專題25 三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)【考點精講】 帶解析

專題25三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)專題25三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)知識導(dǎo)航知識導(dǎo)航知識精講知識精講考點1：三角形的相關(guān)概念與計算1．三角形的邊角關(guān)系（1）三角形三邊關(guān)系：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180°.（3）三角形內(nèi)角和定理的推論：三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角；三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.2．三角形分類（1）等邊三角形：三邊都相等的三角形.（2）等腰三角形：有兩條邊相等的三角形.（3）在等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.【例1】（2021·遼寧）一副三角板如圖所示擺放，若，則的度數(shù)是（）A．80° B．95° C．100° D．110°【答案】B【分析】由三角形的外角性質(zhì)得到∠3=∠4=35°，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，∠A=90°-30°=60°，∵∠3=∠1-45°=80°-45°=35°，∴∠3=∠4=35°，∴∠2=∠A+∠4=60°+35°=95°，故選：B．【例2】（2021·湖南婁底市）是某三角形三邊的長，則等于（）A． B． C．10 D．4【答案】D【分析】先根據(jù)三角形三邊的關(guān)系求出的取值范圍，再把二次根式進行化解，得出結(jié)論．【詳解】解：是三角形的三邊，，解得：，，故選：D．方法技巧方法技巧三角形三邊關(guān)系“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”的應(yīng)用（1）在實際應(yīng)用中，只需檢驗最短的兩邊之和大于第三邊，則可說明能組成三角形.（2）在實際應(yīng)用中，已知兩邊，則第三邊的取值范圍為：兩邊之差<第三邊<兩邊之和.（3）所有通過周長相加減求三角形的邊，求出兩個答案的，要注意檢查每個答案能否組成三角形.針對訓(xùn)練針對訓(xùn)練1．（2021·湖北）如圖，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點在上，其中，，，，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)AB與EF交于點M，根據(jù)，得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)AB與EF交于點M，∵，∴，∵，，∴，∴,∵,∴=，故選：A．．2．（2021·安徽）兩個直角三角板如圖擺放，其中，，，AB與DF交于點M．若，則的大小為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，可得再根據(jù)三角形內(nèi)角和即可得出答案．【詳解】由圖可得∵，∴∴故選：C．3．（2020?紹興）長度分別為2，3，3，4的四根細木棒首尾相連，圍成一個三角形（木棒允許連接，但不允許折斷），得到的三角形的最長邊長為（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】利用三角形的三邊關(guān)系列舉出所圍成三角形的不同情況，通過比較得到結(jié)論．【詳解】解：①長度分別為5、3、4，能構(gòu)成三角形，且最長邊為5；②長度分別為2、6、4，不能構(gòu)成三角形；③長度分別為2、7、3，不能構(gòu)成三角形；④長度分別為6、3、3，不能構(gòu)成三角形；綜上所述，得到三角形的最長邊長為5．故選：B．考點2：三角形的角平分線，中線，高，中位線，內(nèi)心，外心（1）三角形的高：從△ABC的頂點A向它所對的邊BC所在的直線畫垂線，垂足為D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的高。三角形三邊的高的交點叫做三角形的垂心。（2）三角形的中線：連接△ABC的頂點A和它所對的邊BC的中點D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的中線。三角形三邊的中線的交點叫做三角形的重心。（3）三角形的角平分線：畫∠A的平分線AD，交∠A所對的邊BC于點D，所得線段AD叫做△ABC的角平分線。三角形的三個內(nèi)角的平分線的交點叫做三角形的內(nèi)心?！纠?】如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線，AF是中線，則下列說法中錯誤的是（）A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90° C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF【分析】根據(jù)三角形的角平分線、中線和高的概念判斷．【解答】解：∵AF是△ABC的中線，∴BF＝CF，A說法正確，不符合題意；∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠C+∠CAD＝90°，B說法正確，不符合題意；∵AE是角平分線，∴∠BAE＝∠CAE，C說法錯誤，符合題意；∵BF＝CF，∴S△ABC＝2S△ABF，D說法正確，不符合題意；故選：C．針對訓(xùn)練針對訓(xùn)練1．如圖，△ABC中，∠1＝∠2，G為AD中點，延長BG交AC于E，F(xiàn)為AB上一點，且CF⊥AD于H，下列判斷，其中正確的個數(shù)是（）①BG是△ABD中邊AD上的中線；②AD既是△ABC中∠BAC的角平分線，也是△ABE中∠BAE的角平分線；③CH既是△ACD中AD邊上的高線，也是△ACH中AH邊上的高線．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根據(jù)三角形的高，中線，角平分線的定義可知．【解答】解：①G為AD中點，所以BG是△ABD邊AD上的中線，故正確；②因為∠1＝∠2，所以AD是△ABC中∠BAC的角平分線，AG是△ABE中∠BAE的角平分線，故錯誤；③因為CF⊥AD于H，所以CH既是△ACD中AD邊上的高線，也是△ACH中AH邊上的高線，故正確．故選：C．考點3：三角形的中位線定理1．三角形的中位線:連接三角形兩邊的中點，所得線段叫做該三角形的中位線.2．三角形中位線定理:三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半.【例4】（2020?內(nèi)江）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB和AC的中點，S四邊形BCED＝15，則S△ABC＝（）A．30 B．25 C．22.5 D．20【分析】先根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，證得：DE∥BC，DE=12BC，進而得出△ADE∽△【解析】∵D、E分別是AB、AC邊上的中點，∴DE∥BC，DE=12∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC=（DE∴S△ADE：S四邊形BCED＝1：3，即S△ADE：15＝1：3，∴S△ADE＝5，∴S△ABC＝5+15＝20．故選：D．方法技巧方法技巧三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半針對訓(xùn)練針對訓(xùn)練1．（2020?遼陽）如圖，在△ABC中，M，N分別是AB和AC的中點，連接MN，點E是CN的中點，連接ME并延長，交BC的延長線于點D．若BC＝4，則CD的長為．【分析】依據(jù)三角形中位線定理，即可得到MN=12BC＝2，MN∥BC，依據(jù)△MNE≌△DCE（AAS），即可得到CD＝【解析】∵M，N分別是AB和AC的中點，∴MN是△ABC的中位線，∴MN=12BC＝2，MN∥∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE，∵點E是CN的中點，∴NE＝CE，∴△MNE≌△DCE（AAS），∴CD＝MN＝2．故答案為：2．考點4：多邊形的內(nèi)角和與外角和1．多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)·180°.2．多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°.3．設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，則多邊形的對角線條數(shù)為.【例5】（2021·江蘇揚州市）如圖，點A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，連接、、、、，若，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接BD，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四邊形內(nèi)角和減去∠CBD和∠CDB的和，即可得到結(jié)果．【詳解】解：連接BD，∵∠BCD=100°，∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°，∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°，故選D．方法技巧方法技巧（1）多邊形的內(nèi)角和：n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）·180°;（2）多邊形的外角和：360°.針對訓(xùn)練針對訓(xùn)練1．（2020?廣東）若一個多邊形的內(nèi)角和是540°,則該多邊形的邊數(shù)為?()A．4

B．5

C．6

D．7【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式(n-2)×180°，即可解答【解析】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n,根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理得(n-2)×180°=540°,解得n=5,故選B.故選：B．2．（2020?北京）正五邊形的外角和為（）A．180° B．360° C．540° D．720°【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于360°，即可求解．【解析】任意多邊形的外角和都是360°，故正五邊形的外角和的度數(shù)為360°．故選：B．3．（2021·浙江中考真題）為慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，某校用紅色燈帶制作了一個如