《工程力學(xué)》課件第8章

項目八平面彎曲梁變形的強度和剛度問題

8.1任務(wù)引入

8.2解決任務(wù)的方法

8.3相關(guān)知識點介紹

8.4知識拓展

【教學(xué)提示】本項目主要解決平面彎曲梁變形的強度和剛度問題，解決問題的方法也是研究材料力學(xué)的基本方法。在教學(xué)過程中，采用啟發(fā)式教學(xué)和問題式教學(xué)相結(jié)合的方法，并結(jié)合實物錄像、討論課、課外作業(yè)、課外興趣小組以及競賽等環(huán)節(jié)進(jìn)行教學(xué)。通過本項目任務(wù)的解決，可以逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，有效地促進(jìn)學(xué)生綜合素質(zhì)的提高。

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】能正確、熟練畫出剪力圖和彎矩圖。通過推導(dǎo)純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力，學(xué)生應(yīng)掌握求解應(yīng)力在截面上分布問題的思路及方法。正確掌握正應(yīng)力和剪應(yīng)力的計算公式，熟練掌握彎曲強度計算。掌握求梁變形的兩種方法：積分法和疊加法。明確疊加法的使用條件。掌握用變形比較法求解靜不定梁。培養(yǎng)學(xué)生具有應(yīng)用力學(xué)基本知識，通過觀察和比較、分析和綜合，對平面彎曲梁變形的剛度和強度作出正確判斷的初步能力；具有對平面彎曲梁變形的受力狀態(tài)和內(nèi)力分布進(jìn)行圖形表達(dá)的能力；初步掌握平面彎曲梁變形承載能力的計算方法，具有對簡單問題進(jìn)行計算的能力。

工程實際中常見產(chǎn)生平面彎曲變形的構(gòu)件有單梁吊車的橫梁(見圖4-14)、車間用天車(見圖5-1)的橫梁、火車輪軸(見圖8-1)、鏜刀刀桿(見圖8-2)以及軋扳機的軋輥(見圖8-3)等。工程中通常把以彎曲為主要變形的桿件稱為梁，梁的強度和剛度問題是工程中必須解決的。8.1任務(wù)引入

圖8-1火車輪軸

圖8-2鏜刀刀桿

圖8-3軋扳機的軋輥

本項目內(nèi)容為梁的內(nèi)力分析與計算、應(yīng)力分析與強度計算、變形及剛度計算等。因為涉及了許多概念和公式，所以要求學(xué)習(xí)者必須清晰理解平面彎曲時的受力特點、變形特點，以及中性軸、剪力、彎矩、抗彎截面系數(shù)、慣性矩、撓度和轉(zhuǎn)角等概念；熟練掌握剪力、彎矩圖的畫法，彎曲正應(yīng)力分析及強度計算公式、剛度與變形公式的運用；樹立合理設(shè)計梁的工程意識。8.2解決任務(wù)的方法

模塊一平面彎曲梁的外力和內(nèi)力

(一)計算簡圖和力學(xué)模型

由以上工程實例發(fā)生變形的情況可以得到：

(1)構(gòu)件特點：構(gòu)件的軸向尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于橫向尺寸，可以簡化為一根直桿。

(2)受力特點：所有外力都作用在桿件的縱向平面上且與桿軸線垂直。

8.3相關(guān)知識點介紹

(3)變形特點：桿的軸線由原來的直線彎曲成與外力在同一平面上的曲線。

常把以彎曲變形為主的桿件稱為梁。

在工程中，梁的支承條件和作用在梁上的載荷情況一般都比較復(fù)雜，為了便于分析、計算，同時又要保證計算結(jié)果足夠精確，需要對梁進(jìn)行簡化，得到梁的計算力學(xué)模型(計算簡圖)。

1.構(gòu)件的簡化

不論梁的截面形狀如何，通常用梁的軸線來代替實際的梁。

2.載荷的簡化

實際桿件上作用的載荷是多種多樣的，但歸納起來，可簡化成以下三種載荷形式：當(dāng)外力的作用范圍與梁相比很小時，可視為集中作用于一點，即集中力；兩集中力大小相等，方向相反，作用線相鄰很近時，可視為集中力偶；連續(xù)作用在梁的全長或部分長度內(nèi)的載荷為分布載荷。分布于單位長度上的載荷值稱為分布載荷集度，用q表示，當(dāng)q為常量時，稱為均布載荷。

3.梁支座的簡化

梁的支座可簡化為三種形式：

(1)固定鉸支座和活動鉸支座，分別如圖8-4(a)和(b)所示。如果支座處梁的橫截面可有輕微的轉(zhuǎn)動，但不能繞垂直于載荷作用面轉(zhuǎn)動，也不能移動，那么在載荷作用面內(nèi)該支座簡化為鉸支座，如圖8-1所示火車輪軸的支承。

(2)固定端，如圖8-4(c)所示。如果在支座處梁既不能繞垂直于載荷作用面轉(zhuǎn)動，也不能移動，則在載荷作用面內(nèi)該支座可簡化為固定端，如圖8-2所示鏜刀刀桿的支承。

圖8-4鉸支座簡圖

4.平面彎曲梁的基本形式

(1)簡支梁：如圖8-5(a)所示，梁的兩端分別為固定鉸支座和可動鉸支座，例如單梁吊車橫梁(見圖4-14)。

(2)外伸梁：如圖8-5(b)所示，梁的支承形式與簡支梁相同，但梁的一端(或兩端)伸出支座之外，例如火車輪軸(見圖8-1)。

(3)懸臂梁：如圖8-5(c)所示，梁的一端為固定端，另一端為自由端，例如鏜刀刀桿(見圖8-2)。

圖8-5平面彎曲梁的基本形式

圖8-6平面彎曲梁

(二)平面彎曲梁的剪力和彎矩

工程中常用的梁的橫截面一般至少有一根對稱軸，該對稱軸與梁軸線所確定的平面稱為縱向?qū)ΨQ面。若梁上的載荷均作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，如圖8-6所示，則梁的軸線將在此平面內(nèi)彎曲成一條平面曲線，這種彎曲變形稱為平面彎曲。平面彎曲變形是最基本和最常見的變形，因此我們重點討論平面彎曲變形。

1.剪力和彎矩

以圖8-7(a)所示簡支梁為例，用任意截面m—m假想地將簡支梁截成左、右兩部分。以左部分為研究對象(見圖8-7(b))，在該段梁上除作用有支反力FRA外，還有截面右段對左段的作用力，即內(nèi)力。由于整個梁處于平衡狀態(tài)，左段也應(yīng)保持平衡狀態(tài)，故在m—m截面上必定有一個與FRA大小相等、方向相反的切向內(nèi)力FQ存在，同時FRA與FQ形成一對力偶，其力偶矩為FRA·x，使梁左段有順時針轉(zhuǎn)動的趨勢。在該截面上還應(yīng)有一個逆時針轉(zhuǎn)向的內(nèi)力偶矩M存在，才能使梁左段保持平衡，即內(nèi)力必定是一力和一力偶，分別稱為剪力和彎矩，并用FQ和M表示。

圖8-7截面法求內(nèi)力剪力與彎矩的大小可由保留段的平衡方程確定。在圖8-7中，取m—m截面左段為研究對象，則有

當(dāng)然，也可以取右段為研究對象(見圖3-21(c))，由作用力與反作用力關(guān)系可知

FQ右＝FQ左，M右＝M左

為了使保留左段或保留右段時，同一截面上的彎曲內(nèi)力不僅大小相等，而且正負(fù)號相同，對剪力與彎矩的正負(fù)號規(guī)定如下。

剪力的符號：如果剪力FQ有使微段梁的左、右兩截面發(fā)生左上右下錯動的趨勢，則剪力為正(如圖8-8(a)所示)；反之，若使微段梁左、右兩截面有左下右上錯動趨勢，則剪力為負(fù)(如圖8-8(b)所示)。

彎矩的符號：如果使梁彎曲成上凹下凸的形狀時，則彎矩為正(如圖8-8(c)所示)；反之使梁彎成下凹上凸形狀時，彎矩為負(fù)(如圖8-8(d)所示)。

為了方便記憶剪力和彎矩的符號，可歸納為一個簡單的口訣：左上右下，剪力為正；左順右逆，彎矩為正。

圖8-8剪力和彎矩符號規(guī)定

例8-1

確定如圖8-9(a)所示的簡支梁上m—m截面的剪力與彎矩。

圖8-9例8-1簡支梁的內(nèi)力圖解(1)求支座約束力FRA和FRB(見圖8-9(b))。

(2)用一平面假想地將梁從距左端為x的m—m截面處截成兩段，以左段為研究對象，用設(shè)正法在該截面加上正的剪力與正的彎矩(見圖8-9(c))，則由平衡條件得

∑Fy＝0,FRA－FP1－FQ1＝0

FQ1＝FRA－FP1 ①

∑MC(F)＝0,

M1－FRA·x＋FP1(x－a1)＝0

M1＝FRA·x－FP1(x－a1) ②

式中,C為m—m橫截面上的形心。由于已經(jīng)假設(shè)法截面上的剪力與彎矩均為正，因此求得的FQ和M的正負(fù)，就表明了該截面的剪力與彎矩的正負(fù)。應(yīng)用這種方法可以求出任何截面的剪力和彎矩。

通過上述例題，梁橫截面的剪力和彎矩與梁的外載荷之間存在以下關(guān)系：

(1)任一橫截面的剪力等于該截面左段(或右側(cè)段)上所有外力在垂直軸線上投影的代數(shù)和，寫為

其中，當(dāng)以左側(cè)段為研究對象時，其上所有外力向上為正，向下為負(fù)；取右側(cè)段為研究對象時，與左側(cè)段相反，其上所有外力向下為正，向上為負(fù)。記憶口訣是：左上右下，外力為正。

(2)任一橫截面上的彎矩等于該截面左側(cè)段(或右側(cè)段)上所有外載荷對該截面形心C之矩的代數(shù)和，則有

M＝∑MC(F)L＝∑MC(F)R

其中，以左側(cè)段為研究對象時，其上的外載荷對截面形心C之矩以順時針轉(zhuǎn)向為正，逆時針轉(zhuǎn)向為負(fù)；取右側(cè)段為研究對象時，與左側(cè)段相反，其上所有外載荷對截面形心C之矩以逆時針轉(zhuǎn)向為正，順時針轉(zhuǎn)向為負(fù)。記憶口訣是：左順右逆，外力矩為正。

2.剪力圖和彎矩圖

1)剪力方程與彎矩方程

在通常情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩是隨橫截面的位置而變化的。設(shè)橫截面沿梁軸線的位置用坐標(biāo)x表示，則梁各個橫截面上的剪力和彎矩可以表示為坐標(biāo)x的函數(shù)，即

FQ＝FQ(x) (8-1)

M＝M(x) (8-2)

式(8-1)和式(8-2)分別稱為剪力方程和彎矩方程。坐標(biāo)x的原點一般取在梁的左端面處，以平行于梁軸線的橫坐標(biāo)表示橫截面的位置。建立剪力方程與彎矩方程，實際上就是列出任一橫截面上的剪力與彎矩的表達(dá)式。

當(dāng)梁上有多種載荷同時作用時，載荷發(fā)生變化的起止點稱為界點，如集中力和集中力偶的作用點、均布載荷的起止點和梁的支承點等。界點之間的距離簡稱為段，當(dāng)梁上各點的剪力或彎矩不能用同一個方程表示時，應(yīng)分別寫出各段梁的剪力方程或彎矩方程，其中每段又可稱為梁的一個力區(qū)。

2)剪力圖和彎矩圖

為了表明梁上各截面的剪力和彎矩沿梁軸線的變化情況，通常繪出梁的剪力圖和彎矩圖。繪圖方法與軸力圖和扭矩圖類似，即以橫截面上的剪力或彎矩值為縱坐標(biāo)，以橫截面沿梁軸線的位置為橫坐標(biāo)x，分別繪出表示FQ(x)或M(x)的函數(shù)圖形，此圖形分別稱為剪力圖和彎矩圖。正值的剪力和彎矩畫在x軸上側(cè)，負(fù)值的剪力和彎矩畫在x軸下側(cè)。

剪力方程和彎矩方程及剪力圖和彎矩圖都是梁強度計算和剛度計算的重要依據(jù)，是工程力學(xué)的主要基礎(chǔ)知識之一，也是學(xué)習(xí)工程力學(xué)時應(yīng)該掌握的基本技能。

下面通過列舉一些典型例題，說明建立剪力方程和彎矩方程及繪制剪力圖和彎矩圖的方法。

例8-2

試畫出圖8-10(a)所示在集中力FP作用下的簡支梁的剪力圖與彎矩圖。

解

(1)求支座約束力。

(2)分段建立剪力方程與彎矩方程

AC段：

①

圖8-10例8-2簡支梁的內(nèi)力圖

②

CB段：

③

④

(3)畫剪力圖與彎矩圖。由式①和式③可知，AC段和CB段的剪力方程均為常數(shù)，故它們的剪力圖均為水平直線，見圖8-10(b)；由式②和式④可知，AC段和CB段的彎矩方程均為x的一次函數(shù)，故它們的彎矩圖均為傾斜直線，見圖8-10(c)。只要確定各段端點的內(nèi)力值及其正、負(fù)號(見下表)，就可畫出內(nèi)力圖。

注：A＋表示A截面右側(cè)距A截面無窮遠(yuǎn)處，C－表示C截面左側(cè)距C截面無窮遠(yuǎn)處，其余類推。

例8-3

圖8-11(a)所示為一受集中力偶M作用的簡支梁。試畫出其剪力圖與彎矩圖。

解

(1)求支座約束力。由靜力平衡條件可求得

(2)分段建立剪力方程與彎矩方程。

AC段：

①

②

CB段：

③

④

圖8-11例8-3簡支梁的內(nèi)力圖

(3)畫剪力圖與彎矩圖。由式①和式③可知：AC和CB兩段的剪力方程均為常數(shù)，故剪力圖為一條水平線,見圖8-11(b)；由式②和式④可知，AC和CB兩段的彎矩方程均為x的一次函數(shù)，故知它們的彎矩圖均為傾斜直線，見圖8-11(c)。只要確定各段端點的內(nèi)力值及其正、負(fù)號(見下表)，就可畫出內(nèi)力圖，據(jù)此可畫出各段的剪力圖與彎矩圖。

例8-4

試畫出在載荷集度為q的均布載荷作用下的簡支梁的剪力圖與彎矩圖(見圖8-12(a))。

解

(1)求支座約束力。由于梁和載荷都是對稱的，故有

圖8-12例8-4簡支梁的內(nèi)力圖

(2)建立剪力方程與彎矩方程。從距梁左端為x的任意截面處將梁截開，保留左段為研究對象，則有

①

②

(3)畫剪力圖與彎矩圖。由式①可知，剪力方程為x的一次函數(shù)，故剪力圖是一條傾斜直線，見圖8-12(b)；由式②可知，彎矩方程為x的二次函數(shù)，故彎矩圖為二次拋物線，見圖8-12(c)。需知道三點才能大致畫出彎矩圖，通常選擇區(qū)段端點和拋物線的極值點來畫拋物線。

現(xiàn)將各控制截面的內(nèi)力值列表(簡稱列表求端值)如下：

項目控制面

總結(jié)以上畫內(nèi)力圖的過程，可得畫內(nèi)力圖的一般步驟如下：

(1)建立坐標(biāo)系：取x軸平行于桿軸線以表示截面位置，另一軸表示內(nèi)力的大小和符號。

(2)確定內(nèi)力圖的分段界限：根據(jù)內(nèi)力方程的適用區(qū)間，確定內(nèi)力圖的相應(yīng)區(qū)段。

(3)確定內(nèi)力圖的形狀：根據(jù)內(nèi)力方程x的冪次，確定該段內(nèi)力圖的圖線形狀。

(4)確定各段控制面的內(nèi)力值：求出各段端截面的內(nèi)力值，從而確定出內(nèi)力圖中各控制點的位置。

(5)連線成圖：將各控制點聯(lián)接起來，即得所求的內(nèi)力圖。

(6)標(biāo)注正、負(fù)號及數(shù)據(jù)：在所繪內(nèi)力圖中標(biāo)明正、負(fù)號及各控制點的坐標(biāo)值(即內(nèi)力值)，并確定絕對值最大的內(nèi)力值及其所在截面的位置，以供強度計算使用。

3)剪力、彎矩和載荷集度間的關(guān)系

由前述內(nèi)容可見，載荷不同，梁上各截面的剪力和彎矩不同，剪力圖和彎矩圖的形狀也不同。實際上，梁的剪力圖、彎矩圖與梁上載荷之間存在一定的相互關(guān)系，如例8-4中，剪力方程和彎矩方程分別為

若對上述兩式求一階導(dǎo)數(shù)，則得

剪力、彎矩和載荷集度各函數(shù)之間的這種微分關(guān)系具有一般普遍規(guī)律(證明從略)，即剪力方程的一階導(dǎo)數(shù)等于載荷集度，彎矩方程的一階導(dǎo)數(shù)等于剪力方程。利用這些微分關(guān)系，可以對梁的剪力圖、彎矩圖進(jìn)行繪制和檢查。

(8-3)

(8-4)

由式(8-3)、式(8-4)又可得到如下關(guān)系：

(8-5)

式(8-3)~式(8-5)的幾何意義分別是：剪力圖上任一點切線的斜率等于梁上對應(yīng)點處的載荷集度；彎矩圖上任一點切線的斜率等于梁上對應(yīng)點處橫截面上的剪力；彎矩圖的凹凸形狀可由載荷集度q的正、負(fù)確定。

根據(jù)上述微分關(guān)系及以上各例題分析，可以總結(jié)出梁的剪力圖、彎矩圖與梁上載荷之間的一些規(guī)律，現(xiàn)歸納如下：

(1)若梁上某段無分布載荷作用，則剪力FQ(x)為一不變的常數(shù)，段內(nèi)各截面的剪力相同，剪力圖為一水平直線；彎矩M(x)為x的一次函數(shù)，彎矩圖為一斜直線，F(xiàn)Q>0時斜率為正,FQ<0時斜率為負(fù),FQ＝0時為一水平直線。

(2)若梁上某段有均布載荷q作用，則剪力FQ(x)是x的一次函數(shù)，段內(nèi)剪力圖為一斜直線；對應(yīng)的彎矩M(x)為x的二次函數(shù)，段內(nèi)彎矩圖為二次拋物線，且拋物線的開口方向與均布載荷q的指向一致。若q的指向向下(q<0)，則該段剪力圖斜率為負(fù)，彎矩圖開口向下；若q的指向向上(q>0)，則該段剪力圖斜率為正，彎矩圖開口向上；在FQ＝0的截面上，彎矩為極值，即為拋物線的頂點。

(3)在集中力作用的界點上，剪力圖有突變，突變值等于該集中力，從左向右繪圖時，突變的方向與集中力指向一致，從右向左繪圖時，突變方向與集中力指向相反。彎矩圖此界點處存在折角現(xiàn)象。

(4)在集中力偶作用的界點，剪力圖無變化，彎矩圖有突變，突變值等于該集中力偶矩。從左向右繪圖時，力偶順時針轉(zhuǎn)向，彎矩圖向上突變；力偶逆時針轉(zhuǎn)向，彎矩圖向下突變；反之，當(dāng)從右向左繪圖時，則突變方向與之相反。

熟悉和掌握以上規(guī)律，應(yīng)用時可以明顯提高繪圖能力，并能夠快速發(fā)現(xiàn)繪圖過程中出現(xiàn)的錯誤。為便于記憶，上述關(guān)系可列為表8-1和表8-2。

表8-1剪力圖和彎矩圖的圖形規(guī)律

表8-2剪力圖和彎矩圖突變規(guī)律模塊二平面彎曲正應(yīng)力和強度計算

(一)平面彎曲正應(yīng)力

橫力彎曲：梁橫截面上既有彎矩又有剪力，既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力。

純彎曲：梁橫截面上只有彎矩而無剪力，只有正應(yīng)力而無切應(yīng)力。

橫力彎曲時的最大切應(yīng)力發(fā)生在截面中性軸上。對于細(xì)長梁，一般只進(jìn)行正應(yīng)力分析，但對于薄壁梁或短跨梁，則既要進(jìn)行正應(yīng)力分析，又要進(jìn)行切應(yīng)力分析。本節(jié)主要研究對象為細(xì)長梁。

1.平面彎曲正應(yīng)力分布規(guī)律

橫截面上的正應(yīng)力對中性軸呈線形分布，且距中性軸距離相等的各點的正應(yīng)力數(shù)值相等，中性軸上正應(yīng)力等于零，中性軸兩側(cè)，一側(cè)受拉，另一側(cè)受壓，離中性軸愈遠(yuǎn)正應(yīng)力愈大，最大正應(yīng)力(絕對值)在離中性軸最遠(yuǎn)的上、下邊緣處，如圖8-13所示。

圖8-13平面彎曲正應(yīng)力分布圖

2.正應(yīng)力計算公式

1)橫截面上任意點的正應(yīng)力

平面彎曲橫截面上任意點的正應(yīng)力為

(8-6)

式中,M為橫截面上的彎矩；y為所求點到中性軸的距離；Iz為截面對中性軸z的慣性矩，常用單位為m4。

2)橫截面上的最大正應(yīng)力

當(dāng)y＝y(tǒng)max時，彎曲正應(yīng)力達(dá)最大值，即

令 ,則可得

(8-7)

式中,Wz為抗彎截面系數(shù)，常用單位為m3。

說明：

(1)當(dāng)截面形狀對稱于中性軸時(如矩形、工字形、圓形)，如圖8-14所示，其受拉和受壓邊緣離中性軸的距離相等，即y1＝y(tǒng)2＝y(tǒng)max，因而

lmax＝

ymax。

(2)當(dāng)截面形狀不對稱中性軸時(如T形截面)，如圖8-15所示，其y1≠y2，所以最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力不相等，分別為

圖8-14對稱截面的應(yīng)力分布

圖8-15非對稱截面的應(yīng)力分布

(3)軸慣性矩I和抗彎截面系數(shù)W是只與截面的形狀、尺寸有關(guān)的幾何量。截面面積分布離中性軸越遠(yuǎn)，截面對該軸的慣性矩越大，抗彎截面系數(shù)也越大。常用截面的I、W計算公式如表8-3所示。

表8-3常用截面的I、W計算公式

例8-5

懸臂梁如圖8-16(a)所示，其長為l的矩形截面如圖8-16(b)所示，在自由端作用一集中力F。已知b＝120mm，h＝180mm,l＝2m,F＝1.6kN，試求B截面上a、b、c各點的正應(yīng)力。

解

(1)繪制彎矩圖如圖8-16(c)所示。B截面處的彎矩值為

(2)求各點的正應(yīng)力。

a點：

b點：

c點：

圖8-16例8-5懸臂梁的平面計算簡圖

(二)強度計算

對梁進(jìn)行強度計算時，應(yīng)同時滿足正應(yīng)力強度條件和切應(yīng)力強度條件。但對工程中常見的細(xì)長實心梁截面而言，截面上最大正應(yīng)力遠(yuǎn)大于最大切應(yīng)力，這表明梁的強度主要由正應(yīng)力控制。而在有些情況下就必須考慮切應(yīng)力并按切應(yīng)力進(jìn)行強度校核，如短跨梁、較大載荷作用在支座附近的梁，以及薄壁截面和工字形截面腹板較高的梁等。

對于等截面直梁，最大彎矩所在截面稱為危險截面，危險截面上距離中性軸最遠(yuǎn)處的點稱為危險點。要使梁具有足夠的強度，必須使危險截面上的最大工作應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力，其強度條件為

(8-8)

式中，［

］為材料許用彎曲應(yīng)力。對于材料的抗拉和抗壓強度相同的梁，截面宜采用與中性軸對稱的形狀，如矩形、圓形或工字鋼截面等。當(dāng)截面對中性軸具有對稱性時，強度條件可寫為

(8-9)

對于脆性材料(如鑄鐵)制成的梁，由于材料的抗拉和抗壓強度不等，故截面宜采用與中性軸不對稱的形狀，其強度條件為

(8-10)

(8-11)

式中，

＋max和

－max分別為梁上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力；[

]＋和[

]－分別是材料的許用拉應(yīng)力與許用壓應(yīng)力；y1和y2分別為最大拉應(yīng)力作用位置和最大壓應(yīng)力作用位置距中性軸的坐標(biāo)值。

應(yīng)用強度條件可以解決梁的強度校核、設(shè)計截面尺寸和確定許用載荷等三類問題。

例8-6

圓軸受力如圖8-17(a)所示。已知軸的許用應(yīng)力［

］＝125MPa。試設(shè)計軸的直徑d。

解

(1)畫受力簡圖如圖8-17(b)所示。

(2)作彎矩圖、分析危險截面。彎矩圖如圖8-17(c)所示。由于該軸各截面的幾何性質(zhì)相同，為等截面梁，故最大彎矩所在截面C即為該軸的危險截面。

圖8-17圓軸的平面計算簡圖

(3)設(shè)計軸的直徑。由梁的正應(yīng)力強度條件

得

取d＝50mm。

例8-7

螺旋壓板夾緊裝置如圖8-18(a)所示。已知板長a＝50mm，壓板材料的許用應(yīng)力［

］＝140MPa。試確定壓板作用于工件的最大許可壓緊力［F］。

解

(1)畫受力簡圖如圖8-18(b)所示。

(2)作彎矩圖、分析危險截面。彎矩圖如圖8-18(c)所示。由于C截面彎矩最大，且有螺栓孔，抗彎截面系數(shù)Wz最小，故C截面為該軸的危險截面。

圖8-18螺旋壓板夾緊裝置的平面計算簡圖

(3)確定許可壓緊力。查表8-3得危險截面對中性軸的慣性矩為

抗彎截面系數(shù)為

由梁的正應(yīng)力強度條件

得

故壓板作用于工件上的最大許可壓緊力［F］＝3.72kN。

例8-8

簡易吊車的橫梁AB為工字型鋼，如圖8-19(a)所示，其許用應(yīng)力［

］＝120MPa，吊車的最大起吊重量為F＝10kN(包括電動葫蘆自重)，不計梁的自重。試按正應(yīng)力強度條件選擇工字鋼型號。

解

(1)畫受力簡圖。 將AB梁簡化為如圖8-19(b)所示的簡支梁，并讓載荷F作用于梁的跨中，因為此時F產(chǎn)生的彎矩最大。

(2)作彎矩圖、分析危險截面。彎矩圖如圖8-19(c)所示，由于AB梁為等截面梁，因此最大彎矩所在截成(跨中)即為梁的危險截面。

圖8-19吊車橫梁的平面計算簡圖

(3)選擇工字鋼型號。由正應(yīng)力強度條件

得

根據(jù)Wz＝208.3cm3查型鋼表，選取用20a工字鋼。其參數(shù)為：Wx＝237cm3>208.3cm3。

例8-9

T字形鑄鐵托架如圖8-20(a)所示，T字形截面如圖8-20(b)所示，其許用應(yīng)力［

l］＝40MPa，［

y］＝120MPa。已知F＝10kN，l＝300mm，n—n截面對上中性軸z的慣性矩，Iz＝1.93×106mm4，y1＝24.3mm，y2＝75.7mm，各截面的承載能力大致相同。試校核托架n—n截面的強度。

解

(1)畫受力簡圖如圖8-20(c)所示。作彎矩圖如圖8-20(d)所示。

圖8-20T字形鑄鐵托架平面計算簡圖

(2)校核強度。作n—n截面的應(yīng)力分布圖如圖8-20(e)所示。最大拉應(yīng)力發(fā)生于上邊緣各點

最大正應(yīng)力發(fā)生于下邊緣各點，且

因此托架滿足強度要求。模塊三梁的變形和剛度條件

(一)梁的變形

工程中，對某些受彎構(gòu)件除有強度要求外，往往還有剛度要求，即要求其變形不能超過限定值；否則，由于變形過大，會使結(jié)構(gòu)或構(gòu)件喪失正常功能，發(fā)生剛度失效。如車床的主軸，若其變形過大，將影響齒輪的嚙合和軸承的配合，造成磨損不勻，產(chǎn)生噪聲，降低壽命，同時還會影響加工精度。

在工程中還存在另外一種情況，所考慮的不是限制構(gòu)件的彈性變形，而是希望構(gòu)件在不發(fā)生強度失效的前提下，盡量產(chǎn)生較大的彈性變形。如各種車輛中用于減小振動的疊板彈簧，就是采用板條疊合結(jié)構(gòu)，以吸收車輛受到振動和沖擊時的動能，從而起到緩沖振動的作用。

這些都說明研究梁的彎曲變形是非常必要的。

1. 梁的撓曲線

如圖8-21所示懸臂梁，取變形前梁的軸線為x軸，與軸線垂直且向上的軸為w軸。在平面彎曲的情況下，梁的軸線在x—w平面內(nèi)彎成一曲線AB‘稱為梁的撓曲線。梁的變形可用兩個位移量，即撓度和轉(zhuǎn)角來表示。

1)撓度

梁任一橫截面的形心在垂直于軸線方向的線位移，稱為該橫截面的撓度，用w表示。規(guī)定沿w軸正向(即向上)的撓度為正，反之為負(fù)。撓度的單位為mm。

圖8-21梁的撓曲線

2)轉(zhuǎn)角

梁的任一橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)過的角度，稱為該橫截面的轉(zhuǎn)角，用

表示。根據(jù)平面假設(shè)，梁變形后的橫截面仍保持為平面并與撓曲線正交，因而橫截面的轉(zhuǎn)角

也等于撓曲線在該截面處的切線與x軸的夾角。規(guī)定轉(zhuǎn)角逆時針方向時為正，反之為負(fù)。轉(zhuǎn)角的單位為rad。

梁橫截面的撓度w和轉(zhuǎn)角

都隨截面位置x而變化，是x的連續(xù)函數(shù)，即

w＝w(x) (8-12)

＝

(x) (8-13)

以上兩式分別稱為梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程。在小變形條件下，兩者之間存在下面的關(guān)系：

(8-14)

即撓曲線上任一點處切線的斜率等于該處橫截面的轉(zhuǎn)角。因此，只要知道梁的撓曲線方程w＝w(x)，就可求得梁任一橫截面的撓度w和轉(zhuǎn)角

。

2.梁的撓曲線微分方程

在前面推導(dǎo)純彎曲梁正應(yīng)力計算公式時，曾得到用中性層曲率半徑ρ表示的彎曲變形的公式

。如果忽略剪切力對變形的影響，則該式也可以用于梁的橫力彎曲的情形。此時，彎矩M和相應(yīng)的曲率半徑ρ均為x的函數(shù)，上式變?yōu)?/p>

①

另外，從幾何關(guān)系上看，平面曲線的曲率有如下的表達(dá)式：

在小變形條件下，轉(zhuǎn)角

是一個很小的量，故

，于是上式可簡化為

②

將式②代入式①，得

③

現(xiàn)在來選擇式③中的正負(fù)號。如果彎矩M的正負(fù)號仍然按以前規(guī)定，并選擇w軸向上為正，則彎矩M與

恒為異號，式(c)左端應(yīng)取正號。故有

(8-15)

式(8-15)稱為梁的撓曲線近似微分方程。對其進(jìn)行積分，可得轉(zhuǎn)角

和撓度w。

(二)積分法計算梁的變形

對于等截面梁，EI為常量。對撓曲線近似微分方程進(jìn)行兩次積分，即可得到梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程

(8-16)

(8-17)

式中，C、D為積分常數(shù)，可以應(yīng)用梁的邊界條件與撓曲線連續(xù)光滑條件來確定。積分常數(shù)確定后，分別用式(8-16)和式(8-17)兩式求得轉(zhuǎn)角和撓度方程。

例8-10

已知懸臂梁如圖8-22所示，在其自由端受一集中力F作用，EI為常數(shù)。試求該梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并確定其最大轉(zhuǎn)角和最大撓度。

解

(1)建立撓曲線微分方程并積分。

在圖8-22所示坐標(biāo)下的梁彎矩方程為

M(x)＝－F(l－x)

則其撓曲線微分方程為

圖8-22例8-10懸臂梁的平面計算簡圖

經(jīng)積分，得

①

②

(2)確定積分常數(shù)。

邊界條件

x＝0,

A＝0，wA＝0

將上述邊界條件分別代入式①和式②，得

C＝0,D＝0

(3)確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程。

將所得積分常數(shù)C和常數(shù)D代入式①和式②，得轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為

(4)確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度。

梁的最大轉(zhuǎn)角和最大撓度均在梁的自由端截面B處，將端截面B的橫坐標(biāo)x＝1代入以上兩式，最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為

例8-11

已知懸臂梁如圖8-23所示，左半部承受均布載荷q作用。試建立梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并計算截面A的轉(zhuǎn)角和撓度。

解分段列出彎矩方程

AC段：

CB段：

由于AC和CB兩段內(nèi)的彎矩方程不同，故撓曲線的微分方程也就不同，所以應(yīng)分段進(jìn)行積分。

圖8-23例8-11懸臂梁的平面計算簡圖

AC段(0≤x≤a)：

①

②

③

CB段(a≤x≤2a)：

④

⑤

⑥

積分出現(xiàn)四個積分常數(shù)，需要四個條件確定。由于撓曲線是一條光滑連續(xù)的曲線，因此在C點，即x＝a處，由式②和式⑤所確定的轉(zhuǎn)角應(yīng)相等，由式③和式⑥所確定的撓度應(yīng)相等，即光滑連續(xù)條件。

將式②、式⑤、式③和式⑥代入上述光滑連續(xù)條件，可得

⑦

⑧

此外，B端為固定端，邊界條件為在x＝2a處w2＝0，

2＝0。將邊界條件代入式⑤和式⑥，得

⑨

⑩

將式⑨和式⑩分別代入式⑦和式⑧，得

將所求得的積分常數(shù)代回式②、式③、式⑤和式⑥中，求得轉(zhuǎn)角方程和撓度方程如下。

AC段(0≤x≤a)：

11

12

CB段(a≤x≤2a)：

13

14將x＝0分別代入式

11

和式13

中，可得截面A的轉(zhuǎn)角和撓度為

(三)疊加法計算梁的變形

積分法是求解梁變形的基本方法，利用積分法可求出任意梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并求得任意截面的撓度和轉(zhuǎn)角，但當(dāng)梁上作用載荷比較復(fù)雜時，其運算過程比較繁瑣。在工程實際中，一般并不需要計算整個梁的撓曲線方程，只需要計算最大撓度和最大轉(zhuǎn)角，所以應(yīng)用疊加法求指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角較方便。

實驗表明，材料在服從胡克定律且小變形的條件下，橫截面撓度和轉(zhuǎn)角均與梁的載荷成線性關(guān)系，各個載荷引起的變形是相互獨立的。所以，當(dāng)梁上有多個載荷同時作用時，可分別計算各個載荷單獨作用時所引起梁的變形，然后求出諸變形的代數(shù)和，即為這些載荷共同作用時梁所產(chǎn)生的變形，這種計算方法稱為疊加法。表8-4是梁在簡單載荷作用下的變形表。應(yīng)用疊加法，便可求得在復(fù)雜載荷作用下梁的變形。

表8-4梁在簡單載荷作用下的變形

下面舉例說明用疊加法計算梁的變形。

例8-12

懸臂梁AB在自由端B和中點C受集中力F作用，如圖8-24所示。試用疊加法求自由端B的位移。

解在僅有B端點集中力F作用時，自由端B的撓度通過查表8-4得

圖8-24例8-12懸臂梁的平面計算簡圖

在中點C僅有集中力F作用時，C點處的位移與轉(zhuǎn)角通過查表8-4，有

由于C點的位移將引起B(yǎng)端點的相同位移，同時由于C點的轉(zhuǎn)角亦會引起B(yǎng)點的位移，則集中力F引起B(yǎng)端點位移為這兩個位移之和

在兩個集中力F共同作用下，自由端B的撓度為

例8-13

已知懸臂梁AB如圖8-25所示，自由端B受集中力偶矩M，中點C受集中力F作用。試用疊加法求自由端B的位移。

解在M、F作用下，顯然自由端撓度最大。僅有端部力偶矩M作用時，端部撓度通過查表8-4，得

在中點C僅有集中力F作用時，C點處的位移與轉(zhuǎn)角，通過查表8-4，有

圖8-25例8-13懸臂梁的平面計算簡圖

由于C點的位移將引起端點B的相同位移，同時C點的轉(zhuǎn)角亦會引起B(yǎng)點的位移，因此集中力F引起B(yǎng)端點位移為這兩個位移之和

在M、F共同作用下，自由端B的撓度為

例8-14

已知懸臂梁AB如圖8-26(a)所示，左半部承受均布載荷q作用。試用疊加法計算梁截面A的轉(zhuǎn)角和撓度。

解為了利用表8-4中梁變形結(jié)果，將圖8-26(a)所示載荷作如下等效變化，將作用在梁左半部的均布載荷q延展至梁的右端B，同時在延展部分施加反向的均布載荷(如圖8-26(b)所示)，再將其分解為(圖8-26(c))和(圖8-26(d))所示兩種簡單作用的梁。

圖8-26例8-14懸臂梁的平面計算簡圖

由圖8-26(c)，查表8-4得

由圖8-26(d)，查表8-4得

由疊加法，截面A的轉(zhuǎn)角為

截面A的撓度為(四)梁的剛度條件及其計算

對于工程中承受彎曲變形的構(gòu)件，除了強度要求外，常常還有剛度要求。因此，在按強度條件選擇了截面尺寸后，還需進(jìn)行剛度計算，即要求控制梁的變形。要求其最大撓度和轉(zhuǎn)角不得超過某一規(guī)定數(shù)值，則梁的剛度條件為

|w|max≤［w］

|

|max≤［

］

(8-18)

式中,［w］和［

］分別為規(guī)定的許用撓度和許用轉(zhuǎn)角，可從有關(guān)的設(shè)計規(guī)范中查得。

例8-15

等截面空心機床主軸的平面簡圖如圖8-27(a)所示，已知其外徑D＝80mm，內(nèi)徑d＝40mm，AB跨度l＝400mm，BC段外伸a＝100mm，材料的彈性模量E＝210GPa，切削力在該平面上的分力F1＝2kN，齒輪嚙合力在該平面上的分力F2＝1kN。若主軸C端［w］＝0.01mm，軸承B的許用轉(zhuǎn)角［

］＝0.001rad，試校核機床的剛度。

圖8-27機床主軸平面計算簡圖

解機床主軸發(fā)生彎曲變形，其慣性矩為圖8-27(b)為主軸的受力簡圖，利用疊加原理，計算出F1、F2單獨作用在主軸時C端的撓度。

(1)F1單獨作用時C端的撓度。如圖8-27(c)所示，由表8-4查得

(2)F2單獨作用時C端的撓度。如圖8-27(d)所示，由表8-4查得B點的轉(zhuǎn)角，由幾何關(guān)系得

(3)C端的撓度。

C＝

CF1＋

CF2

＝(8.443－2.533)×10－6

＝0.006mm<［

］＝0.01mm

(4)F1單獨作用時B點的轉(zhuǎn)角。如圖8-27(c)所示，由表8-4查得

(5)F2單獨作用時B點的轉(zhuǎn)角。如圖8-27(d)所示，查表8-4得

B＝

BF1＋

BF2＝(6.754－2.533)×10－5

＝4.221×10－5rad<［

］＝0.001rad

(6)B點的轉(zhuǎn)角。由如上計算可知，主軸滿足剛度要求。

例8-16

一簡支梁在跨度中點承受集中載荷F的作用。已知載荷F＝35kN，跨度l＝4m，許用撓度［w］＝l/500，彈性模量E＝200GPa。試根據(jù)規(guī)定條件確定該簡支梁的直徑d。

解在跨中集中載荷作用下，梁產(chǎn)生的最大撓度位于中點，查表8-4得

根據(jù)剛度條件|wmax|≤［w］，得

所以

直徑取值d＝16cm。模塊四提高梁強度和剛度的措施

在梁的強度、剛度設(shè)計中，常遇到如何根據(jù)工程實際提高梁的強度和剛度問題。從梁的彎曲正應(yīng)力強度條件和剛度條件可以看出：降低梁的最大彎矩、提高梁的抗彎截面系數(shù)和減小跨長，都可提高梁的彎曲承載能力。所以，從這幾個方面可找出提高梁彎曲強度和剛度的幾種主要措施。

(一)降低梁的最大彎矩

通過減小梁的載荷來降低梁的最大彎矩意義不大。只有在載荷不變的前提下，通過合理布置載荷和支座才具有實際應(yīng)用意義。

1.合理布置支座

均布載荷作用下的簡支梁如圖8-28(a)所示，其中Mmax＝

＝0.125ql2。若將兩端支座各向里移動0.2l(如圖8-28(b)所示)，則最大彎矩減小為原來的1/5，Mmax＝

＝0.025ql2，也就是說按圖8-28(b)布置支座，載荷還可以提高四倍。

圖8-28合理布置梁支座

2.合理布置載荷

如圖8-29(a)所示，受集中力F作用的簡支梁，其Mmax＝Fl/4。如果把集中力F通過輔助梁(圖8-29(b))分成兩個F/2的集中載荷或改為分布載荷q＝F/l這兩種不同加載方式，則其最大彎矩值可減小為Mmax＝Fl/8。若結(jié)構(gòu)不允許改動，也應(yīng)盡可能使載荷靠近支座。顯然，載荷愈靠近梁的支座，最大彎矩值愈小。

圖8-29合理布置梁載荷

3.減小梁的跨度

在結(jié)構(gòu)允許時，可以用減小跨度的辦法來降低最大彎矩。如圖8-30(a)所示，受均布載荷作用的簡支梁，若在跨度中間增加一個支座，如圖8-30(b)所示，梁的跨度由l縮小為l/2，則梁的Mmax＝0.125ql2變小為Mmax＝0.03125ql2。

圖8-30減小梁的跨度

(二)提高截面慣性矩和抗彎截面系數(shù)

通過增加梁的截面面積來提高梁的抗彎截面系數(shù)意義不大。只有在截面面積不變的前提下，選擇合理的截面形狀或根據(jù)材料性能選擇截面才具有實際應(yīng)用意義。

1.選擇合理的截面形狀

梁橫截面形狀的合理程度工程上通常用抗彎截面系數(shù)與橫截面面積的比值Wz/A來衡量。當(dāng)彎矩已定時，梁的強度隨抗彎截面系數(shù)的增大而提高，因此，為了減輕自重，節(jié)省材料，所采用的截面形狀應(yīng)是截面積最小而抗彎截面系數(shù)最大的截面形狀。幾種典型截面的Wz/A值見圖8-31。

圖8-31典型截面的Wz/A值從圖8-31中看出，圓截面的Wz/A值最小，矩形次之，因此它們的經(jīng)濟性不夠好；工字形和槽形截面比較合理。所以在起重機等鋼結(jié)構(gòu)中的抗彎構(gòu)件多采用工字形、槽形截面。根據(jù)梁彎曲正應(yīng)力分布規(guī)律來分析，圓截面離中性軸較遠(yuǎn)處面積較小，而在中性軸附近卻有著較大的面積，以致很大一部分材料未能充分發(fā)揮其作用，而工字形、槽形截面克服了這一缺點，故較合理。當(dāng)然，在許多情況下，還必須綜合考慮剛度、穩(wěn)定性、使用和加工等多方面的因素。例如對于軸類構(gòu)件，除承受彎曲變形，還要傳遞扭矩，則以圓截面更為實用。工程上往往用面積相同的空心圓截面代替實心圓截面，可明顯提高抗彎強度。同樣，工字鋼截面比矩形截面在材料利用方面更為合理。對于矩形及工字形截面，增加高度可有效地提高抗彎截面系數(shù)，但其截面高度過大，寬度過小，常會引發(fā)側(cè)彎和喪失穩(wěn)定，以h/b＝1.5~3為宜。

2.根據(jù)材料性能選擇截面

對于抗拉強度和抗壓強度相等的塑性材料，通常采用中性軸對稱的截面形狀，在截面面積相同的情況下，應(yīng)使Wz盡可能的大。如一個寬為b，高為h的矩形截面梁(h>b)，豎放時的Wz1＝

，平放時的Wz2＝

，兩者之比值為

，即Wz1>Wz2，所以豎放時梁有較大的抗彎強度。工程中的矩形截面梁通常豎放就是這個原因。

對于塑性材料，為了使截面上、下邊緣的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力同時滿足許用應(yīng)力，截面形狀一般做成如圖8-32所示的對稱于中性軸的截面形狀。

對于工程中常用的鑄鐵材料，由于其抗拉能力低于抗壓能力，因此，截面應(yīng)根據(jù)脆性材料的特點，設(shè)計為中性軸不對稱的截面形狀。中性軸位于受拉一側(cè)，使最大拉應(yīng)力變小，如T字形(圖8-33)及上、下翼緣不等的工字形截面等，這樣可以充分提高材料的利用率。

圖8-32對稱截面的應(yīng)力分布

圖8-33非對稱截面的應(yīng)力分布

(三)采用等強度梁

在一般情況下，梁上各截面的彎矩是截面所在位置的函數(shù)。因此，可根據(jù)彎矩的變化規(guī)律，相應(yīng)地將梁設(shè)計成變截面梁：在彎矩較大處，有大的截面，獲得大的抗彎截面系數(shù)；在彎矩較小處，采用較小的截面。這種截面沿軸線變化的梁稱為變截面梁。理想的變截面梁可設(shè)計成梁上所有橫截面的最大正應(yīng)力都相等，且等于材料的許用應(yīng)力，故這種變截面梁稱為等強度梁。

從強度觀點來看，等強度梁是最合理的結(jié)構(gòu)形式。例如搖臂鉆床的搖臂(見圖8-34(a))、汽車板簧(見圖8-34(b))、傳動系統(tǒng)的階梯軸(見圖8-34(c))和魚腹梁(見圖8-34(d))等就是按等強度梁概念設(shè)計的。由于等強度梁外形復(fù)雜，加工制造困難，因此工程上一般采用近似等強度的變截面梁。

圖8-34等強度梁

(四)增加約束和減小跨長

從梁的變形表可以看出，撓度與長度的三次方量級成比例，而梁轉(zhuǎn)角與梁長度的二次方量級成比例。可見，減少梁的跨長是提高梁剛度的主要措施之一。如果梁的長度無法減小，則可通過增加多余約束，使其成為靜不定梁。例如，當(dāng)車床加工細(xì)長工件時，為了提高加工精度，可增加一個中間支座或在工件末端加上尾架頂針，如圖8-35所示。

梁的剛度還取決于材料的彈性模量E，但是各類鋼材的彈性模量都很接近，采用優(yōu)質(zhì)高強度鋼材對提高剛度的意義不大。

圖8-35增加細(xì)長工件的約束

必須指出，工程上對有些梁的剛度要求并不高，而是希望梁在保證強度要求的前提下，能產(chǎn)生較大的彈性變形，以增加其柔度。例如安裝在汽車車軸上的減振疊板彈簧(見圖8-34(b))。模塊五簡單超靜定

(一)超靜定梁

靜定梁的支座約束力都可以由靜力平衡條件求得。但在工程實際中，由于工程結(jié)構(gòu)的需要，常常給靜定梁增加約束，以提高梁的強度和剛度，這樣就使得梁的約束反力數(shù)超過獨立的平衡方程的數(shù)目，因而僅用靜力平衡方程不能求出全部約束反力。這類梁稱為超靜定梁或靜不定梁(見圖8-36)。

在超靜定梁中，那些超過維持梁的靜力平衡所需的約束，稱為多余約束。與其相應(yīng)的約束反力稱為多余約束反力。未知反力的數(shù)目與獨立的平衡方程數(shù)目之差稱為超靜定次數(shù)。顯然，有幾個多余約束反力就是幾次超靜定梁。

圖8-36超靜定梁

超靜定梁問題在工程中應(yīng)用很多。例如安裝在車床卡盤上的工件如果比較細(xì)長，切削時就容易產(chǎn)生過大的彎曲變形(圖8-37(a))，影響加工精度。為減小工件的變形，常在工件的一端用尾架上的頂尖頂緊，這就相當(dāng)于增加了一個錕軸支座(見圖8-37(b))。圖8-38(b)中的桿BD以及圖8-38(c)中的桿BD和D處的水平支座鏈桿，對于結(jié)構(gòu)的平衡來說,則是多余的,這些構(gòu)件都屬于超靜定梁。

圖8-37車床卡盤上工件的超靜定

圖8-38桿件機構(gòu)的超靜定

(二)簡單超靜定梁的解法——變形比較法

解超靜定梁的方法很多，這里介紹的變形比較法是其中的基本方法。

在分析超靜定梁問題時，首先需要確定梁的超靜定次數(shù)，有幾次超靜定就要建立幾個補充方程。因此解梁的超靜定問題和解拉(壓)超靜定問題一樣，要利用變形協(xié)調(diào)條件建立補充方程。用變形比較法解超靜定梁的一般步驟如下：

(1)首先選定多余約束，并把多余約束解除，使超靜定梁變成靜定梁——基本靜定梁。

(2)把解除的約束用未知的多余約束力代替。這時基本靜定梁上除了作用著原來的載荷外，還作用了未知的多余約束力。

(3)列出基本靜定梁在多余約束力作用處變形的計算式，并與原超靜梁在該約束處的變形進(jìn)行比較，建立協(xié)調(diào)條件方程，求出多余約束力。

(4)在求出多余約束力的基礎(chǔ)上，根據(jù)靜力平衡條件，解出超靜定梁的其他所有約束力。

(5)按通常的方法(已知外力求內(nèi)力、應(yīng)力、變形的方法)進(jìn)行所需的強度和剛度計算。

例8-17

圖8-39(a)所示為超靜定梁，剛度EI為常數(shù)。試求梁的支座約束力并繪出剪力圖和彎矩圖。

解

(1)這是一次超靜定梁。

解除B端的約束，用FBy代替，作用于梁上(見圖8-39(b))。

(2)梁在均布載荷q作用下的變形情況如圖8-39(c)所示。

查表8-4，B截面的撓度為

梁在FBy作用下的變形情況如圖8-39(d)所示。

圖8-39超靜定梁平面計算簡圖

查表8-4，B截面的撓度為

因為原超靜定梁在B處受到支座的約束，實際上不可能發(fā)生豎向位移，即yB＝0，所以在B支座處的協(xié)調(diào)條件方程為

yB＝y(tǒng)Bq＋yBF＝0

即

解得

(3)根據(jù)靜力平衡方程求出其他支座約束力

，

。

(4)繪出剪力圖和彎矩圖(見圖8-39(e)和(f))。

(一)梁彎曲變形的正應(yīng)力公式推導(dǎo)

梁純彎曲變形時橫截面上只有彎矩，因而橫截面上只有與彎矩相關(guān)的正應(yīng)力。像研究圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上切應(yīng)力所用的方法相似，也需綜合研究梁純彎曲變形的幾何關(guān)系、應(yīng)力與應(yīng)變間的物理關(guān)系以及靜力平衡關(guān)系。8.4知識拓展

1.變形幾何關(guān)系

取截面具有豎向?qū)ΨQ軸(例如矩形截面)的等直梁，在梁側(cè)面畫上與軸線平行的縱向直線和與軸線垂直的橫向直線，如圖8-40(a)所示。然后在梁的兩端施加彎矩M，使梁發(fā)生純彎曲(見圖8-40(b))。此時可觀察到下列現(xiàn)象：

(1)縱向直線變形后成為相互平行的曲線，靠近凹面的縮短，靠近凸面的伸長。

(2)橫向直線變形后仍然為直線，只是相對地轉(zhuǎn)動一個角度。

(3)縱向直線與橫向直線變形后仍然保持正交關(guān)系。

圖8-40梁的變形現(xiàn)象根據(jù)所觀察到的表面現(xiàn)象，對梁的內(nèi)部變形情況進(jìn)行推斷，作出如下假設(shè)：

(1)梁的橫截面在變形后仍然為一平面，并且與變形后梁的軸線正交，只是繞截面內(nèi)某一軸旋轉(zhuǎn)了一個角度。

(2)把梁看成由許多縱向纖維組成。變形后，由于縱向直線與橫向直線保持正交，即直角沒有改變，可以認(rèn)為縱向纖維沒有受到橫