趙秀恒-米立民-主編《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》(高等教育出版社)習(xí)題習(xí)題7(A)詳解

PAGEPAGE9習(xí)題七（A）1、設(shè)樣本取自服從幾何分布的總體，其分布列為,=1,2,……其中未知，0<<1，求的矩法估計量。解因為總體服從參數(shù)為的幾何分布，故，令解得參數(shù)的矩法估計量為2、設(shè)總體~，從總體中獲取樣本，求出參數(shù)、的矩法估計量。解因為總體的一階原點矩為，二階中心矩為。樣本的一階原點矩為，二階中心矩為，則令解得參數(shù)、的矩法估計量為，。3、設(shè)總體的密度函數(shù)為，從中獲得樣本，求的矩法估計量。解因為總體的數(shù)學(xué)期望為令解得參數(shù)的矩法估計量為4、設(shè)是取自下列指數(shù)分布的一個樣本：證明是的無偏、一致估計，并求出的方差。證因為所以是的無偏估計。而的方差為又因為，對于任意的，有即成立，故是的一致估計。5、設(shè)總體服從參數(shù)為的泊松分布，從中抽取樣本，求的極大似然估計。解因為總體，分布列為則似然函數(shù)為對數(shù)似然函數(shù)為求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，得解得6、設(shè)服從幾何分布,從中獲得樣本，求與的極大似然估計。解因為服從參數(shù)為幾何分布時，有故應(yīng)求出參數(shù)的極大似然估計，故應(yīng)寫出似然函數(shù)為則對數(shù)似然函數(shù)為求參數(shù)的導(dǎo)數(shù)令解得由極大似然估計的不變原則，可知總體期望的極大似然估計為7、設(shè)總體的密度函數(shù)為，，從中獲得樣本，求參數(shù)的極大似然估計。解因為似然函數(shù)為取對數(shù)得求導(dǎo)數(shù)解得參數(shù)的極大似然估計是8、某商場每天每百元投資的利潤率服從正態(tài)分布，均值為，方差為，長期以來穩(wěn)定于0.4，現(xiàn)隨機抽取的五天的利潤率為：，，，，試求的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解設(shè)該商場每天每百元投資的利潤率為，則總體。由于長期以來穩(wěn)定在0.4，可以認(rèn)為總體的方差已知，故應(yīng)選取樞軸量對于給定的置信水平為，利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，確定出0.975的分位數(shù)為，再由來自總體容量是5的樣本值，計算出樣本均值為故得到總體均值的置信水平為0.95的置信區(qū)間為9、某化纖強力長期以來標(biāo)準(zhǔn)差穩(wěn)定在=1.19，現(xiàn)抽取了一個容量的樣本，求得樣本均值=6.35，試求該化纖強力均值的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解設(shè)該化纖強力為，則總體。由于長期以來標(biāo)準(zhǔn)差穩(wěn)定在=1.19可以認(rèn)為，總體的方差已知，故應(yīng)選取樞軸量對于給定的置信水平為，利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，確定出0.975的分位數(shù)為，再由來自總體容量是100的樣本值，計算出樣本均值為故得到總體均值的置信水平為0.95的置信區(qū)間為10、某行業(yè)職工的月收入服從，現(xiàn)隨機抽取30名職工進行調(diào)查，求得他們的月收入的平均值元，標(biāo)準(zhǔn)差元，試求的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解設(shè)行業(yè)職工的月收入為，則總體，并且總體方差未知。故對于來自總體容量為30的樣本，可以選擇隨機變量不含有其它未知參數(shù)，可以作為樞軸量。由于給定的置信水平為0.95，自由度為29，則分布的0.975的分位數(shù)為。利用樣本值計算出的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差，可以求出參數(shù)的置信水平為0.95的置信區(qū)間為故此知該行業(yè)職工的月收入在645.38元到747.02元之間的概率為0.95，即置信水平為0.95。11、某單位職工每天的醫(yī)療費服從現(xiàn)抽查了25天，得，元，試求職工每天醫(yī)療費均值的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解設(shè)該單位職工每天的醫(yī)療費為，則總體。由于樣本容量為是小樣本，而總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，故應(yīng)選取樞軸量對于給定的置信水平為，利用自由度為24的分布表，確定出0.975的分位數(shù)為，再由來自總體容量是25的樣本值，計算出樣本均值與標(biāo)準(zhǔn)差為，故得到總體均值的置信水平為0.95的置信區(qū)間為12、已知某種木材的橫紋抗壓力（單位：）服從，現(xiàn)對十個試件作橫紋抗壓力實驗，得數(shù)據(jù)如下：482，493，457，471，510，446，435，418，394，469（1）求的置信水平為0.95的置信區(qū)間；（2）求的置信水平為0.90的置信區(qū)間。解（1）設(shè)該種木材的橫紋抗壓力為，則總體。由于樣本容量為是小樣本，而總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，故應(yīng)選取樞軸量對于給定的置信水平為，利用自由度為9的分布表，確定出0.975的分位數(shù)為，再由來自總體容量是10的樣本值，計算出樣本均值與標(biāo)準(zhǔn)差為，故得到總體均值的置信水平為0.95的置信區(qū)間為（2）由于總體均值未知，為確定的置信區(qū)間，可以選取樞軸量對于給定的置信水平為，利用自由度為9的分布表，確定出0.05的分位數(shù)為，及其0.95的分位數(shù)為。再由來自總體容量是10的樣本值，計算出樣本標(biāo)準(zhǔn)差為故得到總體方差的置信水平為0.90的置信區(qū)間為則得到總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信水平為0.90的置信區(qū)間為13、研究由機器和機器生產(chǎn)的鋼管的內(nèi)徑（單位：），隨機抽取機器生產(chǎn)的管子18只，測量樣本均值，樣本方差；抽取機器生產(chǎn)的管子13只，測得樣本均值，樣本方差。設(shè)兩樣本相互獨立，且這兩臺機器生產(chǎn)的管子內(nèi)徑分別服從正態(tài)分，，取置信度為0.90，求在總體方差時，總體均值差的置信區(qū)間。解設(shè)機器生產(chǎn)的鋼管的內(nèi)徑為，機器生產(chǎn)的鋼管的內(nèi)徑為，則總體，，而兩總體方差未知且成立。為此，應(yīng)該選擇樞軸量對于給定的置信水平，利用其自由度為29的分布，確定的分位數(shù)。由取自總體的樣本值算出，樣本均值，樣本方差；由取自總體的樣本值算出，樣本均值，樣本方差。則總體均值差的置信度為0.90的置信區(qū)間是即為區(qū)間。14、設(shè)有兩個化驗員與獨立對某種聚合物中的含氯量用同一方法各作十次測定，其測定值的方差分別為。假定各自的測定值分別服從正態(tài)分布，方差分別為與，求的置信水平為0.90的置信區(qū)間。解設(shè)表示化驗員對某種聚合物中的含氯量的測定值，則總體，從中獲取的樣本容量，計算出的方差為。若表示化驗員對某種聚合物中的含氯量的測定值，則總體，從中獲取的樣本容量，計算出的方差為。由于兩總體的均值與都未知，故選取樞軸量對于給定的置信水平為，利用第一自由度和第二自由度都為9的分布表，確定出0.05的分位數(shù)為，及其0.95的分位數(shù)。則的置信水平為0.90的置信區(qū)間為15、為研究某汽車輪胎的磨損特性，隨機取16只輪胎實際使用。記錄到磨壞時所行駛的路程（單位：公里）算得，。若此樣本來自正態(tài)總體，，未知。求該輪胎平均行駛路程的0.95置信下限。解設(shè)汽車輪胎磨壞時所行駛的路程為，則，且總體的方差未知。故取樞軸量對于給定置信下限的置信水平0.95，可以利用自由度為的分布確定出0.95的分位數(shù)，使得成立。由樣本值計算出的，得到該輪胎平均行駛路程的0.95置信下限為公里。16、用儀器間接測量爐子的溫度，其測量值服從正態(tài)分布，其中，未知。用該儀器重復(fù)測量爐子的溫度五次，結(jié)果為（）：12501265124512651275試求的置信度0.95置信上限。解設(shè)用該種儀器測量爐子的溫度為，則，且總體的均值未知。取樞軸量則總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信水平為的置信區(qū)間為由樣本值計算出，，。對于給定置信上限的置信水平0.95，利用自由度為的分布確定出0.05的分位數(shù)是，則總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信水平為0.95的置信上限是。17*、某商店為了解居民對某種商品的需求，調(diào)查了100家住戶，得出每戶每月平均需要量為5公斤，標(biāo)準(zhǔn)差為1.5公斤。（1）試就一戶居民對該商品的平均月需求量作置信水平為0.99的區(qū)間估計。（2）如果這個商店要供應(yīng)一萬戶，該商