上海市上外附大境中學(xué)2025屆高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷含解析

上海市上外附大境中學(xué)2025屆高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若復(fù)數(shù)滿足，則（其中為虛數(shù)單位）的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x∈R}，B={x|x≥2}，則下列結(jié)論正確的是（）A．﹣3∈AB．3BC．A∩B=BD．A∪B=B3．《算數(shù)書》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍.其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng)與高，計(jì)算其體積的近似公式.它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的圓周率近似取為（）A． B． C． D．4．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．845．設(shè)，則（）A． B． C． D．6．盒中裝有形狀、大小完全相同的5張“刮刮卡”，其中只有2張“刮刮卡”有獎(jiǎng)，現(xiàn)甲從盒中隨機(jī)取出2張，則至少有一張有獎(jiǎng)的概率為()A． B． C． D．7．已知點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若，則的面積為（）A． B． C． D．8．已知是虛數(shù)單位，若，，則實(shí)數(shù)（）A．或 B．-1或1 C．1 D．9．己知函數(shù)的圖象與直線恰有四個(gè)公共點(diǎn)，其中，則（）A． B．0 C．1 D．10．已知，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與相交于，兩點(diǎn)，若，則△的內(nèi)切圓的半徑為（）A． B． C． D．11．圓錐底面半徑為，高為，是一條母線，點(diǎn)是底面圓周上一點(diǎn)，則點(diǎn)到所在直線的距離的最大值是（）A． B． C． D．12．如下的程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”．執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為176，320，則輸出的a為（）A．16 B．18 C．20 D．15二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)雙曲線上的點(diǎn)，且，tan∠PF2F1＝﹣2，則雙曲線的離心率為_____．14．已知圓，直線與圓交于兩點(diǎn)，，若，則弦的長(zhǎng)度的最大值為___________.15．設(shè)實(shí)數(shù)，若函數(shù)的最大值為，則實(shí)數(shù)的最大值為______.16．已知向量=（1，2），=（-3，1），則=______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），點(diǎn).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程，并指出其形狀；（2）曲線與曲線交于，兩點(diǎn)，若，求的值.18．（12分）選修4—5；不等式選講．已知函數(shù)．(1)若的解集非空，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若正數(shù)滿足，為（1）中m可取到的最大值，求證：．19．（12分）已知，且的解集為.（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）若的圖像與直線及圍成的四邊形的面積不小于14，求實(shí)數(shù)取值范圍.20．（12分）已知數(shù)列滿足，，，且.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）已知函數(shù)f(x)=x（1）討論fx（2）當(dāng)x≥-1時(shí)，fx+a22．（10分）某大學(xué)開學(xué)期間，該大學(xué)附近一家快餐店招聘外賣騎手，該快餐店提供了兩種日工資結(jié)算方案：方案規(guī)定每日底薪100元，外賣業(yè)務(wù)每完成一單提成2元；方案規(guī)定每日底薪150元，外賣業(yè)務(wù)的前54單沒有提成，從第55單開始，每完成一單提成5元.該快餐店記錄了每天騎手的人均業(yè)務(wù)量，現(xiàn)隨機(jī)抽取100天的數(shù)據(jù)，將樣本數(shù)據(jù)分為七組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）隨機(jī)選取一天，估計(jì)這一天該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務(wù)量不少于65單的概率；（2）從以往統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)看，新聘騎手選擇日工資方案的概率為，選擇方案的概率為.若甲、乙、丙、丁四名騎手分別到該快餐店應(yīng)聘，四人選擇日工資方案相互獨(dú)立，求至少有兩名騎手選擇方案的概率，（3）若僅從人日均收入的角度考慮，請(qǐng)你為新聘騎手做出日工資方案的選擇，并說明理由.（同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可確定，即可得的最大值.【詳解】由知，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上，表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)間的距離，又復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在圓的圓心到的距離為1，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)模的定義及其幾何意義應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】試題分析：集合考點(diǎn)：集合間的關(guān)系3、C【解析】

將圓錐的體積用兩種方式表達(dá)，即，解出即可.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，則，又，故，所以，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題利用古代數(shù)學(xué)問題考查圓錐體積計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新能力.4、B【解析】

畫出幾何體的直觀圖，計(jì)算表面積得到答案.【詳解】該幾何體的直觀圖如圖所示：故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)三視圖求表面積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.5、D【解析】

結(jié)合指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可判斷出,,,即可選出答案.【詳解】由,即,又,即,,即,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了幾個(gè)數(shù)的大小比較,考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

先計(jì)算出總的基本事件的個(gè)數(shù)，再計(jì)算出兩張都沒獲獎(jiǎng)的個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型的概率，求出兩張都沒有獎(jiǎng)的概率，由對(duì)立事件的概率關(guān)系，即可求解.【詳解】從5張“刮刮卡”中隨機(jī)取出2張，共有種情況，2張均沒有獎(jiǎng)的情況有（種），故所求概率為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率、對(duì)立事件的概率關(guān)系，意在考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為，連接，由對(duì)稱性可知四邊形是平行四邊形，設(shè)，得，求出的值，即得解.【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為，連接，由對(duì)稱性可知四邊形是平行四邊形，所以，.設(shè)，則，又.故，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查余弦定理解三角形和三角形面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.8、B【解析】

由題意得，，然后求解即可【詳解】∵，∴.又∵，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題9、A【解析】

先將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)為，結(jié)合題意可求得切點(diǎn)及其范圍，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，即可求得的值.【詳解】函數(shù)即直線與函數(shù)圖象恰有四個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合圖象知直線與函數(shù)相切于，，因?yàn)?，故，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，由交點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)值，屬于難題.10、B【解析】

設(shè)左焦點(diǎn)的坐標(biāo)，由AB的弦長(zhǎng)可得a的值，進(jìn)而可得雙曲線的方程，及左右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形ABF2的面積，再由三角形被內(nèi)切圓的圓心分割3個(gè)三角形的面積之和可得內(nèi)切圓的半徑.【詳解】由雙曲線的方程可設(shè)左焦點(diǎn)，由題意可得，由，可得，所以雙曲線的方程為:所以，所以三角形ABF2的周長(zhǎng)為設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，所以三角形的面積，所以，解得，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的方程和雙曲線的性質(zhì)及三角形的面積的求法，內(nèi)切圓的半徑與三角形長(zhǎng)周長(zhǎng)的一半之積等于三角形的面積可得半徑的應(yīng)用，屬于中檔題.11、C【解析】分析：作出圖形，判斷軸截面的三角形的形狀，然后轉(zhuǎn)化求解的位置，推出結(jié)果即可.詳解：圓錐底面半徑為，高為2，是一條母線，點(diǎn)是底面圓周上一點(diǎn)，在底面的射影為；，，過的軸截面如圖：，過作于，則，在底面圓周，選擇，使得，則到的距離的最大值為3，故選：C點(diǎn)睛：本題考查空間點(diǎn)線面距離的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，解題的關(guān)鍵是作出軸截面圖形，屬中檔題．12、A【解析】

根據(jù)題意可知最后計(jì)算的結(jié)果為的最大公約數(shù).【詳解】輸入的a，b分別為,,根據(jù)流程圖可知最后計(jì)算的結(jié)果為的最大公約數(shù)，按流程圖計(jì)算,,,,,,,易得176和320的最大公約數(shù)為16，故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查的是利用更相減損術(shù)求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù),難度較易.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)正弦定理得，根據(jù)余弦定理得2PF1?PF2cos∠F1PF23，聯(lián)立方程得到，計(jì)算得到答案.【詳解】∵△PF1F2中，sin∠PF1F2═，sin∠PF1F2═，∴由正弦定理得，①又∵，tan∠PF2F1＝﹣2，∴tan∠F1PF2＝﹣tan（∠PF2F1+∠PF1F2），可得cos∠F1PF2，△PF1F2中用余弦定理，得2PF1?PF2cos∠F1PF23，②①②聯(lián)解，得，可得，∴雙曲線的，結(jié)合，得離心率.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.14、【解析】

取的中點(diǎn)為M，由可得，可得M在上，當(dāng)最小時(shí)，弦的長(zhǎng)才最大.【詳解】設(shè)為的中點(diǎn)，，即，即，，.設(shè)，則，得.所以，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)形結(jié)合的思想，是一道有一定難度的題.15、【解析】

根據(jù)，則當(dāng)時(shí)，，即.當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，由，轉(zhuǎn)化為，令，用導(dǎo)數(shù)法求其最大值即可.【詳解】因?yàn)?，又?dāng)時(shí)，，即.當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，由等價(jià)于，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，則，又，得，因此的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.16、-6【解析】

由可求，然后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可求.【詳解】∵=（1，2），=（-3，1），∴=（-4，-1），則=1×（-4）+2×（-1）=-6故答案為-6【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)試題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），以為圓心，為半徑的圓；（2）【解析】

（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，直接得到的直角坐標(biāo)方程并判斷形狀；（2）聯(lián)立直線參數(shù)方程與的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)直線參數(shù)方程中的幾何意義結(jié)合求解出的值.【詳解】解：（1）由，得，所以，即，.所以曲線是以為圓心，為半徑的圓.（2）將代入，整理得.設(shè)點(diǎn)，所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，.，解得，則.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化以及根據(jù)直線參數(shù)方程中的幾何意義求值，難度一般.（1）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式：；（2）若要使用直線參數(shù)方程中的幾何意義，要注意將直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程代入到對(duì)應(yīng)曲線的直角坐標(biāo)方程中，構(gòu)成關(guān)于的一元二次方程并結(jié)合韋達(dá)定理形式進(jìn)行分析求解.18、(1);(2)見解析.【解析】試題分析：（1）討論三種情況去絕對(duì)值符號(hào)，可得所以，由此得，解得；（2）利用分析法，由（1）知，，所以，因?yàn)?，要證，只需證，即證，只需證即可得結(jié)果.試題解析：（1）去絕對(duì)值符號(hào)，可得所以，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2）由（1）知，，所以．因?yàn)?，所以要證，只需證，即證，即證.因?yàn)?，所以只需證，因?yàn)椋喑闪?，所以解法二：x2+y2=2，x、y∈R+，x+y≥2xy設(shè)：證明：x+y-2xy==令，∴原式====當(dāng)時(shí)，19、（1），；（2）【解析】

（1）解絕對(duì)值不等式得，根據(jù)不等式的解集為列出方程組，解出即可；（2）求出的圖像與直線及交點(diǎn)的坐標(biāo)，通過分割法將四邊形的面積分為兩個(gè)三角形，列出不等式，解不等式即可.【詳解】（1）由得：，，即，解得，.（2）的圖像與直線及圍成的四邊形，，，，.過點(diǎn)向引垂線，垂足為，則.化簡(jiǎn)得：，（舍）或.故的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值不等式的求法，以及絕對(duì)值不等式在幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題.20、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）根據(jù)題目所給遞推關(guān)系式得到，由此證得數(shù)列為等比數(shù)列，并求得其通項(xiàng)公式.然后利用累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）利用錯(cuò)位相減求和法求得數(shù)列的前項(xiàng)和【詳解】（1）已知，則，且，則為以3為首相，3為公比的等比數(shù)列，所以，.（2）由（1）得：，，①，②①－②可得，則即.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列，考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查錯(cuò)位相減求和法，屬于中檔題.21、（1）見解析；（2）-∞,1【解析】

（1）f′（x）=（x+1）ex-ax-a=（x+1）（ex-a）．對(duì)a分類討論，即可得出單調(diào)性．

（2）由xex-ax-a+1≥0，可得a（x+1）≤xex+1，當(dāng)x=-1時(shí)，0≤-1e+1恒成立．當(dāng)x＞-1時(shí)，a≤xe【詳解】解法一：（1）f①當(dāng)a≤0時(shí)，x(-∞-1(-1,+∞)f-0+f(x)↘極小值↗所以f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,+∞)單調(diào)遞增.②當(dāng)a>0時(shí)，f'(x)=0的根為x=ln若lna>-1，即a>x(-∞,-1)-1(-1,ln(f+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以f(x)在(-∞,-1)，(lna,+∞)上單調(diào)遞增，在若lna=-1，即a=f'(x)≥0在(-∞,+∞)上恒成立，所以f(x)在若lna<-1，即0<a<x(-∞,ln(-1(-1,+∞)f+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以f(x)在(-∞,lna)，(-1,+∞)上單調(diào)遞增，在綜上：當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)0<a<1e時(shí)，f(x)在(-∞,lna)，自a=1e時(shí)，f(x)在當(dāng)a>1e時(shí)，f(x)在(-∞,-1)，(ln（2）因?yàn)閤ex-ax-a+1≥0當(dāng)x=-1時(shí)，0≤-1當(dāng)x>-1時(shí)，a≤x令g(x)=xex設(shè)h(x)=e因?yàn)閔'(x)=e即hx=e又因?yàn)閔0=0，所以g(x)=xex則g(x)min=g(0)=1綜上，a的取值范圍為-∞,1.解法二：（1）同解法一；（2）令g(x)=f(x)+a所以g'當(dāng)a≤0時(shí)，g'(x)≥0，則g(x)在所以g(x)≥g(-1)=-1當(dāng)0<a≤1時(shí)，令h(x)=e因?yàn)閔'(x)=2ex+x又因?yàn)閔-1=-a<0，所以h(x)=ex+xexx(-1x(g-0+g(x)↘極小值↗g==-e當(dāng)a>1時(shí)，g(0)=-a+1<0，不滿足題意.綜上，a的取值范圍為