鷹潭市重點中學(xué)2025屆高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷含解析

鷹潭市重點中學(xué)2025屆高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)，點，，，，設(shè)對一切都有不等式成立，則正整數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．2．如圖，在中，點，分別為，的中點，若，，且滿足，則等于（）A．2 B． C． D．3．已知的共軛復(fù)數(shù)是，且（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．若樣本的平均數(shù)是10，方差為2，則對于樣本，下列結(jié)論正確的是（）A．平均數(shù)為20，方差為4 B．平均數(shù)為11，方差為4C．平均數(shù)為21，方差為8 D．平均數(shù)為20，方差為85．某中學(xué)有高中生人，初中生人為了解該校學(xué)生自主鍛煉的時間，采用分層抽樣的方法從高生和初中生中抽取一個容量為的樣本.若樣本中高中生恰有人，則的值為（）A． B． C． D．6．函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．7．直線與圓的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．相交或相切8．將一塊邊長為的正方形薄鐵皮按如圖（1）所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，將該容器按如圖（2）放置，若其正視圖為等腰直角三角形，且該容器的容積為，則的值為（）A．6 B．8 C．10 D．129．已知為坐標原點，角的終邊經(jīng)過點且，則()A． B． C． D．10．已知，是雙曲線的兩個焦點，過點且垂直于軸的直線與相交于，兩點，若，則△的內(nèi)切圓的半徑為（）A． B． C． D．11．設(shè)，且，則（）A． B． C． D．12．已知集合，，，則()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為等差數(shù)列，為其前n項和，若，，則_______.14．已知，，求____________.15．已知，記，則的展開式中各項系數(shù)和為__________．16．若四棱錐的側(cè)面內(nèi)有一動點Q，已知Q到底面的距離與Q到點P的距離之比為正常數(shù)k，且動點Q的軌跡是拋物線，則當二面角平面角的大小為時，k的值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的離心率為，直線：與以原點為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.為左頂點，過點的直線交橢圓于，兩點，直線，分別交直線于，兩點.（1）求橢圓的方程；（2）以線段為直徑的圓是否過定點？若是，寫出所有定點的坐標；若不是，請說明理由.18．（12分）為了加強環(huán)保知識的宣傳，某學(xué)校組織了垃圾分類知識竟賽活動.活動設(shè)置了四個箱子，分別寫有“廚余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干張，每張卡片上寫有一種垃圾的名稱.每位參賽選手從所有卡片中隨機抽取張，按照自己的判斷將每張卡片放入對應(yīng)的箱子中.按規(guī)則，每正確投放一張卡片得分，投放錯誤得分.比如將寫有“廢電池”的卡片放入寫有“有害垃圾”的箱子，得分，放入其它箱子，得分.從所有參賽選手中隨機抽取人，將他們的得分按照、、、、分組，繪成頻率分布直方圖如圖：（1）分別求出所抽取的人中得分落在組和內(nèi)的人數(shù)；（2）從所抽取的人中得分落在組的選手中隨機選取名選手，以表示這名選手中得分不超過分的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.19．（12分）已知函數(shù)，，.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在上存在零點.求實數(shù)的取值范圍；若存在實數(shù)，當時，函數(shù)在時取得最大值，求正實數(shù)的最大值；若直線與曲線和都相切，且在軸上的截距為，求實數(shù)的值.20．（12分）已知函數(shù).（1）當時，判斷在上的單調(diào)性并加以證明；（2）若，，求的取值范圍.21．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，設(shè)點在曲線上，點在曲線上，且為正三角形．（1）求點，的極坐標；（2）若點為曲線上的動點，為線段的中點，求的最大值．22．（10分）在數(shù)列中，已知，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

先求得，再求得左邊的范圍，只需，利用單調(diào)性解得t的范圍.【詳解】由題意知sin，∴，∴，隨n的增大而增大，∴,∴，即，又f(t)=在t上單增，f(2)=-1<0，f(3)=2>0，∴正整數(shù)的最小值為3.【點睛】本題考查了數(shù)列的通項及求和問題，考查了數(shù)列的單調(diào)性及不等式的解法，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.2、D【解析】

選取為基底，其他向量都用基底表示后進行運算．【詳解】由題意是的重心，，∴，，∴，故選：D．【點睛】本題考查向量的數(shù)量積，解題關(guān)鍵是選取兩個不共線向量作為基底，其他向量都用基底表示參與運算，這樣做目標明確，易于操作．3、D【解析】

設(shè)，整理得到方程組，解方程組即可解決問題．【詳解】設(shè)，因為，所以，所以，解得：，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，此點位于第四象限.故選D【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)表示的點知識，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解析】

由兩組數(shù)據(jù)間的關(guān)系,可判斷二者平均數(shù)的關(guān)系,方差的關(guān)系,進而可得到答案.【詳解】樣本的平均數(shù)是10，方差為2，所以樣本的平均數(shù)為,方差為.故選:D.【點睛】樣本的平均數(shù)是，方差為，則的平均數(shù)為,方差為.5、B【解析】

利用某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個數(shù)乘以抽樣比計算即可.【詳解】由題意，，解得.故選：B.【點睛】本題考查簡單隨機抽樣中的分層抽樣，某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個數(shù)乘以抽樣比，本題是一道基礎(chǔ)題.6、C【解析】

顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),由的一個零點在區(qū)間內(nèi),則,即可求解.【詳解】由題,顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),因為的一個零點在區(qū)間內(nèi),所以,即,解得,故選:C【點睛】本題考查零點存在性定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

由幾何法求出圓心到直線的距離，再與半徑作比較，由此可得出結(jié)論．【詳解】解：由題意，圓的圓心為，半徑，∵圓心到直線的距離為，，，故選：D．【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解析】

推導(dǎo)出，且，，，設(shè)中點為，則平面，由此能表示出該容器的體積，從而求出參數(shù)的值．【詳解】解：如圖（4），為該四棱錐的正視圖，由圖（3）可知，，且，由為等腰直角三角形可知，，設(shè)中點為，則平面，∴，∴，解得.故選：D【點睛】本題考查三視圖和錐體的體積計算公式的應(yīng)用，屬于中檔題.9、C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可求出，得出，得出和，再利用二倍角的正弦公式，即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，，解得，所以，所以，所以.故選：C.【點睛】本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用和二倍角的正弦公式，考查計算能力.10、B【解析】

設(shè)左焦點的坐標，由AB的弦長可得a的值，進而可得雙曲線的方程，及左右焦點的坐標，進而求出三角形ABF2的面積，再由三角形被內(nèi)切圓的圓心分割3個三角形的面積之和可得內(nèi)切圓的半徑.【詳解】由雙曲線的方程可設(shè)左焦點，由題意可得，由，可得，所以雙曲線的方程為:所以，所以三角形ABF2的周長為設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，所以三角形的面積，所以，解得，故選：B【點睛】本題考查求雙曲線的方程和雙曲線的性質(zhì)及三角形的面積的求法，內(nèi)切圓的半徑與三角形長周長的一半之積等于三角形的面積可得半徑的應(yīng)用，屬于中檔題.11、C【解析】

將等式變形后，利用二次根式的性質(zhì)判斷出，即可求出的范圍.【詳解】即故選：C【點睛】此題考查解三角函數(shù)方程，恒等變化后根據(jù)的關(guān)系即可求解，屬于簡單題目.12、A【解析】

求得集合中函數(shù)的值域，由此求得，進而求得.【詳解】由，得，所以，所以.故選：A【點睛】本小題主要考查函數(shù)值域的求法，考查集合補集、交集的概念和運算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】試題分析：因為是等差數(shù)列，所以，即，又，所以，所以．故答案為1．【考點】等差數(shù)列的基本性質(zhì)【名師點睛】在等差數(shù)列五個基本量，，，，中，已知其中三個量，可以根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式、前項和公式列出關(guān)于基本量的方程(組)來求余下的兩個量，計算時須注意整體代換思想及方程思想的應(yīng)用.14、【解析】

求出向量的坐標，然后利用向量數(shù)量積的坐標運算可計算出結(jié)果.【詳解】，，，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標運算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)定積分的計算，得到，令，求得，即可得到答案．【詳解】根據(jù)定積分的計算，可得，令，則，即的展開式中各項系數(shù)和為.【點睛】本題主要考查了定積分的應(yīng)用，以及二項式定理的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)定積分的計算和二項式定理求得的表示是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

二面角平面角為，點Q到底面的距離為，點Q到定直線得距離為d，則.再由點Q到底面的距離與到點P的距離之比為正常數(shù)k，可得，由此可得，則由可求k值.【詳解】解：如圖，設(shè)二面角平面角為，點Q到底面的距離為，點Q到定直線的距離為d，則，即.∵點Q到底面的距離與到點P的距離之比為正常數(shù)k，∴，則，∵動點Q的軌跡是拋物線，∴，即則.∴二面角的平面角的余弦值為解得：（）.故答案為：.【點睛】本題考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，由四棱錐的側(cè)面與底面的夾角求參數(shù)值，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）是，定點坐標為或【解析】

（1）根據(jù)相切得到，根據(jù)離心率得到，得到橢圓方程.（2）設(shè)直線的方程為，點、的坐標分別為，，聯(lián)立方程得到，，計算點的坐標為，點的坐標為，圓的方程可化為，得到答案.【詳解】（1）根據(jù)題意：，因為，所以，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，點、的坐標分別為，，把直線的方程代入橢圓方程化簡得到，所以，，所以，，因為直線的斜率，所以直線的方程，所以點的坐標為，同理，點的坐標為，故以為直徑的圓的方程為，又因為，，所以圓的方程可化為，令，則有，所以定點坐標為或.【點睛】本題考查了橢圓方程，圓過定點問題，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.18、（1）所抽取的人中得分落在組和內(nèi)的人數(shù)分別為人、人；（2）分布列見解析，.【解析】

（1）將分別乘以區(qū)間、對應(yīng)的矩形面積可得出結(jié)果；（2）由題可知，隨機變量的可能取值為、、，利用超幾何分布概率公式計算出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列，并由此計算出隨機變量的數(shù)學(xué)期望值.【詳解】（1）由題意知，所抽取的人中得分落在組的人數(shù)有（人），得分落在組的人數(shù)有（人）.因此，所抽取的人中得分落在組的人數(shù)有人，得分落在組的人數(shù)有人；（2）由題意可知，隨機變量的所有可能取值為、、，，，，所以，隨機變量的分布列為：所以，隨機變量的期望為.【點睛】本題考查利用頻率分布直方圖計算頻數(shù)，同時也考查了離散型隨機變量分布列與數(shù)學(xué)期望的求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、；4；12.【解析】

由題意可知，，求導(dǎo)函數(shù)，方程在區(qū)間上有實數(shù)解，求出實數(shù)的取值范圍；由，則，分步討論，并利用導(dǎo)函數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性的研究，得出正實數(shù)的最大值；設(shè)直線與曲線的切點為，因為，所以切線斜率，切線方程為，設(shè)直線與曲線的切點為，因為，所以切線斜率，即切線方程為，整理得.所以，求得，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，最后求出實數(shù)的值.【詳解】由題意可知，，則，即方程在區(qū)間上有實數(shù)解，解得；因為，則，①當，即時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，不符題意；②當時，令，解得：，當時，，單調(diào)遞增，所以不存在，使得在上的最大值為，不符題意；③當時，，解得：，且當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若，則在上單調(diào)遞減，所以，若，則上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由題意可知，，即，整理得，因為存在，符合上式，所以，解得，綜上，的最大值為4；設(shè)直線與曲線的切點為，因為，所以切線斜率，即切線方程整理得：由題意可知，，即，即，解得所以切線方程為，設(shè)直線與曲線的切點為，因為，所以切線斜率，即切線方程為，整理得.所以，消去，整理得，且因為，解得，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，所以，即.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的研究，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于難題.20、（1）在為增函數(shù)；證明見解析（2）【解析】

（1）令，求出，可推得，故在為增函數(shù)；（2）令，則，由此利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當時，.記，則，當時，，.所以，所以在單調(diào)遞增，所以.因為，所以，所以在為增函數(shù).（2）由題意，得，記，則，令，則，當時，，，所以，所以在為增函數(shù)，即在單調(diào)遞增，所以.①當，，恒成立，所以為增函數(shù)，即在單調(diào)遞增，又，所以，所以在為增函數(shù)，所以所以滿足題意.②當，，令，，因為，所以，故在單調(diào)遞增，故，即.故，又在單調(diào)遞增，由零點存在性定理知，存在唯一實數(shù)，，當時，，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，所以，此時在為減函數(shù)，所以，不合題意，