《電磁場與電磁波》課件第7章

第7章電磁波的反射和折射7.1平面波在不同媒質(zhì)界面上的反射和折射7.2平面波向導電媒質(zhì)界面上的垂直入射7.3平面波向理想介質(zhì)界面上的垂直入射7.4平面波向理想導體界面上的斜入射7.5平面波向理想介質(zhì)界面上的斜入射7.6平面波向導電媒質(zhì)界面上的斜入射7.1平面波在不同媒質(zhì)界面上的反射和折射

設兩種半無限大界面為z=0平面，如圖7-1所示。兩種媒質(zhì)電參數(shù)分別為μ1、ε1和μ2、ε2?，F(xiàn)有一平面電磁波由媒質(zhì)1入射到界面上的A點，在該點產(chǎn)生反射波和折射波，A點到坐標原點的位置矢量rA。反射波和折射波是否可以表示為平面波，要根據(jù)它們是否能滿足界面上邊界條件而定。下面會看到，對無限大平面分界面的情況，它們能夠滿足邊界條件，根據(jù)唯一性定理，這種假設是正確的。圖7-1平面波在媒質(zhì)界面上的反射和折射設入射波、反射波和折射波各場量下標分別以i、r和t表示，則電磁波的各電場可分別表示為：

(7-1)式中，ωi、ωr和ωt分別表示入射波、反射波和折射波的角頻率，t為時間，三種波的波矢量分別為(7-2)而媒質(zhì)1中的總電場和總磁場分別為E1和H1，媒質(zhì)2中的總電場和總磁場分別為E2和H2，因而各場量可寫為(7-3)兩媒質(zhì)中的電場和磁場在媒質(zhì)分界面必須滿足的邊界條件為(7-4)即電場和磁場在界面處的切向分量必須連續(xù)。7.1.1反射定律和折射定律

如圖7-1所示，在兩媒質(zhì)的邊界(z=0)面上，電場強度E應滿足其切向分量連續(xù)的邊界條件，即

如將界面上任一點A的矢徑記作rA，則由式(7-1)和上式，有(7-5)要使上式對界面上任一點rA和任意時間均成立，式中各項的相位因子必須相等。而t和rA又是兩個獨立變量，因此有

ωi=ωr=ωt=ω

(7-6)可見，反射波和折射波與入射波的頻率相同，而相移常數(shù)為

(7-7)另外(7-8)為了從上式求得入射波、反射波和折射波傳播矢量間的關系，應用矢量恒等式故有式中，n為界面的法向單位矢量，而rA在z=0面上，故有n·rA=0,所以

rA=－n×(n×rA)

將上式代入式(7-8)，并由矢量恒等式A·(B×C)=C·(A×B)得

ki·n×(n×rA)=(ki×n)·(n×rA)

=(kr×n)·(n×rA)=(kt×n)·(n×rA)

式中，ki×n、kr×n和kt×n均垂直于n，均在z=0平面上，n×rA是z=0平面上的任意矢量，故上式成立的條件是

ki×n=kr×n=kt×n

(7-9)由式(7-9)可得出很有意義的結論。我們把入射波的波矢量ki與n構成的平面稱為入射面，則kr和kt均在入射面內(nèi)，如圖7-2所示，這是因為kr和n及ki和n決定的平面的法線與入射面的法線平行，即ki、kr、kt與n共面。入射波的波矢量ki與平面法線n之間的夾角θi稱為入射角，反射波的波矢量kr、折射波的波矢量kt與n之間的夾角θr和θt分別稱為反射角和折射角。

由圖7-2和式(7-8)并考慮到式(7-7)可得

(7-10)圖7-2說明ki、kr、kt和n共面用圖

又由式(7-7)和式(7-9)得

k1sinθi=k1sinθr=k2sinθt

由

k1sinθi=k1sinθr

得

θi=θr

(7-11)

可見反射角θr等于入射角θi，且ki、kr在同一平面內(nèi)，式(7-11)稱為反射定律。

由k1sinθi=k2sinθt及

，可得(7-12)7.1.2菲涅爾公式

1.垂直極化波入射

取直角坐標系，選取介質(zhì)交界面為坐標系的原點，入射面與xz平面重合，如圖7-3所示。入射角、反射角和折射角分別為θi、θr和θt，則入射線、反射線和折射線的方向分別為ni、nr和nt，它們均在xz平面內(nèi)。由于是垂直極化波，則入射波的Ei垂直于入射波，故Ei只有垂直于界面的y分量。在z=0的界面上，電場強度和磁場強度的切向分量必須滿足其連續(xù)的邊界條件，因而反射波和折射波電場也只有垂直于界面的y分量。而磁場方向應滿足關系式E×H=S，因而有x和z方向的兩個分量，其中僅x分量平行于界面，故分界面上的電磁波的邊界條件應為

(7-13)圖7-3Ei垂直于入射面時的反射和折射對于均勻平面波H0=E0/η，上式中的Hiox=－Hiocosθi,Hrox=Hrocosθr，Htox=－Htocosθt，所以式(7-13)又可以寫為

(7-14)聯(lián)立求解式(7-14)，并考慮反射定律θi=θr。可得垂直極化波的反射系數(shù)?！秃屯干湎禂?shù)T⊥為(7-15)(7-16)?！秃蚑⊥分別為當Ei垂直于入射面時，在z=0處反射波電場和折射波電場與入射波電場振幅之比，其η1和η2分別為媒質(zhì)1和媒質(zhì)2的波阻抗。對于非磁性介質(zhì)，因為，，并應用折射定律，則反射系數(shù)和透射系數(shù)可寫為

(7-17)(7-18)上面兩式還可以分別表示為(7-19)(7-20)

2.平行極化波入射

取坐標如圖7-4所示，ni、nr、nt和Ei、Er、Et均在入射面內(nèi)。圖7-4Ei平行于入射面時的反射和折射

設直角坐標y軸的正方向垂直紙面向外，Hi只有y分量，則Hi的正方向為負y方向，同樣，Hr和Ht也只有方向為負y方向的y分量。此時界面處的電磁場切向分量為Eox和Hoy，由切向邊界條件H1t=H2t、E1t=E2t有

Eiox+Erox=Etox，Hioy+Hroy=Htoy

即(7-21)因θi=θr，上式可寫為(7-22)兩邊同除以Eio，則有

(7-23)求解式(7-23)可得平行極化波的反射系數(shù)Γ∥和透射系數(shù)T∥為(7-24)(7-25)對于非磁性介質(zhì)，μ1≈μ2≈μ0，，，則反射系數(shù)和透射系數(shù)可寫成

(7-26)(7-27)上面兩式由折射定律還可以分別表示為(7-28)(7-29)上面討論了入射波、反射波和折射波在界面處的方向關系及振幅關系，那么入射波、反射波和折射波功率間的關系又怎樣？為了討論這個問題，需引入功率反射系數(shù)Γp和功率透射系數(shù)Tp。

(7-30)式中，n為界面法向單位矢，Savi、Savr和Savt分別為入射波、反射波和折射波的平均功率流密度。在圖7-4中，n=ez，將Savi、Savr和Savt代入式(7-30)可得(7-31)上式對平行極化波和垂直極化波均成立。若將?！汀⊥和?！巍∥代入，可得

Γp+Tp=1

表明在界面上，入射、反射、透射波和平均功率密度滿足能量守恒關系。

設用Γh、Th和Z分別表示用橫向場分量定義的反射系數(shù)、透射系數(shù)和橫向波阻抗，則對于入射波Ei垂直于入射面時，由圖7-3有

(7-32)而橫向波阻抗為

(7-33)式中η1和η2分別為媒質(zhì)1和媒質(zhì)2中的波阻抗，而Z1和Z2分別為當Ei垂直于入射面時(即垂直極化波入射)，媒質(zhì)1和媒質(zhì)2中的橫向波阻抗。由式(7-15)、式(7-16)和式(7-33)得(7-34)顯然

1+Γh⊥=Th⊥

(7-35)

對于平行極化波入射(即Ei平行于入射面)，如圖7-4所示，有(7-36)(7-37)由上兩式并代入?！魏蚑∥可得(7-38)(7-39)可見，式(7-35)和式(7-39)的形式完全相同。在傳輸線理論中，兩段半無限長特性阻抗不同的傳輸線接頭處，就有形如式(7-35)的電壓(電場)反射系數(shù)和傳輸關系。這是因為就垂直于界面?zhèn)鞑サ牟ǘ?，與傳輸線上的情況是類似的。

7.2平面波向導電媒質(zhì)界面上的垂直入射

當一平面電磁波由理想介質(zhì)(μ1，ε1)垂直入射到導電媒質(zhì)(μ2，ε2，σ)界面時，由于入射角θi=0，由反射定律和折射定律知，反射角θr和折射角θt也等于零，即反射波和透射波也是垂直于界面?zhèn)鞑ァ榱擞懻搯栴}方便，設反射波和透射波的電場均與入射波電場方向相同，即Ei、Et和Er的正方向均沿直角坐標的x方向，而磁場強度Hi、Hr和Ht均垂直于xz平面，但此時入射面是不確定的，這意味著反、折射系數(shù)和Ei在xy面上的取向無關。而由式(7-15)和式(7-24)可見，當θi=θr=θt=0時，?！?－Γ∥，相差一負號，這是由于當θi=0時，(如圖7-3所示和圖7-4所示)Ei⊥與Er⊥指向相同，而Ei∥與Er∥指向相反，故正負號取決于正方向上的規(guī)定。對于圖7-5所示的正入射情況，由于Ei、Et和Er的正方向相同，此時的反射系數(shù)和折射系數(shù)可由式(7-15)、式(7-16)得(7-40)(7-41)式中，由式(7-40)和式(7-41)可見

1+Γ=Τ

(7-42)由圖7-5及式(7-40)和式(7-41)可得圖7-5向導電媒質(zhì)界面上垂直入射

Eio=exEio

Ero=exEro=exΓEio

Eto=exTEio

ni=nt=ez;

nr=－ez

將以上各式代入式(7-1)~式(7-3)，就能得到入射波、反射波和折射波電場表示式，故媒質(zhì)1中的總場量E1、H1與媒質(zhì)2中的總場量E2、H2為

(7-43)7.2.1媒質(zhì)2為良導體

1.穿透深度和趨膚效應

在導電媒質(zhì)中沿z方向傳播的電磁波，由于能量損耗而使場量(電場強度、磁場強度及電流密度等)都按e－αz指數(shù)規(guī)律衰減，且隨著電導率與磁導率的增加以及頻率的升高衰減得越快。因此，導電媒質(zhì)表面處的場量最大，愈深入內(nèi)部，場量愈小。我們把電磁波的場量趨于導電媒質(zhì)表面的現(xiàn)象稱為趨膚效應。由于趨膚效應使得導體傳導電流的截面減小，因而增加了導體的電阻，減小了內(nèi)自感。利用良導體內(nèi)部的電磁場基本為零的原理可對電子設備進行屏蔽，應用高頻電磁波的趨膚效應可對金屬表面進行硬化熱處理。當電磁波到達導電媒質(zhì)表面時，無論入射角如何，透射進入導電媒質(zhì)中的電磁波基本上沿其表面的法線方向傳播，且按e－αz的指數(shù)規(guī)律衰減。進入導電媒質(zhì)的電磁波場量的值衰減至表面值的1/e=0.368深度，稱為趨膚深度或穿透深度，以δ表示。由

e－αz=e－αδ=e－1=36.8%

可得導電媒質(zhì)的穿透深度為

(7-45)對于良導體，因(σ/ωε)>>1，

，故δ為(7-46)

2.良導體的功率損耗

假設良導體的厚度遠大于穿透深度，(一般這是符合實際情況的)，透入的電磁功率將全部被導體吸收并轉變?yōu)闊崃?。我們把單位面積導體(厚度為0~∞)吸收的功率用PL表示，即

PL=Savt=TSavi

(7-47)

而功率透射系數(shù)Tp為

Tp=1－Γp=1－|Γ|2

(7-48)

設媒體1為空氣，則η1→η0，良導體的波阻抗為η2→η，則有

~~因為，

則故可將用二項式展開，取其前兩項，得(7-49)由前式1+Γ=T可將透射系數(shù)寫為(7-50)于是

(7-51)將式(7-51)代入式(7-47)，且利用入射電磁波的磁場表示Savi，得損耗功率為(7-52)圖7-6良導體的表面電阻和表面電抗

3.表面阻抗

因為良導體中的電流密度集中于導體表面，則與能量損耗有關的波阻抗可看成表面阻抗?，F(xiàn)在我們來求其表面阻抗，如圖7-6所示。由式(7-49)可知，良導體的反射系數(shù)?！郑?。在z=0的邊界上，磁場的切向分量連續(xù)。即由式(7-43)和式(7-44)有

H1t=H1o，H2t=Hto

故

(7-53)代入式(7-44)，可得導體中電磁場的近似表示式為(7-54)導體中的電流密度為(7-55)式中J0=2σHioη為良導體表面處(z=0處)的電流密度，因此,它在y方向單位寬度而沿z方向為0~∞的截面上的總電流為

~(7-56)在導體表面，沿x方向單位長度上的電壓為則表面阻抗定義為電壓與電流之比，而，即有(7-57)其中(7-58)由式(7-56)、式(7-58)及式(7-52)可得單位面積導體損耗的功率為(7-59)在理想導體內(nèi)，因J為零，故只有面電流。由邊界條件可得，電流密度JS等于表面處的磁場即JS=H0。由式(7-49)知，當σ→∞即為理想導體，Γ=－1時，因而有JS=H0=2Hi。而由式(7-56)，I≈2Hio，所以I近似等于將導體視作理想導體時的面電流密度，即I≈JS。所以一般在計算良導體的功率損耗時,往往可以將良導體當作理想導體求出電磁場。由磁場和理想導體表面的邊界條件求出面電流，再由式(7-59)來計算導體損耗。這種近似的求解方法稱為微擾法。這種處理在許多情況下,特別是在導體處場分布較為復雜的情況下,將會大大地簡化計算。例7-1

試分別計算直徑為2mm的銅導線和鐵導線在

1MHz頻率下的穿透深度與表面電阻。已知銅的參量σ=5.8×107S/m，εr=μr=1；鐵的參量為σ=107S/m，

εr=1，μr=103。

解對于圓柱形導體，只要其半徑a>>δ，則可以近似地應用導體表面為平面時的趨膚深度公式。對于銅導線，其趨膚深度和單位長度的表面電阻分別為

對于鐵導線，同理可得

7.2.2媒質(zhì)2為理想導體

由上節(jié)討論已知，當平面電磁波射向良導體時，絕大部分電磁能量經(jīng)良導體表面反射而形成反射波，透入良導體的能量很小，穿透深度很小。在實際的相關分析計算時，為了分析方便，常將良導體當作理想導體處理，即認為電導率σ=∞，而η2=0，則有~(7-60)可見，電磁波的能量不可能透入理想導體內(nèi)，透射波為零，能量全被反射回媒質(zhì)1。在這種情況下，我們只要考慮媒質(zhì)1中的波。

在媒質(zhì)1中，由式(7-43)考慮到反射系數(shù)Γ=－1，則媒質(zhì)1中的合成電場和磁場為(略去下標1)

(7-61)其瞬時值(設Eio的幅角為零)為(7-62)由此可見，此時的電場和磁場不再是行波，它們均為駐波，由上式畫出E和H在不同時刻隨z的變化關系，如圖7-7所示。圖7-7不同時刻電磁駐波的場分布現(xiàn)在研究電磁駐波的能量和能流，由式(7-62)可求出電磁駐波的坡印廷矢量的瞬時值為

(7-63)由上式可見，每隔λ/4，S的符號，即能量流動的方向要改變一次，由式(7-61)可求得能流密度的平均值為而電、磁能量密度的瞬時值分別為(7-64)由式(7-64)畫出的we和wm在不同時刻沿z的分布如圖7-8所示，圖中箭頭表示能量密度方向。由圖可見，電能密度we和磁能密度wm在時間和空間上分別相差T/4和λ/4。如果沿z方向在z=－λ/2到z=0間取單位截面的柱體，其中的總電、磁能分別為

(7-65)總能量為(7-66)可見，柱體內(nèi)總電磁能為常數(shù)，且有

W=Wemax=Wmmax

(7-67)

而由式(7-65)可看出，當t=0時，We=0，Wm=Wmmax場能全部儲存在磁場中，當t=T/4，Wm=0，We=Wemax場能全部儲存在電場中。在0~T/4的時間內(nèi)，磁能逐漸轉換為電能，而在T/4~T/2的時間內(nèi)，電能逐漸轉換為磁能。由于電場與磁場的波節(jié)平面相距λ/4，而穿過波節(jié)平面的能流恒為零，所以電磁能之間的轉換只限于在兩個波節(jié)之間的空間范圍內(nèi)進行，如圖7-8所示。這種電能、磁能之間周期性地轉換，與低頻電子電路中的LC諧振回路中的能量關系一樣，故可認為形成電磁駐波就形成了電磁振蕩。圖7-8不同時刻電、磁能流密度沿z的分布例7-2

在空氣中一均勻平面波垂直投射到理想導體表面(z=0的面)。已知空氣中的電場強度E=(exExm+jeyEym)e－jkz，其中Exm、Eym是實常數(shù)。求反射波的極化狀態(tài)及導體表面的面電流密度。

解入射波是左旋橢圓極化波，其每一線極化分量的反射系數(shù)均為-1，所以反射波為

Er=－(exExm+jeyEym)ejkz

這是一右旋橢圓極化波。旋間的改變是由于反射波的傳播方向與入射波相反。

理想導體表面的面電流密度為

JS=n×H=－ez×H|z=0其中H是導體表面處入、反射波之和，即于是瞬時值為

7.3平面波向理想介質(zhì)界面上的垂直入射

7.3.1介質(zhì)為兩層理想介質(zhì)

仍取坐標如圖7-5所示。因媒質(zhì)1、2為理想介質(zhì)，η1和η2均為實數(shù)。又因為是垂直入射，即有θi=θr=θt=0，所以由式(7-15)和式(7-16)可得，電磁波垂直入射到兩理想介質(zhì)界面時的反射系數(shù)和透射系數(shù)為(7-68)在這里因為衰減系數(shù)α=0，，，則由7.2節(jié)的式(7-43)和式(7-44)可得兩種媒質(zhì)中各場量的表達式為

(7-69)(7-70)由式(7-70)可知，媒質(zhì)2中的波為無衰減的行波。行波的傳播特性已在第6章討論過，沒必要再來分析討論，現(xiàn)在討論介質(zhì)1中的波的特性。由式(7-69)知，如設Eio=Eim為實數(shù)即初相角為0，那么

則式(7-69)可改寫為(7-71)式中(7-72)(7-73)同理(7-74)式中(7-75)(7-76)

式(7-71)和式(7-74)中仍有因子，可見它們?nèi)跃哂行胁ㄌ匦?。但其幅值隨z作周期變化。

當η2>η1時，Γ實數(shù)，θ=0，由式(7-72)和式(7-75)知(7-77)處電場強度E的振幅具有最大值，磁場強度H的振幅具有最小值，即(7-78)而在(7-79)處有(7-80)由此可見，電磁場E和H振幅的最大值和最小值分布在空間固定位置上，即有固定的波腹點和波節(jié)點，這也正是駐波的特點，但波節(jié)點位置場強并不為零。我們將這種波稱為行駐波。媒質(zhì)1中的行駐波如圖7-9(a)所示，在界面(z=0)處，E為最大值(即波腹)。圖7-9行駐波振幅當η2<η1時，Γ=|Γ|ejπ，則E和H的波腹點、波節(jié)點的位置與η2>η1時相反。媒質(zhì)1中的行駐波如圖7-9(b)所示，在界面(z=0)處E為波節(jié)點，H為波腹點。

另外由式(7-78)和式(7-80)得(7-81)(7-82)(7-83)ρ稱為駐波系數(shù)(或駐波比)，其定義為在傳輸線上波腹點的場量(Emax或Hmax)與相鄰波節(jié)點的場量(Emin或Hmin)的振幅之比。由于反射系數(shù)0≤|Γ|≤1，故1≤ρ≤∞。而駐波系數(shù)的倒數(shù)(1/ρ)稱為行波系數(shù)。

媒質(zhì)1中沿z方向通過單位面積的功率的時間平均值為

(7-84)式中第一項和第二項分別為入射波和反射波的平均能流密度。透入媒質(zhì)2中的透射波的平均能流密度為(7-85)其中Tp為功率透射系數(shù)，由式(7-68)有而Γp+Tp=1(7-86)例7-3

設有兩種無耗非磁性媒質(zhì)，一均勻平面波自媒質(zhì)1垂直投射到其兩媒質(zhì)交界平面。如果

(1)反射波電場振幅為入射波電場振幅的1/3；

(2)反射波的功率通量密度為入射波功率通量密度的1/3;

(3)媒質(zhì)1中合成電場的最小值為最大值的1/3，且界面處為電場波節(jié)。

試分別確定n1/n2，(n1和n2分別為媒質(zhì)1和媒質(zhì)2的折射率)

解由已知條件可求出反射系數(shù)對于無耗非磁性介質(zhì)，因為μ1=μ2=μ0，所以

，

，將η1和η2代入上式有

n=是媒質(zhì)的折射率，故于是例7-4

已知空氣中的均勻平面波的電場和磁場分量分別在x，y方向，波沿z方向垂直入射到無耗非磁性媒質(zhì)表面。界面處，入射波磁場Hio=ey(A/m)，而反射波磁場Hro=ey0.243(A/m)。求Γ、T、εr2及Hto。

解在界面處

由此得εr2≈2.7T=1+Γ=0.757由邊界條件得Hto=Hio+Hro=1.243(A/m)7.3.2向多層介質(zhì)的垂直入射

設有三種介質(zhì)形成兩無限大平行的界面，如圖7-10所示，媒質(zhì)1、2的界面為z=0的平面，而媒質(zhì)2和3的界面為z=d的平面。當一均勻平面波由媒質(zhì)1垂直入射時，由于有兩個界面，入射波在第一界面上一部分被反射回媒質(zhì)1中，另一部分透入媒質(zhì)2。透射到媒質(zhì)2中的平面波在z=d的第二界面一部分被反射，而向媒質(zhì)1傳播，另一部分則透射入媒質(zhì)3。經(jīng)第二界面反射向第一媒質(zhì)傳播的波在界面1處又要有一部分反射向第二界面，而另一部分透射入媒質(zhì)1，這樣形成無限次的反射和透射。如將媒質(zhì)1中的所有的反射波疊加起來，便可求出總的反射波及在界面1上的反射系數(shù)。但在這里，我們不用波的這一系列反射來考慮多層介質(zhì)的反射問題，而是用各媒質(zhì)中向正負z方向傳播的總波來討論。為了方便，仍將向正、負z方向傳播的波分別稱為入射波與反射波。圖7-10向多層介質(zhì)垂直入射設媒質(zhì)1中的入射波電場為

媒質(zhì)1中總反射波電場強度可寫為媒質(zhì)1，2中的合成波電磁場為(7-87)式中，Γ1為待求值，是z=0界面處的反射系數(shù)(7-88)

式中，Εio

[2]

為媒質(zhì)2中沿z方向傳播的波的總振幅，Γ2為界面z=d處的反射系數(shù)。平面波垂直入射時在界面處的反射系數(shù)為(7-89)由邊界條件，在z=0的界面處，電場和磁場的切向分量連續(xù)，由式(7-87)和式(7-88)，在z=0處應有：

E1x=E2x、H1y=H2y，即兩式相除得(7-90)令

用歐拉公式將上式中的指數(shù)函數(shù)變?yōu)槿呛瘮?shù)，并代入式(7-89)，得(7-91)Zp為在z=0的界面處,媒質(zhì)2中的電場E與磁場H的切向分量之比。具有阻抗的量綱。故將Zp稱為界面1處媒質(zhì)2中的等效阻抗。引入等效阻抗后，則式(7-90)可寫成于是(7-92)例7-5

半無限大理想導體表面涂有μr=1、εr=4，厚度d=0.6cm的介質(zhì)層。介質(zhì)層外為空氣，如圖7-11所示。一頻率f=1010Hz，電場振幅為1V/m的平面波自空氣中向介質(zhì)層表面垂直入射。

求：(1)空氣中總電場和磁場的瞬時值；

(2)確定空氣中距介質(zhì)層表面最近的電場波節(jié)的位置。

解

(1)在圖7-11所示的坐標系中，設電場在x方向，則在空氣中

因為Γ為圖7-11涂有介質(zhì)的半無限大理想導體

由式(7-91)可知對于理想導體η3=0，故有Zp=jη2tank2d代入已知數(shù)值得Γ=ej1.22π，|Γ|=1于是瞬時值

E1=ex2cos(k1z+0.61π)cos(ωt+0.61π)(V/m)

同理

H1=ex5.31×10－3sin(k1z+0.61π)sin(ωt+0.61π)(A/m)

(2)空氣中的場為駐波分布，在界面z=0處Γ不等于1，所以該點并不是電場波節(jié)，設z=－l處是離界面最近的波節(jié)，則有例7-6

設有三層介質(zhì)，其分界面均為無限大的平面，介質(zhì)的波阻抗分別為η1、η2和η3，介質(zhì)2的厚度為d。當平面波由媒質(zhì)1垂直射向界面時，入射波的能量全部進入介質(zhì)3，試決定d和η2。

解取坐標系如圖7-10所示，要求能量全部透入介質(zhì)3，即要求Γ1=0或Zp=η1，此時，式(7-91)可寫成

η2(η3cosk2d+jη2sink2d)=η1(η2cosk2d+jη3sink2d)

于是有

η3cosk2d=η1cosk2d…

(1)

η22sink2d=η1η3sink2d…

(2)要使上式(1)成立，必有

η3=η1

或cosk2d=0

即同理，要使上式(2)成立，應有η22=η1η3

或sink2d=0即

7.4平面波向理想導體界面上的斜入射

7.4.1垂直極化波向理想導體面的斜入射

介質(zhì)與理想導體的界面如圖7-12所示，電場矢量與入射面垂直，即為垂直極化波入射。設入射波的電場Eio和入射角θi已知，在所取的直角坐標系中，由于Eio垂直于入射面，因此Eio=eyEio；入射面為XZ平面，則入射波的方向為ni=exsinθi+ezcosθi，故入射波的電磁場量為

(7-93)由圖7-12可知，并考慮到ni與nr共面，且θi=θr，故反射波傳播方向單位矢量nr=exsinθi－ezcosθi；對于垂直極化波?！?－1，所以，Ero=Eio?！?－Eio，故可求得反射波的電磁場量為(7-94)介質(zhì)1中合成的場量為(7-95)7.4.2平行極化波向理想導體面的斜入射

介質(zhì)與理想導體的界面如圖7-14所示，電場矢量在入射面內(nèi)，即為平行極化波入射。設入射角為θi，則該入射波的電磁場量為(7-99)圖7-14平行極化波向理想導體面的斜入射運用和7.4.1節(jié)相同的方法計算，可得此時媒質(zhì)1中的合成波的場為(7-100)由電場與磁場表示式可見：介質(zhì)中的電磁波仍為沿z方向的駐波分布，比較式(7-95)與式(7-100)可知，此時電場有向x方向傳播的分量Ex，而磁場垂直于傳播方向，沒有向x方向傳播的分量，故稱這種波為橫磁波(TM波)或縱電波(E波)。例7-7

一均勻平面波由空氣入射到理想導體表面(z=0平面)上，已知入射波電場矢量為求：(1)入射波的角頻率ω和電場振幅值Eim；

(2)入射波磁場矢量Hi；

(3)入射角θi；

(4)反射波電場和磁場矢量Er、Hr；

(5)合成波電場和磁場矢量E1、H1。解據(jù)題意，如圖7-15所示。因為－jk·r=j6，所以波矢量圖7-15例7-7用圖

入射波傳播方向單位矢量為(1)由得(2)入射波的磁場矢量為

(3)由于界面為z=0平面，入射面為xz平面，而Ei也在xz面內(nèi)，故Ei平行于入射面極化。由

,故得。于是可得到如圖7-15所示的坐標關系。

(4)由圖7-15可寫出反射波傳播方向單位矢量為

nr=－exsinθi－ezcosθi

反射波電場可表示為

Er=Er0(－excosθi+ezsinθi)e－jknr·r由cosθi=1/2、、Er0=?！蜤i0及Γ∥=1可得

(5)入射波電場與反射波電場疊加，得空氣中合成電場為同理，空氣中合成磁場為可見，合成波為沿負x方向傳播的行波，且為TM波。根據(jù)理想導體表面的邊界條件JS=n×H可求得導體表面的面電流分布。這里n=－ez。例7-8

空氣中磁場的平面波射向理想導體表面，直角坐標的原點取在空氣與導體的交界面上，坐標y的正方向垂直紙面向外。求：

(1)反射波；

(2)空氣中的合成場及導體表面的面電流和面電荷密度的瞬時值。

解因，故有

所以入射波電場為

電場Ei與入射面(xz)平行，由圖7-14可知故反射波磁場為

(2)空氣中的總電磁場為電流密度及電荷密度分別為

7.5平面波向理想介質(zhì)界面上的斜入射

7.5.1全透射現(xiàn)象

當電磁波由介質(zhì)1入射到介質(zhì)2時，在介質(zhì)界面上不發(fā)生反射，全部能量將透射入介質(zhì)2，這種現(xiàn)象為全透射現(xiàn)象。如兩種媒質(zhì)均為非磁性介質(zhì)。

(1)對于平行極化波入射由菲涅爾公式當?！?0時，即當時，將發(fā)生全透射，則有代入折射定律，得解得(7-101)可見，當平行極化波以角θB入射到分界面上時，全部能量透入介質(zhì)2而沒有反射。這個特定的入射角θB稱為布儒斯特角。激光技術中的布儒斯特窗就是根據(jù)這一原理設計的。

另外由式，當θi=θB時，恰好有(7-102)圖7-16示出了不同情況下反射系數(shù)隨入射角的變化關系。圖7-16反射系數(shù)隨入射角的變化關系

(2)對于垂直極化波入射由菲涅爾公式(7-17)可知7.5.2媒質(zhì)1中的總電磁場

這里以垂直極化波入射為例，如圖7-3所示，在此坐標系中，將入射波場與反射波場相加，就能求得媒質(zhì)1中的總電磁場。設入射波與反射波傳播方向的單位矢為ni和nr

ni=exsinθi+ezcosθi

nr=exsinθi－ezcosθi

設入射波電場強度為

Ei=eyEioe－jk1ni·r

則由垂直極化波入射的反射系數(shù)，可得媒質(zhì)1中的場量為

(7-103)

(7-104)上式中的相位因子e－j(k1sinθi)x表明，E1、H1均是向x方向傳播的行波。其相移常數(shù)kx=k1sinθi相速為式中α是ni與X軸的夾角。沿z方向，電磁場的每一分量均是與傳播方向相反、幅度不等的兩個行波之和，其相移常數(shù)kz=k1cosθi相速為

波長為場沿z方向的分布與垂直入射到無耗媒質(zhì)時類似，為行駐波。另外，由于E1垂直于傳播方向，而H1有傳播方向的分量Hx，所以它為沿x方向的TE波。而介質(zhì)2中的透射波為式中可見磁場有x和z方向的兩個場量，介質(zhì)2中的透射波為向nt方向傳播的行波，其相速為

對于電場Ei平行入射面的電磁波，與前推導類似可以得出媒質(zhì)1中的總電磁場與式(7-104)相似的形式。但波是沿x方向的TM波。沿x、z方向的相移常數(shù)、相速、波長等與上述的TE波相同。對于功率反射系數(shù)和功率透射系數(shù)，可定義為

(7-105)(7-106)且有(7-107)上式中Γp和Tp分別為功率反射系數(shù)與功率透射系數(shù)，Savi、Savr和Savt分別為入射波，反射波和透射波的平均功率密度。例7-9

一均勻平面波由媒質(zhì)1以入射角θi=θ1投射到無耗媒質(zhì)2的界面，已知入射波Ei垂直于入射面，透射角

θt=θ2，Γ⊥=－1/2。

求：(1)求T⊥；

(2)若上述的電磁波自媒質(zhì)2投射到界面，入射角θi′=θ2。求θt′、T⊥′、?！汀洌?/p>

(3)在上述兩種入射情況下的功率反射系數(shù)與功率透射系數(shù)是否相等。

解

(1)由式1+Γ⊥=T⊥有

(2)平面波自媒質(zhì)1入射時，有

k1sinθ1=k2sinθ2

若自媒質(zhì)2入射，且θi′=θ2，仍由上式聯(lián)系入射角與透射角，所以有θt′=θ1。

自媒質(zhì)1入射時，有

自媒質(zhì)2入射時，入射角和透射角是θ1、θ2；入射、透射區(qū)的波阻抗分別為η2、η1，所以可見反向入射時，反射系數(shù)只改變符號。

(3)正、反向入射時反射系數(shù)的模相等，由式(7-107)知，兩種情況下的功率反射透射系數(shù)相等。7.5.3全反射

對非磁性介質(zhì)μ1=μ2=μ0，由折射定律，如果介質(zhì)電常數(shù)ε1>ε2，則有θt>θi，隨著入射角的增大，折射角也增大，當入射角θi增大到某一角度θc時，θt=90°，這時這表明，折射波沿分界面掠過，由此可見，當θi=θc時，介質(zhì)1中的入射波將被界面完全反射回介質(zhì)1中去。這種現(xiàn)象稱為全反射。使折射角θt=90°的入射角θc稱為臨界角。由折射定律可以求得臨界角為(7-108)圖7-17中的曲線表示臨界角θc和布儒斯特角θB隨ε1/ε2的變化關系。一般情況下,θc>θB,

只有當ε1>>ε2時,θc≈θB≈0。另外，布儒斯特角θB并不要求ε1>ε2的限制條件，僅當θi=θB時，平行極化時的反射波將消失；而發(fā)生全反射時的入射角θc≤θi<90°，并且與入射波的極化方向無關。圖7-17θc與θB隨ε1/ε2的變化關系當θi>θc時，由折射定律有

因為，所以要求sinθt>1，顯然設有實的折射角能滿足上式，θt必為復數(shù)角，因，當時，才為大于1的實數(shù)，故有(7-109)無論入射波電場E垂直還是平行于入射面，透射波Et和Ht的表示式中均應有因子由及，得(7-110)所以k2為復矢量。若以Ei垂直入射面為例，則透射波電磁場為(7-111)由式(7-111)可見，Et和Ht是沿x方向的行波，但振幅沿z方向按指數(shù)規(guī)律衰減，這也就是前面我們?nèi)osθt=－jN的原因，否則如取cosθt=+jN，振幅將沿z按指數(shù)規(guī)律增長，這實際上是不可能的。其等相位面是x等于常數(shù)的平面，而等振幅面是z等于常數(shù)的平面，這種等相位面與等振幅不一致的波，稱為非均勻平面波。入射電場Ei垂直于入射面時的波為TE波，Ei平行于入射面時的波為TM波。~~電磁波沿x方向的相速為(7-112)式中，因sinθi<1、sinθt>1，所以

。例如一根圓柱形介質(zhì)棒，如圖7-18所示，如果介質(zhì)棒內(nèi)的電磁波以大于臨界角的入射角投向圓柱表面，則在介質(zhì)與空氣界面上會發(fā)生全反射，因而電磁能量就被約束在棒的附近，并沿軸向傳輸。這種傳輸系統(tǒng)稱為介質(zhì)波導，它是一種表面波傳輸系統(tǒng)。圖7-18利用全反射在介質(zhì)板內(nèi)傳輸電磁波全反射在實際應用方面也有其不利的一面。例如，圖7-19所示的顯像管或示波管的熒光屏上，由電子槍射出的電子束打到熒光層上使其發(fā)光并向四面八方射出，由于光在玻璃與空氣的分界面上發(fā)生全反射。只有在錐角2θc以內(nèi)的光才能透射入空氣中，其余的光被界面反射回去，從而降低了光的輸出。為此，需要在熒光屏上鍍一層非常薄的鋁反射膜，以提高光的亮度。圖7-19熒光屏內(nèi)的全反射例7-10

一光纖的剖面，如圖7-20所示。其中光纖的芯線的折射率為n1，包層為n2，且n1>n2，在這里用平面波的反、折射理論來討論光纖的問題。設光束從折射率為n0的空氣中進入光纖，若在芯線與包層的界面上發(fā)生全反射，就可使光束按圖7-20所示的