2022-2023學(xué)年廣東省深圳市第二高級(jí)中學(xué)高一上學(xué)期入學(xué)考數(shù)學(xué)試題及答案

試題試題深圳市第二高級(jí)中學(xué)2022學(xué)年高一年級(jí)入學(xué)考試一．選擇題（本大題共10個(gè)小題，每題4分，共40分；在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的）1.對(duì)于任何有理數(shù)a，下列各式中一定為負(fù)數(shù)的是（）A. B. C. D.2.若實(shí)數(shù)m、n滿足等式，且m、n恰好是等腰△ABC的兩條邊的邊長(zhǎng)，則△ABC的周長(zhǎng)是（）A6 B.8 C.10 D.8或103.如圖，一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則不等式的解是（）A B. C. D.4.如圖，函數(shù)和（是常數(shù)，且）在同一平面直角坐標(biāo)系的圖象可能是（）A. B.C. D.5.實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示．若實(shí)數(shù)b滿足，則b的值可以是（）A.2 B.﹣1 C.﹣2 D.﹣36.構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問(wèn)題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要應(yīng)用，在計(jì)算tan15°時(shí)，如圖．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長(zhǎng)CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝．類(lèi)比這種方法，計(jì)算tan22.5°的值為（）A.+1 B.﹣1 C. D.7.若，且，，則的值為（）A. B.1 C.4 D.38.如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC＝1，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最大值為（）A. B. C. D.9.如圖，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線，下列結(jié)論：①；②；③；④，正確的有（）A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，點(diǎn)，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，則k的值為（）A B.8 C.10 D.二．填空題（本大題共5個(gè)小題，每個(gè)小題4分，共20分）11.如果不等式組的解集是，那么的取值范圍是____．12.如圖，中，AB＝AC，∠A＝45°，AC垂直平分線分別交AB，AC于D，E兩點(diǎn)，連接CD．如果AD＝2，那么tan∠BCD＝_____．13.已知x、y為正偶數(shù)，且，求______14.如圖所示，矩形ABCD的頂點(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖象上，頂點(diǎn)B，C在x軸上，對(duì)角線AC的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)E，連接BE，△BCE的面積是6，則k＝_____．15.如圖所示，ABCD是一個(gè)正方形，其中幾塊陰影部分的面積如圖所示，則四邊形BMQN的面積為_(kāi)____．三．解答題（16題6分，17題6分，18~21題每題12分）16.（1）計(jì)算：；（2）化簡(jiǎn)：．17觀察以下等式：第1個(gè)等式：（）＝，第2個(gè)等式：（）＝，第3個(gè)等式：（）＝，第4個(gè)等式：（）＝．第5個(gè)等式：（）＝．…按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出第6個(gè)等式：；（2）寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式：（用含n的等式表示），并證明．18.解下列關(guān)于x的不等式：（1）；（2）19.如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)D，與CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F．（1）試說(shuō)明DF是⊙O的切線；（2）若AC＝3AE，求tanC．20.如圖，拋物線（）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)M是第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，BM交y軸于N．（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）若BN＝MN，且S△MBC＝，求a的值；（3）若∠BMC＝2∠ABM，求的值．21.某數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組在學(xué)習(xí)了勾股定理之后，針對(duì)圖1中所示的“由直角三角形三邊向外側(cè)作多邊形，它們的面積S1，S2，S3之間的關(guān)系問(wèn)題”進(jìn)行了以下探究：（1）（類(lèi)比探究）如圖2，在Rt△ABC中，BC為斜邊，分別以AB，AC，BC為斜邊向外側(cè)作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1＝∠2＝∠3，則面積S1，S2，S3之間的關(guān)系式為；（2）（推廣驗(yàn)證）如圖3，在Rt△ABC中，BC為斜邊，分別以AB，AC，BC為邊向外側(cè)作任意△ABD，△ACE，△BCF，滿足∠1＝∠2＝∠3，∠D＝∠E＝∠F，則（1）中所得關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）（拓展應(yīng)用）如圖4，在五邊形ABCDE中，∠A＝∠E＝∠C＝105°，∠ABC＝90°，AB＝2，DE＝2，點(diǎn)P在AE上，∠ABP＝30°，PE＝，求五邊形ABCDE的面積．

試題試題深圳市第二高級(jí)中學(xué)2022學(xué)年高一年級(jí)入學(xué)考試一．選擇題（本大題共10個(gè)小題，每題4分，共40分；在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的）1.對(duì)于任何有理數(shù)a，下列各式中一定為負(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】ABC選項(xiàng)取特殊值判斷，D由絕對(duì)值的意義判斷.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；易得，，則，故D正確故選：D2.若實(shí)數(shù)m、n滿足等式，且m、n恰好是等腰△ABC的兩條邊的邊長(zhǎng)，則△ABC的周長(zhǎng)是（）A.6 B.8 C.10 D.8或10【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可得，再分等腰△ABC的底邊長(zhǎng)為2和等腰△ABC的底邊長(zhǎng)為4兩種情況討論，即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以且，所以，?dāng)?shù)妊鰽BC的底邊長(zhǎng)為2時(shí)，則三邊長(zhǎng)分別為，所以△ABC的周長(zhǎng)是，當(dāng)?shù)妊鰽BC的底邊長(zhǎng)為4時(shí)，則三邊長(zhǎng)分別為，因?yàn)?，所以為三邊長(zhǎng)不能構(gòu)成三角形，綜上所述△ABC的周長(zhǎng)是.故選：C.3.如圖，一次函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，則不等式的解是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由一次函數(shù)過(guò)點(diǎn)可得，再根據(jù)一元一次不等式的解法即可得解.【詳解】解：因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以，即，則不等式，即為，又，所以，所以.故選：C.4.如圖，函數(shù)和（是常數(shù)，且）在同一平面直角坐標(biāo)系的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)參數(shù)對(duì)于二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象的影響，逐個(gè)選項(xiàng)檢驗(yàn)，可得答案.【詳解】對(duì)于A，由拋物線圖象中開(kāi)口向上可知，由解析式可知，對(duì)稱(chēng)軸，直線的圖象應(yīng)該是斜向上，且與軸相交于負(fù)半軸，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由拋物線圖象中開(kāi)口向上可知，由解析式可知，對(duì)稱(chēng)軸，直線的圖象應(yīng)該是斜向上，且與軸相交于負(fù)半軸，故B正確；對(duì)于C，由拋物線圖象中開(kāi)口向上可知，由解析式可知，對(duì)稱(chēng)軸，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由拋物線圖象中開(kāi)口向上可知，由解析式可知，對(duì)稱(chēng)軸，故D錯(cuò)誤；故選：B.5.實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示．若實(shí)數(shù)b滿足，則b的值可以是（）A.2 B.﹣1 C.﹣2 D.﹣3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置可確定的位置，結(jié)合選項(xiàng)，可得答案.【詳解】由實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置可知，即a位于1和2之間,故位于和之間，故實(shí)數(shù)b滿足,結(jié)合選項(xiàng)可得b的值可以是，故選：B6.構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問(wèn)題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要應(yīng)用，在計(jì)算tan15°時(shí)，如圖．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長(zhǎng)CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝．類(lèi)比這種方法，計(jì)算tan22.5°的值為（）A.+1 B.﹣1 C. D.【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用已知所給的類(lèi)比方法，結(jié)合勾股定理、正切的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延長(zhǎng)CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝22.5°，設(shè)，則由勾股定理可知：，因此，因此在直角三角形中，，故選：B7.若，且，，則的值為（）A. B.1 C.4 D.3【答案】B【解析】【分析】由題意，可得為方程的兩個(gè)不相等的根，結(jié)合韋達(dá)定理和降冪代還，可得答案.【詳解】由，，可得為方程的兩個(gè)不相等的根，則，，，，.故選：B.8.如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC＝1，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接，取的中點(diǎn)，連接，則，分別求出，即可得解.【詳解】解：連接，取的中點(diǎn)，連接，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，因?yàn)?，所以為等腰直角三角形，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)锽C＝1，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，所以，所以，所以O(shè)M的最大值為.故選：B.9.如圖，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線，下列結(jié)論：①；②；③；④，正確的有（）A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸以及與x軸的交點(diǎn)情況求解.【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€開(kāi)口向下，所以，因?yàn)閽佄锞€對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，所以b與a異號(hào)，則，因?yàn)閽佄锞€與y軸正半軸相交，所以，則，因?yàn)閽佄锞€與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸為，則，所以，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闀r(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩式相加得，故選：B10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，點(diǎn)，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，則k的值為（）A. B.8 C.10 D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)與軸交于點(diǎn)，作軸，垂足點(diǎn)，作軸，垂足點(diǎn)，利用勾股定理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)，求得，再利用，求得，再根據(jù)，求得，即可得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得出答案.【詳解】解：設(shè)，因?yàn)椋?，解得，即，設(shè)與軸交于點(diǎn)，作軸，垂足點(diǎn)，作軸，垂足點(diǎn)，則，，因?yàn)?，所以，所以為的中點(diǎn)，所以，，在和中，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，在和中因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，又因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，所以，所以.故選：D.二．填空題（本大題共5個(gè)小題，每個(gè)小題4分，共20分）11.如果不等式組的解集是，那么的取值范圍是____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)一元一次不等式組的解法進(jìn)行求解即可.【詳解】由，所以由的解集為可知，故答案為：12.如圖，中，AB＝AC，∠A＝45°，AC的垂直平分線分別交AB，AC于D，E兩點(diǎn)，連接CD．如果AD＝2，那么tan∠BCD＝_____．【答案】【解析】【分析】利用線段的中垂線的性質(zhì)、等腰三角形證明，再利用直角三角形求的值.【詳解】因?yàn)闉榈闹写咕€，故，而，故，所以，而，故，所以，故，所以，故，則在中，.故答案為：.13.已知x、y為正偶數(shù)，且，求______【答案】40【解析】【分析】因式分解可得，由于x、y為正偶數(shù)，分，，三種情況討論，從而可求得，即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)椋?，因?yàn)閤、y為正偶數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，則或，當(dāng)，解得或，當(dāng)，無(wú)解，綜上或，所以故答案為：40.14.如圖所示，矩形ABCD的頂點(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖象上，頂點(diǎn)B，C在x軸上，對(duì)角線AC的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)E，連接BE，△BCE的面積是6，則k＝_____．【答案】【解析】【分析】設(shè)，則，，根據(jù)△BCE的面積可求得，再根據(jù)，可得，從而可求得答案.【詳解】解：設(shè)，則，因?yàn)榫匦蜛BCD的頂點(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖象上，所以，則，因?yàn)椤鰾CE的面積是6，所以，即，因?yàn)椋?，即，所以，即，所?故答案為：.15.如圖所示，ABCD是一個(gè)正方形，其中幾塊陰影部分的面積如圖所示，則四邊形BMQN的面積為_(kāi)____．【答案】24【解析】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，結(jié)合圖形面積之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由正方形的性質(zhì)可知：，所以故答案為：24【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用圖形面積之間和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵.三．解答題（16題6分，17題6分，18~21題每題12分）16.（1）計(jì)算：；（2）化簡(jiǎn)：．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)冪的定義、零次冪的性質(zhì)、特殊角的正弦值、絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）運(yùn)用因式分解法和分式的運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）（2）17.觀察以下等式：第1個(gè)等式：（）＝，第2個(gè)等式：（）＝，第3個(gè)等式：（）＝，第4個(gè)等式：（）＝．第5個(gè)等式：（）＝．…按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出第6個(gè)等式：；（2）寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式：（用含n的等式表示），并證明．【答案】（1）（）＝；（2）（為正整數(shù)），證明過(guò)程見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）（2）根據(jù)等式中每個(gè)分?jǐn)?shù)中分子和分母的特征進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)等式中每個(gè)分?jǐn)?shù)中分子和分母的特征可知：第6個(gè)等式為：（）＝；【小問(wèn)2詳解】根據(jù)等式中每個(gè)分?jǐn)?shù)中分子和分母的特征可知：第n個(gè)等式：（為正整數(shù)），證明過(guò)程如下：.18.解下列關(guān)于x的不等式：（1）；（2）【答案】（1）（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）分和兩種情況討論，結(jié)合一元二次不等式的解法即可得解；（2）因式分解，分，，，，五種情況討論，結(jié)合一元二次不等式解法即可得解.【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，原不等式變形為，解得，故不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，，原不等式變形為，解得，故不等式的解集為，綜上所述，不等式的解集為；【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)時(shí)，則，解得，故不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式因式分解可得，當(dāng)時(shí)，則，解得，故不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，，解得，故不等式的解集為；當(dāng)，即時(shí)，化為，解得或，故不等式的解集為；當(dāng)，即時(shí)，化為，解得或，故不等式的解集為；綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.19.如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)D，與CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F．（1）試說(shuō)明DF是⊙O的切線；（2）若AC＝3AE，求tanC．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的切線判定定理，結(jié)合等邊對(duì)等角定理、直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)圓的直徑性質(zhì)、割線定理，正切的定義進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】連接，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，因此，因?yàn)镈F⊥AC，所以，即，于是有，即，因此DF是⊙O的切線；【小問(wèn)2詳解】連接，因?yàn)锳B是⊙O的直徑，所以，又因?yàn)?，所以，設(shè)，由割線定理可知：，即，于是有，因?yàn)?，所以三角形是直角三角形，由勾股定理可知：，所?【點(diǎn)睛】20.如圖，拋物線（）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)M是第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，BM交y軸于N．（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）若BN＝MN，且S△MBC＝，求a的值；（3）若∠BMC＝2∠ABM，求的值．【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）令，得，通過(guò)解一元二次方程進(jìn)行求解；（2）先利用得到點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用分割法求面積，得到關(guān)于的一元二次方程即可求解；（3）過(guò)點(diǎn)作，利用等腰三角形、相似三角形得到，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)在拋物線上進(jìn)行求解.【小問(wèn)1詳解】令，得，即，解得或，因?yàn)樵诘淖髠?cè)，所以、；【小問(wèn)2詳解】若，則為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，所以，，又，且，，所以，即，解得；【小問(wèn)3詳解】過(guò)點(diǎn)作（如圖所示），則，且，又，所以，所以為等腰三角形，且，，設(shè)，，則，所以，，所以，，則，，即，所以，即，即，即，解得，即.21.某數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組在學(xué)習(xí)了勾股定理之后，針對(duì)圖1中所示的“由直角三角形三邊向外側(cè)作多邊形，它們的面積S1，S2，S3之間的關(guān)系問(wèn)題”進(jìn)行了以下探究：（1）（類(lèi)比探究）如圖2，在Rt△ABC中，BC為斜邊