平面向量范圍與最值問題（解析版）

第26講平面向量范圍與最值問題

【典型例題】

例1.已知正方形A5a>的邊長為1,當每個4a=1，2,3,4,5,6)取遍±1時,

14A6+46C+4CO+4OA+4AC+48OI的最小值和最大值分別是()

A.。，加B.0,2>/5C.1,75D.1,2亞

【解析】解：正方形ABC。的邊長為1，可得4B+4O=4C,BD=AD-AB,ABAD=0,

14A8+4BC+4cO+&OA+ZAC+yOI

=|4AB+%AD-4AB—AD+%AR+AD+AD—4AB|

=1(4—4+4-4)A/5+(4—4+4+4)4。?

=一4+4-4)+(%-4+4+4)2，

由于，(i=l,2,3,4,5,6)取遍±1,

可得4-4+4-4=o,%-4+4+4=0,可取4=4=1,4=4=1,=—1>a=1,

可得所求最小值為0：

由4一4+4-4，+4的最大值為4,可取4=1,i4=-i,4=4=i,4=1,

4=-],

可得所求最大值為26.

故選：B.

例2.已知在AABC中，|A3+4C|=|8C|=2,且|AC|=1,則函數(shù)/⑴=|/A8+(l—f)AC|的

最小值為()

A.1B.3C.空

223

【解析】解：AABC中，|A5+AC|=|BC|=2,且|AC|=1,

：.NBAC=巴,\AB\=y/3,

2

f2(t)=t2AB2+(\-t)2?AC

=3r+(l-r)2

=4r-2t+\

即函數(shù)f(t)=\tAB+(1-/)AC|的最小值為日.

故選：B.

例3.如圖，在平面四邊形AB8中，ABLBC,AD工CD,440=120°,AB=A￡>=1.若

點E為邊8上的動點，則AE8E的最大值為()

【解析】解：由題可知，AC和BD互相垂直平分，如圖所示，分別以或＞、AC所在的直線

為x和y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，

則4(0,」)，5(—,0),C(0,-),0(-—,0),

2222

設點E的坐標為(m,gm+-|),

AE-BE=(/?,+2)-(/n-+—)

22

=m（m—+（6m+2）（6，"+-1）=4m2+3\/5m+3,me[--,0],

開口向上，對稱軸為m=-空，

8

.?.當/?=0時，AE?BE取得最大值,為3.

故選：。.

例4.如圖，在A43C中，。是BC的中點，E、尸是AD上的兩個三等分點，8A.e4=4,

BF?CF=-1,貝I」BECE的值是（）

73

A.4B.8C.-D.-

84

【解析】解：?。是8C的中點，E,尸是AD上的兩個三等分點，

BF=BD+DF,CF=-BD+DF,BA=BD+3DF,CA=-BD+3DF,

BF?CF=DL-BD，=7,

BA?CA=9DF2-BD1=4,

又BE=BD+2DF,CE=-BD+2DF,

BE?CE=4DF?-=-,

8

故選：C.

例5.已知C,。是半徑為1的圓O上的動點，線段AB是圓O的直徑，則AC-8。的取值

范圍是（）

c

D

A.[-2,-1B.[-2,0]C.[-4,-]D.[40]

22

則tana=—,a=2cos2a,Z?=2cosasina,

AC-BD=(a,份(cosJ-1,sin。)

=acos0+bsinO-a

=>Ja2+b2sin(。+<p)-a,

具甘卬rHt4an°a=—=l----,/.a+°=,——兀<(p<—兀,

btana22

從而--<O+(p<-,

22

二.BD=\la2+及sin(O+@)-a的最大值是:y/a2+b2-a,最小值是：-\]a2+b2-a,

最大值為：4cr+Z?2-a=y](2cos2a)2+(2cosa-sina)2-2cos2a

=2cosa-2cos2a

=-2(cosa-gy+g,

當a=C時，取最大值,：

32

最小值是：-Ja2+是a=-2cosa-2cos2a=-2(cosa+—)2+—,

22

當a=0時，取最小值-4；

故所求范圍為：[Y,-].

2

故選：C.

例6.已知向量a,b滿足：|d|=2,向量b與b夾角為至，則。小的取值范圍

3

是.

【解析】解：不妨設1=(%,0)(/..0),<a,b>=B,

OA=a,OB=bta—b=BA.

?.?向量b與d-5夾角為生，

3

/.408=He(0,爭.

/.(2^+-)esin(219+-)e[-l,1].

6626

在AOS中，由正弦定理可得：_2_=1±±1=_糾----

sin|sin?點吟-仍

竽sin(等一陰，"一力|=竽0116=522—勿動+上|2,

.8.,,2/r8.2/)

a?b=2+-sin~(----&n)——sm6

333

44萬

=-[cos2<9-cos(——2<9)]+2

33

4\/3\/5,1./

=-----(——cos2夕+—sm2。)+2

322

4x/3?/“冗、c-4石64心

=-----sin(26H—)+2€[2---------,2H--------].

3633

???a-b的取值范圍是[2-竽,2+苧].

故答案為：[2-竽,2+竽].

例7.已知A/WC是邊長為2的等邊三角形，M為AABC內部或邊界上任意一點，則

MA^MB+MC)的最大值為.

【解析】解：建立平面直角坐標系，如圖所示，

AABC中，A(0,x/3),B(-1,O),C(1,O),

-1瓢1

0繳x/3

設M(x,y),則，工+-^”1:

x丫----)]’1

MA=(-x,百—y)，MB=(-1—x9-y)?MC=(1-x,-y)；

MB+MC=(-2x,-2y)i

/.MA?(MB+MC)=2x2+2y2-2岳=2[x2+(y-與丫]-1；

由圖形知，當x=0,y=—M，MA?(MB+MC)取得最小值一3：

22

當％=±1,y=0時，M4YMB+MC)取得最大值2；

.,.最大值為2,最小值為-3.

2

故答案為：2,

2

【同步練習】

一.選擇題

1.在平面直角坐標系中，已知點4-1,0)、B(2,0),E、尸是)，軸上的兩個動點，且|七尸|=2,

則4E?8戶的最小值為()

A.-2B.0C.-3D.-4

【解析】解：設點E(0,y),點尸(0,y+2),yeK,則4E=(l,y),BF=(-2,y+2),

AE*BF=1*(-2)+y?(y+2)=y2-2y-2=(y+1)2-3；

當y=—l時，AE?8戶的最小值為-3,

故選：C.

2.設心b,W為平面向量，|。|二2|=。力=2,若(23—d)?(d-萬)=0,則c?力的最大值是

)

A.x/7+百B.-+75C.—D.-

244

【解析】解："41=161=45=2,「.cosvd,b>==—?即得<&,/?>=—?

1111同x|H23

設右=(x,y),a=(2,0),則b=(1,75),

因為(2c-aA(c、-b)=0,

整理得(x-l)2+(y-3)2=3,

二.向量d的終點的軌跡是以(1,3)為圓心，立為半徑的圓.

設z=c?方=(x,y)?(1,G)=x+V5y,

當直線x+石y-z=0與圓相切時，z取得最大值或最小值，

I+—X>/3-z—

此時有-------------解得z=9+V5或』一途，

2222

c?b的最大值為3+6.

2

故選：B.

3.設a,b,c為平面向量，|。|=|切=2,若(2d-a)-(c-b)=0,則的最大值為()

917

A.2B.-C.—D.5

44

【解析】解：根據(jù)題意不妨設人=(2,0),a=(2cosa,2sina),ae[0,2^-]?c=(x,y),

則d力=2x,.?.求c?〃的最大值，即求x的最大值.

/.2c-a=(2x-2cosay2y-2s\na),c-b=(x-2,y),

(2c-￡7)(c-Z>)=0?

(2x-2cosa)(y-2)+(2y-2sina)y=0,

/.y2-ysina+x2-x(cosa+2)+2cos?=0

?.,關于y的方程有解，「.A=(sina)2-4x2+4x(cosa+2)-8cosa..O,

☆E=COSQ(-啜11),貝ij4x，-4x(f+2)+產(chǎn)+8f-L,0，

t+2-\/5-4tj,,.r+2+75-4;

22

令=M啜63),則上"旦=衛(wèi)旦士1Z,

28

t+2+yJ5-^t17

工當加=2時,

2"T

17.,-17

—,cb=zx,——，

84

?力的最大值為：—.

4

故選：C.

4.記/nar{a,A}=,已知向量a,b?c滿足|a|=1,|=2,aS=O,c=Aa+jLth(A,

\h,a<b

〃..O,且4+〃=l,則當cM取最小值時，?=()

A2。a2及

A?-----?-----C.1

53T

【解析】解：如圖，

設OA-a,O8-Z>,則d=(l,0),〃=(0,2),

?.2,;z..O,4+〃=1,1.

又d=入。+"b，

/.c?a=(Za+b-Ab)?a=A,；

c?b=(Aa+/?-2Z>)?Z?=4-42.

4

由2=4-42,得2=—.

5

4

1

:.max{c^a,

4

4—42,0”^<—

4

2,-^R1

令/⑷={5/

4

4-4A,0?2<-

則/(團￡[([

44i

fWmin=-?此時義=g,〃=m：

故選：A.

5.已知平面向量a,6,c滿足=b=-1,|。|=1,|..2,=xa+yb,x,

yeR,則x+y的取值范圍是()

7777

A.[--,-1)B.C.[--,0)D.[--,0)

4343

【解析】解：設。=(1,0),

由〃?，?=〃?/?=-1.可設b=(-l./力)，c=(—l,n),

-.UI..2,

1+〃P.4,即加..3,

Vc=xa+yb=(x-y,my)=(-l,〃)，

[my=n

：./?-c=1+nm=-1?解得mn=-2f

..n,4

,-.x4-y=-l+2x—=-1----,

mnr

,/m..3，

7

x+yef——,—1).

故選：B.

6.已知平面向量d,b,d滿足|a|=l,|力|=2,|c|=3,且a_L6,則|a+匕一c|的取值范

圍是()

A.[3-逐，3+右]B.(3,6)C.(3,3+行]D.[3-6，6)

【解析】解：不妨以向量6,6的方向分別作為x,y軸建立平面直角坐標系，則a=(L0),

匕=(0⑵，

因為我1=3,所以設1=(3cos，,設in。),^e[0,24],

所以a+5-(!=(l+3cose,2+3sin9)，

所以|a+b-c|=J(l+3cos6)2+(2+3sin④2=j2(6sine+3cos6+7)，

設/(0)=6*in〃+3ccs〃+7,2TT],

則/(e)=3x/5sin(e+0)+7，其中tan>=Le(O,立),所以6w(0二)，

236

所以sin(e+Q)e[-l,lb

故f(8)e[7-36,7+375],

所以|4+。一右怕[收行三萬，,2(7+3面,即|a+b-c月3—逐，3+75],

故選：A.

7.已知O為A4BC的外心，A為銳角且sinA=2f,AO=aAB-/3AC,則a+6的最

大值為()

A.-R.-C.-D.-

3234

【解析】解：如圖所示，以3c邊所在直線為x軸，

BC邊的垂直平分線為y軸建立直角坐標系(。為邊的中點).

由外接圓的性質可得ZBOD=Z.COD=ABAC.

由A為銳角且sinA=2包，

3

不妨設外接圓的半徑R=3.則。1=O8=OC=3.

cosZCOD=^^-=cosA=-，

OC3

..8=1,DC=>JOC2-OD2=272.

/.B(-2y/2,0),C(2&,0),0(0,1),A(m,〃)，

則A$C外接圓的方程為：x2+(y-l)2=9.(*)

AO=aAB+pAC,

{-m，1-〃)=a(-2\f2-m,-〃)+-m,-n),

-m-a(-2\f2-m)+0Qa-ni)

??'，

\-n=-an-pn

?a+夕工1時，否則CO=aC8,由圖可知是不可能的.

2&(夕-a)

m=----------

可化為，a+'T

-1

n=--------

a+fi-\

代入（*）可得8（夕—a）2（-a-2）；，以

（a+/一I）?（a+fi-1）2

化為18（a+尸）=9+32的，

利用基本不等式可得18（a+伊,,9+32（4芋尸,

化為8（。+夕）2-18（。+夕）+9..0,

解得a+B，,1或a+?.；1.

又。+6<1,故a+尸.」應舍去.

。3

,?a+仇,-9

8.正三角形ABC內一點M滿足CM=〃7c4+〃CB,ZA/C4=45°則巴的值為（）

n

D.包

A.6-1B.G+lC.^-―

22

【解析】解：如圖，設正三角形的邊長為a,由CM=mCA+nCB得：

CM.CA=mC^+〃CA?CB

CM?CB=mCA^CB+〃CB，

“八。M。、\&g近叵+娓

cos15<o=cos(60°-45°)=—?——+——>——=-----------:

22224

^-^CM^a=nia2+-^-O

???

走捶威|0=皿+而②’

I4??2

42

...鬲=2z4

2

_G-1

"~n~2

故選：D.

9.已知共面向量力,h,d滿足|a|=3,b+C=2a,且|A|=|b—c|.若對每一個確定的向

量入記的最小值d-則當方變化時，d”珈的最大值為()

4

A.-B.2C.4D.6

3

【解析】解：如圖，設AM=a,AD=b,AB=c,

b+c=2af

.?.M為皮>的中點，

,/|a\=3,/?+c=》z,且|力|=|b-d|.若對每一個確定的向量b,記-/aI(zwR)的最小值

4.，

/.5&犯0=—?3t/*2=3d：>

???/1=111,

:.AD=BD^

設AB=c,AD=b,

.?.在oA4C￡>中，”(AB)?+(AD)2]=AC2+BD2,

.\Z?2+2c2=36,①，

iL?

???S^BD=%；一空=—?c?Jb-----,

2V4

c?^36-cVl6-c2,

將①代入可得，S婀=；?

/.3J=-cV16-c2,

4

=咯=2,當且僅當c?=8時，取等號,

44V2

故選：B.

10.已知向量a,人滿足：|?|=2,<a,力>=60。，Kc=--a+e/?)?則|c|+|W-a|

2

的最小值為()

A.x/13B.4C.2GD.—

4

【解析】解：由題意可知，把4看作(2,0),

<a?b>=60°?

則方可表示為30,點B在直線7=瓜上，

設C(T,0),2X3,0),

1

c=—a+tb,twR、

2

3

.'.Ic|=BC>c—ci=—a+ib,

2

:\c-a\=\BD\,

則|c|+1c-a|的最小值可轉化為在直線y=限

取一點B，使得3c最小，

作點。關于y=岳的對稱點C,

則比)+8。最小值即可求出DC,

設C(x,y)，

3二1

“+16,解得x=Ly=-—,

由

工?口22

22

則CD=出+3）2+（—亭-0）2=713,

故忖l+M-川的最小值為岳.

故選：A.

11.已知A、B、C、。是單位圓O:/+y2=i上的相異的四個點，且4、8關于原點對

稱，則ACB。的取值范圍是（）

A.（-4,1]B.L-4,1）C.（-4,>/2]D.[-4,揚

【解析】解?：如圖所示，因為A、B、C、。是單位圓0:r+y2=i上的相異的四個點,

且A、8關于原點對稱，

當點A與點。重合，點8與點C重合時，AC-BD=\AC\\BD\cos\SO°=-4,

由于A、B、C、。是相異的四個點，

所以AC3O>T；

當點E,D,尸三點分別為C,A,。的投影點，

則所產(chǎn)，EF,,R,

所以AC8O=3OOE=2O廣?。磁20尸（1一。尸）

2

當且僅當叨//OC且。尸=OE時取等號.

綜上所述，AC的取值范圍是（-4」].

2

故選：A.

12.邊長為2的正三角形ABC內(包括三邊)有點尸，PB?PC=1,則AP?A8的范圍是(

)

A.[2,4]B.[土詼，4]C.[3-75,2]D.[土詼，3-45]

22

t解析】解：以6C中點O為原點，6c所在的直線為x軸，建立如圖所示的坐標系，

/.B(-I,O),A(O,G),C(UO),

設尸的坐標為(x,y),

PB=(-1-x-y),PC=(\-x-y)t

PB?PC=x2-\+y2=\,

即點P在/+丁=2的圓弧即MN上,

Qd丸.A3g-MQS/30+76

p=^--,sinp=---------,cosp=---------,

設ZAOP=Q,則一像I切p>P(夜sin夕，夜cose),

AP=(Vising,0cos@-上),

XAB=(-1,-73),

所以ARAB=-&sin8->/^cos9+3,—戶軟步。,

當0=一萬時，AP.A8最大，舒?.鉆=(_揚《3夜—啊—底而+#+3=3—逐；

88

當*=/時，AP.A8最小，AP?AB=(-五)「五;而一巫X而;屈+3=^^~；

所以AP.A8的范圍是［三普，3-小］.

故選：。.

二.填空題

13.如圖，在直角梯形A5CD中，ADA.AB,AB//DC,AD=DC=\,AB=2,動點P

在以點C為圓心，且與直線8。相切的圓上或圓內移動，設AP=/LAD+/MB(4〃￡R),則

4+〃取值范圍是

B

【解析】解：以A為坐標原點，A3、4)所在直線為x軸、)，軸，建立平面直角坐標系如

圖所示.

則40,0),0(0,1),C(l,l),5(2,0)

直線處的方程為介:=1,化簡得x+2y-2=0,

|1+2-2|二逐

點。到皮)的距離d=75=T

M得以點C為圓心，且與直線8。相切的圓方程為

(x-l)2+(y-l)2=l.

設尸(x,y),則/戶=?y),AD=(0,1),AB=(2,0),

AP=AAD+eR),

/.(x,y)=2(0,l)+〃(2,0)=(2〃，2),

可得x=2〃且y=4,P的坐標為(2〃,4).

??尸在圓內或圓上，

..(2〃-I)2+(A-1)2?(，

設義+//=，，得〃=￡—4,

0

代入上式化簡整理得522-⑹-2)4+4/-4/+1,,0,

若要上述不等式有實數(shù)解，

q

則△=(81—2尸-4x5x(4r-4r+-)..O,

化簡得產(chǎn)-3r+Z,0,

解得啜I2,

即啜Jl+〃2,

.?.丸+〃取值范圍是[1,2].

故答案為：[1,2]

14.在直角梯形ABCD中，AB±AD,AB//DC,AD=DC=1,AB=2,動點P在以點

C為圓心，且與直線用)相切的圓上或圓內移動，設AP=/iAO+〃A8Gl.〃eR),則萬十1切

AD所在直線為x軸、)，軸，建立平面直角坐標系如

圖所示.

則A(0,0),8(2,0),WM),

則直線3。的方程為x+2y-2=0,

則點C(l,l)到直線班＞的距離為粵二a=J=

V5V5

可得以點C為圓心，且與直線如相切的圓方程為

(x-l)2+(j-l)2=1.

設尸(x,y),則4P=*,y),AD=(0,1),AB=(2,0),

y.AP=AAD+juAB(Z^eR),

/.(x,y)=A(0,1)+〃(2,0)=(2幺，A),

可得x=2〃且y=4,尸的坐標為(2〃,4).

一尸在圓內或圓上，

.\(2//-1)2+(2-1)2?.-.l-yiljl[+《，

設2+//=r?得〃=z-A，

代入上式化簡整理得522-(St-2)Z+4r-4r+-?0,

若要上述不等式在九6[1-q，1+g]上有實數(shù)解,

Q

對于函數(shù)g(x)=5儲-(St-2)2+4r-4/+-?0.

S

o

g(l-5，

g

5o

則需g(l+9

.=(8/—2-,一4x5x(4,r-4r+j9)..O

解得啜I2,

A2+-^=^+-A(t-A)=^--X1+-At=--A2+-At=--(A2--U)

22222225

又二小二，3,

10105

故當人看時，儲+加取得最大值青，又倒2,

4=(,/=2時，分+1辦取得最大值需.

故答案為：—

10

15.已知AA5C中，AB=2,AC=l,當2x+)，=r(l>0)時，|x43+)，AC|..乎，恒成立,

則AABC的面積最大值為L

【解析】解：不等式|"8+)，AC|..

兩邊平方可得，x2AB2+y2AC2+2外A8?AC.J產(chǎn),

由A8=2,AC=1,2x+y=t,可得

4x2+/+4A)<2COSA-1)..O,

由判別式16y2(2cos4-T-16媒0,

即為cosA(cosA—1\,0,

可得cosA.0,即A的最大值為X，

2

當cosA=0時，|xAB+yAC|=y]4x2+y2..(2x+y)?

則A4BC的面積為S=LA8?AC?sinA=—x2x1=1；

22

在直角三角形ABC中，取BC的中點。，連接PD,

則尸8+尸。=2尸。，

則PA?(PB+PC)=2PA?PD,

當月，P，。三點共線時，PA.PD<0,

又此時AD=-BC=—,

22

即有2PA?P￡>=-2\PA\-\PD|

5

..2?(IM+g工

2168

故答案為：1,—3.

3

16.在四邊形ABC。中，々=60°,AB=3,BC=6,AD=ABC,ADAB=~,則實

2

數(shù)4的值為-___________.

-6

【解析】解：?AOn/iBC，.?.AD//8C,

???N3=60°,.-.ZZMB=120°,

4D-4fi=62-3cosI20°=--.

過A作AO_LBC,垂足為O，則OB='A8=3,OC=~,AO=—,

2222

以O為原點，以5C,04所在直線為坐標軸建立平面坐標系如圖所示:

則。(1,竽)75

設”(x,0),N(x+2,0),—三皴k

22

3H

：.DMDN=(x+l,—

2

7723

DMDN=x2-1+—=^+—,

44

.?.當x=0時，力M?力N取得最小值一.

故答案為：.

64

17.設正A4BC的邊長為1,f為任意的實數(shù)，則IA8+MCI的最小值為

【解析】解：.，正AA3C的邊長為1,/為任意的實數(shù),

：iAB+(AC|2=AB+12AC~+2tAB?AC=1+/2+2zxlxlxcos60°=r24-r+l,

當仁」時，/+/+1取到最小值3,

24

/.|A3+/AC|的最小值為且，

2

故答案為：B.

2

18.已知向量。，。滿足|。|=3,|b|=4,則|。+方|+|a-b|的取值范圍為

【解析】解：設向量。，6的夾角為。，\d+b\+\a-b\=yl(a+b)2+yl(a-b)2,

=\la2+b2+2ab+y/a2+b2-2ab=j25+24cos?+j25-24cos8,

令y=J25+24cos6+,25-24cos6,/=50+27252-242cos20,

vee[0,乃]，cos28e[0,1],

即〉2村64,100],JG[8,10],

故答案為：[8,10].

19.已知向量d=(3,4),向量b滿足|〃-切=3,則|8的取值范圍是

【解析】解：設b=(x,y),

/.a-b=(3-jf,4-y),

a-b\=3,

：.V(3-^)2+(4-y)2=3,

化為(x-3)2+(y-4)2=9.圓心C(3,4),半徑r=3.

...|0C|=V32+42=5.

.\|切=1f+與的取值范圍是[5一3,5+3],即。，8J.

故答案為：[2,81.

20.已知向量為力滿足|8|=1,。2-12。/+]=0,則力?(2。+㈤的取值范圍是________.

3

【解析】解：由/一史夕。+1=0,

3

貝I」a2—^\a\\b\cos<a,h>+1=0,

又|白1=1,cos<a,b>€[-1,1],

則3/-10|a|+3”0,

即4a|3.

3

Q3

貝4岳(24+。)=2向。+62=-+-t?2,

又如d|3,

3

則b.(2a+b)w2,7],

3

故答案為：g,7].

21.已知向量a,b滿足|a-b|=2且0融為1,則|a+0|的取值范圍是

[2,2①.

【解析】解：?」|〃一人|=2,

二.|肝-2a-b+\bf=4,

laf+\bf=4+2a-b,

又|a+1l=J|a|2=\l4+4ab,

,OMib1,

4^+4a-b8,

??.2別|。+力|2A/2,即伍+人的取值范圍是[2,20]；

令OA=a,OB=b,AB中點為M,AM中點為N,則

\3a+b\=\3OA+OB\=l2OA+OA+OB\=2\OA+OM\=4\ON\,

又|。+力|=|OA+OB|=2|OM|c[2,2Vi],

|0AY|e[l,V2],

又ON=OM+MN,

.?.當OM與MN共線時，|ONJ=Vi+；x2=x/i+g,

|3tz+Z>|ww=4x(V2+1)=4x/2+2.

第2小問另解：

|3?+Z>H2(a+b)+(d-b)\^\a-b\+\a-b\=2\a+b\+24忘+2.

故答案為：［2,2>/2］；4夜+2.

22.已知向量內力滿足?|=|a+3bl=2,則-b|的取值范圍是

32

a=一〃+一〃

55

【解析】解：令加=〃—2Z>.〃=〃+乂，反解得，

,11

b=—m+—n

55

由已知|欣m(xù)=2,令己=(2cosa,2sina),h=(2cos/?,2sin0),

所以d-b=1比+g”=G8sa+1cos/7,1sina+[sin〃)，

所以I'gcosa+gcos尸f+(gsina+]sin力了,

A父a,

=—+—cos(a-p)cos(a-/?)G[-1,1],

所以史效jd-W4,

25

所以《剌〃-加2.

故答案為：g,2].

23.已知向量a,h,滿足|a|=l,〃與b的夾角為工，若對一切實數(shù)尤，\xa+2b\..]a+b\

3

恒成立，則|的取值范圍為.

【解析】解：ah=—\h\,?2=1?

2

\xa+2b\..]a+b\恒成立，

.?.丁+(24-1)|力|+3|b|2-1..0恒成立，

即d+2聞》+3聞2-聞一1..0恒成立，

,4|b『-4(3|^|2-|^|-1)?0,

解得|見」或仍|”一工(舍)，

2

故答案為：[1,-H?).

24.已知平面向量。、b、[滿足|a|=4,\b\=3,|c|=2,bc=3,則

(a-b)2(a-c)2-[(a-b)\a-c)]2最大值為.

【解析】解：設。4=〃,。8=〃,0。=°,。一6與4-右所成夾角為6,

則(d-b)2(a-c)2-[(a-b)(d-c)f=\ABf\ACf-\AB|2|ACfcos20

=|AB|2|ACI2sin20^AB^\AC^sin2ZCAB=45^^,

lil:7y/?d=6cos〈〃,c〉=3,cosS,c〉=,，所以瓦c的夾角為60。，

2

設5(3,0),C(1,b)，則|BC|=卜+2?一2x3x2xg=",

所以&甌=、3x2xsin60o=地，設。到BC的距離為八

則』-3。/?=5.如=延，所以卜=岑~,

因為|a|=4,所以點A落在以點O為圓心，以4為半徑的圓上，

所以A到5c的距離最大值為4+6=4+酒，

7

所以心.的最大值為gx/x(4+券)=2"+孚，

所以(a-b)2(a-c)2-[(a-b)(a-c)f的最大值為

4(2/+—)2=(4x/7+3百丫=139+24歷.

故答案為：139+24⑸

..

25.已知平面向量。，〃，。滿足|b|=2|a|=l,|c|=5/2,(c-4d)?(c-4b)=0,則|2d-b|

的取值范圍是.

【解析】解：\2a-bf=4a2+b2-4a*b=2-4a^b,

(c-4o),(c-4b)=0,

c2—4c(a+Z?)+16a?b=0,

/.1+8a$=2c(a+h)?2\c\^a+h\=2\/2?\la2+2a^h+b2=2&聆+2"2,

當且僅當3+。)//時取等號.

..二鼬力

88

,,17

12a—力|=2—4〃4)€［―,—］?

二?日效］2。一力|半.

故答案為：［孝，半］.

26.已知共面向量可Re?滿足|d|=3,Z?+c=2a,且|方若對每一個確定的向量b,

記|bTal(feR)的最小值為d*,則當b變化時，d.的最大值為.

【解析】解：設QA=a,OB=b,OC=c,以OB,0C為鄰邊作平行四邊形。麻)C,

由題意可知00=204,04=3,

\jb\=\b-c\;.OB=BC，AB=-OB^

f2

過B作BEJLQD,則Ib-Sl(rwR)的最小值為4M加=8E,

2cfrr3〃P八

nr+9----------+9

設=ZAOB=a,則cosa="--------4----4

2X77?x36/n

小6>_(型+9)2J-<-加一15尸+144

BE=OBsina=C---------------------=2,------------------

6〃？6

故答案為：2.

27.在邊長為1的等邊三角形中，O為線段8c上的動點，￡應_￡4?且交至于點￡,

。產(chǎn)//A8且交AC于點尸，則|25七+。產(chǎn)|的值為1.

【解析】解：設8E=x,xe(0,g),

因為AABC為邊長為1的等邊三角形，DE±AB^

所以4BDE=3U;BD=2x,