2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（解答題）：一、二次函數(shù)及方程、不等式（10題）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（解答題）：一、二次函數(shù)及方程、不等式（10題）一．解答題（共10小題）1．（2024?蓮湖區(qū)校級(jí)三模）已知p：|2x﹣5|≤3，q：x2﹣（2a﹣2）x+a2﹣2a≤0．（1）若p是真命題，求對(duì)應(yīng)x的取值范圍；（2）若p是q的必要不充分條件，求a的取值范圍．2．（2024?東興區(qū)校級(jí)模擬）已知2x2+y2﹣2xy﹣2x﹣1＝0．（1）若y＞x＞1，求y的最大值，并求出此時(shí)x的值；（2）若x＞1且x＞y，求2x﹣y的最大值．3．（2024?北京模擬）已知關(guān)于x的不等式ax2+5x﹣2a+1＜0的解集是M．（1）若﹣3∈M，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若M={x|m＜x＜m+74．（2023?南陽(yáng)模擬）已知函數(shù)f（x）＝x2+2ax+2．（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[﹣2，3]上的值域；（2）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[t，t+1]上的最大值．5．（2023?南陽(yáng)模擬）已知集合A是函數(shù)y＝lg（20﹣8x﹣x2）的定義域，集合B是不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0）的解集，p：x∈A，q：x∈B．（1）若A∩B＝?，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若￢p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．6．（2023?和平區(qū)校級(jí)一模）在①f（4）＝﹣1，f（3）＝2，②當(dāng)x＝2時(shí)，f（x）取得最大值3，③f（x+2）＝f（2﹣x），f（0）＝﹣1這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并作答．問(wèn)題：已知函數(shù)f（x）＝﹣x2﹣2ax+b，且_______．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域?yàn)閇3m﹣2，3n﹣2]，求m+n的值．7．（2022?寶山區(qū)校級(jí)二模）“跳臺(tái)滑雪”是冬奧會(huì)中的一個(gè)比賽項(xiàng)目，俗稱(chēng)“勇敢者的游戲”，觀賞性和挑戰(zhàn)性極強(qiáng)．如圖：一個(gè)運(yùn)動(dòng)員從起滑門(mén)點(diǎn)A出發(fā)，沿著助滑道曲線f(x)=-b2-x2(-b≤x≤0)滑到臺(tái)端點(diǎn)B起跳，然后在空中沿拋物線g（x）＝ax2﹣20ax﹣b（x＞0）飛行一段時(shí)間后在點(diǎn)C著陸，線段BC的長(zhǎng)度稱(chēng)作運(yùn)動(dòng)員的飛行距離，計(jì)入最終成績(jī)．已知g（x）＝ax2﹣20ax﹣b在區(qū)間[0（1）求實(shí)數(shù)a，b的值及助滑道曲線AB的長(zhǎng)度．（2）若運(yùn)動(dòng)員某次比賽中著陸點(diǎn)C與起滑門(mén)點(diǎn)A的高度差為120米，求他的飛行距離（精確到米）．8．（2022?青浦區(qū)二模）設(shè)函數(shù)f（x）＝x2+px+q（p，q∈R），定義集合Df＝{x|f（f（x））＝x，x∈R}，集合Ef＝{x|f（f（x））＝0，x∈R}．（1）若p＝q＝0，寫(xiě)出相應(yīng)的集合Df和Ef；（2）若集合Df＝{0}，求出所有滿足條件的p，q；（3）若集合Ef只含有一個(gè)元素，求證：p≥0，q≥0．9．（2024?北京自主招生）求R上方程x2﹣13[x]+11＝0的解的個(gè)數(shù)．10．（2023秋?邢臺(tái)期末）已知關(guān)于x的不等式kx2+kx﹣1＜0．（1）若不等式的解集為{x|﹣2＜x＜1}，求實(shí)數(shù)k的值；（2）若不等式的解集為R，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（解答題）：一、二次函數(shù)及方程、不等式（10題）參考答案與試題解析一．解答題（共10小題）1．（2024?蓮湖區(qū)校級(jí)三模）已知p：|2x﹣5|≤3，q：x2﹣（2a﹣2）x+a2﹣2a≤0．（1）若p是真命題，求對(duì)應(yīng)x的取值范圍；（2）若p是q的必要不充分條件，求a的取值范圍．【考點(diǎn)】一元二次不等式及其應(yīng)用；充分條件與必要條件．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）[1，4]；（2）[3，4]．【分析】（1）解絕對(duì)值不等式即可得出答案；（2）由p是q的必要不充分條件，可得a-【解答】解：（1）∵p：|2x﹣5|≤3是真命題，∴|2x﹣5|≤3，∴﹣3≤2x﹣5≤3，解得1≤x≤4，∴x的取值范圍是[1，4]．（2）由（1）知：p：1≤x≤4，q：x2﹣（2a﹣2）x+a2﹣2a≤0即a﹣2≤x≤a，因?yàn)閜是q的必要不充分條件，所以a-解得：3≤a≤4，綜上所述，a的取值范圍是[3，4]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查必要不充分條件、含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．（2024?東興區(qū)校級(jí)模擬）已知2x2+y2﹣2xy﹣2x﹣1＝0．（1）若y＞x＞1，求y的最大值，并求出此時(shí)x的值；（2）若x＞1且x＞y，求2x﹣y的最大值．【考點(diǎn)】一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系；運(yùn)用基本不等式求最值；二次函數(shù)的應(yīng)用．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）y的最大值為3，此時(shí)x＝2；（2）3．【分析】（1）設(shè)xy∈k（0，1），則x＝ky，代入2x2+y2﹣2xy﹣2x﹣1＝0中，得2y2k2﹣（2y2+2y）k+y2﹣1＝0，設(shè)f（k）＝2y2k2﹣（2y2+2y）k+y2﹣1，根據(jù)一元二次方程根的分布得到不等式，求出1＜y≤3（2）設(shè)2x﹣y＝t，由于x＞1，x＞y，故t＝x+（x﹣y）＞1，將2x﹣t＝y(tǒng)代入等式中得2x2﹣（2t+2）x+t2﹣1＝0，根據(jù)根的判別式得到1＜t≤3，驗(yàn)證當(dāng)t＝3時(shí)滿足要求，從而得到最大值．【解答】解：（1）設(shè)xy∈k（0，1），則x＝ky代入2x2+y2﹣2xy﹣2x﹣1＝0，得（2k2+1）y2﹣2ky2﹣2ky﹣1＝0，即2y2k2﹣（2y2+2y）k+y2﹣1＝0，令f（k）＝2y2k2﹣（2y2+2y）k+y2﹣1，開(kāi)口向上，則f（0）＝y(tǒng)2﹣1＞0，要想f（k）＝2y2k2﹣（2y2+2y）k+y2﹣1＝0在k∈（0，1）上有解，則f（1）＜0或Δ≥由f（1）＝y(tǒng)2﹣2y﹣1＜0，解得1＜由Δ≥0f(1)≥0，即(2綜上，1＜y≤3，故y的最大值為3，此時(shí)x2﹣4x+4＝0，解得x＝2．（2）設(shè)2x﹣y＝t，由于x＞1且x＞y，故t＝x+（x﹣y）＞1，將2x﹣t＝y(tǒng)代入2x2+y2﹣2xy﹣2x﹣1＝0中，得2x2+（2x﹣t）2﹣2x（2x﹣t）﹣2x﹣1＝0，即2x2﹣（2t+2）x+t2﹣1＝0，Δ＝（2t+2）2﹣8（t2﹣1）＝﹣4t2+8t+12，要想方程在x∈（1，+∞）上有解，則△≥0，解得﹣1≤t≤3，又t＞1，故1＜t≤3，當(dāng)t＝3時(shí)，2x2﹣（2t+2）x+t2﹣1＝0，即2x2﹣8x+8＝0，解得x＝2，此時(shí)y＝1，符合要求，故2x﹣y的最大值為3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程根的分布與二次函數(shù)圖象的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．3．（2024?北京模擬）已知關(guān)于x的不等式ax2+5x﹣2a+1＜0的解集是M．（1）若﹣3∈M，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若M={x|m＜x＜m+7【考點(diǎn)】由一元二次不等式的解求參數(shù)．【專(zhuān)題】函數(shù)思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）{a|a＜2}；（2）a＝2，m＝﹣3．【分析】（1）由題意得，9a﹣15﹣2a+1＜0，求出a的取值范圍即可；（2）由題意可知，方程ax2+5x﹣2a+1＝0的兩個(gè)根為x1＝m，x2＝m+72，且a＞【解答】解：（1）由題意得，9a﹣15﹣2a+1＜0，解得a＜2，故a的范圍為{a|a＜2}；（2）由題意可知，方程ax2+5x﹣2a+1＝0的兩個(gè)根為x1＝m，x2＝m+72，且a＞由韋達(dá)定理可得，x1所以（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（-5a）2﹣4×-2a+1a=解得a＝2或-50所以m+m+7解得m＝﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次不等式的解法，考查了韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．（2023?南陽(yáng)模擬）已知函數(shù)f（x）＝x2+2ax+2．（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[﹣2，3]上的值域；（2）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[t，t+1]上的最大值．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的值域；二次函數(shù)的最值．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）值域是[1，17]；（2）f（x）max=(t-1【分析】（1）函數(shù)在[﹣2，﹣1）上單調(diào)遞減，在（﹣1，3]上單調(diào)遞增，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣2，3）上的值域；（2）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，f（x）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，分類(lèi)討論，即可求函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值．【解答】解：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，其圖象對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝﹣1；所以函數(shù)f（x）在[﹣2，﹣1）上單調(diào)遞減，在（﹣1，3]上單調(diào)遞增，∴x＝﹣1，f（x）min＝f（﹣1）＝1，x＝3，f（x）max＝f（3）＝17，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣2，3）上的值域是[1，17]；（2）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，f（x）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，當(dāng)t＜12，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值f（t）＝（t﹣1）2當(dāng)t≥12，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值f（t+1）＝t2∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值f（x）max=(t-1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．5．（2023?南陽(yáng)模擬）已知集合A是函數(shù)y＝lg（20﹣8x﹣x2）的定義域，集合B是不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0）的解集，p：x∈A，q：x∈B．（1）若A∩B＝?，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若￢p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【考點(diǎn)】一元二次不等式及其應(yīng)用；函數(shù)的定義域及其求法；充分條件與必要條件．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；簡(jiǎn)易邏輯．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）分別求函數(shù)y＝lg（20﹣8x﹣x2）的定義域和不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0）的解集化簡(jiǎn)集合A，由A∩B＝?得到區(qū)間端點(diǎn)值之間的關(guān)系，解不等式組得到a的取值范圍；（2）求出￢p對(duì)應(yīng)的x的取值范圍，由￢p是q的充分不必要條件得到對(duì)應(yīng)集合之間的關(guān)系，由區(qū)間端點(diǎn)值的關(guān)系列不等式組求解a的范圍．【解答】解：（1）由條件，得A＝{x|﹣10＜x＜2}，B＝{x|x≥1+a或x≤1﹣a}若A∩B＝?，則必須滿足1+a所以a的取值范圍為[11，+∞）；（2）易得￢p：x≥2或x≤﹣10，∵￢p是q的充分不必要條件，∴{x|x≥2或x≤﹣10}是B＝{x|x≥1+a或x≤1﹣a}的真子集，則1+a≤21-a≥-10a＞0，∴∴a的取值范圍為（0，1]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是充要條件的定義，正確理解充要條件的定義，是解答的關(guān)鍵．6．（2023?和平區(qū)校級(jí)一模）在①f（4）＝﹣1，f（3）＝2，②當(dāng)x＝2時(shí)，f（x）取得最大值3，③f（x+2）＝f（2﹣x），f（0）＝﹣1這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并作答．問(wèn)題：已知函數(shù)f（x）＝﹣x2﹣2ax+b，且_______．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域?yàn)閇3m﹣2，3n﹣2]，求m+n的值．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象；函數(shù)解析式的求解及常用方法．【專(zhuān)題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）f（x）＝﹣x2+4x﹣1；（2）m+n＝1．【分析】（1）分別選①②③，得到關(guān)于a，b的方程組，解出即可求出f（x）的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)的值域以及二次函數(shù)的性質(zhì)求出m+n的值即可．【解答】解：（1）若選①，由題意可得f(4)=解得a＝﹣2，b＝﹣1，故f（x）＝﹣x2+4x﹣1；若選②，由題意可得-解得a＝﹣2，b＝﹣1，故f（x）＝﹣x2+4x﹣1；若選③，因?yàn)閒（x+2）＝f（2﹣x），所以f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x＝2，則﹣a＝2，即a＝﹣2，因?yàn)閒（0）＝﹣1，所以b＝﹣1，故f（x）＝﹣x2+4x﹣1．（2）因?yàn)閒（x）＝﹣x2+4x﹣1在R上的值域?yàn)椋ī仭蓿?]，所以3n﹣2≤3，即n≤因?yàn)閒（x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x＝2，且n≤所以f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增，則f(m)=整理得n2﹣m2+m﹣n＝0，即（n﹣m）（n+m﹣1）＝0，因?yàn)閚﹣m≠0，所以n+m﹣1＝0，即n+m＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．7．（2022?寶山區(qū)校級(jí)二模）“跳臺(tái)滑雪”是冬奧會(huì)中的一個(gè)比賽項(xiàng)目，俗稱(chēng)“勇敢者的游戲”，觀賞性和挑戰(zhàn)性極強(qiáng)．如圖：一個(gè)運(yùn)動(dòng)員從起滑門(mén)點(diǎn)A出發(fā)，沿著助滑道曲線f(x)=-b2-x2(-b≤x≤0)滑到臺(tái)端點(diǎn)B起跳，然后在空中沿拋物線g（x）＝ax2﹣20ax﹣b（x＞0）飛行一段時(shí)間后在點(diǎn)C著陸，線段BC的長(zhǎng)度稱(chēng)作運(yùn)動(dòng)員的飛行距離，計(jì)入最終成績(jī)．已知g（x）＝ax2﹣20ax﹣b在區(qū)間[0（1）求實(shí)數(shù)a，b的值及助滑道曲線AB的長(zhǎng)度．（2）若運(yùn)動(dòng)員某次比賽中著陸點(diǎn)C與起滑門(mén)點(diǎn)A的高度差為120米，求他的飛行距離（精確到米）．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象．【專(zhuān)題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）a=-110，b=40，助滑道曲線（2）89米．【分析】（1）令y＝f（x），即可得到x2+y2＝b2，（﹣b≤x≤0，﹣b≤y≤0），即可得到f（x）的幾何意義，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到g（10）＝﹣30，g（30）＝﹣70，即可求出a、b的值，從而求出曲線AB的長(zhǎng)度；（2）由（1）可得g（x）的解析式，依題意可得yC＝﹣120，代入解析式中解出x，即可求出C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算可得．【解答】解：（1）因?yàn)閒(x)=-b2-x2(-b≤x≤0)，令y＝f（x），則x2+y2＝b2，（﹣b≤x≤0所以f(x)=-b2-x2(-b≤x≤0)表示以（0，0因?yàn)間（x）＝ax2﹣20ax﹣b（x＞0）由圖象可知函數(shù)開(kāi)口向下，所以a＜0，又對(duì)稱(chēng)軸為x=--20a2a=10，又|30﹣10|＞所以當(dāng)x＝10時(shí)g（x）max＝g（10）＝﹣100a﹣b＝﹣30，g（30）＝300a﹣b＝﹣70，解得a=-110即a=-110，b=40，助滑道曲線（2）依題意可得A（﹣40，0），B（0，﹣40），yC＝﹣120，由（1）可得g(x)=-令g（x）＝﹣120，即-1解得x1＝40，x2＝﹣20（舍去），所以C（40，﹣120），所以|BC|=4即該運(yùn)動(dòng)員飛行距離約為89米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．8．（2022?青浦區(qū)二模）設(shè)函數(shù)f（x）＝x2+px+q（p，q∈R），定義集合Df＝{x|f（f（x））＝x，x∈R}，集合Ef＝{x|f（f（x））＝0，x∈R}．（1）若p＝q＝0，寫(xiě)出相應(yīng)的集合Df和Ef；（2）若集合Df＝{0}，求出所有滿足條件的p，q；（3）若集合Ef只含有一個(gè)元素，求證：p≥0，q≥0．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象．【專(zhuān)題】壓軸題；方程思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理．【答案】（1）Df＝{0，1}，Ef＝{0}．（2）p＝1，q＝0．（3）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）由x4＝x、x4＝0解得x，可得Df，Ef；（2）由f（f（x））﹣x＝0得x2+（p+1）x+p+q+1＝0或x2+（p﹣1）x+q＝0，然后由Δ1＝（p+1）2﹣4（p+q+1），Δ2＝（p﹣1）2﹣4q＞Δ1，方程f（f（x））﹣x＝0只有一個(gè)實(shí)數(shù)解0，得Δ2＝0，Δ1＜0，轉(zhuǎn)化為x2+（p﹣1）x+q＝0有唯一實(shí)數(shù)解0，可得答案；（3）由條件，f（f（x））＝0有唯一解，得f（x）＝0有解，分f（x）＝0有唯一解x0、f（x）＝0有兩個(gè)解x1，x2（x1＜x2），則f（x）＝（x﹣x1）（x﹣x2），且兩個(gè)方程f（x）＝x1，f（x）＝x2總共只有一個(gè)解，結(jié)合f（x）圖像可知f（x）＝x2有唯一解，所以x2＜0，x1＜0，結(jié)合f（x）的圖像和實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)可得答案．【解答】解：f（x）＝x2，f（f（x））＝x4，由x4＝x解得x＝0或x＝1，由x4＝0解得x＝0，所以Df＝{0，1}，Ef＝{0}．（2）由f（f（x））﹣x＝f（f（x））﹣f（x）+f（x）﹣x＝f2（x）+pf（x）﹣x2﹣px+f（x）﹣x＝（f（x）+x+p+1）（f（x）﹣x）＝（x2+（p+1）x+p+q+1）（x2+（p﹣1）x+q）＝0，得x2+（p+1）x+p+q+1＝0或x2+（p﹣1）x+q＝0，Δ1＝（p+1）2﹣4（p+q+1）＝（p﹣1）2﹣4q﹣4，Δ2＝（p﹣1）2﹣4q＝（p﹣1）2﹣4q＞Δ1，而方程f（f（x））﹣x＝0只有一個(gè)實(shí)數(shù)解0，所以Δ2＝0，Δ1＜0，即只需x2+（p﹣1）x+q＝0有唯一實(shí)數(shù)解0，所以p＝1，q＝0．（3）由條件，f（f（x））＝0有唯一解，所以f（x）＝0有解，①若f（x）＝0有唯一解x0，則f（x）＝（x﹣x0）2，且f（x）＝x0有唯一解，結(jié)合f（x）圖像可知x0＝0，所以f（x）＝x2，所以p＝q＝0．②若f（x）＝0有兩個(gè)解x1，x2（x1＜x2），則f（x）＝（x﹣x1）（x﹣x2），且兩個(gè)方程f（x）＝x1，f（x）＝x2總共只有一個(gè)解，結(jié)合f（x）圖像可知f（x）＝x2有唯一解，所以x2＜0，x1＜0，則f（x）＝（x﹣x1）（x﹣x2），且兩個(gè)方程f（x）＝x1，f（x）＝x2總共只有一個(gè)解，結(jié)合f（x）圖像可知f（x）＝x2有唯一解，所以x2＜0，x1＜0，所以q＝x1x2＞0，且f（x）的對(duì)稱(chēng)軸x=-p所以p＞0，所以p＞0，q＞0．綜上，p≥0，q≥0．【點(diǎn)評(píng)】本題主題考查了二次函數(shù)與二次方程之間的關(guān)系的相互轉(zhuǎn)換，方程根與系數(shù)的應(yīng)用，考查了系數(shù)對(duì)新定義的理解能力及計(jì)算能力．9．（2024?北京自主招生）求R上方程x2﹣13[x]+11＝0的解的個(gè)數(shù)．【考點(diǎn)】解一元二次不等式．【專(zhuān)題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】4．【分析】由x2＝13[x]﹣11∈N得x＞1，由x﹣1＜[x]≤x得x2-13(x-1)+11＞0x2-13x+11≤0，解得x的范圍，得[x]可能取值為1，2【解答】解：由x2﹣13[x]+11＝0，得x2＝13[x]﹣11∈N，所以x＞1，因?yàn)閤﹣1＜[x]≤x，所以x2整理得﹣24＜x2﹣13x≤﹣11，解得x∈此時(shí)[x]可能取值為1，2，10，11，12，分別代入計(jì)算可得x=2經(jīng)檢驗(yàn)15不符合題意，故方程的解只有4個(gè)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次不等式的性質(zhì)及解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．10．（2023秋?邢臺(tái)期末）已知關(guān)于x的不等式kx2+kx﹣1＜0．（1）若不等式的解集為{x|﹣2＜x＜1}，求實(shí)數(shù)k的值；（2）若不等式的解集為R，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【考點(diǎn)】一元二次不等式及其應(yīng)用．【專(zhuān)題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）k=1（2）（﹣4，0]．【分析】（1）由題意可知﹣2和1是方程kx2+kx﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理求k的值；（2）討論k是否為0，分別求得k的范圍，求并集即為k的取值范圍．【解答】解：（1）若關(guān)于x的不等式kx2+kx﹣1＜0的解集為{x|﹣2＜x＜1}，則﹣2和1是方程kx2+kx﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且k＞0，由韋達(dá)定理可得-2解得k=1（2）若關(guān)于x的不等式kx2+kx﹣1＜0解集為R，當(dāng)k＝0時(shí)，不等式化為﹣1＜0，恒成立，滿足題意，當(dāng)k≠0時(shí)，則有k＜解得﹣4＜k＜0，綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍為（﹣4，0]．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查了一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．充分條件與必要條件【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、判斷：當(dāng)命題“若p則q”為真時(shí)，可表示為p?q，稱(chēng)p為q的充分條件，q是p的必要條件．事實(shí)上，與“p?q”等價(jià)的逆否命題是“￢q?￢p”．它的意義是：若q不成立，則p一定不成立．這就是說(shuō)，q對(duì)于p是必不可少的，所以說(shuō)q是p的必要條件．例如：p：x＞2；q：x＞0．顯然x∈p，則x∈q．等價(jià)于x?q，則x?p一定成立．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱(chēng)條件p是q成立的充要條件，或稱(chēng)條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點(diǎn)撥】充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個(gè)方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實(shí)際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)生答題時(shí)往往混淆二者的關(guān)系．判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰(shuí)大誰(shuí)必要，誰(shuí)小誰(shuí)充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．【命題方向】充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)開(kāi)始，或者沒(méi)有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過(guò)沒(méi)有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)容，多以小題為主，有時(shí)也會(huì)以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識(shí)點(diǎn)都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣．2．運(yùn)用基本不等式求最值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）2或者a+b【解題方法點(diǎn)撥】在運(yùn)用均值不等式求最值時(shí)，可以將代數(shù)式分解成可以應(yīng)用均值不等式的形式．例如，要求代數(shù)式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2從而得出最小值為2，并且在【命題方向】均值不等式求最值的命題方向包括代數(shù)表達(dá)式的最值求解、幾何圖形的最優(yōu)設(shè)計(jì)等．例如，求解一個(gè)代數(shù)式的最小值，或設(shè)計(jì)一個(gè)幾何圖形使其面積最大．這類(lèi)題型要求學(xué)生能夠靈活運(yùn)用均值不等式進(jìn)行最值求解，并能正確代入和計(jì)算．已知正數(shù)a，b滿足a+b＝1，則a+1+b+1的最大值是解：因?yàn)檎龜?shù)a，b滿足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，則a+1+當(dāng)且僅當(dāng)a＝b=1故答案為：6．3．二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】二次函數(shù)相對(duì)于一次函數(shù)而言，顧名思義就知道它的次數(shù)為二次，且僅有一個(gè)自變量，因變量隨著自變量的變化而變化．它的一般表達(dá)式為：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解題方法點(diǎn)撥】二次函數(shù)是一個(gè)很重要的知識(shí)點(diǎn)，不管在前面的選擇題填空題還是解析幾何里面，或是代數(shù)綜合體都有可能出題，其性質(zhì)主要有初中學(xué)的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)性、最值、幾個(gè)根的判定、韋達(dá)定理以及高中學(xué)的拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線和曲線的平移．這里面略談一下他的一些性質(zhì)．①開(kāi)口、對(duì)稱(chēng)軸、最值與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)a＞0（＜0）時(shí)，圖象開(kāi)口向上（向下）；對(duì)稱(chēng)軸x=-b2a；最值為：f（-b2a）；判別式△＝b2﹣4ac，當(dāng)△＝0時(shí)，函數(shù)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；△＞0②根與系數(shù)的關(guān)系．若△≥0，且x1、x2為方程y＝ax2+bx+c的兩根，則有x1+x2=-ba，x1?x③二次函數(shù)其實(shí)也就是拋物線，所以x2＝2py的焦點(diǎn)為（0，p2），準(zhǔn)線方程為y=④平移：當(dāng)y＝a（x+b）2+c向右平移一個(gè)單位時(shí)，函數(shù)變成y＝a（x﹣1+b）2+c；【命題方向】熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)畫(huà)出拋物線的準(zhǔn)確形狀，特別是注意拋物線焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的關(guān)系，拋物線最值得取得，這也是一個(gè)?？键c(diǎn)．4．二次函數(shù)的值域【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】二次函數(shù)相對(duì)于一次函數(shù)而言，顧名思義就知道它的次數(shù)為二次，且僅有一個(gè)自變量，因變量隨著自變量的變化而變化．它的一般表達(dá)式為：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解題方法點(diǎn)撥】二次函數(shù)是一個(gè)很重要的知識(shí)點(diǎn)，不管在前面的選擇題填空題還是解析幾何里面，或是代數(shù)綜合體都有可能出題，其性質(zhì)主要有初中學(xué)的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)性、最值、幾個(gè)根的判定、韋達(dá)定理以及高中學(xué)的拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線和曲線的平移．﹣確定二次函數(shù)的開(kāi)口方向（通過(guò)a的正負(fù)判斷）．﹣計(jì)算頂點(diǎn)x坐標(biāo)，x=-﹣計(jì)算頂點(diǎn)處的函數(shù)值f(-﹣根據(jù)開(kāi)口方向確定值域范圍．【命題方向】主要考查求二次函數(shù)的值域，涉及開(kāi)口方向、頂點(diǎn)的計(jì)算及實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題．函數(shù)f（x）＝x2+x﹣2（x∈[0，2]）的值域是_____．解：函數(shù)f（x）＝x2+x﹣2的對(duì)稱(chēng)軸為x=-故函數(shù)f（x）＝x2+x﹣2在[0，2]上單調(diào)遞增，又f（0）＝﹣2，f（2）＝4，所以函數(shù)f（x）＝x2+x﹣2（x∈[0，2]）的值域是[﹣2，4]．5．二次函數(shù)的最值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】二次函數(shù)相對(duì)于一次函數(shù)而言，顧名思義就知道它的次數(shù)為二次，且僅有一個(gè)自變量，因變量隨著自變量的變化而變化．它的一般表達(dá)式為：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解題方法點(diǎn)撥】二次函數(shù)是一個(gè)很重要的知識(shí)點(diǎn)，不管在前面的選擇題填空題還是解析幾何里面，或是代數(shù)綜合體都有可能出題，其性質(zhì)主要有初中學(xué)的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)性、最值、幾個(gè)根的判定、韋達(dá)定理以及高中學(xué)的拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線和曲線的平移．二次函數(shù)的最值出現(xiàn)在頂點(diǎn)處．對(duì)于f（x）＝ax2+bx+c，最值為f(-b2a)，根據(jù)﹣計(jì)算頂點(diǎn)x坐標(biāo)x=-﹣計(jì)算頂點(diǎn)處的函數(shù)值f(-﹣根據(jù)a的正負(fù)判斷最值類(lèi)型（最大值或最小值）．【命題方向】主要考查二次函數(shù)最值的計(jì)算與應(yīng)用題．設(shè)a為實(shí)數(shù)，若函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3在區(qū)間[a，2]上的最大值為154，則a的值為_(kāi)____解：函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，對(duì)稱(chēng)軸為x＝﹣1，當(dāng)a≤﹣1時(shí)，則x＝﹣1時(shí)，函數(shù)取得最大值為4，不滿足題意；當(dāng)﹣1＜a≤2時(shí)，則x＝a時(shí)，函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3在區(qū)間[a，2]上的最大值為154即﹣a2﹣2a+3=154，解得a=-1綜上，a的值為-1故選：C．6．二次函數(shù)的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】二次函數(shù)相對(duì)于一次函數(shù)而言，顧名思義就知道它的次數(shù)為二次，且僅有一個(gè)自變量，因變量隨著自變量的變化而變化．它的一般表達(dá)式為：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解題方法點(diǎn)撥】二次函數(shù)是一個(gè)很重要的知識(shí)點(diǎn)，不管在前面的選擇題填空題還是解析幾何里面，或是代數(shù)綜合體都有可能出題，其性質(zhì)主要有初中學(xué)的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)性、最值、幾個(gè)根的判定、韋達(dá)定理以及高中學(xué)的拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線和曲線的平移．﹣分析實(shí)際問(wèn)題，抽象出二次函數(shù)模型．﹣確定二次函數(shù)的解析式，結(jié)合實(shí)際情況求解相關(guān)參數(shù)．﹣運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)求解實(shí)際問(wèn)題，如最值、單調(diào)性等．【命題方向】常見(jiàn)的應(yīng)用題包括拋物線軌跡問(wèn)題、工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題等，考查學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型并求解的能力．2016年，某廠計(jì)劃生產(chǎn)25噸至45噸的某種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的總成本y（萬(wàn)元）與總產(chǎn)量x（噸）之間的關(guān)系可表示為y=x210-2x+90．若該產(chǎn)品的出廠價(jià)為每噸解：設(shè)利潤(rùn)為g（x），則g(x)=6x-當(dāng)x＝40時(shí)，g（x）max＝70萬(wàn)元；7．一元二次不等式及其應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是實(shí)數(shù)域內(nèi)的二次三項(xiàng)式．特征當(dāng)△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個(gè)實(shí)根，那么ax2+bx+c可寫(xiě)成a（x﹣x1）（x﹣x2）當(dāng)△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c＝0僅有一個(gè)實(shí)根，那么ax2+bx+c可寫(xiě)成a（x﹣x1）2．當(dāng)△＝b2﹣4ac＜0時(shí)．一元二次方程ax2+bx+c＝0沒(méi)有實(shí)根，那么ax2+bx+c與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．【解題方法點(diǎn)撥】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集為．解：原不等式可變形為（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案為：（﹣2，3）．這個(gè)題的特點(diǎn)是首先它把題干變了形，在這里我們必須要移項(xiàng)寫(xiě)成ax2+bx+c＜0的形式；然后應(yīng)用了特征當(dāng)中的第一條，把它寫(xiě)成兩個(gè)一元一次函數(shù)的乘積，所用的方法是十字相乘法；最后結(jié)合其圖象便可求解．【命題方向】①一元二次不等式恒成立問(wèn)題：一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等價(jià)條件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等價(jià)條件是：a＜0且△＜0．②分式不等式問(wèn)題：f(x)g(x)＞0?f（x）?g（x）＞f(x)g(x)＜0?f（x）?g（x）＜f(x)g(x)≥0?f(x)g(x)≤0?8．解一元二次不等式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是實(shí)數(shù)域內(nèi)的二次三項(xiàng)式．特征當(dāng)△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個(gè)實(shí)根，那么ax2+bx+c可寫(xiě)成a（x﹣x1）（x﹣x2）當(dāng)△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c＝0僅有一個(gè)實(shí)根，那么ax2+bx+c可寫(xiě)成a（x﹣x1）2．當(dāng)△＝b2﹣4ac＜0時(shí)．一元二次方程ax2+bx+c＝0沒(méi)有實(shí)根，那么ax2+bx+c與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．【解題方法點(diǎn)撥】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集為．解：原不等式可變形為（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案為：（﹣2，3）．這個(gè)題的特點(diǎn)是首先它把題干變了形，在這里我們必須要移項(xiàng)寫(xiě)成ax2+bx+c＜0的形式；然后應(yīng)用了特征當(dāng)中的第一條，把它寫(xiě)成兩個(gè)一元一次函數(shù)的乘積，所用的方法是十字相乘法；最后結(jié)合其圖象便可求解．【命題方向】一元二次不等式ax2+bx+c＞0﹣將不等式轉(zhuǎn)化為ax2+bx+c＝0形式，求出根．﹣根據(jù)根的位置，將數(shù)軸分為多個(gè)區(qū)間．﹣在各區(qū)間內(nèi)選擇測(cè)試點(diǎn)，確定不等式在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的取值情況．﹣綜合各區(qū)間的解，寫(xiě)出最終解集．不等式x2﹣2x＞0的解集是（）解：不等式x2﹣2x＞0整理可得x（x﹣2）＞0，可得x＞2或x＜0，{x|x＜0或x＞2}9．由一元二次不等式的解求參數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】含有一個(gè)未知數(shù)且未知