2024-2025學(xué)年福建省廈門市高二上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省廈門市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選凃其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則（）A.1 B.2 C.3 D.42.三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為，則的中線的長(zhǎng)為（）A.3 B.5 C.9 D.253.若橢圓上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離為6，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)F2的距離為（）A.2 B.4 C.6 D.84.將直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后所得直線的方程為（）A. B.C. D.5.已知直線在軸、軸上的截距相等，則直線與直線間的距離為（）A. B. C.或 D.0或6.設(shè)直線l的方程為，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）A. B. C. D.7.若直線在軸?軸上的截距相等，且直線將圓的周長(zhǎng)平分，則直線的方程為（）A B.C.或 D.或8.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則最小值為（）A. B. C. D.二、本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有錯(cuò)的得0分．9.下面四個(gè)結(jié)論正確的是（）A.已知空間向量，若，則B.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面C.若，，則向量在向量上的投影向量D.任意向量，，滿足10.已知圓與圓，則（）A.兩圓的圓心距為B.兩圓的公切線有3條C.兩圓相交，且公共弦所在的直線方程為D.兩圓相交，且公共弦的長(zhǎng)度為11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的動(dòng)弦，圓，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.當(dāng)圓和圓存在公共點(diǎn)時(shí)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為B.的面積最大值為1C.若原點(diǎn)始終在動(dòng)弦上，則不是定值D.若動(dòng)點(diǎn)滿足四邊形為矩形，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共1.5分．12.無(wú)論為何值，直線恒過一定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______.13.希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)所形成的圖形是圓．后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為_______．14.已知過點(diǎn)且斜率為的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則的值等于______．四、解答題：共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知的頂點(diǎn)，邊上的高所在的直線方程為．（1）求直線的方程；（2）在兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中并作答．①角A的平分線所在直線方程為；②邊上的中線所在的直線方程為．若________________，求直線的方程．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．16.已知圓圓心在直線上且與y軸相切于點(diǎn).（1）求圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l過點(diǎn)且被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線l的方程.17.如圖，在直三棱柱中，為直角，側(cè)面為正方形，分別為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：；（3）求直線與平面所成角的正弦值.18.如圖，已知菱形和菱形的邊長(zhǎng)均為，，分別為上的動(dòng)點(diǎn)，且．（1）證明：平面；（2）當(dāng)長(zhǎng)度最小時(shí)，求：①；②點(diǎn)到平面的距離．19.古希臘亞歷山大時(shí)期最后一位重要的幾何學(xué)家帕普斯（Pappus，公元3世紀(jì)末）在其代表作《數(shù)學(xué)匯編》中研究了“三線軌跡”問題：平面上，到兩條已知直線距離的乘積是到第三條直線距離的平方的倍的動(dòng)點(diǎn)軌跡為二次曲線（在平面上，由二元二次方程所表示的曲線，叫做二次曲線）.常數(shù)的大小和直線的位置等決定了曲線的形狀.為了研究方便，我們?cè)O(shè)平面內(nèi)三條給定的直線為，當(dāng)三條直線中有相交直線時(shí)，記，，，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離為，且滿足.閱讀上述材料，完成下列問題：（1）當(dāng)，時(shí)，若，且與的距離為2，點(diǎn)在與之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡所圍成的面積.（2）若是等腰直角三角形，是直角，點(diǎn)在內(nèi)（包括兩邊）運(yùn)動(dòng)，試探求為何值時(shí)，的軌跡是圓？（3）若是等腰三角形，，點(diǎn)在內(nèi)（包括兩邊）任意運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，問在此等腰三角形對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)，使為大于1的定值.若存在，求出點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由.2024-2025學(xué)年福建省廈門市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選凃其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】B【分析】由題意可知，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，則，可得，解得.故選：B.2.三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為，則的中線的長(zhǎng)為（）A.3 B.5 C.9 D.25【正確答案】B【分析】求出邊的中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求得答案.【詳解】設(shè)邊的中點(diǎn)為D，則D點(diǎn)坐標(biāo)為，即，故的中線的長(zhǎng)為，故選：B3.若橢圓上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離為6，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)F2的距離為（）A.2 B.4 C.6 D.8【正確答案】B【詳解】∵橢圓的方程為，∴該橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，a2=25且b2=16，可得a=5、b=4．根據(jù)橢圓的定義，得|PF1|+|PF2|=2a=10∵橢圓上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離|PF1|=6，∴點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)F2的距離|PF2|=2a﹣|PF1|=10﹣6=4．故選B．4.將直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后所得直線的方程為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】分析可知，所得直線與直線垂直，可得出所求直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程.【詳解】由題意可知，所得直線與直線垂直，即所求直線的斜率為，因此，所求直線的方程為，即.故選：C.5.已知直線在軸、軸上的截距相等，則直線與直線間的距離為（）A. B. C.或 D.0或【正確答案】A【分析】由題意利用直線的截距的定義求得m的值，再利用兩條平行線之間的距離公式，計(jì)算即可．【詳解】直線在軸、軸上的截距相等，令，得，令，得，所以，解得，故直線，即，化簡(jiǎn)為，則直線與直線間的距離為故選：A．本題主要考查直線的截距的定義，兩條平行線之間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．6.設(shè)直線l的方程為，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】當(dāng)時(shí)，可得傾斜角為，當(dāng)時(shí)，由直線方程可得斜率，然后由余弦函數(shù)和正切函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，方程變?yōu)?，其傾斜角為，當(dāng)時(shí)，由直線方程可得斜率，且，，即，又，，綜上所述，傾斜角的范圍是.故選：C.7.若直線在軸?軸上的截距相等，且直線將圓的周長(zhǎng)平分，則直線的方程為（）A. B.C.或 D.或【正確答案】C【分析】設(shè)出直線方程，將圓心代入直線，求解即可.【詳解】由已知圓，直線將圓平分，則直線經(jīng)過圓心，直線方程為，或，將點(diǎn)代入上式，解得直線的方程為或.故選：C.8.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用三角換元，再結(jié)合三角函數(shù)的有界性，即可求解．【詳解】由，則可設(shè)為參數(shù)，，故，其中，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為．故選：D．二、本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有錯(cuò)的得0分．9.下面四個(gè)結(jié)論正確的是（）A.已知空間向量，若，則B.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面C.若，，則向量在向量上的投影向量D.任意向量，，滿足【正確答案】ABC【分析】根據(jù)空間向量的概念及其向量共面定理，基底，數(shù)量積等的概念，即可判斷得出答案.【詳解】對(duì)于A，若，則，A正確；對(duì)于B，若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有，則，即，因此，，共面，則P，A，B，C四點(diǎn)共面，B正確；對(duì)于C，，向量在向量上的投影向量，C正確；對(duì)于D，由于是一個(gè)實(shí)數(shù)，也是一個(gè)實(shí)數(shù)，若，則和共線，與已知的任意性不符，D錯(cuò)誤.故選：ABC10.已知圓與圓，則（）A.兩圓的圓心距為B.兩圓的公切線有3條C.兩圓相交，且公共弦所在的直線方程為D.兩圓相交，且公共弦的長(zhǎng)度為【正確答案】AC【分析】根據(jù)圓的方程確定圓心坐標(biāo)，求出兩圓圓心距，判斷A；判斷兩圓的位置關(guān)系，即可判斷B；將兩圓方程相減，即可得兩圓公共弦所在的直線方程，判斷C；利用幾何法求得公共弦長(zhǎng)，判斷D.【詳解】對(duì)于A，圓的圓心為，半徑為與圓的圓心為，半徑為，故兩圓的圓心距為，A正確；對(duì)于B，由于，即圓與圓相交，兩圓的公切線有2條，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由B可知兩圓相交，將圓與圓的方程相減，得，即公共弦所在的直線方程為，C正確；對(duì)于D，由B可知兩圓相交，而，到直線的距離為，故兩圓公共弦的長(zhǎng)度為，D錯(cuò)誤，故選：AC11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的動(dòng)弦，圓，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.當(dāng)圓和圓存在公共點(diǎn)時(shí)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為B.的面積最大值為1C.若原點(diǎn)始終在動(dòng)弦上，則不是定值D.若動(dòng)點(diǎn)滿足四邊形為矩形，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【正確答案】ABD【分析】根據(jù)兩圓位置關(guān)系列不等式求解實(shí)數(shù)的范圍判斷A，根據(jù)三角形面積結(jié)合正弦函數(shù)可求出面積最大值判斷B，分類討論，設(shè)直線方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合數(shù)量積數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算求解判斷C，先根據(jù)矩形性質(zhì)結(jié)合垂徑定理得到點(diǎn)的軌跡，然后利用圓的周長(zhǎng)公式求解判斷D.【詳解】對(duì)于A，圓的圓心為1,0，半徑為，圓的圓心為，半徑為，當(dāng)圓和圓存在公共點(diǎn)時(shí)，，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，正確；對(duì)于B，的面積為，當(dāng)時(shí)，的面積有最大值為1，正確；對(duì)于C，當(dāng)弦垂直x軸時(shí)，，所以，當(dāng)弦不垂直x軸時(shí)，設(shè)弦所在直線為，與圓聯(lián)立得，，設(shè)，則，，綜上，恒為定值，錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)Px0,y0，OP中點(diǎn)，該點(diǎn)也是又，所以，化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)軌跡為以1,0為圓心，半徑為的圓，其周長(zhǎng)為長(zhǎng)度為，正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共1.5分．12.無(wú)論為何值，直線恒過一定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______.【正確答案】2,3【分析】將直線方程整理為關(guān)于的方程，由直線恒過定點(diǎn)列方程組即可得解.【詳解】化簡(jiǎn)直線方程為關(guān)于的方程，因?yàn)橹本€恒過定點(diǎn)，所以，解得，則定點(diǎn)的坐標(biāo)為2,3.故2,3.13.希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)所形成的圖形是圓．后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為_______．【正確答案】【分析】首先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后列出等式，最后化簡(jiǎn)所得的等式可得軌跡方程.【詳解】由題意可設(shè)點(diǎn)，由，，，得，化簡(jiǎn)得，即.故答案為.14.已知過點(diǎn)且斜率為的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則的值等于______．【正確答案】7【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，則可得，故可求數(shù)量積的值.【詳解】由題設(shè)，設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)?，故在圓外，則，設(shè)圓心為，連接，則，故故7.四、解答題：共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知的頂點(diǎn)，邊上的高所在的直線方程為．（1）求直線的方程；（2）在兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中并作答．①角A的平分線所在直線方程為；②邊上的中線所在的直線方程為．若________________，求直線的方程．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)直線垂直，求得斜率，利用點(diǎn)斜式方程，可得答案；（2）聯(lián)立直線方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，分別利用角平分線的對(duì)稱或中線的對(duì)稱，可得答案.【小問1詳解】因?yàn)檫吷细咚诘闹本€方程為，所以直線的斜率，又因?yàn)榈捻旤c(diǎn)，所以直線的方程為：，即；【小問2詳解】若選①，角的平分線所在直線方程為，由，解得，所以點(diǎn)A坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即坐標(biāo)為，又點(diǎn)在直線上，所以的斜率，所以直線的方程為，即．若選②：邊上中線所在的直線方程為，由，解得，所以點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則的中點(diǎn)在直線上，所以，即，又點(diǎn)直線上，所以，所以的斜率，所以直線的方程為，即直線的方程為．16.已知圓的圓心在直線上且與y軸相切于點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l過點(diǎn)且被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線l的方程.【正確答案】（1）（2）或【分析】（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，結(jié)合題意得到，求得圓心，再由，即可求得圓的方程；（2）根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式，化簡(jiǎn)得到，分的斜率不存在和存在，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程，即可求解.【小問1詳解】解：圓的圓心在直線上且與軸切于點(diǎn)，可設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，解得，.所以圓心，半徑，故圓的方程為.【小問2詳解】解：由直線l過點(diǎn)且被圓C截得的弦長(zhǎng)為，根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式，可得，即，解得，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，的方程為，此時(shí)不滿足條件；當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)直線的斜率為，則方程為，即，可得，解得或，所以直線方程為或.17.如圖，在直三棱柱中，為直角，側(cè)面為正方形，分別為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：；（3）求直線與平面所成角的正弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【分析】（1）連接，證明，結(jié)合線面平行判定定理證明結(jié)論；（2）由線面垂直得到，結(jié)合得到線面垂直，再證明，結(jié)合（1）可得；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到平面的法向量，得到線面角的正弦值．【小問1詳解】證明：連接，在中，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面．【小問2詳解】證明：因?yàn)橹比庵?，為?cè)棱，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又為直角，所以又，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，由?），所以．【小問3詳解】建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，因此，．設(shè)平面的法向量為，則，，所以，即令，則，，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為．所以．18.如圖，已知菱形和菱形的邊長(zhǎng)均為，，分別為上的動(dòng)點(diǎn)，且．（1）證明：平面；（2）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，求：①；②點(diǎn)到平面的距離．【正確答案】（1）證明見解析（2）①；②【分析】（1）方法一，過點(diǎn)作，證明平面平面，從而可證明結(jié)論；方法二，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，連結(jié)，證明，根據(jù)線面平行的判定定理證明結(jié)論；（2）①建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出坐標(biāo)，可得其模長(zhǎng)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案；②利用空間距離的向量求法，即可得答案.【小問1詳解】證明：（方法一）在菱形內(nèi)，過點(diǎn)作，，連接，則，由得，∴，∴，∵，平面，平面，∴平面．∵，平面，平面，∴平面．又平面，，∴平面平面，又平面，∴平面．（方法二）延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，連結(jié)，由，得，由得，則，而平面，平面，∴平面．【小問2詳解】取的中點(diǎn)，連接，由題意知為等邊三角形，得，同理，而平面，則平面，又平面，于是平面平面，①在平面內(nèi)作，平面平面，則平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，由，得，，，，由，得．從而，當(dāng)時(shí)，取最小值；②此時(shí)，，，設(shè)為平面的法向量，則，令，得，故點(diǎn)到平面的距離為.19.古希臘亞歷山大時(shí)期最后一位重要的幾何學(xué)家帕普斯（Pappus，公元3世紀(jì)末）在其代表作《數(shù)學(xué)匯編》中研究了“三線軌跡”問題：平面上，到兩條已知直線距離的乘積是到第三條直線距離的平方的倍的動(dòng)點(diǎn)軌跡為二次曲線（在平面上，由二元二次方程所表示的曲線，叫做二次曲線）.常數(shù)的大小和直線的位置等決定了曲線的形狀.為了研究