專題11 平行的性質(zhì)及判定（解析版）

專題11平行的性質(zhì)及判定考點(diǎn)：在解決平行線的問題時(shí)，當(dāng)無法直接得到角的關(guān)系或兩條線之間的位置關(guān)系時(shí)，通常借助輔助線來幫助解答，如何作輔助線需根據(jù)已知條件確定．輔助線的添加既可以產(chǎn)生新的條件，又能與題目中原有的條件聯(lián)系在一起．題型一加截線（連接兩點(diǎn)或延長線段相交）1．如圖，已知AB∥CD，∠ABF＝∠DCE.求證：∠BFE＝∠FEC.（第1題）【答案】證明：(方法一)連接BC，如圖①.因?yàn)锳B∥CD，所以∠ABC＝∠BCD(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)．又因?yàn)椤螦BF＝∠DCE，所以∠ABC－∠ABF＝∠BCD－∠DCE，即∠FBC＝∠ECB.所以BF∥CE(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)．所以∠BFE＝∠FEC(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)．(第1題)(方法二)延長AB，CE相交于點(diǎn)G，如圖②.因?yàn)锳B∥CD，所以AG∥CD.所以∠DCE＝∠G(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)．又因?yàn)椤螦BF＝∠DCE，所以∠ABF＝∠G.所以BF∥CG(同位角相等，兩直線平行)．所以∠BFE＝∠FEC(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)．題型二過“拐點(diǎn)”作平行線a．“”形圖2．如圖，AB∥CD，P為AB，CD之間的一點(diǎn)，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，求∠1的度數(shù)．（第2題）【答案】解：(方法一)過點(diǎn)P作射線PN∥AB，如圖①.∵PN∥AB，AB∥CD，∴PN∥CD.∴∠4＝∠2＝28°.∵PN∥AB，∴∠3＝∠1.又∵∠3＝∠BPC－∠4＝58°－28°＝30°.∴∠1＝30°.(方法二)過點(diǎn)P作射線PM∥AB，如圖②.∵PM∥AB，AB∥CD，∴PM∥CD.∴∠4＝180°－∠2＝180°－28°＝152°.∵∠4＋∠BPC＋∠3＝360°，∴∠3＝360°－∠BPC－∠4＝360°－58°－152°＝150°.∵AB∥PM，∴∠1＝180°－∠3＝180°－150°＝30°.(第2題)b．“”形圖3．（1）如圖①，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°，求∠BCD的度數(shù)．（2）如圖①，在AB∥DE的條件下，你能得出∠B，∠BCD，∠D之間的數(shù)量關(guān)系嗎？請(qǐng)說明理由．（3）如圖②，AB∥EF，根據(jù)（2）中的猜想，直接寫出∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度數(shù)．（第3題）【答案】解：(1)過點(diǎn)C向左作CF∥AB，∴∠B＋∠BCF＝180°.∴∠BCF＝180°－∠B＝180°－135°＝45°.又∵AB∥DE，CF∥AB，∴DE∥CF.∴∠FCD＝180°－∠D＝180°－145°＝35°.∴∠BCD＝∠BCF＋∠FCD＝45°＋35°＝80°.(2)∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.理由如下：過點(diǎn)C向左作CF∥AB，∴∠B＋∠BCF＝180°.又∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD＋∠D＝180°.∴∠B＋∠BCF＋∠FCD＋∠D＝180°＋180°，即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.(3)∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝540°.c．“”形圖4．如圖，AB∥DE，則∠BCD，∠B，∠D有何關(guān)系？為什么？（第4題）【答案】解：∠BCD＝∠B－∠D.理由如下：如圖，過點(diǎn)C作CF∥AB.(第4題)∵CF∥AB，∴∠B＝∠BCF(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)．∵AB∥DE，CF∥AB，∴CF∥DE(平行于同一條直線的兩條直線平行)．∴∠DCF＝∠D(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)．∴∠B－∠D＝∠BCF－∠DCF.∵∠BCD＝∠BCF－∠DCF，∴∠BCD＝∠B－∠D.d．“”形圖5．如圖，已知AB∥DE，∠BCD＝30°，∠CDE＝138°，求∠ABC的度數(shù)．（第5題）【答案】解：如圖，過點(diǎn)C作CF∥AB.∵AB∥DE，CF∥AB，∴DE∥CF.∴∠DCF＝180°－∠CDE＝180°－138°＝42°.∴∠BCF＝∠BCD＋∠DCF＝30°＋42°＝72°.又∵AB∥CF，∴∠ABC＝∠BCF＝72°.(第5題)題型三平行線間多折點(diǎn)角度問題探究6．（1）在圖①中，AB∥CD，則∠BEF＋∠FGD與∠B＋∠EFG＋∠D有何關(guān)系？（2）在圖②中，若AB∥CD，又能得到什么結(jié)論？（第6題）【答案】解：(1)∠BEF＋∠FGD＝∠B＋∠EFG＋∠D.理由：過折點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別作EM∥AB，F(xiàn)N∥AB，GH∥AB，如圖，由AB∥CD，得AB∥EM∥FN∥GH∥CD，所以∠1＝∠B，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠D.因此∠BEF＋∠FGD＝∠1＋∠2＋∠5＋∠6＝∠B＋∠3＋∠4＋∠D＝∠B＋∠EFG＋∠D.(第6題)(2)∠E1＋∠E2＋∠E3＋…＋∠En＝∠B＋∠F1＋∠F2＋…＋∠Fn－1＋∠D.考點(diǎn)2：與三角形有關(guān)的角度的計(jì)算，通常是以三角形的內(nèi)角和定理及其推論為基礎(chǔ)，有時(shí)還與平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行綜合．常見的考查形式有：由已知角直接求角的度數(shù)，設(shè)未知數(shù)求角的度數(shù)，與三角尺或直尺有關(guān)的角度計(jì)算，與截取或折疊有關(guān)的角度計(jì)算，與平行線的性質(zhì)和判定有關(guān)的角度計(jì)算．題型一由已知角直接求角的度數(shù)1．如圖，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B＝50°，則∠C的度數(shù)是（）A．50°B．55°C．60°D．65°（第1題）（第2題）【答案】D2．如圖，AB∥CD，∠A＝46°，∠C＝27°，則∠AEC的大小應(yīng)為（）A．19°B．29°C．63°D．73°【答案】D題型二設(shè)未知數(shù)求角的度數(shù)3．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠ACB的平分線交AB于點(diǎn)D，已知∠DCB＝2∠B.求∠ADC的度數(shù)．（第3題）【答案】解：因?yàn)镃D平分∠ACB，所以∠ACD＝∠DCB.設(shè)∠B＝x°，則∠ACD＝∠DCB＝2x°，由題意，得x＋4x＋90＝180.解得x＝18.所以∠B＝18°，∠DCB＝36°.所以∠ADC＝∠B＋∠DCB＝18°＋36°＝54°.4．在△ABC中，∠B＝55°，且3∠A＝∠B＋∠C，求∠A和∠C的度數(shù)．【答案】解：設(shè)∠A＝x°，則∠B＋∠C＝3x°.因?yàn)椤螦＋∠B＋∠C＝180°，所以x°＋3x°＝180°.解得x＝45.所以∠A＝45°，∠B＋∠C＝135°.又因?yàn)椤螧＝55°，所以∠C＝80°.題型三與三角尺或直尺有關(guān)的角度計(jì)算5．將一副三角尺按如圖所示方式擺放，點(diǎn)C在EF上，AC經(jīng)過點(diǎn)D.已知∠A＝∠EDF＝90°，AB＝AC，∠E＝30°，∠BCE＝40°，則∠CDF＝.（第5題）（第6題）【答案】25°6．如圖，已知長方形紙片的一條邊經(jīng)過直角三角形紙片的直角頂點(diǎn)，若長方形紙片的一組對(duì)邊與直角三角形紙片的兩條直角邊相交成∠1，∠2，則∠2－∠1＝.【答案】90°題型四與截取或折疊有關(guān)的角度計(jì)算7．如圖，在△ABC中，∠C＝70°，若沿圖中虛線截去∠C，則∠1＋∠2等于（）A．360°B．250°C．180°D．140°（第7題）【答案】B（第8題）8．如圖，將一張長方形紙條折成如圖所示的形狀，若∠2＝65°，則∠1＝.【答案】130°點(diǎn)撥：∠1＝2∠2＝2×65°＝130°.9．如圖，把一張長方形紙片ABCD沿EF折疊后，點(diǎn)C，D分別落在點(diǎn)C′，D′的位置上，EC′交AD于點(diǎn)G，若∠EFG＝60°，試求∠BEG的度數(shù)．（第9題）【答案】解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是長方形，所以AD∥BC.所以∠CEF＝∠EFG＝60°.所以∠CEG＝2∠CEF＝120°.所以∠BEG＝180°－∠CEG＝180°－120°＝60°.題型五與平行線的性質(zhì)和判定有關(guān)