【八年級下冊】等邊三角形的性質(zhì)【同步練習(xí)卷】（含答案）

等邊三角形的性質(zhì)姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（豐南區(qū)期中）等邊三角形的兩個(gè)內(nèi)角平分線所成的銳角是（）A．30° B．50° C．60° D．90°2．（覃塘區(qū)期中）如圖，△ABC是等邊三角形，D是AC邊的中點(diǎn)，延長BC到點(diǎn)E，使CE＝CD，連接DE，則下列結(jié)論錯誤是（）A．CE=12AB B．BD＝ED C．∠BDE＝∠DCE D．∠3．（滄州期中）三個(gè)等邊三角形的擺放位置如圖所示，若∠1+∠2＝110°，則∠3的度數(shù)為（）A．90° B．70° C．45° D．30°4．（香坊區(qū)校級期中）如圖，△ABC是等邊三角形，邊長為6，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作BC的平行線交AB于D，交AC于E，則△ADE的周長是（）A．6 B．8 C．10 D．125．（浦北縣期中）如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)O是BC上任意一點(diǎn)，OE，OF分別于兩邊垂直，且等邊三角形的高為2，則OE+OF的值為（）A．5 B．4 C．3 D．26．（富平縣期末）如圖，△ABC是等邊三角形，BC＝BD，∠BAD＝20°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．50° B．55° C．60° D．65°7．（瑤海區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC＝160°，∠BCD＝80°，△PDC為等邊三角形，則∠ADC的度數(shù)為（）A．70° B．75° C．80° D．85°8．（濉溪縣期末）如圖，已知等邊△ABC的周長是12，點(diǎn)P是三角形內(nèi)的任意一點(diǎn)，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，則PD+PE+PF的值是（）A．12 B．8 C．4 D．39．（張家港市期末）如圖，若BD為等邊△ABC的一條中線，延長BC至點(diǎn)E，使CE＝CD＝1，連接DE，則DE的長為（）A．32 B．3 C．52 10．（余姚市期末）如圖，△ABC是等邊三角形，D是邊BC上一點(diǎn)，且∠ADC的度數(shù)為（5x﹣20）°，則x的值可能是（）A．10 B．20 C．30 D．40二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．（浦東新區(qū)期末）邊長為6cm的等邊三角形的面積是．12．（集賢縣期末）如圖，BD為等邊△ABC的邊AC上的中線，E為BC延長線上一點(diǎn)，且DB＝DE，若AB＝6cm，則CE＝cm．13．（松桃縣月考）如圖，等邊△ABC中，BE和CD分別是AC和AB邊上的高，且相交于點(diǎn)F，則∠BFC度數(shù)為．14．（泰興市期中）如圖，直線a∥b，△ABC的頂點(diǎn)C在直線b上，邊AB與直線b相交于點(diǎn)D．若△BCD是等邊三角形，∠A＝24°，則∠1＝°．15．（石阡縣月考）觀察下列正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)所標(biāo)的數(shù)字規(guī)律，那么2020這個(gè)數(shù)在個(gè)第三角形的頂點(diǎn)處（第二空填：上，左下，右下）．16．（淮濱縣月考）如圖，已知：∠MON＝30°，點(diǎn)A1，A2，A3…在射線ON上，點(diǎn)B1、B2、B3…在射線OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均為等邊三角形，若OA1＝1，則△A5B5A6的周長為．17．（朝陽區(qū)校級期中）如圖，若△ABC是等邊三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分線，延長BC到E，使CE＝CD，則BE＝．18．（鐵東區(qū)期中）如圖，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為D，點(diǎn)P為AB邊上一點(diǎn)，EF垂直平分線段BP，EF與線段AD交于F，連接CF、PF，以下結(jié)論：①PF＝CF；②∠PFC＝120°，③∠PFE+∠ACF＝90°；④∠PFA＝∠DCF．其中一定正確的有．（填序號即可）三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（晉安區(qū)期中）如圖，在△ABC中，以AB為邊作等邊△ABD（點(diǎn)C、D在邊AB的同側(cè)），連接CD．若∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，求∠BDC的度數(shù)．20．（廣豐區(qū)期末）在同一平面內(nèi)，將兩塊正三角形的紙板的兩個(gè)頂點(diǎn)重合在一起．（1）如圖1重疊部分∠AOD＝30°，求∠COB的大小；（2）如圖2重疊部分∠AOD＝15°，求∠COB的大小；（3）如圖3，若兩圖形除O外沒有重疊，∠AOD＝10°，求∠COB的大?。唬?）求∠AOD和∠COB的數(shù)量關(guān)系．21．（和平區(qū)期末）如圖，△ABC是一個(gè)邊長為6的等邊三角形，BD是△ABC的高，求BD的長．22．（永安市期末）已知，△ABC是等邊三角形，D、E、F分別是AB、BC、AC上一點(diǎn)，且∠DEF＝60°．（1）如圖1，若∠1＝50°，求∠2；（2）如圖2，連接DF，若∠1＝∠3，求證：DF∥BC．23．（和平區(qū)期末）如圖，△ABC是等邊三角形，△ACE是等腰三角形，∠AEC＝120°，AE＝CE，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，連接AF．（1）直接寫出∠BAE的度數(shù)為；（2）判斷AF與CE的位置關(guān)系，并說明理由．24．（辛集市期末）如圖所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動，已知點(diǎn)M的速度是1厘米/秒的速度，點(diǎn)N的速度是2厘米/秒，當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動．（1）M、N同時(shí)運(yùn)動幾秒后，M、N兩點(diǎn)重合？（2）M、N同時(shí)運(yùn)動幾秒后，可得等邊三角形△AMN？（3）M、N在BC邊上運(yùn)動時(shí)，能否得到以MN為底邊的等腰△AMN，如果存在，請求出此時(shí)M、N運(yùn)動的時(shí)間？等邊三角形的性質(zhì)姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（豐南區(qū)期中）等邊三角形的兩個(gè)內(nèi)角平分線所成的銳角是（）A．30° B．50° C．60° D．90°【分析】畫出圖形，根據(jù)內(nèi)角平分線的定義求出∠OBC和∠OCB的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得結(jié)論．【解析】如圖：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BO、CO是兩個(gè)內(nèi)角的平分線，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，在△OBC中，∠DOC＝∠OBC+∠OCB＝30°+30°＝60°．故選：C．2．（覃塘區(qū)期中）如圖，△ABC是等邊三角形，D是AC邊的中點(diǎn)，延長BC到點(diǎn)E，使CE＝CD，連接DE，則下列結(jié)論錯誤是（）A．CE=12AB B．BD＝ED C．∠BDE＝∠DCE D．∠【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到CD=12AC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB＝AC，等量代換判斷A；根據(jù)等邊三角形的內(nèi)角是60°判斷B；根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出∠E，判斷C；根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義判斷【解析】∵△ABC是等邊三角形，D是AC邊的中點(diǎn)，∴AB＝AC，CD=12∴CD=12∵CE＝CD，∴CE=12AB，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵D是AC邊的中點(diǎn)，∴∠DBC＝30°，∵CD＝CE，∴∠E＝∠EDC=12∠∴∠DBC＝∠E，∴BD＝ED，B選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；∵△ABC是等邊三角形，D是AC邊的中點(diǎn)，∴∠BDC＝90°，∴∠BDE＝120°，∵∠DCE＝120°﹣∠ACB＝120°，∴∠BDE＝∠DCE，C選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；∠ADE＝180°﹣30°＝150°，D選項(xiàng)錯誤，符合題意；故選：D．3．（滄州期中）三個(gè)等邊三角形的擺放位置如圖所示，若∠1+∠2＝110°，則∠3的度數(shù)為（）A．90° B．70° C．45° D．30°【分析】由平角的性質(zhì)可得∠3+∠6+60°＝180°，∠2+∠4+60°＝180°，∠1+∠5+60°＝180°，可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝540°﹣180°，將∠1+∠2＝110°代入可求解．【解析】如圖，∵∠3+∠6+60°＝180°，∠2+∠4+60°＝180°，∠1+∠5+60°＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝540°﹣180°，∴∠3＝180°﹣（∠1+∠2）＝70°，故選：B．4．（香坊區(qū)校級期中）如圖，△ABC是等邊三角形，邊長為6，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作BC的平行線交AB于D，交AC于E，則△ADE的周長是（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】利用等邊三角形的定義可得出AB，AC的長，由BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，利用角平分線的定義可得出∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCB，由DE∥BC，利用“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”可得出∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，進(jìn)而可得出∠DFB＝∠DBF，∠EFC＝∠ECF，利用等角對等邊可得出DB＝DF，EC＝EF，再利用三角形周長的計(jì)算公式可求出△ADE的周長．【解析】∵△ABC是等邊三角形，邊長為6，∴AB＝AC＝6．∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCB．∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠FBC＝∠DBF，∠EFC＝∠FCB＝∠ECF，∴DB＝DF，EC＝EF，∴△ADE的周長＝AD+DF+EF+AE＝AD+BD+EC+AE＝AB+AC＝12．故選：D．5．（浦北縣期中）如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)O是BC上任意一點(diǎn)，OE，OF分別于兩邊垂直，且等邊三角形的高為2，則OE+OF的值為（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】三角形ABC的面積等于三角形AOB的面積+三角形AOC的面積，根據(jù)△ABC是等邊三角形，所以三個(gè)三角形是等底的三角形，且高OF+高OE等于三角形ABC的高．【解析】如圖，連接AO，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∵OE⊥AB，OF⊥AC，∵S△ABC＝S△AOB+S△AOC，∴12BC×2=1∴OE+OF＝2；故選：D．6．（富平縣期末）如圖，△ABC是等邊三角形，BC＝BD，∠BAD＝20°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．50° B．55° C．60° D．65°【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得AB＝BC，∠ABC＝60°，由等腰三角形的性質(zhì)可求∠ABD＝140°，可求解．【解析】∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∵BC＝BD，∴AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝20°，∴∠ABD＝140°，∴∠CBD＝80°，又∵BC＝BD，∴∠BCD＝50°＝∠BDC，故選：A．7．（瑤海區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC＝160°，∠BCD＝80°，△PDC為等邊三角形，則∠ADC的度數(shù)為（）A．70° B．75° C．80° D．85°【分析】由等邊三角形求得∠PCD＝∠DPC＝∠CDP＝60°，且PC＝CD＝PD，進(jìn)而求得∠BCP，再證明四邊形ABCP為平行四邊形，得AP＝DP，由三角形內(nèi)角和與等腰三角形性質(zhì)得∠ADP，進(jìn)而求得∠ADC．【解析】∵△PDC為等邊三角形；∴∠PCD＝∠DPC＝∠CDP＝60°，且PC＝CD＝PD，∵AB＝BC＝CD，∴AB＝CP，∵∠BCD＝80°，∴∠BCP＝∠BCD﹣∠DCP＝80°﹣60°＝20°，∵∠ABC＝160°，∴∠ABC+∠BCP＝180°，∴PC∥AB，∵AB＝CP，∴四邊形ABCP為平行四邊形，∴∠APC＝∠ABC＝160°，AP＝BC，∴AP＝DP，∠APD＝360°﹣∠CPD﹣∠APC＝140°，∴∠PDA＝∠PAD=180°?∠APD∴∠ADC＝∠CDP+∠ADP＝60°+20°＝80°，故選：C．8．（濉溪縣期末）如圖，已知等邊△ABC的周長是12，點(diǎn)P是三角形內(nèi)的任意一點(diǎn)，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，則PD+PE+PF的值是（）A．12 B．8 C．4 D．3【分析】過點(diǎn)P作平行四邊形PGBD，EPHC，進(jìn)而利用平行四邊形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)即可．【解析】延長EP、FP分別交AB、BC于G、H，則由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，四邊形PGBD，EPHC是平行四邊形，∴PG＝BD，PE＝HC，又△ABC是等邊三角形，又有PF∥AC，PD∥AB可得△PFG，△PDH是等邊三角形，∴PF＝PG＝BD，PD＝DH，又△ABC的周長為12，∴PD+PE+PF＝DH+HC+BD＝BC=1故選：C．9．（張家港市期末）如圖，若BD為等邊△ABC的一條中線，延長BC至點(diǎn)E，使CE＝CD＝1，連接DE，則DE的長為（）A．32 B．3 C．52 【分析】根據(jù)等腰三角形和三角形外角性質(zhì)求出BD＝DE，求出BC，在Rt△BDC中，由勾股定理求出BD即可．【解析】∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC，∵BD為中線，∴∠DBC=12∠∵CD＝CE，∴∠E＝∠CDE，∵∠E+∠CDE＝∠ACB，∴∠E＝30°＝∠DBC，∴BD＝DE，∵BD是AC中線，CD＝1，∴AD＝DC＝1，∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC＝1+1＝2，BD⊥AC，在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD=2即DE＝BD=3故選：B．10．（余姚市期末）如圖，△ABC是等邊三角形，D是邊BC上一點(diǎn)，且∠ADC的度數(shù)為（5x﹣20）°，則x的值可能是（）A．10 B．20 C．30 D．40【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)列出有關(guān)x的不等式后求得x的取值范圍即可確定正確的選項(xiàng)．【解析】∵△ABC是等邊三角形，D是邊BC上一點(diǎn)，∠ADC的度數(shù)為（5x﹣20）°，∴60≤5x﹣20≤120，解得：16≤x≤28，∴只有20適合，故選：B．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．（浦東新區(qū)期末）邊長為6cm的等邊三角形的面積是93cm2．【分析】根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)可得D為BC的中點(diǎn)，即BD＝CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根據(jù)勾股定理即可求得AD的長，即可求三角形ABC的面積，即可解題．【解析】如圖，等邊三角形高線即中線，故D為BC中點(diǎn)，∵AB＝6cm，∴BD＝3cm，∴AD=AB2?∴等邊△ABC的面積=12BC?AD=12×6×33=故答案為：93cm2．12．（集賢縣期末）如圖，BD為等邊△ABC的邊AC上的中線，E為BC延長線上一點(diǎn)，且DB＝DE，若AB＝6cm，則CE＝3cm．【分析】求CE的長，題中給出DB＝DE，由角相等可求出CD＝CE，所以CE為邊長AC的一半．【解析】∵BD為等邊△ABC的邊AC上的中線，∴BD⊥AC，∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠E＝30°∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝60°∴∠CDE＝30°∴∠CDE＝∠E，即CE＝CD=12AC＝3故填3．13．（松桃縣月考）如圖，等邊△ABC中，BE和CD分別是AC和AB邊上的高，且相交于點(diǎn)F，則∠BFC度數(shù)為120°．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠A＝60°，根據(jù)高的定義得出∠BEC＝90°，∠ADC＝90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠ADC＝30°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出答案即可．【解析】∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，∵BE和CD分別是AC和AB邊上的高，∴∠BEC＝90°，∠ADC＝90°，∴∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴∠BFC＝∠BEC+∠ACD＝90°+30°＝120°，故答案為：120°．14．（泰興市期中）如圖，直線a∥b，△ABC的頂點(diǎn)C在直線b上，邊AB與直線b相交于點(diǎn)D．若△BCD是等邊三角形，∠A＝24°，則∠1＝36°．【分析】先利用平行線的性質(zhì)得∠1＝∠ACD，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠BDC＝60°，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)計(jì)算出∠ACD即可．【解析】∵a∥b，∴∠1＝∠ACD，∵△BCD是等邊三角形，∴∠BDC＝60°，∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝60°﹣24°＝36°，∴∠1＝36°．故答案為36．15．（石阡縣月考）觀察下列正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)所標(biāo)的數(shù)字規(guī)律，那么2020這個(gè)數(shù)在第674個(gè)第三角形的上頂點(diǎn)處（第二空填：上，左下，右下）．【分析】由每個(gè)三角形有三個(gè)頂點(diǎn)結(jié)合2020÷3＝673……1，即可得出2020這個(gè)數(shù)所在的位置．【解析】∵2020÷3＝673……1，673+1＝674，∴2020這個(gè)數(shù)在第674個(gè)三角形上，且所在的位置與1所在的位置相同，∴2020這個(gè)數(shù)在第674個(gè)第三角形的上頂點(diǎn)處．故答案為：第674；上．16．（淮濱縣月考）如圖，已知：∠MON＝30°，點(diǎn)A1，A2，A3…在射線ON上，點(diǎn)B1、B2、B3…在射線OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均為等邊三角形，若OA1＝1，則△A5B5A6的周長為48．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2，進(jìn)而得出答案．【解析】∵△A1B1A2是等邊三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝1，∴A2B1＝1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等邊三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，∴△A5B5A6的周長為48，故答案為：48．17．（朝陽區(qū)校級期中）如圖，若△ABC是等邊三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分線，延長BC到E，使CE＝CD，則BE＝9．【分析】因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以∠ABC＝∠ACB＝60°，BD是∠ABC的平分線，則∠DBC＝30°，AD＝CD=12AC，再由題中條件CE＝CD，即可求得【解析】證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BD是∠ABC的平分線，∴AD＝CD=12AC，∠DBC=1∵CE＝CD，∴CE=12∴BE＝BC+CE＝6+3＝9．故答案為：9．18．（鐵東區(qū)期中）如圖，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為D，點(diǎn)P為AB邊上一點(diǎn)，EF垂直平分線段BP，EF與線段AD交于F，連接CF、PF，以下結(jié)論：①PF＝CF；②∠PFC＝120°，③∠PFE+∠ACF＝90°；④∠PFA＝∠DCF．其中一定正確的有①②③．（填序號即可）【分析】如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠ACB＝60°，AD垂直平分BC，AD平分∠BAC，則根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得FB＝FC，F(xiàn)B＝FP，則可對①進(jìn)行判斷；利用三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠PFB+∠BFC＝240°，然后利用周角的定義對②進(jìn)行判斷；由于∠ACF＝60°﹣∠1，∠PFE＝90°﹣∠3，則∠ACF+∠PFE＝90°，則可對③進(jìn)行判斷；由于∠AFP＝∠4﹣30°＝∠3﹣30°，∠DCF＝∠1，而∠1與∠3的度數(shù)不能確定，從而可對④進(jìn)行判斷．【解析】如圖，∵△ABC為等邊三角形，AD⊥BC，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AD垂直平分BC，AD平分∠BAC，∴FB＝FC，∠5＝30°，∵EF垂直平分線段BP，∴FB＝FP，∴FP＝FC，所以①正確；∵FP＝FB，F(xiàn)B＝FC，∴∠3＝∠4，∠1＝∠2，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝2（∠1+∠3）＝2×60°＝120°，∴∠PFB+∠BFC＝180°+180°﹣120°＝240°，∴∠PFC＝360°﹣240°＝120°，所以②正確；∵∠ACF＝60°﹣∠2＝60°﹣∠1，∠PFE＝90°﹣∠4＝90°﹣∠3，∴∠ACF+∠PFE＝60°﹣∠1+90°﹣∠3＝60°﹣（∠1+∠3）+90°＝90°，所以③正確；∵∠4＝∠5+∠AFP，∴∠AFP＝∠4﹣30°＝∠3﹣30°，∵∠DCF＝∠1，而∠1+∠3＝60°，∴只有當(dāng)∠3＝45°，∠1＝15°，∠PFA＝∠DCF，所以④錯誤．故答案為①②③．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（晉安區(qū)期中）如圖，在△ABC中，以AB為邊作等邊△ABD（點(diǎn)C、D在邊AB的同側(cè)），連接CD．若∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，求∠BDC的度數(shù)．【分析】根據(jù)全等三角形的判定得出△CBA與△CDA全等，利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解析】∵△ABD是等邊三角形，∴∠BAD＝60°，AB＝AD，∵∠BAC＝30°，∴∠CAD＝60°﹣30°＝30°，在△CBA與△CDA中，AB=AD∠BAC=∠DAC∴△CBA≌△CDA（SAS），∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝90°﹣60°＝30°．20．（廣豐區(qū)期末）在同一平面內(nèi)，將兩塊正三角形的紙板的兩個(gè)頂點(diǎn)重合在一起．（1）如圖1重疊部分∠AOD＝30°，求∠COB的大?。唬?）如圖2重疊部分∠AOD＝15°，求∠COB的大??；（3）如圖3，若兩圖形除O外沒有重疊，∠AOD＝10°，求∠COB的大?。唬?）求∠AOD和∠COB的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）結(jié)合圖1，由等邊三角形的內(nèi)角均等于60°及∠AOD＝30°，則∠COB＝∠COD+∠AOB﹣∠AOD，將相關(guān)度數(shù)代入計(jì)算即可；（2）結(jié)合圖2，方法同（1）；（3）結(jié)合圖3，由等邊三角形的內(nèi)角均等于60°及∠AOD＝10°，則∠COB＝∠COD+∠AOB+∠AOD，將相關(guān)度數(shù)代入計(jì)算即可；（4）分三種情況計(jì)算即可：當(dāng)∠AOD是兩個(gè)角的重疊的角；當(dāng)∠AOD是兩個(gè)角的相離時(shí)的角；當(dāng)∠AOD是兩個(gè)角的相離時(shí)的角．【解析】（1）∵△COD和△AOB為正三角形，∠AOD＝30°，∴∠COB＝∠COD+∠AOB﹣∠AOD＝60°+60°﹣30°＝90°；（2）∵△COD和△AOB為正三角形，∠AOD＝15°，∴∠COB＝∠COD+∠AOB﹣∠AOD＝60°+60°﹣15°＝105°；（3）∵△COD和△AOB為正三角形，∠AOD＝10°，∴∠COB＝∠COD+∠AOB+∠AOD＝60°+60°+10°＝130°；（4）當(dāng)∠AOD是兩個(gè)角的重疊的角，則∠COB＝120°﹣∠AOD；當(dāng)∠AOD是兩個(gè)角的相離時(shí)的角，且∠AOD≤60°，則∠COB＝120°+∠AOD；當(dāng)∠AOD是兩個(gè)角的相離時(shí)的角，且∠AOD＞60°，則∠COB＝360°﹣（120°+∠AOD）＝240°﹣∠AOD．21．（和平區(qū)期末）如圖，△ABC是一個(gè)邊長為6的等邊三角形，BD是△ABC的高，求BD的長．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理解答即可．【解析】∵△ABC是一個(gè)邊長為6的等邊三角形，BD是△ABC的高，∴AD＝DC=12在Rt△ABD中，BD=A22．（永安市期末）已知，△ABC是等邊三角形，D、E、F分別是AB、BC、AC上一點(diǎn)，且∠DEF＝60°．（1）如圖1，若∠1＝50°，求∠2；（2）如圖2，連接DF，若∠1＝∠3，求證：DF∥BC．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和解答即可；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和和平角的定義以及平行線的判定解答即可．【解析】（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠A＝∠C＝60°，∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠DEB+∠DEF+∠2＝180°，∵∠DEF＝60°，∴∠1+∠DEB＝∠2+∠DEB，∴∠2＝∠1＝50°；（2）∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠FDE+∠3+∠DEF＝180°，又∵∠B＝60°，∠DEF＝60°，∠1＝∠3，∴∠FDE＝∠DEB，∴DF∥BC．23．（和平區(qū)期末）如圖，△ABC是等邊三角形，△ACE是等腰三角形，∠AEC＝120°，AE＝CE，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，連接AF．（1）直接寫出∠BAE的度數(shù)為