平面向量知識點歸納總結(jié)

第二章平面向量知識點歸納

向量的概念

向量的運算

向量的運用

向量的加、減

法實數(shù)與向量

的積向量的數(shù)量積

平面向量的基本定理及坐標表示

向量的坐

標運算

物理學中的運用

幾何中的運用

兩向量平行的充要條件

兩向量垂直的充要條件

向量的夾角

向量的模

兩點間的距離

一、向量的相關(guān)概念：

1.向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向

量注意：數(shù)量與向量的區(qū)別：

1數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進行代數(shù)運算、比較大小;

2向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小

2、向量的表示方法：

幾何表示法：①用有向線段表示；②用字母、等表示；③用有向線

段的起點與終點字母：；

坐標表示法：

3、向量的模：向量的大小一長度稱為向量的模，記作||.

4、特殊的向量：①長度為0的向量叫零向量，

記作的方向是任意的

②長度為1個單位長度的向量，叫單位向量,說明：零向量、單位向

量的定義都是只限制大小，不確定方向.

5、相反向量：與長度相同、方向相反的向量

記作

6、相等的向量：長度相等且方向相同的向量叫相等向量響量與相

等，記作；

7、平行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量,稱為平行

向量記作

平行向量也稱為共線向量

規(guī)定零向量與任意向量平行。

8、兩個非零向量夾角的概念：已知非零向量與，作二，二，則叫

與的夾角

說明：(1)當時，與同向；

(2)當時，與反向；

(3)當時，與垂直，記，；規(guī)定零向量和任意向量都垂直Q

441注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的

范圍04<180

9、實數(shù)與向量的積：實數(shù)人與向量的積是一個向量，記作，它的

長度與方向規(guī)定如下：

(I)；

(II)當時，的方向與的方向相同；

當時，的方向與的方向相反；

當時，，方向是任意的

10、兩個向量的數(shù)量積：

已知兩個非零向量與，它們的夾角為，貝IJ,叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)

積）

規(guī)定

11s向量的投影：定義：llcos叫做向量在方向上的投影，投影也

是一個數(shù)量，不是向量；當為銳角時投影為正值；當為鈍角時投影

為負值；當為直角時投影為0;當二0時投影為II;當二180時投

影為||

,稱為向量在方向上的投

影投影的絕對值稱為射影

二、重要定理、公式：1、平面向

量基本定理：，是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么，對于這

個平面內(nèi)任一向量,有且僅有一對實數(shù)，使

(1).平面向量的坐標表示

如圖，在直角坐標系內(nèi),我們分別取與軸、軸方向相同的兩個單

位向量、作為基底

匚

任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使

得

我們把叫做向量

的(直角)坐標，記作

其中叫做

在軸上的坐標，叫做

在軸上的坐標，式叫做向量的坐標表示

與

相等的向量的坐標也為

特別地，，

(2)若，，則

一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標

2、兩個向量平行的充要條件

向量共線定理：向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個

非零

實數(shù)入，使

設(shè)，，則或3、

兩個向量垂直的充要條件

設(shè)貝I」

4、平面內(nèi)兩點間的距離公式

(1)設(shè)，則或

(2)如果表示向量

的有向線段的起點和終點的坐標分別為A、B,那么(平面內(nèi)兩點間的

距離公式)

5、兩向量夾角的余弦()

三、向量的運算向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量

(內(nèi)積)及其各運算的坐標表示和性質(zhì)

算

型

性質(zhì)

運算

法

坐標方

法

幾何方

1

向

則

邊形法

平行四

量

2

的

加

首尾

則（

形法

三角

相

向

量二角形法則(首首相

的接，尾尾相連，指向

減岫

—

實數(shù)人與向量的積是一

向個向量,記作：

量(1)

的(2)時，與同

乘向；當時，與異

rH-

向量的數(shù)量積的

向幾何意義：

數(shù)量積等于的

量

*唐與或

的或

在方向上投影

數(shù)叱

量的乘積

且

.

特別注意：(1)結(jié)合律不成立：；

(2)消去律不成立不能得到

(3)不能得到二或二

乘法公式成立：

線段的定比分點公式:設(shè)點P分有向線段

所成的比為人，即

,則

(線段定比分點的坐標公式)

當人=1時，得中點公式:

(

+

)或

平移公式:設(shè)點P(x,y)按向量二(h,k)平移后得到點

P(X

',y'),

貝U

+a或

曲線y=f(x)按向量=(h,k)平移后所得的曲線的函數(shù)

解析式為：y-k=f(x-h)

補充：一些常用的結(jié)論1,一個封閉

圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；

2.模的性質(zhì)：.

(1)右邊等號成立條件：同向或中有；

(2)左邊等號成立條件：反向或中有；

(3)當不共線.