2023-2024學(xué)年吉林省八校高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年吉林省八校高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)z=(7+i)i3在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量a，b滿足|a|=|b|=2，且|a+b|=A.14 B.14b C.13.如圖，△O′A′B′表示水平放置的△OAB根據(jù)斜二測畫法得到的直觀圖，O′A′在x′軸上，A′B′與x′軸垂直，且O′A′=2，則△OAB的面積為(

)A.2 B.2C.4 D.44.已知復(fù)數(shù)4+3i是關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+25=0(m∈R)的一個根，則m=(

)A.?8 B.?4 C.4 D.85.設(shè)m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，則下列命題正確的是(

)A.若m//n，n?α，則m//α

B.若m?α，n?β，且α⊥β，則m⊥n

C.若m//β，α//β，則m//α

D.若m//α，m?β，α∩β=n，則m//n6.如圖1，這是雁鳴塔，位于貴州省遵義婁山關(guān)景區(qū)，塔身巍然挺拔，直指蒼穹，登塔可眾覽婁山好風(fēng)光.某數(shù)學(xué)興趣小組成員為測量雁鳴塔的高度，在點(diǎn)O的同一水平面上的A，B兩處進(jìn)行測量，如圖2.已知在A處測得塔頂P的仰角為30°，在B處測得塔頂P的仰角為45°，且AB=307米，∠AOB=150°，則雁鳴塔的高度OP=(

)A.30米 B.302米 C.303米7.如圖，在正四棱錐P?ABCD中，2PA=6AB=6，E是棱PB上的動點(diǎn)，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過爬到C點(diǎn)，則這只螞蟻爬行的路程的最小值是(

)A.22

B.23

C.28.如圖，在扇形OAB中，半徑OA=4，∠AOB=90°，C在半徑OB上，D在半徑OA上，E是扇形弧上的動點(diǎn)(不包含端點(diǎn))，則平行四邊形BCDE的周長的取值范圍是(

)A.(8,12]

B.(82,12]

C.(8,8二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知向量a，b滿足|a|=3，b=(?2,0)，且a?A.a=(?32,332) B.|a+10.如圖，這是一個正方體的展開圖，若將它還原為正方體，則(

)A.AF//BG

B.CH//BD

C.直線EI與BG異面

D.直線EI與BD異面11.如圖，在棱長為4的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱B1C1，A.若DP//平面CEF，則點(diǎn)P的軌跡長度為22

B.若DP//平面CEF，則三棱錐P?DEF的體積為定值

C.若AP=17，則點(diǎn)P的軌跡長度為2π

D.若P是棱A1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知復(fù)數(shù)z=a2?3a?4+(a+1)i(a∈R)是純虛數(shù)，則a=13.如圖所示，在三棱柱ABC?A1B1C1中，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別滿足AE=23AB，AF=23AC14.設(shè)點(diǎn)P是△ABC的重心，過點(diǎn)P的直線分別與線段AB，AC交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，已知AE=3EB,AC=kAF，則k=______；若AB=4，AC=6四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a=(3,?4)，b=(m,1)．

(1)若a⊥(a+b)，求m的值；

(2)當(dāng)m=016.(本小題15分)

如圖，這是某建筑大樓的直觀圖，它是由一個半球和一個圓柱組合而成的.已知該幾何體的下半部分圓柱的軸截面(過圓柱上、下底面圓的圓心連線的平面)ABCD是邊長為6的正方形．

(1)求該幾何體的表面積；

(2)求該幾何體的體積．17.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知cos2A+3cosA+2=0．

(1)求A；

(2)若c=6，D在邊BC上，BC=3BD，AD=13，求△ABC18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，四邊形ABCD是正方形，PA=PC，E為側(cè)棱PD上的點(diǎn)，且PE=3ED．

(1)證明：PD⊥AC．

(2)在側(cè)棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使得BF//平面ACE？若存在，求PCPF的值；若不存在，請說明理由．19.(本小題17分)

如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=1，BC=3，CD=2，AD=4．

(1)若A為銳角，且sinA=158，求△BCD的面積；

(2)求四邊形ABCD面積的最大值；

(3)當(dāng)A=60°時，P在四邊形ABCD所在平面內(nèi)，求PA+PB+PD

參考答案1.D

2.B

3.B

4.A

5.D

6.A

7.C

8.A

9.BCD

10.AD

11.ABD

12.4

13.19814.53

2015.解：(1)因為a=(3,?4)，b=(m,1)，

所以a+b=(3+m,?3)，

因為a⊥(a+b)，

所以a?(a+b)=3(3+m)+12=0，解得m=?7．

(2)當(dāng)m=0時，b=(0,1)，16.解：由題意可知半球的半徑R=3，圓柱的底面圓半徑r=3，高?=6，

(1)由球的表面積公式可得半球的曲面面積S1=12×4πR2=18π，

由圓的面積公式可得圓柱底面圓的面積S2=πr2=9π，

由圓柱的側(cè)面積公式可得圓柱的側(cè)面積S3=2πr?=36π，

故該幾何體的表面積S=17.解：(1)因為cos2A+3cosA+2=0，

所以2cos2A?1+3cosA+2=0，

即2cos2A+3cosA+1=0，

即(2cosA+1)(cosA+1)=0，解得cosA=?12或cosA=?1．

因為0<A<π，所以cosA=?12，則A=2π3；

(2)由題意可得AD=23AB+13AC，即3AD=2AB+AC，

則9AD2=4AB2+4AB?AC+AC2，因為AD=13，18.(1)證明：設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，連接OP，

正方形ABCD中，則AO=OC，BD⊥AC，

又PA=PC，所以PO⊥AC，

又PO∩BP=O，

所以AC⊥平面PBD，

而PD?平面PBD，

所以PD⊥AC；

(2)解：存在側(cè)棱PC上一點(diǎn)F，滿足條件，

證明如下：如圖，正方形中，BO=OD，

在線段PE取一點(diǎn)G，使得GE=ED，因為PE=3ED，

則PGPE=23，

連接BG，F(xiàn)G，則BG//OE，因為OE?平面ACE，BG?平面ACE，

所以BG/?/平面ACE，

因為BF/?/平面ACE，BG∩BF=B，BG，BF?平面BGF，

所以平面BGF//平面ACE，

因為平面PCD∩平面ACE=EC，平面PCD∩平面BGF=GF，

所以GF/?/EC，

所以PFPC=PGPE19.解：(1)連接BD，

因為A為銳角，且sinA=158，所以cosA=78，

在△ABD中，由余弦定理得，BD2=AB2+AD2?2AB?AD?cosA=1+16?8cosA，即BD2=17?8cosA，

在△BCD中，由余弦定理得，BD2=BC2+CD2?2BC?CD?cosC=9+4?12cosC，即BD2=13?12cosC，

所以17?8cosA=13?12cosC，即2cosA?3cosC=1，

所以2×78?3cosC=1，解得cosC=14，

因為C∈(0,π)，所以sinC=154，

故△BCD的面積為12BC?CDsinC=12×3×2×154=3154．

(2)四