專題04 二次根式（講義）（3考點+10題型+10技巧）

第04講二次根式目錄TOC\o"1-2"\h\u考點一二次根式的相關(guān)概念 2題型01二次根式有意義的條件 2題型02判斷最簡二次根式 3題型03判斷同類二次根式 3考點二二次根式的性質(zhì)與化簡 4題型01利用二次根式的性質(zhì)化簡 4題型02常見二次根式化簡的10種技巧 5考點三二次根式的運算 10題型01二次根式的乘除運算 10題型02二次根式的加減運算 11題型03二次根式的混合運算 11題型04二次根式的化簡求值 12題型05二次根式的應(yīng)用 12考點要求新課標要求命題預(yù)測二次根式的相關(guān)概念了解二次根式、最簡二次根式的概念中考中，對二次根式的考察主要集中在對其取值范圍、化簡計算等方面，其中取值范圍類考點多出選擇題、填空題形式出現(xiàn)，而化簡計算則多以解答題形式考察.此外，二次根式還常和銳角三角函數(shù)、實數(shù)、其他幾何圖形等結(jié)合出題，難度不大，但是也多屬于中考必考題.二次根式的性質(zhì)與化簡掌握二次根式的性質(zhì)，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡二次根式的運算了解二次根式（根號下僅限于數(shù)）加、減、乘、除運算法則，會用它們進行簡單的四則運算

考點一二次根式的相關(guān)概念1、二次根式的概念：一般地，我們把形如a（??≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號，二次根號下的數(shù)叫做被開方數(shù)．2、最簡二次根式：開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式．3、同類二次根式的概念：二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數(shù)相同，則這幾個二次根式就是同類二次根式.易混易錯1.二次根式定義中規(guī)定，任何非負數(shù)的算術(shù)平方根都是二次根式，不需要看化簡后的結(jié)果，如：4、-9都是2.二次根式有意義的條件：當a≧0時，即被開方數(shù)大于或等于0，二次根式a有意義.3.在關(guān)于代數(shù)式有意義的問題中，要注意二次根式（被開方數(shù)大于或等于0）、分式（分母不等于0）等有意義的綜合運用．4.最簡二次根式必須同時滿足以下兩個條件：①開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式（分母中不應(yīng)含有根號）；②不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，即被開方數(shù)的因數(shù)或因式的指數(shù)都為1.【補充】含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等.5.幾個同類二次根式在沒有化簡前，被開方數(shù)可以完全互不相同，如：2、8、12題型01二次根式有意義的條件【例1】（2023·黑龍江綏化·中考真題）若式子x+5x有意義，則x的取值范圍是_______【變式1-1】（（2023·江西·中考真題）若a?4有意義，則a的值可以是（

）A．?1 B．0 C．2 D．6【變式1-2】（2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）二次根式1?x在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（

）A．

B．

C．

D．

【變式1-3】（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）在函數(shù)y=1x?1+1x?2方法技巧解決二次根式有無意義的關(guān)鍵：1．如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負數(shù)．2．如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負數(shù)外，還必須保證分母不為零．題型02判斷最簡二次根式【例2】（2023·上海青浦·二模）下列二次根式中，最簡二次根式的是（

）A．0.2 B．8 C．6 D．1【變式2-1】（2022·河南南陽·二模）寫出一個實數(shù)x，使x?3是最簡二次根式，則x可以是______．題型03判斷同類二次根式【例3】（2023·山東煙臺·中考真題）下列二次根式中，與2是同類二次根式的是（

）A．4 B．6 C．8 D．12【變式3-1】（2021·江蘇泰州·中考真題）下列各組二次根式中，化簡后是同類二次根式的是（）A．8與3 B．2與12 C．5與15 D．75與27【變式3-2】下列各式中，能與2合并的是（

）A．4 B．24 C．12 D．8【變式3-3】若最簡根式?2m+9與5m?5是同類二次根式，則m=_____．方法技巧判斷同類二次根式的方法：先把所有的二次根式化成最簡二次根式，再根據(jù)被開方數(shù)是否相同來加以判斷，要注意同類二次根式與根號外的因式無關(guān)．

考點二二次根式的性質(zhì)與化簡1、二次根式的化簡方法：1）利用二次根式的基本性質(zhì)進行化簡；2）利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進行化簡．a(chǎn)b=a?b（a≥0，b≥0），2、化簡二次根式的步驟：1）把被開方數(shù)分解因式；2）利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把各因式（或因數(shù)）積的算術(shù)平方根化為每個因式（或因數(shù)）的算術(shù)平方根的積；3）化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2．易混易錯1.根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡時，a前無“-”,a化簡出來就不可能是一個負數(shù).2.利用二次根式性質(zhì)時，如果題目中對根號內(nèi)的字母給出了取值范圍，那么應(yīng)在這個范圍內(nèi)對根式進行化簡，如果題目中沒有給出明確的取值范圍，那么應(yīng)注意對題目條件的挖掘，把隱含在題目條件中所限定的取值范圍顯現(xiàn)出來，在允許的取值范圍內(nèi)進行化簡．3.化簡后的最后結(jié)果應(yīng)為最簡二次根式，并且分母中不含二次根式．題型01利用二次根式的性質(zhì)化簡【例1】（2023·江蘇泰州·中考真題）計算(?2)2等于（

A．±2 B．2 C．4 D．2【變式1-1】（2022·廣西桂林·中考真題）化簡12的結(jié)果是（

）A．23 B．3 C．22 D．2【變式1-2】（2023·湖北黃岡·中考真題）請寫出一個正整數(shù)m的值使得8m是整數(shù)；m=_____________．【變式1-3】（2022·四川南充·中考真題）若8?x為整數(shù)，x為正整數(shù)，則x的值是_______________．題型02常見二次根式化簡的10種技巧技巧一數(shù)形結(jié)合法方法簡介：利用數(shù)軸和數(shù)學(xué)表達式相結(jié)合，達到快速化簡的目標.【例2】（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）實數(shù)a在數(shù)軸上的對應(yīng)位置如圖所示，則a2+1+|a?1|的化簡結(jié)果是（A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a【變式2-1】實數(shù)m在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，化簡：(m?2)2=【變式2-2】（2022遂寧中考真題）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡a+1?b?1技巧二估值法方法簡介：先運用二次根式的運算法則化簡，再將最后的化簡結(jié)果化成根式再確定取值范圍.【例3】（2023·重慶·中考真題）估計28+10A．7和8之間 B．8和9之間C．9和10之間 D．10和11之間【變式3-1】（2023·山東臨沂·中考真題）設(shè)m=515?45，則實數(shù)A．m<?5 B．?5<m<?4 C．?4<m<?3 D．m>?3【變式3-2】若將三個數(shù)?3，7，11表示在數(shù)軸上，其中一個數(shù)被墨跡覆蓋（如圖所示），則這個被覆蓋的數(shù)是______技巧三公式法方法簡介：根據(jù)題目已知條件，通過變形、湊元等方法，湊成可用乘法公式，快速求解.【例4】（2022·天津紅橋·三模）計算23+32【變式4-1】（2023·河北保定·校考一模）已知：2+32=5+2【變式4-2】計算：3+1【變式4-3】計算：(5+6【變式4-4】10032技巧四換元法方法簡介：根據(jù)已知條件，利用未知變量替換有規(guī)律表達式，尋找規(guī)律，快速求解.【例5】已知n＝2＋1，求n+2+n技巧五拆項法方法簡介：分子為多項式的和，分母為多項式的積，將分子拆出與分母相同或相似的項.【例6】計算：6+43+326+33+2.[提示：6＋43＋3技巧六整體代入法方法簡介：由已知條件，通過加減乘除運算，得到與求解表達式相關(guān)的表達數(shù)值，整體代入.【例7】已知x=15+2，y=1【變式7-1】已知x=15?2，y=【變式7-2】已知：x=110+3(1)x+y(2)x【變式7-3】已知a=5+35?技巧七因式分解法方法簡介：與分式的化簡相同，代數(shù)式的化簡也要“變肥為瘦”.此題分母較為復(fù)雜，結(jié)合分子可將分母進行因式分解，約去公因式從而達到“瘦身”的效果.【例8】計算：2+技巧八配方法【例9】若a，b為實數(shù)，且b＝3?5a＋5a?3＋15，試求ba【變式9-1】可以用配方法化簡二重根式，例如：4?23請化簡式子：5?26+7?43技巧九輔元法方法簡介：所謂輔元法，就是引入一個新的未知數(shù)把其他未知數(shù)表示出新的未知數(shù)的代數(shù)式，然后再代入求值.【例10】已知x∶y∶z＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求x+yx+z【變式10-1】《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊a、b、c求面積的公式，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即為S=14c2a技巧十先判斷后化解【例11】已知a＋b＝－6，ab＝5，求bba＋aa【變式11-1】先化簡再求值(1)已知：y>3x?2+2?3x(2)已知a=12+3方法技巧1.二次根式化簡的結(jié)果一定是被開方數(shù)不含分母，被開方數(shù)中的每一個因式或因數(shù)都開不盡.2.如果被開方數(shù)是分式或分數(shù)(包括小數(shù))，先利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)把它寫成分式或分數(shù)的形式，然后利用分母有理化化簡.3.如果被開方數(shù)是整式或整數(shù)，先將它分解因式或分解因數(shù)，然后把開方開得盡的因式或因數(shù)開方，從而將式子化簡.

考點三二次根式的運算1、乘法法則:兩個二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.即：ab=a?b（2、除法法則：兩個二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.即：ab=ab（a≥0，3、加減法法則：先把各個二次根式化為最簡二次根式后，再將被開方數(shù)相同的二次根式合并.【口訣】一化、二找、三合并.分母有理化：通過分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號去掉的過程.【分母有理化方法】1）分母為單項式時，分母的有理化因式是分母本身帶根號的部分.即：12）分母為多項式時，分母的有理化因式是與分母相乘構(gòu)成平方差的另一部分.即：1a混合運算順序：先乘方、再乘除，最后加減，有括號的先算括號里的(或先去掉括號)．易混易錯1.在使用ab=a?b（a≥02.在使用ab=ab（a≥0，b＞3.合并被開方數(shù)相同的二次根式與合并同類項類似，將被開方數(shù)相同的二次根式的“系數(shù)”相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變．4.二次根式加減混合運算的實質(zhì)就是合并被開方數(shù)相同的二次根式，被開方數(shù)不同的二次根式不能合并．5二次根式進行加減運算時，根號外的系數(shù)因式必須為假分數(shù)形式．6.在二次根式的混合運算中，乘方公式和實數(shù)的運算律仍然適用。而且運算結(jié)果應(yīng)寫成最簡二次根式的形式.題型01二次根式的乘除運算【例1】（2023·湖南·中考真題）對于二次根式的乘法運算，一般地，有a?b=A．a(chǎn)>0,b>0 B．a(chǎn)<0,b<0 C．a(chǎn)≤0,b≤0 D．a(chǎn)≥0,b≥0【變式1-1】（2023·青海西寧·中考真題）下列運算正確的是（

）A．2+3=5C．(3?2)2【變式1-2】（2023·河北·中考真題）若a=2，b=7，則A．2 B．4 C．7 D．2【變式1-3】（2022·廣東廣州·廣東番禺中學(xué)校考三模）計算：abA．1|a|b2ab B．1abab【變式1-4】（2023益陽市中考）計算：20×5方法技巧二次根式乘除混合運算的方法與整式乘除混合運算的方法相同，整式乘除法的一些法則、公式在二次根式乘除法中仍然適用.在運算時要明確運算符號和運算順序.若被開方數(shù)是帶分數(shù),則要先將其化為假分數(shù).題型02二次根式的加減運算【例2】（2023·遼寧盤錦·中考真題）計算：9?4【變式2-1】（2022·黑龍江哈爾濱·中考真題）計算3+313【變式2-2】（2023·廣西玉林·一模）下列運算正確的是（）A．2+5=C．5?3=【變式2-3】（2023淄博市一模）已知實數(shù)m、n滿足m?3+n?12=0，則【變式2-4】（2020·河北·中考真題）已知：18?2=a2方法技巧二次根式的加減與整式的加減相比，可將被開方數(shù)相同的二次根式看作整式加減中的同類項進行合并.另外有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律,都適用于二次根式的運算.題型03二次根式的混合運算【例3】（2023·山東聊城·中考真題）計算：48?31【變式3-1】（2022·湖北荊州·中考真題）若3?2的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則代數(shù)式2+2a【變式3-2】（2023·湖北荊州·中考真題）已知k=25+A．2 B．3 C．4 D．5【變式3-3】（2023·甘肅武威·中考真題）計算：27÷題型04二次根式的化簡求值【例4】（2023·湖南湘西·中考真題）先化簡，再求值：1+1a?1÷【變式4-1】（2022·湖北襄陽·中考真題）先化簡，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝3-2，b＝3+2．【變式4-2】（2021·北京·一模）已知m+2n=5，求代數(shù)式4n【變式4-3】（2021·江蘇蘇州·蘇州市景范中學(xué)校?？级＃┫然啠偾笾担簒2+xx【變式4-4】（2022淄博市一模）已知：m＝2+1，n＝2﹣1，則m2A．±3 B．﹣3 C．3 D．5題型05二次根式的應(yīng)用【例5】（2023·黑龍江綏化·模擬預(yù)測）古希臘幾何學(xué)家海倫和我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶都曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，稱為海倫﹣秦九韶公式：如果一個三角形的三邊長分別是a，b，c，記p=a+b+c2，那么三角形的面積為S=pp?ap?bp?c，∠A，∠B，b，c，若a=5，b=6，【變式5-1】（2022·江蘇無錫·校聯(lián)考一模）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：3，82，153，244，……其中第5個數(shù)為______，第n個數(shù)為_______【變式5-2】（2022·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）觀察下列各式：①1+13=213，②2+14=314，③【變式5-3】（2023·河南洛陽·二模）閱讀材料：我們學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》，可以發(fā)現(xiàn)：當a>0，b>0時，有a+b2=a?2ab請利用上述結(jié)論解決以下問題：(1)當x>0時，x+1x的最小值為_________；當x<0時，(2)當x>0時，求y=x(3)如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，△AOB、△COD的面積分別為9和16，求四邊形ABCD的最小面積．【變式5-4】（2023·江蘇·二模）問題：已知實數(shù)a、b、c滿足a≠b，且2023(a?b)+2023(b?c)+(c?a)=0，求證：小明在思考時，感覺無從下手，就去請教學(xué)霸小剛,小剛審題后思考了片刻，對小明說：我們可以構(gòu)造一個一元二次方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及整體代入即可解答，并寫下了部分解題過程供小明參考：令2023=x，則2023=x2(a?b)x可以發(fā)現(xiàn)：(a?b)×1從而可知構(gòu)造的方程兩個根分別是1和2023．利用根與系數(shù)的關(guān)系得：1+2023=_____；請你根據(jù)小剛的思路完整地解答本題．【變式5-5】（2023·山東濟寧·二模）探究問題：探究a+b2與ab(1)觀察猜想：a+b2與ab的大小關(guān)系是a+b2______(2)計算驗證：當a=8,b=8時，a+b2與ab的大小關(guān)系是a+b2______ab；當a=2,b=6時，a+b2與ab的大小關(guān)系是a+b(3)推理證明：如圖，以AB為直徑作半圓O，點C半圓上一動點，過C作CD⊥AB于點D，設(shè)AD=a，BD=b．先用含a，b的式子表示出線段OC，CD，再寫出他們（含a，

(4)實踐應(yīng)用：要制作一個面積為1平方米的矩形，請直接利用探究得出的結(jié)論，求矩形周長的最小值．

第04講二次根式答案解析考點一二次根式的相關(guān)概念題型01二次根式有意義的條件【例1】（2023·黑龍江綏化·中考真題）若式子x+5x有意義，則x的取值范圍是_______【答案】x≥?5且x≠0/x≠0且x≥?5【提示】根據(jù)分母不為零，二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)，列出不等式計算即可．【詳解】∵式子x+5x∴x+5≥0且x≠0，∴x≥?5且x≠0，故答案為：x≥?5且x≠0．【點睛】本題考查了分母不為零，二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)，熟練掌握二次根式和分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（（2023·江西·中考真題）若a?4有意義，則a的值可以是（

）A．?1 B．0 C．2 D．6【答案】D【提示】根據(jù)二次根式有意義的條件即可求解．【詳解】解：∵a?4有意義，∴a?4≥0，解得：a≥4，則a的值可以是6故選：D．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）二次根式1?x在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【提示】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列不等式計算即可得到x的取值范圍，然后在數(shù)軸上表示即可得解．【詳解】解：根據(jù)題意得，1?x≥0，解得x≤1，在數(shù)軸上表示如下：

故選：C．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，不等式的解法，以及在數(shù)軸上表示不等式的解集，理解二次根式有意義的條件是解題關(guān)鍵．【變式1-3】（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）在函數(shù)y=1x?1+1x?2【答案】x>1且x≠2【提示】根據(jù)分式有意義的條件，二次根式有意義的條件得出x?1>0,x?2≠0，即可求解．【詳解】解：依題意，x?1>0,x?2≠0∴x>1且x≠2，故答案為：x>1且x≠2．【點睛】本題考查了求函數(shù)自變量的取值范圍，熟練掌握分式有意義的條件，二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．題型02判斷最簡二次根式【例2】（2023·上海青浦·二模）下列二次根式中，最簡二次根式的是（

）A．0.2 B．8 C．6 D．1【答案】C【提示】對各選項逐一進行化簡，判斷是否為最簡二次根式即可得出答案．【詳解】A、0.2=B、8=2C、6是最簡二次根式，故此選項符合題意；D、12故選C．【點睛】本題主要考查最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·河南南陽·二模）寫出一個實數(shù)x，使x?3是最簡二次根式，則x可以是______．【答案】5（答案不唯一）【提示】本題主要考查了最簡二次根式的定義．【詳解】解：x=5時，x?3=5?3=∴x的值可以是5．故答案為：5．（答案不唯一）【點睛】本題主要考查了最簡二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握最簡二次根式的條件，最簡二次根式的條件是（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．題型03判斷同類二次根式【例3】（2023·山東煙臺·中考真題）下列二次根式中，與2是同類二次根式的是（

）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【提示】根據(jù)同類二次根式的定義，逐個進行判斷即可．【詳解】解：A、4=2，與2B、6與2不是同類二次根式，不符合題意；C、8=22，與D、12=23，與故選：C．【點睛】本題主要考查了同類二次根式，解題的關(guān)鍵是掌握同類二次根式的定義：將二次根式化為最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式是同類二次根式；最簡二次根式的特征：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．【變式3-1】（2021·江蘇泰州·中考真題）下列各組二次根式中，化簡后是同類二次根式的是（）A．8與3 B．2與12 C．5與15 D．75與27【答案】D【提示】把每個選項中的不是最簡二次根式化為最簡二次根式即可作出判斷．【詳解】A、8=22，22B、12=23，2與C、5與15不是同類二次根式，故此選項錯誤；D、75=53，27=33，故選：D．【點睛】本題考查了二次根式的化簡，同類二次根式的識別等知識，注意二次根式必須化成最簡二次根式．【變式3-2】下列各式中，能與2合并的是（

）A．4 B．24 C．12 D．8【答案】D【提示】先化成最簡二次根式，再根據(jù)同類二次根式的定義判斷即可．【詳解】A．4化簡后不能與2合并，不合題意；B．24=26化簡后不能與C．12=23化簡后不能與D．8=22化簡后能與故選：D．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)和同類二次根式，能熟記同類二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】若最簡根式?2m+9與5m?5是同類二次根式，則m=_____．【答案】2【提示】根據(jù)同類根式及最簡二次根式的定義列方程求解．【詳解】解：∵最簡二次根式?2m+9與5m?5是同類二次根式，∴?2m+9=5m?5，解得m=2，故答案為：2．【點睛】此題考查的是同類二次根式與最簡二次根式，掌握其概念是解決此題關(guān)鍵．考點二二次根式的性質(zhì)與化簡題型01利用二次根式的性質(zhì)化簡【例1】（2023·江蘇泰州·中考真題）計算(?2)2等于（

A．±2 B．2 C．4 D．2【答案】B【提示】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案．【詳解】解：(?2)2故選：B．【點睛】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．【變式1-1】（2022·廣西桂林·中考真題）化簡12的結(jié)果是（

）A．23 B．3 C．22 D．2【答案】A【提示】將被開方數(shù)12寫成平方數(shù)4與3的乘積，再將4開出來為2，易知化簡結(jié)果為23．【詳解】解：12=4×3=故選：A．【點睛】本題考查了二次根式的化簡，關(guān)鍵在于被開方數(shù)要寫成平方數(shù)乘積的形式再進行化簡．【變式1-2】（2023·湖北黃岡·中考真題）請寫出一個正整數(shù)m的值使得8m是整數(shù)；m=_____________．【答案】8【提示】要使8m是整數(shù)，則8m要是完全平方數(shù)，據(jù)此求解即可【詳解】解：∵8m是整數(shù)，∴8m要是完全平方數(shù)，∴正整數(shù)m的值可以為8，即8m=64，即8m=故答案為：8（答案不唯一）．【點睛】本題主要考查了二次根式的化簡，正確理解題意得到8m要是完全平方數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022·四川南充·中考真題）若8?x為整數(shù)，x為正整數(shù)，則x的值是_______________．【答案】4或7或8【提示】根據(jù)根號下的數(shù)大于等于0和x為正整數(shù)，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根據(jù)8?x為整數(shù)即可得x的值．【詳解】解：∵8?x≥0∴x≤8∵x為正整數(shù)∴x可以為1、2、3、4、5、6、7、8∵8?x為整數(shù)∴x為4或7或8故答案為：4或7或8．【點睛】本題考查了利用二次根式的性質(zhì)化簡、解一元一次不等式等知識點，掌握二次根式的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．題型02常見二次根式化簡的10種技巧【例2】（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）實數(shù)a在數(shù)軸上的對應(yīng)位置如圖所示，則a2+1+|a?1|的化簡結(jié)果是（

A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a【答案】B【提示】根據(jù)數(shù)軸得∶0<a<1，得到a>0，a-1<0，利用二次根式和絕對值的性質(zhì)化簡求解即可．【詳解】解∶∵根據(jù)數(shù)軸得∶0<a<1，∴a>0，a-1<0，∴原式=|a|+1+1-a=a+1+1-a=2．故選∶B．【點睛】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡，實數(shù)與數(shù)軸，掌握a2【變式2-1】實數(shù)m在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，化簡：(m?2)2=【答案】2?m/?m+2【提示】利用二次根式的性質(zhì)和絕對值的性質(zhì)，即可求解．【詳解】由數(shù)軸位置可知1<m<2，∴(m?2)【點睛】本題考查二次根式化簡運算，掌握二次根式的性質(zhì)a2【變式2-2】（2022遂寧中考真題）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡a+1?b?1【答案】2【提示】利用數(shù)軸可得出?1<a<0，【詳解】解：由數(shù)軸可得：?1<a<0，則a+1>0,b?1>0,a?b<0∴a+1=|a+1|?|b?1|+|a?b|=a+1?(b?1)?(a?b)=a+1?b+1?a+b=2．故答案為：2．【點睛】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確得出a，b的取值范圍是解題關(guān)鍵．【例3】（2023·重慶·中考真題）估計28+10A．7和8之間 B．8和9之間C．9和10之間 D．10和11之間【答案】B【提示】先計算二次根式的混合運算，再估算結(jié)果的大小即可判斷．【詳解】解：2==4+2∵2<5∴4<25∴8<4+25故選：B．【點睛】此題考查了二次根式的混合運算，無理數(shù)的估算，正確掌握二次根式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023·山東臨沂·中考真題）設(shè)m=515?45，則實數(shù)A．m<?5 B．?5<m<?4 C．?4<m<?3 D．m>?3【答案】B【提示】根據(jù)二次根式的加減運算進行計算，然后估算即可求解．【詳解】解：m=515?45∵25=∴?5<?25即?5<m<?4，故選：B．【點睛】本題考查了二次根式的加減運算，無理數(shù)的估算，正確的計算是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】若將三個數(shù)?3，7，11表示在數(shù)軸上，其中一個數(shù)被墨跡覆蓋（如圖所示），則這個被覆蓋的數(shù)是______【答案】7【提示】根據(jù)被覆蓋的數(shù)的范圍求出被開方數(shù)的范圍，然后即可得解．【詳解】設(shè)被覆蓋的數(shù)是a，根據(jù)圖形可得1<a<3，∴1<a∴三個數(shù)?3，7，11中符合范圍的是7故答案為：7．【點睛】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，根據(jù)數(shù)軸確定出被覆蓋的數(shù)的取值范圍是解題的關(guān)鍵．【例4】（2022·天津紅橋·三模）計算23+32【答案】3【提示】利用平方差公式解答．【詳解】解：23+3故答案為：3．【點睛】本題考查利用平方差公式進行計算，是基礎(chǔ)考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．【變式4-1】（2023·河北保定·?？家荒＃┮阎?+32=5+2【答案】6【提示】根據(jù)完全平方公式算出2+【詳解】∵2+32∴5+26∴a=6．故答案為：6．【點睛】本題主要考查了二次根式的混合運算和完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【變式4-2】計算：3+1【答案】17?6【詳解】解：3=3?1?4+18?6=17?62【點睛】本題考查二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是二次根式的加減運算以及乘除運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式4-3】計算：(5+6【答案】19【詳解】解：(5+=(5+=25=19【變式4-4】10032【答案】25【提示】利用平方差公式把原式變形為1003【詳解】解：100=====25；故答案為：25【點睛】本題主要考查了二次根式的混合運算法則，理解相關(guān)知識是解答關(guān)鍵．【例5】已知n＝2＋1，求n+2+n2?4n+2?【答案】2+1【詳解】設(shè)a=n+2+n2?4，b=n+2-∴a+b=2（n+2），ab=（n+2）2-（n2-4）=4（n+2），∴原式=ab=a+b=n．當n＝2＋1時，原式＝2＋1.【例6】計算：6+43+326+33+2.[提示：6＋43＋3【答案】6?【提示】根據(jù)題中提示進行拆分，在進行化簡即可.【詳解】解：原式＝6+43＝6＋3＝13+＝3?2＝6?【例7】已知x=15+2，y=1【答案】17【提示】先對x和y進行分母有理化，將所給的多項式化為(x+y)2?3xy，再計算x+y和【詳解】解：x=1y=原式=x+y=∵x+y=25，xy=5?4=1∴原式=2故答案為：17．【點睛】本題考查了二次根式的化簡，分母有理化，要熟練掌握平方差公式和完全平方公式．【變式7-1】已知x=15?2，y=【答案】23【提示】利用分母有理化化簡可得x=5+2，y=5【詳解】解：∵x=1y=1∴x==5+4=23．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算以及二次根式的化簡求值，解決問題關(guān)鍵是掌握分母有理化．【變式7-2】已知：x=110+3(1)x+y(2)x【答案】(1)2(2)2【提示】（1）分母有理化，化簡x、y，據(jù)此求解即可；（2）提取公因式得到x2【詳解】（1）解：∵x=110+3∴x+y=10（2）解：由（1）知x=10?3，y=10∴xy=10∴x=x+y=210【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，掌握二次根式的混合運算是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】已知a=5+35?【答案】62【提示】利用分母有理化化簡a、b，求出a+b和ab，再將所求式子利用分式加法法則變形，代入計算即可．【詳解】解：a=5+3∴a+b=4+15+4?15則b====62．【點睛】本題考查的是二次根式的化簡求值，掌握二次根式的加法法則、乘法法則、完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【例8】計算：2+【答案】5?【詳解】提示：把分母2+6+10+解：2+32+6=1＝5?＝5＝5?【例9】若a，b為實數(shù)，且b＝3?5a＋5a?3＋15，試求ba【答案】25【詳解】試提示：利用二次根式的定義求出a與b的值，再把原式進行化簡，把a，b的值代入化簡結(jié)果進行計算即可得到結(jié)果．解：由二次根式的定義，得3?5a≥05a?3≥0∴3－5a＝0，∴a＝35.∴b＝15，∴∴ba+a=(a+b當a＝35原式＝215【變式9-1】可以用配方法化簡二重根式，例如：4?23請化簡式子：5?26+【答案】2【提示】先把5?26，7?43分別化為3?【詳解】解：5?2===2?=2?=2；故答案為：2【點睛】本題考查的是二次根式的化簡，二次根式的混合運算，分母有理化，掌握二次根式的化簡的方法與技巧是解本題的關(guān)鍵．【例10】已知x∶y∶z＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求x+yx+z【答案】15?2【詳解】設(shè)x＝k(k＞0)，則y＝2k，z＝3k，∴原式＝3k4k【變式10-1】《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊a、b、c求面積的公式，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即為S=14c2a【答案】3【提示】根據(jù)周長為18的三角形的三邊滿足a:b:c=4:3:2，求得a=8,b=6,c=4，代入公式即可求解．【詳解】解：∵周長為18的三角形的三邊滿足a:b:c=4:3:2，設(shè)a=4k,b=3k,c=2k∴4k+3k+2k=18解得k=2∴a=8,b=6,c=4∴S=====3故答案為：3【點睛】本題考查了化簡二次根式，正確的計算是解題的關(guān)鍵．【例11】已知a＋b＝－6，ab＝5，求bba＋aa【答案】?【分析】首先對每一項根式進行分母有理化進行化簡，然后通分，進行分式的加法運算，再用對分母提取公因式后，運用配方法對提取公因式后的分母進行整理，最后再入求值即可．【詳解】解：∵a＋b＝－6，ab＝5，∴a＜0，b＜0.∴原式=?aab=?26【變式11-1】先化簡再求值(1)已知：y>3x?2+2?3x(2)已知a=12+3【答案】(1)2(2)7【分析】（1）根據(jù)二次根式被開方數(shù)的非負性，可得x的值，從而得y的范圍，從而可將要求的式子化簡求解；?（2）先對已知條件利用分母有理化進行化簡，再對要求的式子進行化簡，最后將a的值代入計算即可．【詳解】（1）∵3x?2≥0，2?3x≥0，3x?2≥0，∴x=23∵y>∴y>2?

y=y?2=?1+5?2?=2?∴y2（2）∵a=1=2?=2?∴a2=a+3=(a+3)?2?a=a+3+1=2?3=7?∴a2【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值和分式的化簡求值，熟練掌握因式分解及分母有理化的方法，是解題的關(guān)鍵．考點三二次根式的運算題型01二次根式的乘除運算【例1】（2023·湖南·中考真題）對于二次根式的乘法運算，一般地，有a?b=A．a(chǎn)>0,b>0 B．a(chǎn)<0,b<0 C．a(chǎn)≤0,b≤0 D．a(chǎn)≥0,b≥0【答案】D【提示】根據(jù)二次根式有意義的條件得出不等式組，再解不等式組即可得出結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)二次根式有意義的條件，得a≥0b≥0∴a≥0,b≥0，故選：D．【點睛】二次根式有意義的條件，及解不等式組，掌握二次根式有意義的條件是被開方數(shù)為非負數(shù)是本題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·青海西寧·中考真題）下列運算正確的是（

）A．2+3=5C．(3?2)2【答案】C【提示】根據(jù)二次根式的運算法則運算判斷．【詳解】解：A、2+B、(?5)2C、(3?2D、6÷2故選：C【點睛】本題考查二次根式的運算，乘法公式；注意掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023·河北·中考真題）若a=2，b=7，則A．2 B．4 C．7 D．2【答案】A【提示】把a=2【詳解】解：∵a=2∴14a故選：A．【點睛】本題考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除運算是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022·廣東廣州·廣東番禺中學(xué)?？既＃┯嬎悖篴bA．1|a|b2ab B．1abab【答案】A【提示】根據(jù)二次根式的乘除運算法則進行計算，最后根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：ab故選：A．【點睛】本題考查二次根式的乘除運算和二次根式的性質(zhì)，a?b=【變式1-4】（2023益陽市中考）計算：20×5【答案】10【提示】根據(jù)二次根式的乘法法則計算即可．【詳解】20×故答案為：10．【點睛】本題考查了二次根式的乘法．二次根式的乘法法則a?題型02二次根式的加減運算【例2】（2023·遼寧盤錦·中考真題）計算：9?4=【答案】1【提示】先化簡二次根式，再計算減法．【詳解】解：9?故答案為：1．【點睛】本題考查二次根式的運算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)．【變式2-1】（2022·黑龍江哈爾濱·中考真題）計算3+313【答案】2【提示】先化簡二次根式，再合并同類二次根式即可．【詳解】解：3=3+=23故答案為：23【點睛】本題考查了二次根式的加減，把二次根式化為最簡二次根式是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023·廣西玉林·一模）下列運算正確的是（）A．2+5=C．5?3=【答案】D【提示】利用二次根式的加減運算法則進行計算，然后作出判斷．【詳解】解：A、2與5不是同類二次根式，不能合并計算，故此選項不符合題意；B、52C、5與3不是同類二次根式，不能合并計算，故此選項不符合題意；D、23故選：D．【點睛】本題考查二次根式的加減運算，掌握運算法則是解題關(guān)鍵．【變式2-3】（2023淄博市一模）已知實數(shù)m、n滿足m?3+n?12=0，則m【答案】3【提示】根據(jù)絕對值和平方的非負性求出x和y的值，然后代入化簡求值即可．【詳解】∵m?3+∴m?3=0n?12=0解得m=3n=12∴m+故答案為：33【點睛】本題考查了絕對值和二次根式的非負性，二次根式的化簡和加減運算，根據(jù)題意求出x和y的值是解題的關(guān)鍵．【變式2-4】（2020·河北·中考真題）已知：18?2=a2【答案】6【提示】根據(jù)二次根式的運算法則即可求解．【詳解】∵18∴a=3,b=2∴ab=6故答案為：6．【點睛】此題主要考查二次根式的運算，解題的關(guān)鍵是熟知其運算法則．題型03二次根式的混合運算【例3】（2023·山東聊城·中考真題）計算：48?31【答案】3【提示】先利用二次根式的性質(zhì)化簡，再計算括號內(nèi)的減法，然后計算二次根式的除法即可．【詳解】解：48===3=3故答案為：3．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2022·湖北荊州·中考真題）若3?2的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則代數(shù)式2+2a【答案】2【提示】先由1<2<2得到1<3?2<2，進而得出a和【詳解】解：∵1<2∴1<3?2∵3?2的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b∴a=1，b=3?2∴2+2故答案為：2．【點睛】本題主要考查無理數(shù)及代數(shù)式化簡求值，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握無理數(shù)估算方法和無理數(shù)整數(shù)和小數(shù)部分的求解方法．【變式3-2】（2023·湖北荊州·中考真題）已知k=25+A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【提示】根據(jù)二次根式的混合運算進行計算，進而估算無理數(shù)的大小即可求解．【詳解】解：k=25∵2.52=∴52∴與k最接近的整數(shù)為3，故選：B．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，無理數(shù)的估算，熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023·甘肅武威·中考真題）計算：27÷【答案】6【提示】利用二次根式的混合運算法則計算即可．【詳解】解：27=3=12=62【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，掌握二次根式的混合運算法則是解答本題的關(guān)鍵．題型04二次根式的化簡求值【例4】（2023·湖南湘西·中考真題）先化簡，再求值：1+1a?1÷【答案】a+1，2【提示】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，最后把a的值代入計算即可．【詳解】解：1+1=a?1+1=a=a+1當a=2?1時，原式=2【點睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2022·湖北襄陽·中考真題）先化簡，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝3-2，b＝3+2．【答案】6ab,6【提示】直接利用完全平方公式、平方差公式化簡，進而合并同類項，再把已知數(shù)據(jù)代入得出答案．【詳解】解：原式＝a=6ab；∵a＝3-2，b＝3+2，∴原式=6=6【點睛】此題主要考查了二次根式的混合運算與整式的混合運算——化簡求值，正確掌握整式的混合運算法則是解題關(guān)鍵．【變式4-2】（2021·北京·一模）已知m+2n=5，求代數(shù)式4n【答案】2【提示】根據(jù)分式的混合運算法則把原式化簡，代入計算即可．【詳解】解：原式=4n==2m+2n當m+2n=5時，原式=2【點睛】本題考查的是分式的化簡求值，掌握分式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2021·江蘇蘇州·蘇州市景范中學(xué)校?？级＃┫然?，再求值：x2+xx【答案】3x?1；3【提示】根據(jù)分式的運算法則進行化簡，然后將x的值代入原式即可求出答案．【詳解】解：原式=x(x+1)=x(x+1)=x=x?x+3=3x?1當x=3原式=33【點睛】本題考查分式的運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式4-4】（2022淄博市一模）已知：m＝2+1，n＝2﹣1，則m2A．±3 B．﹣3 C．3 D．5【答案】C【提示】先根據(jù)題意得出m?n和mn的值，再把式子化成含m?n與mn的形式，最后代入求值即可.【詳解】由題得：m?n=2、mn=1∴m故選：C.【點睛】本題考查代數(shù)式求值和完全平方公式，運用整體思想是關(guān)鍵.題型05二次根式的應(yīng)用【例5】（2023·黑龍江綏化·模擬預(yù)測）古希臘幾何學(xué)家海倫和我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶都曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，稱為海倫﹣秦九韶公式：如果一個三角形的三邊長分別是a，b，c，記p=a+b+c2，那么三角形的面積為S=pp?ap?bp?c，∠A，∠B，b，c，若a=5，b=6，【答案】6【提示】根據(jù)a，b，c的值，求出p的值，代入公式計算即可求出S．【詳解】解：∵a=5，b=6，C=7，∴p=a+b+c則S=p故答案為：66【點睛】此題考查了二次根式的應(yīng)用，以及數(shù)學(xué)常識，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022·江蘇無錫·校聯(lián)考一模）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：3，82，153，244，……其中第5個數(shù)為______，第n個數(shù)為_______【答案】355，【提示】首先將3轉(zhuǎn)換成31【詳解】將3轉(zhuǎn)換成31之后，可發(fā)現(xiàn)各項的分母依次為1，2，3，4，?可以得出第n項的分母就是n，故第5項的分母為5；同時各項的分子中根號內(nèi)的值依次為3，8，15，24，?，不難發(fā)現(xiàn)第n項的分子中根號內(nèi)的值應(yīng)是(n+1)2所以第5項的分子應(yīng)是62?1=35，則第故第5個數(shù)為355，第n個數(shù)為n故答案為：355，n【點睛】本題是找規(guī)律的題型，解題的關(guān)鍵點在于將3轉(zhuǎn)換成31【變式5-2】（2022·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）觀察下列各式：①1+13=213，②2+14=314，③【答案】6+18【提示】觀察等式左右兩邊的式子結(jié)構(gòu)，即可得出答案．【詳解】解：觀察可知：第6個式子為：6+1一