專題01 勾股定理實(shí)際應(yīng)用題型分類(原卷版)

專題01勾股定理實(shí)際應(yīng)用題型分類考點(diǎn)1：折疊圖形的主要特征是折疊前后的兩個(gè)圖形繞著折線翻折能夠完全重合，解答折疊問(wèn)題的關(guān)鍵是巧用軸對(duì)稱及全等的性質(zhì)探索折疊中的變化規(guī)律．利用勾股定理解答折疊問(wèn)題的一般步驟：(1)運(yùn)用折疊圖形的性質(zhì)找出相等的線段或角；(2)在圖形中找到一個(gè)直角三角形，然后設(shè)圖形中某一線段的長(zhǎng)為x，將此直角三角形的三邊長(zhǎng)用數(shù)或含有x的代數(shù)式表示出來(lái)；(3)利用勾股定理列方程求出x；(4)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算解決問(wèn)題．題型1：巧用全等法求折疊中線段的長(zhǎng)1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分別是斜邊AB和直角邊CB上的點(diǎn)，把△ABC沿著直線DE折疊，頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是B′.(1)如圖①，如果點(diǎn)B′和頂點(diǎn)A重合，求CE的長(zhǎng)；(2)如圖②，如果點(diǎn)B′是AC的中點(diǎn)，求CE的長(zhǎng)．(第1題)題型2：巧用對(duì)稱法求折疊中線段的長(zhǎng)2．如圖，把長(zhǎng)方形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)B′處，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處．(1)試說(shuō)明：B′E＝BF；(2)若AE＝3，AB＝4，求BF的長(zhǎng)．題型3：巧用方程思想求折疊中線段的長(zhǎng)3．如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)，將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交BC于點(diǎn)G，連接AG，且AG平分∠BAF.(1)試說(shuō)明：△ABG≌△AFG；(2)求BG的長(zhǎng)．題型4：巧用折疊探究線段之間的數(shù)量關(guān)系4．如圖，將長(zhǎng)方形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接CE.(1)試說(shuō)明：AE＝AF＝CE＝CF；(2)設(shè)AE＝a，ED＝b，DC＝c，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)a，b，c三者之間的數(shù)量關(guān)系式．(第4題)考點(diǎn)2：求最短距離的問(wèn)題，第一種情況是通過(guò)計(jì)算和比較解最短距離問(wèn)題；第二種情況是平面圖形，將分散的條件通過(guò)幾何變換(平移或軸對(duì)稱)進(jìn)行集中，然后借助勾股定理解決；第三種情況是立體圖形，將立體圖形展開(kāi)為平面圖形，在平面圖形中將路程轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距離)．題型1：用計(jì)算法求平面中的最短問(wèn)題1．如圖，A，B兩塊試驗(yàn)田相距200m，C為水源地，AC＝160m，BC＝120m，為了方便灌溉，現(xiàn)有兩種方案修筑水渠．甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到試驗(yàn)田A，B；乙方案：過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為H，先從水源地C修筑一條水渠到線段AB上的H處，再?gòu)腍分別向試驗(yàn)田A，B修筑水渠．(1)試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．(2)兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明．題型2：用平移法求平面中的最短問(wèn)題2．如圖，小明在廣場(chǎng)上先向東走10m，又向南走40m，再向西走20m，又向南走40m，再向東走70m．則小明到達(dá)的終點(diǎn)與原出發(fā)點(diǎn)的距離是________．(第2題)3．如圖，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，則AF的長(zhǎng)是________．(第3題)題型3：用對(duì)稱法求平面中的最短問(wèn)題4．某島爭(zhēng)端持續(xù)，我海監(jiān)船加大對(duì)該島海域的巡航維權(quán)力度．如圖，OA⊥OB，OA＝45nmile，OB＝15nmile，該島位于O點(diǎn)，我國(guó)海監(jiān)船在點(diǎn)B處發(fā)現(xiàn)有一不明國(guó)籍的漁船，自A點(diǎn)出發(fā)沿著AO方向勻速駛向此島所在地點(diǎn)O，我國(guó)海監(jiān)船立即從B處出發(fā)以相同的速度沿某直線去攔截這艘漁船，結(jié)果在點(diǎn)C處截住了漁船．(1)請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作出C處的位置；(2)求我國(guó)海監(jiān)船行駛的航程BC的長(zhǎng)．(第4題)5．高速公路的同一側(cè)有A，B兩城鎮(zhèn)，如圖所示，它們到高速公路所在直線MN的距離分別為AA′＝2km，BB′＝4km，且A′B′＝8km.要在高速公路上A′，B′之間建一個(gè)出口P，使A，B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最短．求這個(gè)最短距離．(第5題)用展開(kāi)法求立體圖形中的最短問(wèn)題eq\a\vs4\al(類型1)圓柱中的最短問(wèn)題6．有一只螞蟻要從一個(gè)圓柱形玻璃杯的點(diǎn)A爬到與A相對(duì)的點(diǎn)B處，如圖所示，已知杯子高8cm，點(diǎn)B距杯口3cm，杯子底面半徑為4cm.螞蟻從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)的最短距離為多少？(π取3)(第6題)eq\a\vs4\al(類型2)圓錐中的最短問(wèn)題7．如圖，觀察圖形解答下面的問(wèn)題：(1)此圖形的名稱為_(kāi)_______．(2)請(qǐng)你與同伴一起做一個(gè)這樣的物體，并把它的側(cè)面沿AS剪開(kāi)，鋪在桌面上，則它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)________．(3)如果點(diǎn)C是SA的中點(diǎn)，在A處有一只蝸牛，在C處恰好有蝸牛想吃的食物，但它又不能直接沿AC爬到C處，只能沿此立體圖形的側(cè)面爬行．你能在側(cè)面展開(kāi)圖中畫(huà)出蝸牛爬行的最短路線嗎？(4)SA的長(zhǎng)為10，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為90°，請(qǐng)你求出蝸牛爬行的最短路程的平方．(第7題)eq\a\vs4\al(類型3)長(zhǎng)方體中的最短問(wèn)題8．如圖，桌子上放著一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，長(zhǎng)、寬、高分別是12cm，8cm，30cm，在AB的中點(diǎn)C處有一滴蜜糖，一只小蟲(chóng)從E處沿盒子表面爬到C處去吃．求小蟲(chóng)爬行的最短路程．(第8題)9．有一個(gè)如圖所示的長(zhǎng)方體透明玻璃魚(yú)缸，假設(shè)其長(zhǎng)AD＝80cm，高AB＝60cm，水深A(yù)E＝40cm，在水面上緊貼內(nèi)壁G處有一魚(yú)餌，G在水面線EF上，且EG＝60cm.一小蟲(chóng)想從魚(yú)缸外的A點(diǎn)沿壁爬進(jìn)魚(yú)缸內(nèi)G處吃魚(yú)餌．(1)小蟲(chóng)應(yīng)該走怎樣的路線才能使爬的路線最短呢？請(qǐng)你在圖中畫(huà)出它爬行的路線，并用箭頭標(biāo)注．(2)求小蟲(chóng)爬行的最短路線長(zhǎng)．(第9題)考點(diǎn)：證垂直的題型：(1)在同一平面內(nèi)，垂直于兩條平行線中的一條直線；(2)等腰三角形中“三線合一”；(3)勾股定理的逆定理．在幾何中，我們常常通過(guò)證垂直，再利用垂直的性質(zhì)來(lái)解各相關(guān)問(wèn)題．題型1：利用三邊的數(shù)量關(guān)系說(shuō)明直角1．如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且CE＝eq\f(1,4)BC.你能說(shuō)明∠AFE是直角嗎？題型2：利用轉(zhuǎn)化為三角形法構(gòu)造直角三角形2．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝13，AD＝12.求S四邊形ABCD.(第2題)題型3：利用倍長(zhǎng)中線法構(gòu)造直角三角形3．如圖，在△ABC中，D為邊BC的中點(diǎn)，AB＝5，AD＝6，AC＝13.試說(shuō)明：AB⊥AD.(第3題)題型4：利用化分散為集中法構(gòu)造直角三角形4．如圖，在等腰直角三角形ABC的斜邊上取兩點(diǎn)M，N，使∠MCN＝45°，設(shè)AM＝a，MN＝x，BN＝b，判斷以x，a，b為邊長(zhǎng)的三角形的形狀．