2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練5

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練5一．選擇題（共10小題）1．（2024?南宮市校級(jí)模擬）設(shè)函數(shù)．若對(duì)任意的，，總存在，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．， C．， D．，2．（2024?北京）已知，，，是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集．設(shè)是中兩點(diǎn)間的距離的最大值，是表示的圖形的面積，則A．， B．， C． D．3．（2024?青羊區(qū)校級(jí)模擬）若存在滿足，且使得等式成立，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．， C． D．，4．（2024?寧波模擬）已知集合且，若中的點(diǎn)均在直線的同一側(cè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．，， B． C．，， D．5．（2024?蓮湖區(qū)校級(jí)模擬）若，滿足約束條件則的最小值為A．0 B． C． D．6．（2024?松江區(qū)二模）已知某個(gè)三角形的三邊長為、及，其中．若，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是A． B． C． D．7．（2024?蓮湖區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)，滿足約束條件，則的最大值為A． B．1 C． D．28．（2024?永壽縣校級(jí)模擬）已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件則的最大值是A． B． C． D．9．（2023?武功縣校級(jí)模擬）已知實(shí)數(shù)，滿足線性約束條件，則的取值范圍為A．， B． C． D．，10．（2023?河南模擬）記不等式組的解集為，現(xiàn)有下面四個(gè)命題：，；，；，；，．其中真命題的個(gè)數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4二．填空題（共10小題）11．（2024?日照一模）設(shè)滿足：對(duì)任意，均存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．12．（2024?浙江一模）已知，，，二次函數(shù)有零點(diǎn)，則的最小值是．13．（2024?荊州模擬）若存在正實(shí)數(shù)，，滿足，且，則的最小值為14．（2024?海淀區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為，當(dāng)實(shí)數(shù)，變化時(shí)，最小值為．15．（2024?新城區(qū)校級(jí)模擬）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是．16．（2024?五華區(qū)校級(jí)模擬）我們知道，二次函數(shù)的圖象是拋物線．已知函數(shù)，則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．17．（2024?咸陽模擬）設(shè)，滿足約束條件，設(shè)，則的取值范圍為．18．（2023?甘肅模擬）若實(shí)數(shù)，滿足約束條件則的最大值是．19．（2023?涪城區(qū)校級(jí)模擬）若實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍是20．（2023?江西模擬）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍是三．解答題（共5小題）21．（2024?東興區(qū)校級(jí)模擬）已知．（1）若，求的最大值，并求出此時(shí)的值；（2）若且，求的最大值．22．（2023?南陽模擬）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在，上的值域；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在，上的最大值．23．（2023?南陽模擬）已知集合是函數(shù)的定義域，集合是不等式的解集，，．（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．24．（2023?澳門模擬）設(shè)，滿足．（a）畫出滿足以上不等式組的區(qū)域．（b）設(shè)，求的取值范圍．（c）設(shè)，求的最小值．25．（2023?和平區(qū)校級(jí)一模）在①（4），（3），②當(dāng)時(shí)，取得最大值3，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并作答．問題：已知函數(shù)，且_______．（1）求的解析式；（2）若在，上的值域?yàn)椋?，求的值?/p>

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練5參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?南宮市校級(jí)模擬）設(shè)函數(shù)．若對(duì)任意的，，總存在，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．， C．， D．，【答案】【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法；計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想【分析】分情況討論不同取值時(shí)函數(shù)在，上的范圍，從而確定的最大值，將對(duì)任意實(shí)數(shù)，，總存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，即可解決．【解答】解：設(shè)的最大值為（b），令，，，若對(duì)任意的，，總存在，，使得，則（b）．，（4），．（1）當(dāng)△，即時(shí)，（b），（4），若，即，則，若，即，則．（2）當(dāng)△，即時(shí)，①當(dāng)，即時(shí)，令，得，若，則（b），若，則（b）．②當(dāng)，即時(shí)，令，得，若，則（b），若，則（b）．③當(dāng)，即時(shí)，若，則，若，，（Ⅰ）若，即，則，（Ⅱ）若，即，則．④當(dāng)，即時(shí)，若，則，若時(shí)，，（Ⅰ）若，則，（Ⅱ）若，則．綜上所述，（b），所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，和存在性問題的轉(zhuǎn)化，屬于難題．2．（2024?北京）已知，，，是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集．設(shè)是中兩點(diǎn)間的距離的最大值，是表示的圖形的面積，則A．， B．， C． D．【答案】【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；數(shù)形結(jié)合法；數(shù)形結(jié)合；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】根據(jù)已知條件，作出圖象，結(jié)合圖象即可得出答案．【解答】解：集合，，表示的圖形如下圖陰影部分所示，由圖象可知，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，涉及了二次函數(shù)的圖象，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．3．（2024?青羊區(qū)校級(jí)模擬）若存在滿足，且使得等式成立，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．， C． D．，【考點(diǎn)】：簡單線性規(guī)劃【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；：換元法；：構(gòu)造法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；59：不等式的解法及應(yīng)用【分析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，把化為，設(shè)，求出的取值范圍；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，建立不等式求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示；，，；可化為，設(shè)，其中；，令，，則，，當(dāng)時(shí)，（e），當(dāng)時(shí)，（e），（e），，解得或；又值不可能為負(fù)值，實(shí)數(shù)的取值范圍是，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線性規(guī)劃以及函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用問題，是難題．4．（2024?寧波模擬）已知集合且，若中的點(diǎn)均在直線的同一側(cè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．，， B． C．，， D．【答案】【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃【專題】整體思想；計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】依題意可得，令，求出與的交點(diǎn)坐標(biāo)，依題意只需（1）或，即可求出的取值范圍．【解答】解：依題意集合即為關(guān)于，的方程組的解集，顯然，所以，即，令，由，解得或，即函數(shù)與的交點(diǎn)坐標(biāo)為和，又，所以為奇函數(shù)，因?yàn)榕c在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，依題意與的交點(diǎn)在直線的同側(cè)，只需（1）或，即或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)單調(diào)性和參數(shù)的計(jì)算，屬于中檔題．5．（2024?蓮湖區(qū)校級(jí)模擬）若，滿足約束條件則的最小值為A．0 B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；不等式的解法及應(yīng)用；綜合法【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)即可得解．【解答】解：如圖所示，畫出可行域，聯(lián)立，解得，即，由，得，由圖可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最小值，最小值為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性規(guī)劃，考查學(xué)生的運(yùn)算能力及分析能力，屬于中檔題．6．（2024?松江區(qū)二模）已知某個(gè)三角形的三邊長為、及，其中．若，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象【專題】函數(shù)思想；計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法【分析】由，為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)可得，即可得，結(jié)合題意可得．【解答】解：由，為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，故有，即恒成立，故，，則，由，，為某三角形的三邊長，且，故，且，則，因?yàn)楸厝怀闪ⅲ?，即，解得，所以，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)，屬于中檔題．7．（2024?蓮湖區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)，滿足約束條件，則的最大值為A． B．1 C． D．2【答案】【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃【專題】不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)形結(jié)合法；數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】首先畫可行域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合，即可求解．【解答】解：如圖，可行域?yàn)橹本€，，所圍成的區(qū)域，的值為內(nèi)一點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，聯(lián)立，得，，故該點(diǎn)取，的交點(diǎn)時(shí)斜率最大，故的最大值為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．8．（2024?永壽縣校級(jí)模擬）已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件則的最大值是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；不等式的解法及應(yīng)用；轉(zhuǎn)化思想【分析】利用分式函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為直線的斜率，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【解答】解：由題意知，實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則可行域如圖中陰影部分所示（包含邊界），目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是定點(diǎn)與可行域內(nèi)的點(diǎn)連線所在直線的斜率，由圖知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，聯(lián)立，解得，所以，所以的最大值為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．9．（2023?武功縣校級(jí)模擬）已知實(shí)數(shù)，滿足線性約束條件，則的取值范圍為A．， B． C． D．，【答案】【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；數(shù)形結(jié)合法；不等式的解法及應(yīng)用【分析】畫出可行域，由的幾何意義是到原點(diǎn)距離的平方，求出最值，得到取值范圍．【解答】解：畫出可行域，如下陰影部分：的幾何意義是到原點(diǎn)距離的平方，數(shù)形結(jié)合得到點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小，故最小值為1，由于與互相垂直，設(shè)垂足為，故點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方最大，令中得，故，將代入中，可得的最大值為，所以的取值范圍為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．10．（2023?河南模擬）記不等式組的解集為，現(xiàn)有下面四個(gè)命題：，；，；，；，．其中真命題的個(gè)數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；簡單線性規(guī)劃；其他不等式的解法【專題】數(shù)形結(jié)合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；不等式的解法及應(yīng)用【分析】依題意，作出線性規(guī)劃圖，對(duì)、、、四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷分析即可．【解答】解：不等式組的解集為，作出平面區(qū)域：由圖可知，在陰影區(qū)域中，對(duì)于，，正確；，，錯(cuò)誤；，，代入不成立，錯(cuò)誤；，，正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，作出平面區(qū)域是關(guān)鍵，考查分析與作圖能力，屬于中檔題．二．填空題（共10小題）11．（2024?日照一模）設(shè)滿足：對(duì)任意，均存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，．【答案】，．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】令，由題意，利用二次函數(shù)性質(zhì)求得最值列不等式求解即可．【解答】解：令．因?yàn)閷?duì)任意，均存在，使得，所以的值域是值域的子集，所以，即，解得，即的取值范圍是，．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．12．（2024?浙江一模）已知，，，二次函數(shù)有零點(diǎn)，則的最小值是．【答案】．【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用；二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象【專題】數(shù)形結(jié)合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；方程思想【分析】利用，即可求解．【解答】解：因，，，二次函數(shù)有零點(diǎn)，所以△．設(shè)，，其中，，則，即．則：．令，由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)得，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，所以函數(shù)有最小值．即．當(dāng)且僅當(dāng)取等，即時(shí)取等．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于難題．13．（2024?荊州模擬）若存在正實(shí)數(shù)，，滿足，且，則的最小值為【考點(diǎn)】：簡單線性規(guī)劃【專題】49：綜合法；35：轉(zhuǎn)化思想；52：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用【分析】由，又，令，則，，，利用函數(shù)求導(dǎo)求最值．【解答】解：正實(shí)數(shù)，，滿足，，，，，令，則，，，，則，可得在遞減，在遞增，，即，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用函數(shù)的思想求范圍問題；關(guān)鍵是將所求轉(zhuǎn)化為已知自變量范圍的函數(shù)解析式，利用求導(dǎo)得到最值，屬于難題．14．（2024?海淀區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為，當(dāng)實(shí)數(shù)，變化時(shí)，最小值為2．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象；函數(shù)的最值【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】根據(jù)題意，可得，則即為函數(shù)與函數(shù)圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值的最大值，因此作出圖象，根據(jù)圖象觀察即可得出答案．【解答】解：，函數(shù)可理解為：當(dāng)橫坐標(biāo)相同時(shí)，函數(shù)，，與函數(shù)，，圖象上點(diǎn)的縱向距離，則即為函數(shù)與函數(shù)圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值的最大值，由圖象可知：當(dāng)函數(shù)的圖象剛好為時(shí)，取得最小值為2，此時(shí)，且，即，．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的最值及其幾何意義等知識(shí)，屬于中檔題．15．（2024?新城區(qū)校級(jí)模擬）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是．【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)形結(jié)合法【分析】作出可行域，利用平移法即可求出目標(biāo)函數(shù)的最小值．【解答】解：畫出可行域，令，則，當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)，直線在軸上的截距最大，此時(shí)取得最小值，故最小值為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．16．（2024?五華區(qū)校級(jí)模擬）我們知道，二次函數(shù)的圖象是拋物線．已知函數(shù)，則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，．【答案】．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象【專題】綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；函數(shù)思想【分析】，函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位得的圖象，求出的焦點(diǎn)，即可得結(jié)果．【解答】解：，將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位，得到的圖象，即，它表示的曲線是以為焦點(diǎn)的拋物線，則原函數(shù)圖象的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)圖像的平移，屬于中檔題．17．（2024?咸陽模擬）設(shè)，滿足約束條件，設(shè)，則的取值范圍為，．【答案】，．【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；不等式；方程思想；計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合；綜合法【分析】根據(jù)題意，分析可得，設(shè)，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，分析的幾何意義，并求出的取值范圍，進(jìn)而計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，為圖中的及其內(nèi)部，但不包含邊，其中，，，設(shè)，則，其幾何意義為平面區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，設(shè)，則，，則，則有，又由，故，即的取值范圍為，．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．18．（2023?甘肅模擬）若實(shí)數(shù)，滿足約束條件則的最大值是4．【答案】4．【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃【專題】綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；數(shù)形結(jié)合【分析】先根據(jù)約束條件件畫出可行域，再轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)，把求目標(biāo)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化成求截距的最值問題，找到最優(yōu)解代入求值即可．【解答】解：由約束條件，畫出可行域如圖，目標(biāo)函數(shù)可化為：，得到一簇斜率為，截距為的平行線，要求的最大值，須滿足截距最大，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)或時(shí)截距最大，由可得，由可得，，的最大值為4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性規(guī)劃，要求可行域要畫準(zhǔn)確，還需特別注意目標(biāo)函數(shù)的斜率與邊界直線的斜率的大小關(guān)系，即要注意目標(biāo)函數(shù)與邊界直線的傾斜程度．屬簡單題．19．（2023?涪城區(qū)校級(jí)模擬）若實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍是，【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【解答】解：實(shí)數(shù)，滿足的可行域如圖的陰影部分：的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線的距離的平方，由圖形可知最小值為的平方，最大值為的平方，，可得．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．20．（2023?江西模擬）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍是【答案】．【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃【專題】不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法【分析】由約束條件作出可行域，求出的范圍，再由求解．【解答】解：由約束條件直線可行域如圖：聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，，，．．的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．三．解答題（共5小題）21．（2024?東興區(qū)校級(jí)模擬）已知．（1）若，求的最大值，并求出此時(shí)的值；（2）若且，求的最大值．【答案】（1）的最大值為3，此時(shí)；（2）3．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用；一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系；運(yùn)用基本不等式求最值【專題】不等式；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理；綜合法【分析】（1）設(shè)，則，代入中，得，設(shè)，根據(jù)一元二次方程根的分布得到不等式，求出，進(jìn)而可得答案；（2）設(shè)，由于，，故，將代入等式中得，根據(jù)根的判別式得到，驗(yàn)證當(dāng)時(shí)滿足要求，從而得到最大值．【解答】解：（1）設(shè)，則，代入，得，即，令，開口向上，則，要想在上有解，則（1）或，由（1），解得，由，即，解得，綜上，，故的最大值為3，此時(shí)，解得．（2）設(shè)，由于且，故，將代入中，得，即，△，要想方程在上有解，則△，解得，又，故，當(dāng)時(shí)，，即，解得，此時(shí)，符合要求，故的最大值為3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程根的分布與二次函數(shù)圖象的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．22．（2023?南陽模擬）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在，上的值域；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在，上的最大值．【答案】（1）值域是，；（2）．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的值域；二次函數(shù)的最值【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理【分析】（1）函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，可得函數(shù)在區(qū)間，上的值域；（2）當(dāng)時(shí)，，分類討論，即可求函數(shù)在區(qū)間，上的最大值．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，其圖象對(duì)稱軸為直線；所以函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，，，，（3），函數(shù)在區(qū)間，上的值域是，；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，函數(shù)在區(qū)間，上的最大值；當(dāng)，函數(shù)在區(qū)間，上的最大值；函數(shù)在區(qū)間，上的最大值．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．23．（2023?南陽模擬）已知集合是函數(shù)的定義域，集合是不等式的解集，，．（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【考點(diǎn)】充分條件、必要條件、充要條件；函數(shù)的定義域及其求法；一元二次不等式及其應(yīng)用【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；簡易邏輯【分析】（1）分別求函數(shù)的定義域和不等式的解集化簡集合，由得到區(qū)間端點(diǎn)值之間的關(guān)系，解不等式組得到的取值范圍；（2）求出對(duì)應(yīng)的的取值范圍，由是的充分不必要條件得到對(duì)應(yīng)集合之間的關(guān)系，由區(qū)間端點(diǎn)值的關(guān)系列不等式組求解的范圍．【解答】解：（1）由條件，得，或若，則必須滿足所以的取值范圍為，；（2）易得或，是的充分不必要條件，或是或的真子集，則，，的取值范圍為，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是充要條件的定義，正確理解充要條件的定義，是解答的關(guān)鍵．24．（2023?澳門模擬）設(shè)，滿足．（a）畫出滿足以上不等式組的區(qū)域．（b）設(shè)，求的取值范圍．（c）設(shè)，求的最小值．【答案】（a）見解答．（b），．（c）的最小值為13．【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃【專題】綜合法；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)運(yùn)算；不等式的解法及應(yīng)用【分析】（a）利用約束條件，畫出不等式組的平面區(qū)域．（b）通過的幾何意義，求解可行域的得到的值，即可求的取值范圍．（c）通過的幾何意義，轉(zhuǎn)化求解的最小值即可．【解答】解：（a），滿足的可行域如圖：（b）的幾何意義是和原點(diǎn)的直線的斜率．求解3條直線的交點(diǎn)可得，和．那么在給定區(qū)域內(nèi)變動(dòng)時(shí)，的最小值可以在的取得，最大值可在點(diǎn)處取得，因此．，．（c）的幾何意義是點(diǎn)和原點(diǎn)距離的平方．轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)到的距離的平方，即，的最小值為13．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及計(jì)算能力，是中檔題．25．（2023?和平區(qū)校級(jí)一模）在①（4），（3），②當(dāng)時(shí)，取得最大值3，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并作答．問題：已知函數(shù)，且_______．（1）求的解析式；（2）若在，上的值域?yàn)椋?，求的值．【答案】?）；（2）．【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法；二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象；函數(shù)的值域【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）分別選①②③，得到關(guān)于，的方程組，解出即可求出的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)的值域以及二次函數(shù)的性質(zhì)求出的值即可．【解答】解：（1）若選①，由題意可得解得，，故；若選②，由題意可得解得，，故；若選③，因?yàn)?，所以圖象的對(duì)稱軸方程為，則，即，因?yàn)?，所以，故．?）因?yàn)樵谏系闹涤驗(yàn)?，，所以，即，因?yàn)閳D象的對(duì)稱軸方程為，且，所以在，上單調(diào)遞增，則整理得，即，因?yàn)椋?，即．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．

考點(diǎn)卡片1．充分條件與必要條件【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、判斷：當(dāng)命題“若p則q”為真時(shí)，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．事實(shí)上，與“p?q”等價(jià)的逆否命題是“￢q?￢p”．它的意義是：若q不成立，則p一定不成立．這就是說，q對(duì)于p是必不可少的，所以說q是p的必要條件．例如：p：x＞2；q：x＞0．顯然x∈p，則x∈q．等價(jià)于x?q，則x?p一定成立．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點(diǎn)撥】充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個(gè)方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實(shí)際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)生答題時(shí)往往混淆二者的關(guān)系．判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．【命題方向】充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)開始，或者沒有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)容，多以小題為主，有時(shí)也會(huì)以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識(shí)點(diǎn)都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣．2．命題的真假判斷與應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】判斷含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復(fù)合命題的真假．注意：“非p”的正確寫法，本題不應(yīng)將“非p”寫成“方程x2﹣2x+1＝0的兩根都不是實(shí)根”，因?yàn)椤岸际恰钡姆疵媸恰安欢际恰?，而不是“都不是”，要認(rèn)真區(qū)分．【解題方法點(diǎn)撥】1．判斷復(fù)合命題的真假，常分三步：先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡單命題的真假，最后由真值表得出復(fù)合命題的真假．2．判斷一個(gè)“若p則q”形式的復(fù)合命題的真假，不能用真值表時(shí)，可用下列方法：若“pq”，則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個(gè)反例說明即可．3．判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時(shí)可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷．【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標(biāo)準(zhǔn)》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識(shí)點(diǎn)多而且全，多以小題形式出現(xiàn)．3．基本不等式及其應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：≥（a≥0，b≥0），變形為ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．實(shí)例解析例1：下列結(jié)論中，錯(cuò)用基本不等式做依據(jù)的是．A：a，b均為負(fù)數(shù)，則．B：．C：．D：．解：根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個(gè)基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均滿足條件．對(duì)于C選項(xiàng)中sinx≠±2，不滿足“相等”的條件，再者sinx可以取到負(fù)值．故選：C．A選項(xiàng)告訴我們正數(shù)的要求是整個(gè)式子為正數(shù)，而不是式子當(dāng)中的某一個(gè)組成元素；B分子其實(shí)可以寫成x2+1+1，然后除以分母就可換成基本不等式．這個(gè)例題告訴我們對(duì)于一個(gè)式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求的最值？當(dāng)0＜x＜1時(shí)，如何求的最大值．解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，當(dāng)x≠0時(shí)，＝，用基本不等式若x＞0時(shí)，0＜y≤，若x＜0時(shí)，﹣≤y＜0，綜上得，可以得出﹣≤y≤，∴的最值是﹣與．這是基本不等式在函數(shù)中的應(yīng)用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0，沒有明確表示的話就需要討論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個(gè)元素（函數(shù)）相加，而他們的特點(diǎn)是相乘后為常數(shù)；最后套用基本不等式定理直接求的結(jié)果．【解題方法點(diǎn)撥】基本不等式的應(yīng)用1、求最值例1：求下列函數(shù)的值域．2、利用基本不等式證明不等式3、基本不等式與恒成立問題4、均值定理在比較大小中的應(yīng)用【命題方向】技巧一：湊項(xiàng)點(diǎn)評(píng)：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值．技巧二：湊系數(shù)例2：當(dāng)0＜x＜4時(shí)，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8為定值，故只需將y＝x（8﹣2x）湊上一個(gè)系數(shù)即可．y＝x（8﹣2x）＝[2x?（8﹣2x）]≤（）2＝8當(dāng)2x＝8﹣2x，即x＝2時(shí)取等號(hào)，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝x（8﹣x2）的最大值為8．評(píng)注：本題無法直接運(yùn)用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分離例3：求y＝的值域．解：本題看似無法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）的項(xiàng)，再將其分離．y＝＝＝（x+1）++5，當(dāng)x＞﹣1，即x+1＞0時(shí)，y≥2+5＝9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”號(hào)）技巧四：換元對(duì)于上面例3，可先換元，令t＝x+1，化簡原式在分離求最值．技巧五：結(jié)合函數(shù)f（x）＝x+的單調(diào)性．技巧六：整體代換點(diǎn)評(píng)：多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)．技巧七：取平方點(diǎn)評(píng)：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件．總之，我們利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式．4．運(yùn)用基本不等式求最值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：≥（a≥0，b≥0），變形為ab≤（）2或者a+b≥2．【解題方法點(diǎn)撥】在運(yùn)用均值不等式求最值時(shí)，可以將代數(shù)式分解成可以應(yīng)用均值不等式的形式．例如，要求代數(shù)式x+的最小值，可以利用均值不等式從而得出最小值為2，并且在x＝1時(shí)取到最小值．需要注意的是，運(yùn)用不等式時(shí)要確保代入的數(shù)值符合不等式的適用范圍，并進(jìn)行必要的等號(hào)條件驗(yàn)證．【命題方向】均值不等式求最值的命題方向包括代數(shù)表達(dá)式的最值求解、幾何圖形的最優(yōu)設(shè)計(jì)等．例如，求解一個(gè)代數(shù)式的最小值，或設(shè)計(jì)一個(gè)幾何圖形使其面積最大．這類題型要求學(xué)生能夠靈活運(yùn)用均值不等式進(jìn)行最值求解，并能正確代入和計(jì)算．已知正數(shù)a，b滿足a+b＝1，則的最大值是_____．解：因?yàn)檎龜?shù)a，b滿足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，則＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)取等號(hào)．故答案為：．5．其他不等式的解法【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】指、對(duì)數(shù)不等式的解法其實(shí)最主要的就是兩點(diǎn)，第一點(diǎn)是判斷指、對(duì)數(shù)的單調(diào)性，第二點(diǎn)就是學(xué)會(huì)指數(shù)和指數(shù)，對(duì)數(shù)和對(duì)數(shù)之間的運(yùn)算，下面以例題為講解．【解題方法點(diǎn)撥】例1：已知函數(shù)f（x）＝ex﹣1（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，不等式f（x）≥x恒成立．解：（I）設(shè)h（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣1﹣x∴h'（x）＝ex﹣1﹣1，當(dāng)x＞1時(shí)，h'（x）＞0，h（x）為增，當(dāng)x＜1時(shí)，h'（x）＜0，h（x）為減，當(dāng)x＝1時(shí)，h（x）取最小值h（1）＝0．∴h（x）≥h（1）＝0，即f（x）≥x．這里面是一個(gè)綜合題，解題的思路主要還是判斷函數(shù)的單調(diào)性，尤其是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查的重點(diǎn)其實(shí)是大家的計(jì)算能力．例2：已知函數(shù)f（x）＝loga（x﹣1），g（x）＝loga（3﹣x）（a＞0且a≠1），利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，討論不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍．解：∵不等式f（x）≥g（x），即loga（x﹣1）≥loga（3﹣x），∴當(dāng)a＞1時(shí)，有，解得2＜x＜3．當(dāng)1＞a＞0時(shí)，有，解得1＜x＜2．綜上可得，當(dāng)a＞1時(shí)，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍為（2，3）；當(dāng)1＞a＞0時(shí)，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍為（1，2）．這個(gè)題考查的就是對(duì)數(shù)函數(shù)不等式的求解，可以看出主要還是求單調(diào)性，當(dāng)然也可以右邊移到左邊，然后變成一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)來求解也可以．【命題方向】本考點(diǎn)其實(shí)主要是學(xué)會(huì)判斷各函數(shù)的單調(diào)性，然后重點(diǎn)考察學(xué)生的運(yùn)算能力，也是一個(gè)比較重要的考點(diǎn)，希望大家好好學(xué)習(xí)．6．二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】二次函數(shù)相對(duì)于一次函數(shù)而言，顧名思義就知道它的次數(shù)為二次，且僅有一個(gè)自變量，因變量隨著自變量的變化而變化．它的一般表達(dá)式為：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解題方法點(diǎn)撥】二次函數(shù)是一個(gè)很重要的知識(shí)點(diǎn)，不管在前面的選擇題填空題還是解析幾何里面，或是代數(shù)綜合體都有可能出題，其性質(zhì)主要有初中學(xué)的開口方向、對(duì)稱性、最值、幾個(gè)根的判定、韋達(dá)定理以及高中學(xué)的拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線和曲線的平移．這里面略談一下他的一些性質(zhì)．①開口、對(duì)稱軸、最值與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)a＞0（＜0）時(shí)，圖象開口向上（向下）；對(duì)稱軸x＝﹣；最值為：f（﹣）；判別式△＝b2﹣4ac，當(dāng)△＝0時(shí)，函數(shù)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；△＞0時(shí)，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)△＜0時(shí)無交點(diǎn)．②根與系數(shù)的關(guān)系．若△≥0，且x1、x2為方程y＝ax2+bx+c的兩根，則有x1+x2＝﹣，x1?x2＝；③二次函數(shù)其實(shí)也就是拋物線，所以x2＝2py的焦點(diǎn)為（0，），準(zhǔn)線方程為y＝﹣，含義為拋物線上的點(diǎn)到到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離．④平移：當(dāng)y＝a（x+b）2+c向右平移一個(gè)單位時(shí)，函數(shù)變成y＝a（x﹣1+b）2+c；【命題方向】熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)畫出拋物線的準(zhǔn)確形狀，特別是注意拋物線焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的關(guān)系，拋物線最值得取得，這也是一個(gè)?？键c(diǎn)．7．二次函數(shù)的值域【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】二次函數(shù)相對(duì)于一次函數(shù)而言，顧名思義就知道它的次數(shù)為二次，且僅有一個(gè)自變量，因變量隨著自變量的變化而變化．它的一般表達(dá)式為：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解題方法點(diǎn)撥】二次函數(shù)是一個(gè)很重要的知識(shí)點(diǎn)，不管在前面的選擇題填空題還是解析幾何里面，或是代數(shù)綜合體都有可能出題，其性質(zhì)主要有初中學(xué)的開口方向、對(duì)稱性、最值、幾個(gè)根的判定、韋達(dá)定理以及高中學(xué)的拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線和曲線的平移．﹣確定二次函數(shù)的開口方向（通過a的正負(fù)判斷）．﹣計(jì)算頂點(diǎn)x坐標(biāo)，．﹣計(jì)算頂點(diǎn)處的函數(shù)值．﹣根據(jù)開口方向確定值域范圍．【命題方向】主要考查求二次函數(shù)的值域，涉及開口方向、頂點(diǎn)的計(jì)算及實(shí)際應(yīng)用問題．函數(shù)f（x）＝x2+x﹣2（x∈[0，2]）的值域是_____．解：函數(shù)f（x）＝x2+x﹣2的對(duì)稱軸為，故函數(shù)f（x）＝x2+x﹣2在[0，2]上單調(diào)遞增，又f（0）＝﹣2，f（2）＝4，所以函數(shù)f（x）＝x2+x﹣2（x∈[0，2]）的值域是[﹣2，4]．8．二次函數(shù)的最值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】二次函數(shù)相對(duì)于一次函數(shù)而言，顧名思義就知道它的次數(shù)為二次，且僅有一個(gè)自變量，因變量隨著自變量的變化而變化．它的一般表達(dá)式為：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解題方法點(diǎn)撥】二次函數(shù)是一個(gè)很重要的知識(shí)點(diǎn)，不管在前面的選擇題填空題還是解析幾何里面，或是代數(shù)綜合體都有可能出題，其性質(zhì)主要有初中學(xué)的開口方向、對(duì)稱性、最值、幾個(gè)根的判定、韋達(dá)定理以及高中學(xué)的拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線和曲線的平移．二次函數(shù)的最值出現(xiàn)在頂點(diǎn)處．對(duì)于f（x）＝ax2+bx+c，最值為，根據(jù)a的正負(fù)判斷最值類型．﹣計(jì)算頂點(diǎn)x坐標(biāo)．﹣計(jì)算頂點(diǎn)處的函數(shù)值．﹣根據(jù)a的正負(fù)判斷最值類型（最大值或最小值）．【命題方向】主要考查二次函數(shù)最值的計(jì)算與應(yīng)用題．設(shè)a為實(shí)數(shù)，若函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3在區(qū)間[a，2]上的最大值為，則a的值為_____．解：函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，對(duì)稱軸為x＝﹣1，當(dāng)a≤﹣1時(shí)，則x＝﹣1時(shí)，函數(shù)取得最大值為4，不滿足題意；當(dāng)﹣1＜a≤2時(shí)，則x＝a時(shí)，函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3在區(qū)間[a，2]上的最大值為，即﹣a2﹣2a+3＝，解得a＝﹣或a＝﹣（舍），綜上，a的值為﹣．故選：C．9．二次函數(shù)的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】二次函數(shù)相對(duì)于一次函數(shù)而言，顧名思義就知道它的次數(shù)為二次，且僅有一個(gè)自變量，因變量隨著自變量的變化而變化．它的一般表達(dá)式為：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解題方法點(diǎn)撥】二次函數(shù)是一個(gè)很重要的知識(shí)點(diǎn)，不管在前面的選擇題填空題還是解析幾何里面，或是代數(shù)綜合體都有可能出題，其性質(zhì)主要有初中學(xué)的開口方向、對(duì)稱性、最值、幾個(gè)根的判定、韋達(dá)定理以及高中學(xué)的拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線和曲線的平移．﹣分析實(shí)際問題，抽象出二次函數(shù)模型．﹣確定二次函數(shù)的解析式，結(jié)合實(shí)際情況求解相關(guān)參數(shù)．﹣運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)求解實(shí)際問題，如最值、單調(diào)性等．【命題方向】常見的應(yīng)用題包括拋物線軌跡問題、工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問題等，考查學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型并求解的能力．2016年，某廠計(jì)劃生產(chǎn)25噸至45噸的某種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的總成本y（萬元）與總產(chǎn)量x（噸）之間的關(guān)系可表示為．若該產(chǎn)品的出廠價(jià)為每噸6萬元，求該廠2016年獲得利潤的最大值．解：設(shè)利潤為g（x），則，當(dāng)x＝40時(shí)，g（x）max＝70萬元；10．一元二次不等式及其應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是實(shí)數(shù)域內(nèi)的二次三項(xiàng)式．特征當(dāng)△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個(gè)實(shí)根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）（x﹣x2）當(dāng)△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c＝0僅有一個(gè)實(shí)根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）2．當(dāng)△＝b2﹣4ac＜0時(shí)．一元二次方程ax2+bx+c＝0沒有實(shí)根，那么ax2+bx+c與x軸沒有交點(diǎn)．【解題方法點(diǎn)撥】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集為．解：原不等式可變形為（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案為：（﹣2，3）．這個(gè)題的特點(diǎn)是首先它把題干變了形，在這里我們必須要移項(xiàng)寫成ax2+bx+c＜0的形式；然后應(yīng)用了特征當(dāng)中的第一條，把它寫成兩個(gè)一元一次函數(shù)的乘積，所用的方法是十字相乘法；最后結(jié)合其圖象便可求解．【命題方向】①一元二次不等式恒成立問題：一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等價(jià)條件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等價(jià)條件是：a＜0且△＜0．②分式不等式問題：＞0?f（x）?g（x）＞0；＜0?f（x）?g（x）＜0；≥0?；≤0?．11．一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系其實(shí)可以用一個(gè)式子來表達(dá)，即當(dāng)ax2+bx+c＝0（a≠0）有解時(shí)，不妨設(shè)它的解為x1，x2，那么這個(gè)方程可以寫成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1?x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1?x2＝0．它表示根與系數(shù)有如下關(guān)系：x1+x2＝﹣，x1?x2＝．【解題方法點(diǎn)撥】例：利用根與系數(shù)的關(guān)系求出二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程，使它的兩根分別是方程x2﹣3x+1＝0兩根的平方．解：方程x2﹣3x+1＝0中，∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，∴△＝9﹣4＝5＞0，即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)方程兩根分別為x1，x2，∴x1+x2＝3，x1x2＝1，∴（x1+x2）2＝++2x1x2，即9＝++2，∴+＝7，又＝（x1x2）2＝1，且所求方程二次項(xiàng)系數(shù)為1，則所求方程為x2﹣7x+1＝0．這個(gè)題基本上是套用定理，唯一注意的是x1+x2與x1?x2可以變換，不管是變成加還是減還是倒數(shù)，都可以應(yīng)用上面的公式（韋達(dá)定理）．【命題方向】首先申明，這是必考點(diǎn)．一般都是在解析幾何里面，通過聯(lián)立方程，求出兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與系數(shù)的關(guān)系，然后通過這個(gè)關(guān)系去求距離，或者斜率的積等等．所以在復(fù)習(xí)的時(shí)候要結(jié)合解析幾何一同復(fù)習(xí)效果更佳．12．簡單線性規(guī)劃【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】線性規(guī)劃主要用于解決生活、生產(chǎn)中的資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題，它是一種重要的數(shù)學(xué)模型．簡單的線性規(guī)劃指的是目標(biāo)函數(shù)含兩個(gè)自變量的線性規(guī)劃，其最優(yōu)解可以用數(shù)形結(jié)合方法求出．我們高中階段接觸的主要是由三個(gè)二元一次不等式組限制的可行域，然后在這個(gè)可行域上面求某函數(shù)的最值或者是斜率的最值．【解題方法點(diǎn)撥】1．畫出平面區(qū)域．避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標(biāo)準(zhǔn)化．2．在通過求直線的截距的最值間接求出z的最值時(shí)，要注意：當(dāng)b＞0時(shí)，截距取最大值時(shí)，z也取最大值；截距取最小值時(shí)，z也取最小值；當(dāng)b＜0時(shí)，截距取最大值時(shí)，z取最小值；截距取最小值時(shí)，z取最大值．【命題方向】例：若目標(biāo)函數(shù)z＝x+y中變量x，y滿足約束條件．（1）試確定可行域的面積；（2）求出該線性規(guī)劃問題中所有的最優(yōu)解．解：（1）作出可行域如圖：對(duì)應(yīng)得區(qū)域?yàn)橹苯侨切蜛BC，其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），則可行域的面積S＝＝．（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，則平移直線y＝﹣x+z，則由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A（2，3）時(shí)，直線y＝﹣x+z得截距最小，此時(shí)z最小為z＝2+3＝5，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B（4，3）時(shí)，直線y＝﹣x+z得截距最大，此時(shí)z最大為z＝4+3＝7，故該線性規(guī)劃問題中所有的最優(yōu)解為（4，3），（2，3）這是高中階段接觸最多的關(guān)于線性規(guī)劃的題型，解這種題一律先畫圖，把每條直線在同一個(gè)坐標(biāo)系中表示出來，然后確定所表示的可行域，也即范圍；最后通過目標(biāo)函數(shù)的平移去找到它的最值．題型一：二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域典例1：若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線y＝kx+分為面積相等的兩部分，則k的值是（）A．B．C．D．分析：畫出平面區(qū)域，顯然點(diǎn)（0，）在已知的平面區(qū)域內(nèi)，直線系過定點(diǎn)（0，），結(jié)合圖形尋找直線平分平面區(qū)域面積的條件即可．解答：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示．由于直線y＝kx+過定點(diǎn)（0，）．因此只有直線過AB中點(diǎn)時(shí)，直線y＝kx+能平分平面區(qū)域．因?yàn)锳（1，1），B（0，4），所以AB中點(diǎn)D（，）．當(dāng)y＝kx+過點(diǎn)（，）時(shí)，＝+，所以k＝．答案：A．點(diǎn)評(píng)：二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域的判斷方法：直線定界，測試點(diǎn)定域．注意不等式中不等號(hào)有無等號(hào)，無等號(hào)時(shí)直線畫成虛線，有等號(hào)時(shí)直線畫成實(shí)線．測試點(diǎn)可以選一個(gè)，也可以選多個(gè)，若直線不過原點(diǎn)，則測試點(diǎn)常選取原點(diǎn)．題型二：求線性目標(biāo)函數(shù)的最值典例2：設(shè)x，y滿足約束條件：，求z＝x+y的最大值與最小值．分析：作可行域后，通過平移直線l0：x+y＝0來尋找最優(yōu)解，求出目標(biāo)函數(shù)的最值．解答：先作可行域，如圖所示中△ABC的區(qū)域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直線l0：x+y＝0，再將直線l0平移，當(dāng)l0的平行線l1過點(diǎn)B時(shí)，可使z＝x+y達(dá)到最小值；當(dāng)l0的平行線l2過點(diǎn)A時(shí)，可使z＝x+y達(dá)到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．點(diǎn)評(píng)：（1）線性目標(biāo)函數(shù)的最大（?。┲狄话阍诳尚杏虻捻旤c(diǎn)處取得，也可能在邊界處取得．（2）求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，明確和直線的縱截距的關(guān)系．題型三：實(shí)際生活中的線性規(guī)劃問題典例3：某農(nóng)戶計(jì)劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表：年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價(jià)黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元韭菜6噸0.9萬元0.3萬元為使一年的種植總利潤（總利潤＝總銷售收入﹣總種植成本）最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積（單位：畝）分別為（）A．50，0B．30，20C．20，30D．0，50分析：根據(jù)線性規(guī)劃解決實(shí)際問題，要先用字母表示變量，找出各量的關(guān)系列出約束條件，設(shè)出目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題．解析設(shè)種植黃瓜x畝，韭菜y畝