進步后落在軸上的不同走法的種數(shù)為.(1)分別求、、的值;(2)求的表達(dá)式.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
設(shè),根據(jù)題意得出關(guān)于、的方程組,解出這兩個未知數(shù)的值,即可得出向量的坐標(biāo).【詳解】設(shè),且,,由得,即,①,由,②,所以,解得,因此,.故選:B.【點睛】本題考查向量坐標(biāo)的求解,涉及共線向量的坐標(biāo)表示和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算,考查計算能力,屬于中等題.2、C【解析】
分別以直線為軸,直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),根據(jù),可求,而,化簡求解.【詳解】解:建立以為原點,以直線為軸,直線為軸的平面直角坐標(biāo)系.設(shè),,,則,,由,即,得.所以=,所以當(dāng)時,的最小值為.故選:C.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得集合A,由集合性質(zhì)表示形式即可求得,進而可知滿足.【詳解】依題意,;而,故,則.故選:B.【點睛】本題考查了集合關(guān)系的判斷與應(yīng)用,集合的包含關(guān)系與補集關(guān)系的應(yīng)用,屬于中檔題.4、C【解析】
根據(jù)線面平行與垂直的判定與性質(zhì)逐個分析即可.【詳解】因為,所以,因為E、F分別是AB、AD的中點,所以,所以,因為面面,所以.選項A、D顯然成立;因為,平面,所以平面,因為平面,所以,所以B項成立;易知平面MEF,平面MPQ,而直線與不垂直,所以C項不成立.故選:C【點睛】本題考查直線與平面的位置關(guān)系.屬于中檔題.5、A【解析】
利用復(fù)數(shù)的模的運算列方程,解方程求得的值.【詳解】由于(),,所以,解得或.故選:A【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)模的運算,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】∵∵∴∵,∴∴故選B點睛:本題主要考查利用橢圓的簡單性質(zhì)及橢圓的定義.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進行分析,既使不畫出圖形,思考時也要聯(lián)想到圖形,當(dāng)涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時,要理清它們之間的關(guān)系,挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.7、D【解析】
根據(jù)三視圖還原出幾何體,找到最大面,再求面積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體是一個三棱錐,如圖所示,將其放在一個長方體中,并記為三棱錐.,,,故最大面的面積為.選D.【點睛】本題主要考查三視圖的識別,復(fù)雜的三視圖還原為幾何體時,一般借助長方體來實現(xiàn).8、C【解析】
原式由正弦定理化簡得,由于,可求的值.【詳解】解:由及正弦定理得.因為,所以代入上式化簡得.由于,所以.又,故.故選:C.【點睛】本題主要考查正弦定理解三角形,三角函數(shù)恒等變換等基礎(chǔ)知識;考查運算求解能力,推理論證能力,屬于中檔題.9、C【解析】
根據(jù)題意,知當(dāng)時,,由對稱軸的性質(zhì)可知和,即可求出,即可求出的最小正周期.【詳解】解:由于在區(qū)間有三個零點,,,當(dāng)時,,∴由對稱軸可知,滿足,即.同理,滿足,即,∴,,所以最小正周期為:.故選:C.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的最小正周期,涉及函數(shù)的對稱性的應(yīng)用,考查計算能力.10、C【解析】
由題意知:,,設(shè),則,在中,列勾股方程可解得,然后由得出答案.【詳解】解:由題意知:,,設(shè),則在中,列勾股方程得:,解得所以從該葭上隨機取一點,則該點取自水下的概率為故選C.【點睛】本題考查了幾何概型中的長度型,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)運算,求得,再求其對應(yīng)點即可判斷.【詳解】,故其對應(yīng)點的坐標(biāo)為.其位于第四象限.故選:D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算,以及復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(biāo),屬綜合基礎(chǔ)題.12、C【解析】
計算出、,進而可得出結(jié)論.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可知,,由頻率分布直方圖可知,,則,由于場外有數(shù)萬名觀眾,所以,.故選:B.【點睛】本題考查平均數(shù)的大小比較,涉及平均數(shù)公式以及頻率分布直方圖中平均數(shù)的計算,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
(1)先算出正四面體的體積,六面體的體積是正四面體體積的倍,即可得出該六面體的體積;(2)由圖形的對稱性得,小球的體積要達(dá)到最大,即球與六個面都相切時,求出球的半徑,再代入球的體積公式可得答案.【詳解】(1)每個三角形面積是,由對稱性可知該六面是由兩個正四面合成的,可求出該四面體的高為,故四面體體積為,因此該六面體體積是正四面體的2倍,所以六面體體積是;(2)由圖形的對稱性得,小球的體積要達(dá)到最大,即球與六個面都相切時,由于圖像的對稱性,內(nèi)部的小球要是體積最大,就是球要和六個面相切,連接球心和五個頂點,把六面體分成了六個三棱錐設(shè)球的半徑為,所以,所以球的體積.故答案為:;.【點睛】本題考查由平面圖形折成空間幾何體、考查空間幾何體的的表面積、體積計算,考查邏輯推理能力和空間想象能力求解球的體積關(guān)鍵是判斷在什么情況下,其體積達(dá)到最大,考查運算求解能力.14、2【解析】
聯(lián)立直線與拋物線的方程,根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及面積關(guān)系求解即可.【詳解】如圖,設(shè),由,則,由可得,由,則,所以,得.故答案為:2【點睛】此題考查了拋物線的性質(zhì),屬于中檔題.15、【解析】
變換,根據(jù)二項式定理計算得到答案.【詳解】的展開式的通項為:,,取和,計算得到系數(shù)為:.故答案為:.【點睛】本題考查了二項式定理,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.16、2【解析】
直接利用等差數(shù)列公式計算得到答案.【詳解】,,解得,,故.故答案為:2;.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的基本計算,意在考查學(xué)生的計算能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見證明;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)取的中點為,連結(jié),易證四邊形為平行四邊形,即,由于,為的中點,可得到,從而得到,即可證明平面,從而得到;(Ⅱ)易證,,兩兩垂直,以,,分別為,,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求出平面的一個法向量為,設(shè)與平面所成角為,則,即可得到答案.【詳解】解:(Ⅰ)取的中點為,連結(jié).由是三棱臺得,平面平面,從而.∵,∴,∴四邊形為平行四邊形,∴.∵,為的中點,∴,∴.∵平面平面,且交線為,平面,∴平面,而平面,∴.(Ⅱ)連結(jié).由是正三角形,且為中點,則.由(Ⅰ)知,平面,,∴,,∴,,兩兩垂直.以,,分別為,,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè),則,,,,∴,,.設(shè)平面的一個法向量為.由可得,.令,則,,∴.設(shè)與平面所成角為,則.【點睛】本題考查了空間幾何中,面面垂直的性質(zhì),線線垂直的證明,及線面角的求法,考查了學(xué)生的邏輯推理能力與計算求解能力,屬于中檔題.18、(Ⅰ)函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點.見解析(Ⅱ)見解析【解析】
(Ⅰ)根據(jù)題意,,利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,分類討論在區(qū)間的單調(diào)區(qū)間和極值,進而研究零點個數(shù)問題;(Ⅱ)求導(dǎo),,由于在區(qū)間上的極值點從小到大分別為,,求出,利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合單調(diào)性和極值點,即可證明出.【詳解】解:(Ⅰ),,當(dāng)時,,,在區(qū)間上單調(diào)遞減,,在區(qū)間上無零點;當(dāng)時,,在區(qū)間上單調(diào)遞增,,在區(qū)間上唯一零點;當(dāng)時,,,在區(qū)間上單調(diào)遞減,,;在區(qū)間上唯一零點;綜上可知,函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點.(Ⅱ),,由(Ⅰ)知在無極值點;在有極小值點,即為;在有極大值點,即為,由,即,,2…,,,,,,以及的單調(diào)性,,,,,由函數(shù)在單調(diào)遞增,得,,由在單調(diào)遞減,得,即,故.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,通過導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點個數(shù)問題和證明不等式,考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力.19、(1);(2)見解析;(3)見解析【解析】
(1)需滿足恒成立,只需即可;(2)根據(jù)的單調(diào)性,構(gòu)造新函數(shù),并令,根據(jù)的單調(diào)性即可得證;(3)將問題轉(zhuǎn)化為證明有唯一實數(shù)解,對求導(dǎo),判斷其單調(diào)性,結(jié)合題目條件與不等式的放縮,即可得證.【詳解】;令,則恒成立;,;的取值范圍是;(2)證明:由(1)知,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;;令,;則;令,則;;;(3)證明:,,要證明有唯一實數(shù)解;當(dāng)時,;當(dāng)時,;即對于任意實數(shù),一定有解;;當(dāng)時,有兩個極值點;函數(shù)在,,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;又;只需,在時恒成立;只需;令,其中一個正解是;,;單調(diào)遞增,,(1);;;綜上得證.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查了轉(zhuǎn)化思想、不等式的放縮,屬難題.20、(1)1;(2)證明見解析.【解析】
(1)將不等式化為,求解得出,根據(jù)解集確定正數(shù)的值;(2)利用基本不等式以及不等式的性質(zhì),得出,,,三式相加,即可得證.【詳解】(1)解:不等式,即不等式∴,而,于是依題意得(2)證明:由(1)知,原不等式可化為∵,∴,同理,三式相加得,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號綜上.【點睛】本題主要考查了求絕對值不等式中參數(shù)的范圍以及基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.21、,;,證明見解析【解
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