浙江省2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量第5節(jié)直線平面垂直的判定及其性質(zhì)含解析

PAGE第5節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)考試要求1.以立體幾何的定義、公理和定理為動身點，相識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；2.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡潔命題.知識梳理1.直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義假如一條直線l與平面α內(nèi)的隨意直線都垂直，就說直線l與平面α相互垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,a?α,b?α))?l⊥α性質(zhì)定理兩直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個平面相交，假如它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面相互垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面相互垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β性質(zhì)定理假如兩個平面相互垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α[常用結(jié)論與易錯提示]1.垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化2.直線與平面垂直的五個結(jié)論(1)若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的隨意直線.(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.(4)過一點有且只有一條直線與已知平面垂直.(5)過一點有且只有一個平面與已知直線垂直.診斷自測1.推斷下列說法的正誤.(1)直線l與平面α內(nèi)的多數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.()(2)垂直于同一個平面的兩平面平行.()(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的隨意一條直線垂直于另一個平面.()(4)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的多數(shù)條直線，則α⊥β.()解析(1)直線l與平面α內(nèi)的多數(shù)條直線都垂直，則有l(wèi)⊥α或l與α斜交或l?α或l∥α，故(1)錯誤.(2)垂直于同一個平面的兩個平面平行或相交，故(2)錯誤.(3)若兩個平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的直線可能垂直于另一平面，也可能與另一平面平行，也可能與另一平面相交，也可能在另一平面內(nèi)，故(3)錯誤.(4)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的全部直線，則α⊥β，故(4)錯誤.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(2024·溫州適應(yīng)性測試)設(shè)m，n為直線，α，β為平面，則m⊥α的一個充分條件可以是()A.α⊥β，α∩β＝n，m⊥n B.α∥β，m⊥βC.α⊥β，m∥β D.n?α，m⊥n解析對于A，直線m與平面α可能平行、相交或直線m在平面α內(nèi)，A錯誤；對于B，由直線垂直于兩平行平面中的一個，得該直線垂直于另一個平面，B正確，對于C，直線m與平面α可能平行、相交或直線m在平面α內(nèi)，C錯誤；對于D，直線m與平面α可能平行、相交或直線m在平面α內(nèi)，D錯誤.綜上所述，故選B.答案B3.(2024·浙江卷)已知相互垂直的平面α，β交于直線l，若直線m，n滿意m∥α，n⊥β，則()A.m∥l B.m∥nC.n⊥l D.m⊥n解析因為α∩β＝l，所以l?β，又n⊥β，所以n⊥l，故選C.答案C4.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CD的中點，則()A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC解析如圖，由題設(shè)知A1B1⊥平面BCC1B1且BC1?平面BCC1B1，從而A1B1⊥BC1，又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E?平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.答案C5.(2024·北京順義區(qū)二模)已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則()A.若m⊥α，α⊥β，則m∥βB.若m∥α，n⊥α，則m⊥nC.若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥βD.若m∥α，n∥α，則m∥n解析在如圖所示的正方體中依次推斷各個選項；A選項，面ABCD⊥面ADD1A1，AA1⊥面ABCD，此時AA1?面ADD1A1，可知A錯誤；B選項，m∥α，則α內(nèi)必存在直線，使得m∥l；又n⊥α，則n⊥l，可知n⊥m，可知B正確；C選項，取AA1和DD1中點E和F，可知A1D1∥面ABCD，EF∥面ABCD，A1D1，EF?面ADD1A1，此時面ADD1A1⊥面ABCD，可知C錯誤；D選項，AA1∥面BCC1B1，AD∥面BCC1B1，此時AA1∩AD＝A，可知D錯誤.答案B6.(必修2P67練習(xí)2改編)在三棱錐P－ABC中，點P在平面ABC中的射影為點O，(1)若PA＝PB＝PC，則點O是△ABC的________心.(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點O是△ABC的________心.解析(1)如圖1，連接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以O(shè)A＝OB＝OC，即O為△ABC的外心.圖1圖2(2)如圖2，∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，AB?平面PAB，∴PC⊥AB，又AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG?平面PGC，∴AB⊥CG，即CG為△ABC邊AB的高.同理可證BD，AH分別為△ABC邊AC，BC上的高，即O為△ABC的垂心.答案(1)外(2)垂考點一線面垂直的判定與性質(zhì)【例1】(2024·蘇錫常鎮(zhèn)四市一調(diào))如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的高為eq\r(6)，其底面邊長為2.已知點M，N分別是棱A1C1，AC的中點，點D是棱CC1上靠近C的三等分點.求證：(1)B1M∥平面A1BN；(2)AD⊥平面A1BN.證明(1)連接MN，正三棱柱ABC－A1B1C1中，四邊形AA1C1C是平行四邊形，因為點M，N分別是棱A1C1，AC的中點，所以MN∥AA1且MN＝AA1，又正三棱柱ABC－A1B1C1中AA1∥BB1且AA1＝BB1，所以MN∥BB1且MN＝BB1，所以四邊形MNBB1是平行四邊形，所以B1M∥BN，又B1M?平面A1BN，BN?平面A1BN，所以B1M∥平面A1BN.(2)正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BN?平面ABC，所以BN⊥AA1.在正△ABC中，N是AC的中點，所以BN⊥AC，又AA1，AC?平面AA1C1C，AA1∩AC＝A，所以BN⊥平面AA1C1C，又AD?平面AA1C1C，所以AD⊥BN.由題意，AA1＝eq\r(6)，AC＝2，AN＝1，CD＝eq\f(\r(6),3)，所以eq\f(AA1,AC)＝eq\f(AN,CD)＝eq\f(\r(6),2)，又∠A1AN＝∠ACD＝eq\f(π,2)，所以△A1AN∽△ACD，則∠AA1N＝∠CAD，所以∠ANA1＋∠CAD＝∠ANA1＋∠AA1N＝eq\f(π,2)，則AD⊥A1N，又BN∩A1N＝N，BN，A1N?平面A1BN，所以AD⊥平面A1BN.規(guī)律方法(1)證明直線和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l?β?l⊥α).(2)證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.【訓(xùn)練1】如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點D為線段AB上一點，且AD＝eq\f(1,3)DB，點C為圓O上一點，且BC＝eq\r(3)AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.求證：PA⊥CD.證明因為AB為圓O的直徑，所以AC⊥CB.在Rt△ABC中，由eq\r(3)AC＝BC得，∠ABC＝30°.設(shè)AD＝1，由3AD＝DB得，DB＝3，BC＝2eq\r(3).由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos30°＝3，所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AB.因為PD⊥平面ABC，CD?平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AB＝D得，CD⊥平面PAB，又PA?平面PAB，所以PA⊥CD.考點二面面垂直的判定與性質(zhì)【例2】(2024·江蘇卷)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求證：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.證明(1)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1.因為AB?平面A1B1C，A1B1?平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，四邊形ABB1A1為平行四邊形.又因為AA1＝AB，所以四邊形ABB1A1為菱形，因此AB1⊥A1B.又因為AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.又因為A1B∩BC＝B，A1B?平面A1BC，BC?平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因為AB1?平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.規(guī)律方法(1)證明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理.(2)已知兩平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.【訓(xùn)練2】如圖，在三棱錐A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.證明(1)在平面ABD內(nèi)，AB⊥AD，EF⊥AD，則AB∥EF.∵AB?平面ABC，EF?平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴BC⊥平面ABD.∵AD?平面ABD，∴BC⊥AD.又AB⊥AD，BC，AB?平面ABC，BC∩AB＝B，∴AD⊥平面ABC，又因為AC?平面ABC，∴AD⊥AC.考點三平行與垂直的綜合問題多維探究角度1多面體中平行與垂直關(guān)系的證明【例3－1】(2024·北京卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點.(1)求證：PE⊥BC；(2)求證：平面PAB⊥平面PCD；(3)求證：EF∥平面PCD.證明(1)因為PA＝PD，E為AD的中點，所以PE⊥AD.因為底面ABCD為矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因為底面ABCD為矩形，所以AB⊥AD.又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD?平面PAD，所以AB⊥PD.又因為PA⊥PD，且PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB.又PD?平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如圖，取PC中點G，連接FG，DG.因為F，G分別為PB，PC的中點，所以FG∥BC，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)BC.因為ABCD為矩形，且E為AD的中點，所以DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四邊形DEFG為平行四邊形.所以EF∥DG.又因為EF?平面PCD，DG?平面PCD，所以EF∥平面PCD.規(guī)律方法(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作協(xié)助線進行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.(2)垂直與平行的結(jié)合問題，求解時應(yīng)留意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用.角度2平行垂直中探究性問題【例3－2】如圖所示，平面ABCD⊥平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BC＝CE，點F為CE的中點.(1)證明：AE∥平面BDF.(2)點M為CD上隨意一點，在線段AE上是否存在點P，使得PM⊥BE？若存在，確定點P的位置，并加以證明；若不存在，請說明理由.(1)證明連接AC交BD于O，連接OF，如圖①.∵四邊形ABCD是矩形，∴O為AC的中點，又F為EC的中點，∴OF為△ACE的中位線，∴OF∥AE，又OF?平面BDF，AE?平面BDF，∴AE∥平面BDF.(2)解當(dāng)P為AE中點時，有PM⊥BE，證明如下：取BE中點H，連接DP，PH，CH，∵P為AE的中點，H為BE的中點，∴PH∥AB，又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四點共面.∵平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD?平面ABCD，CD⊥BC.∴CD⊥平面BCE，又BE?平面BCE，∴CD⊥BE，∵BC＝CE，H為BE的中點，∴CH⊥BE，又CD∩CH＝C，∴BE⊥平面DPHC，又PM?平面DPHC，∴BE⊥PM，即PM⊥BE.規(guī)律方法(1)求條件探究性問題的主要途徑：①先猜后證，即先視察與嘗試給出條件再證明；②先通過命題成立的必要條件探究出命題成立的條件，再證明充分性.(2)涉及點的位置探究性問題一般是先依據(jù)條件揣測點的位置再給出證明，探究點存在問題，點多為中點或三等分點中某一個，也可以依據(jù)相像學(xué)問建點.【訓(xùn)練3】(1)(角度1)(2024·江蘇卷)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點，AB＝BC.求證：①A1B1∥平面DEC1；②BE⊥C1E.(2)(角度2)(2024·全國Ⅲ卷)如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧eq\o(CD,\s\up8(︵))所在平面垂直，M是eq\o(CD,\s\up8(︵))上異于C，D的點.①證明：平面AMD⊥平面BMC；②在線段AM上是否存在點P，使得MC∥平面PBD？說明理由.(1)證明①因為D，E分別為BC，AC的中點，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因為ED?平面DEC1，A1B1?平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.②因為AB＝BC，E為AC的中點，所以BE⊥AC.因為三棱柱ABC－A1B1C1是直棱柱，所以C1C⊥平面ABC.又因為BE?平面ABC，所以C1C⊥BE.因為C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC＝C，所以BE⊥平面A1ACC1.因為C1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.(2)①證明由題設(shè)知，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD.因為BC⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，又DM?平面CMD，故BC⊥DM.因為M為eq\o(CD,\s\up8(︵))上異于C，D的點，且DC為直徑，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.而DM?平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.②解當(dāng)P為AM的中點時，MC∥平面PBD.證明如下：如圖，連接AC，BD，AC交BD于O.因為ABCD為矩形，所以O(shè)為AC中點.連接OP，因為P為AM中點，所以MC∥OP.MC?平面PBD，OP?平面PBD，所以MC∥平面PBD.

基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1.已知平面α⊥平面β，且α∩β＝b，a?α，則“a⊥b”是“a⊥β”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析平面α⊥平面β，且α∩β＝b，a?α，若a⊥b，則a⊥β，充分性成立；平面α⊥平面β，因為α∩β＝b，所以b?β，若a⊥β，則a⊥b，必要性成立，所以“a⊥b”是“a⊥β”的充要條件，故選C.答案C2.下列命題正確的是()A.若直線l不平行于平面α，則α內(nèi)不存在直線平行于直線lB.若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)不存在直線垂直于直線lC.若平面α不平行于平面β，則β內(nèi)不存在直線平行于平面αD.若平面α不垂直于平面β，則β內(nèi)不存在直線垂直于平面α解析A中，若直線l在平面α內(nèi)，則平面α內(nèi)存在直線平行于直線l；B中，平面α內(nèi)存在多數(shù)條直線與直線l垂直；C中，平面β內(nèi)與兩平面交線平行的直線都與平面α平行；故選D.答案D3.(2024·浙江卷)設(shè)α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β()A.若l⊥β，則α⊥β B.若α⊥β，則l⊥mC.若l∥β，則α∥β D.若α∥β，則l∥m解析由面面垂直的判定定理可知A正確；B中，l與m可能平行、垂直、相交、異面；C中，α與β可能相交、平行；D中，l與m可能異面、平行.答案A4.若平面α，β滿意α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P?l，則下列命題中是假命題的為()A.過點P垂直于平面α的直線平行于平面βB.過點P垂直于直線l的直線在平面α內(nèi)C.過點P垂直于平面β的直線在平面α內(nèi)D.過點P且在平面α內(nèi)垂直于l的直線必垂直于平面β解析由于過點P垂直于平面α的直線必平行于平面β內(nèi)垂直于交線的直線，因此也平行于平面β，因此A正確.過點P垂直于直線l的直線有可能垂直于平面α，不肯定在平面α內(nèi)，因此B不正確.依據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理知C，D正確.答案B5.如圖，在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結(jié)論不成立的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面PAED.平面PDE⊥平面ABC解析因為BC∥DF，DF?平面PDF，BC?平面PDF，所以BC∥平面PDF，故選項A正確.在正四面體中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，∴BC⊥平面PAE，DF∥BC，則DF⊥平面PAE，又DF?平面PDF，從而平面PDF⊥平面PAE.因此B，C均正確.答案D6.(2024·北京門頭溝區(qū)一模)如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不垂直的是()解析對于A，AB為體對角線，M、N、Q分別為棱的中點，由中位線定理可得MN，MQ，NQ平行于所對應(yīng)的面對角線，連接另一條面對角線，由線面垂直的判定可得AB垂直于MN，MQ，NQ，可得AB垂直于平面MNQ；對于B，AB為上底面的對角線，明顯AB垂直于MN，與AB相對的下底面的面對角線平行，且與直線NQ垂直，可得AB垂直于平面MNQ；對于C，AB為前面的面對角線，明顯AB垂直于MN，QN在下底面且與棱平行，此棱垂直于AB所在的面，即有AB垂直于QN，可得AB垂直于平面MNQ；對于D，AB為上底面的對角線，MN平行于前面的一條面對角線，此對角線與AB所成角為60°，則AB不垂直于平面MNQ.答案D二、填空題7.如圖，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個數(shù)為________.解析∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC?平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，則△PAB，△PAC為直角三角形.由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，從而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形.答案48.(2024·北京卷)已知l，m是平面α外的兩條不同直線.給出下列三個論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：________.解析已知l，m是平面α外的兩條不同直線，由①l⊥m與②m∥α，不能推出③l⊥α，因為l可以與α平行，也可以相交不垂直；由①l⊥m與③l⊥α能推出②m∥α；由②m∥α與③l⊥α可以推出①l⊥m.故正確的命題是②③?①或①③?②.答案若m∥α，l⊥α，則l⊥m(或若l⊥m，l⊥α，則m∥α，答案不唯一)9.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當(dāng)點M滿意________時，平面MBD⊥平面PCD(只要填寫一個你認(rèn)為正確的條件即可).解析由題意可知，BD⊥PC.∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時，有PC⊥平面MBD.又PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)10.已知α，β是兩個平面，m，n是兩條直線.(1)假如m⊥α，n∥α，那么m，n的位置關(guān)系是________；(2)假如m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角的大小關(guān)系是________.解析(1)由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線l?α，n∥l，m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n.(2)因為m∥n，所以m與α所成的角和n與α所成的角相等.因為α∥β，所以n與α所成的角和n與β所成的角相等，所以m與α所成的角和n與β所成的角相等.答案(1)垂直(2)相等三、解答題11.如圖，在三棱錐P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分別為AB，PA的中點.(1)求證：PB∥平面MNC；(2)若AC＝BC，求證：PA⊥平面MNC.證明(1)因為M，N分別為AB，PA的中點，所以MN∥PB.又因為MN?平面MNC，PB?平面MNC，所以PB∥平面MNC.(2)因為PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN.因為AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB.因為平面PAB⊥平面ABC，CM?平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB.所以CM⊥平面PAB.因為PA?平面PAB，所以CM⊥PA.又MN∩CM＝M，所以PA⊥平面MNC.12.(2024·北京卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，E為CD的中點.(1)求證：BD⊥平面PAC；(2)若∠ABC＝60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；(3)棱PB上是否存在點F，使得CF∥平面PAE？說明理由.(1)證明因為PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD.因為底面ABCD為菱形，所以BD⊥AC.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.(2)證明因為PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE.因為底面ABCD為菱形，∠ABC＝60°，且E為CD的中點，所以AE⊥CD.又因為AB∥CD，所以AB⊥AE.又AB∩PA＝A，所以AE⊥平面PAB.因為AE?平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE.(3)解棱PB上存在點F，使得CF∥平面PAE.理由如下：取PB的中點F，PA的中點G，連接CF，F(xiàn)G，EG，則FG∥AB，且FG＝eq\f(1,2)AB.因為底面ABCD為菱形，且E為CD的中點，所以CE∥AB，且CE＝eq\f(1,2)AB.所以FG∥CE，且FG＝CE.所以四邊形CEGF為平行四邊形.所以CF∥EG.因為CF?平面PAE，EG?平面PAE，所以CF∥平面PAE.實力提升題組13.(2024·全國Ⅲ卷)如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則()A.BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B.BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C.BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D.BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線解析取CD的中點O，連接ON，EO，因為△ECD為正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則EO＝eq\r(3)，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.過M作CD的垂線，垂足為P，連接BP，則MP＝eq\f(\r(3),2)，CP＝eq\f(3,2)，所以BM2＝MP2＋BP2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋22＝7，得BM＝eq\r(7)，所以BM≠EN.連接BD，BE，因為四邊形ABCD為正方形，所以N為BD的中點，即EN，MB均在平面BDE內(nèi)，所以直線BM，EN是相交直線，故選B.答案B14.(2024·浙江教化綠色評價聯(lián)盟適考)在三棱錐P－ABC中，E為線段AB(不包括端點)上一點，則錯誤的是()A.肯定存在唯一的平面α經(jīng)過點E，使得平面α∥平面PACB.肯定存在唯一的平面α經(jīng)過點E，使得平面α⊥平面PACC.肯定存在唯一的平面α經(jīng)過點E，使得平面α⊥PAD.在平面ABC內(nèi)，肯定存在唯一的直線l經(jīng)過點E，使得l∥平面PAC解析由點E為平面PAC外一點，逐項分析如下：選項理由正誤A過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行正確B過一點有且只有一條直線與已知平面垂直；過平面垂線的全部平面與已知平面垂直錯誤C過一點有且只有一個平面與已知直線垂直正確D過已知平面的平行直線的平面與已知平面相交，則交線與已知直線平行；又在同一平面內(nèi)有且只有一條直線與已知直線平行正確故選B.答案B15.如圖，已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直線BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.其中正確的有________(把全部正確的序號都填上).解析由PA⊥平面ABC，AE?平面ABC，得PA⊥AE，又由正六邊形的性質(zhì)得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，又PB?平面PAB，∴AE⊥PB，①正確；又平面PAD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②錯誤；由正六邊形的性質(zhì)得BC∥AD，又AD?平面PAD，BC?平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直線BC∥平面PAE也不成立，③錯誤；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正確.答案①④16.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，點D是A1C1的中點，點F在線段AA1上，當(dāng)AF＝________時，CF⊥平面B1DF.解析由題意易知B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF.要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可.令CF⊥DF，設(shè)AF＝x，則A1F＝