2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練22

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練22一．選擇題（共10小題）1．（2024?江西一模）中國蹴鞠已有兩千三百多年的歷史，于2004年被國際足聯(lián)正式確認(rèn)為世界足球運(yùn)動(dòng)的起源．蹴鞠在2022年卡塔爾世界杯上再次成為文化交流的媒介，走到世界舞臺(tái)的中央，訴說中國傳統(tǒng)非遺故事．為弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化，某市四所高中各自組建了蹴鞠隊(duì)（分別記為“甲隊(duì)”“乙隊(duì)”“丙隊(duì)”“丁隊(duì)”進(jìn)行單循環(huán)比賽（即每支球隊(duì)都要跟其他各支球隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)比賽），最后按各隊(duì)的積分排列名次（積分多者名次靠前，積分同者名次并列），積分規(guī)則為每隊(duì)勝一場(chǎng)得3分，平場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分．若每場(chǎng)比賽中兩隊(duì)勝、平、負(fù)的概率均為，則在比賽結(jié)束時(shí)丙隊(duì)在輸了第一場(chǎng)且其積分仍超過其余三支球隊(duì)的積分的概率為A． B． C． D．2．（2024?織金縣校級(jí)模擬）已知袋中有除顏色外形狀相同的紅、黑球共10個(gè)，設(shè)紅球的個(gè)數(shù)為，從中隨機(jī)取出3個(gè)球，取出2紅1黑的概率記為，當(dāng)最大時(shí)，紅球個(gè)數(shù)為A．6 B．7 C．8 D．93．（2024?荊州模擬）已知隨機(jī)變量，且，則的最小值為A．9 B． C．4 D．64．（2024?蘇州三模）如圖是一塊高爾頓板的示意圖，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．記格子從左到右的編號(hào)分別為0，1，2，，10，用表示小球最后落入格子的號(hào)碼，若，則A．4 B．5 C．6 D．75．（2024?菏澤二模）下列結(jié)論正確的是A．已知一組樣本數(shù)據(jù)，，，現(xiàn)有一組新的數(shù)據(jù)，，，，則與原樣本數(shù)據(jù)相比，新的數(shù)據(jù)平均數(shù)不變，方差變大 B．已知具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，，其線性回歸方程為，若樣本點(diǎn)的中心為，則實(shí)數(shù)的值是4 C．50名學(xué)生在一?？荚囍械臄?shù)學(xué)成績，已知，則，的人數(shù)為20人 D．已知隨機(jī)變量，若，則6．（2024?南開區(qū)一模）已知隨機(jī)變量，，且，則A． B． C． D．7．（2024?羅湖區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)、、為互不相等的正實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量和的分布列如表，若記，分別為，的方差，則下列說法正確的是A． B． C． D．與的大小關(guān)系與，，的取值有關(guān)8．（2024?遼寧一模）猜燈謎是中國元宵節(jié)特色活動(dòng)之一．已知甲、乙、丙三人每人寫一個(gè)燈謎，分別放入三個(gè)完全相同的小球，三人約定每人隨機(jī)選一個(gè)球（不放回），猜出自己所選球內(nèi)的燈謎者獲勝．若他們每人必能猜對(duì)自己寫的燈謎，并有的概率猜對(duì)其他人寫的燈謎，則甲獨(dú)自獲勝的概率為A． B． C． D．9．（2024?格爾木市模擬）小王、小張兩人進(jìn)行象棋比賽，共比賽局，且每局小王獲勝的概率和小張獲勝的概率均為，如果某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人，則此人贏得比賽．記小王贏得比賽的概率為，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A． B．（2）（1） C． D．隨著的增大而增大10．（2024?益陽模擬）秋冬季節(jié)是某呼吸道疾病的高發(fā)期，為了解該疾病的發(fā)病情況，疾控部門對(duì)該地區(qū)居民進(jìn)行普查化驗(yàn)，化驗(yàn)結(jié)果陽性率為，但統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果顯示患病率為．醫(yī)學(xué)研究表明化驗(yàn)結(jié)果是有可能存在誤差的，沒有患該疾病的居民其化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的概率為0.01，則該地區(qū)患有該疾病的居民化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的概率為A．0.96 B．0.97 C．0.98 D．0.99二．多選題（共5小題）11．（2024?香坊區(qū)校級(jí)模擬）一個(gè)袋子中有4個(gè)紅球，6個(gè)綠球，采用不放回方式從中依次隨機(jī)取出2個(gè)球．事件“兩次取到的球顏色相同”；事件“第二次取到紅球”；事件“第一次取到紅球”．下列說法正確的是A． B．事件與事件是互斥事件 C． D．12．（2024?佛山一模）有一組樣本數(shù)據(jù)0，1，2，3，4，添加一個(gè)數(shù)形成一組新的數(shù)據(jù)，且，1，2，3，4，，則新的樣本數(shù)據(jù)A．極差不變的概率是 B．第25百分位數(shù)不變的概率是 C．平均值變大的概率是 D．方差變大的概率是13．（2024?越秀區(qū)校級(jí)一模）下列說法正確的是A．?dāng)?shù)據(jù)2，1，3，4，2，5，4，1的第45百分位數(shù)是4 B．若數(shù)據(jù)，，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為，則數(shù)據(jù)，，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為 C．隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則 D．隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若方差，則14．（2024?新鄭市校級(jí)一模）關(guān)于下列命題中，說法正確的是A．已知，若，，則 B．?dāng)?shù)據(jù)91，72，75，85，64，92，76，78，86，79的分位數(shù)為78 C．已知，若，則 D．某校三個(gè)年級(jí)，高一有400人，高二有360人．現(xiàn)用分層抽樣的方法從全校抽取57人，已知從高一抽取了20人，則應(yīng)從高三抽取19人15．（2024?袁州區(qū)校級(jí)三模）同時(shí)拋出兩枚質(zhì)地均勻的骰子甲、乙，記事件：甲骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，事件：乙骰子點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，事件：甲、乙骰子點(diǎn)數(shù)相同．下列說法正確的有A．事件與事件對(duì)立 B．事件與事件相互獨(dú)立 C．事件與事件相互獨(dú)立 D．（C）三．填空題（共5小題）16．（2024?江西一模）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下遞推的方式定義：，，，，，，，且中，則中所有元素之和為奇數(shù)的概率為．17．（2024?廈門模擬）在維空間中，以單位長度為邊長的“立方體”的頂點(diǎn)坐標(biāo)可表示為維坐標(biāo)，，，，其中，，．則5維“立方體”的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是；定義：在維空間中兩點(diǎn)，，，與，，，的曼哈頓距離為．在5維“立方體”的頂點(diǎn)中任取兩個(gè)不同的頂點(diǎn)，記隨機(jī)變量為所取兩點(diǎn)間的曼哈頓距離，則．18．（2024?和平區(qū)二模）為銘記歷史、緬懷先烈，增強(qiáng)愛國主義情懷，某學(xué)校開展共青團(tuán)知識(shí)競賽活動(dòng)．在最后一輪晉級(jí)比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)回答一道有關(guān)團(tuán)史的問題，每個(gè)人回答正確與否互不影響．已知甲回答正確的概率為，甲、丙兩人都回答正確的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是．若規(guī)定三名同學(xué)都回答這個(gè)問題，則甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有1人回答正確的概率為；若規(guī)定三名同學(xué)搶答這個(gè)問題，已知甲、乙、丙搶到答題機(jī)會(huì)的概率分別為，，，則這個(gè)問題回答正確的概率為．19．（2024?魏都區(qū)校級(jí)三模）拋擲一枚不均勻的硬幣，正面向上的概率為，反面向上的概率為，記次拋擲后得到偶數(shù)次正面向上的概率為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式．20．（2024?浙江模擬）甲、乙兩人玩游戲，規(guī)則如下：第局，甲贏的概率為；第局，乙贏的概率為．每一局沒有平局．規(guī)定：當(dāng)其中一人贏的局?jǐn)?shù)比另一人贏的局?jǐn)?shù)多兩次時(shí)游戲結(jié)束．則游戲結(jié)束時(shí)，甲、乙兩人玩的局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為．四．解答題（共5小題）21．（2024?香河縣校級(jí)模擬）人工智能（英語：，縮寫為亦稱智械、機(jī)器智能，指由人制造出來的可以表現(xiàn)出智能的機(jī)器．通常人工智能是指通過普通計(jì)算機(jī)程序來呈現(xiàn)人類智能的技術(shù)．人工智能的核心問題包括建構(gòu)能夠跟人類似甚至超卓的推理、知識(shí)、規(guī)劃、學(xué)習(xí)、交流、感知、移物、使用工具和操控機(jī)械的能力等．當(dāng)前有大共的工具應(yīng)用了人工智能，其中包括搜索和數(shù)學(xué)優(yōu)化、邏輯推演．而基于仿生學(xué)、認(rèn)知心理學(xué)，以及基于概率論和經(jīng)濟(jì)學(xué)的算法等等也在逐步探索當(dāng)中．思維來源于大腦，而思維控制行為，行為需要意志去實(shí)現(xiàn)，而思維又是對(duì)所有數(shù)據(jù)采集的整理，相當(dāng)于數(shù)據(jù)庫．某中學(xué)計(jì)劃在高一年級(jí)開設(shè)人工智能課程．為了解學(xué)生對(duì)人工筸能是否感興趣，隨機(jī)從該校高一年級(jí)學(xué)生中抽取了400人進(jìn)行調(diào)查，整理得到如下列聯(lián)表：感興趣不感興趣合計(jì)男生18040220女生12060180合計(jì)300100400（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為對(duì)人工智能是否感興趣與性別有關(guān)聯(lián)？（2）從對(duì)人工智能感興趣的學(xué)生中按性別采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行采訪，記隨機(jī)變量表示抽到的3人中女生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，其中．0.10.050.010.0050，0012.7063.8416.6357.87910.82822．（2024?江西一模）設(shè)是一個(gè)二維離散型隨機(jī)變量，它們的一切可能取的值為，，其中，，令，，稱是二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列．與一維的情形相似，我們也習(xí)慣于把二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列寫成下表形式：現(xiàn)有個(gè)相同的球等可能的放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，記落下第1號(hào)盒子中的球的個(gè)數(shù)為，落入第2號(hào)盒子中的球的個(gè)數(shù)為．（1）當(dāng)時(shí)，求的聯(lián)合分布列；（2）設(shè)，且，計(jì)算．23．（2024?黃山模擬）某校高三年級(jí)1000名學(xué)生的高考適應(yīng)性演練數(shù)學(xué)成績頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是，，，，，，，，，，，．（1）求圖中的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這1000名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績的第85百分位數(shù)；（2）從這次數(shù)學(xué)成績位于，，，的學(xué)生中采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方．法抽取9人，再從這9人中隨機(jī)抽取3人，該3人中成績?cè)趨^(qū)間，的人數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．24．（2024?河南模擬）某公司擬通過摸球中獎(jiǎng)的方式對(duì)員工發(fā)放節(jié)日紅包．在一個(gè)不透明的袋子中裝有個(gè)形狀大小相同的標(biāo)有面值的球，每位員工從球袋中一次性隨機(jī)摸取個(gè)球，摸完后全部放回袋中，球上所標(biāo)的面值之和為該員工所獲得的紅包數(shù)額．（1）若，，當(dāng)袋中的球中有2個(gè)所標(biāo)面值為40元，1個(gè)為50元，1個(gè)為60元時(shí)，在員工所獲得的紅包數(shù)額不低于90元的條件下，求取到面值為60元的球的概率；（2）若，，當(dāng)袋中的球中有1個(gè)所標(biāo)面值為10元，2個(gè)為20元，1個(gè)為30元，1個(gè)為40元時(shí)，求員工所獲得紅包數(shù)額的數(shù)學(xué)期望與方差．25．（2024?北京）某保險(xiǎn)公司為了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同保險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：索賠次數(shù)01234保單份數(shù)800100603010假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為0.4萬元；前三次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司賠償0.6萬元．假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立．用頻率估計(jì)概率．（1）估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；（2）一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差．記為一份保單的毛利潤，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；如果無索賠的保單的保費(fèi)減少，有索賠的保單的保費(fèi)增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與中估計(jì)值的大小，（結(jié)論不要求證明）

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練22參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?江西一模）中國蹴鞠已有兩千三百多年的歷史，于2004年被國際足聯(lián)正式確認(rèn)為世界足球運(yùn)動(dòng)的起源．蹴鞠在2022年卡塔爾世界杯上再次成為文化交流的媒介，走到世界舞臺(tái)的中央，訴說中國傳統(tǒng)非遺故事．為弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化，某市四所高中各自組建了蹴鞠隊(duì)（分別記為“甲隊(duì)”“乙隊(duì)”“丙隊(duì)”“丁隊(duì)”進(jìn)行單循環(huán)比賽（即每支球隊(duì)都要跟其他各支球隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)比賽），最后按各隊(duì)的積分排列名次（積分多者名次靠前，積分同者名次并列），積分規(guī)則為每隊(duì)勝一場(chǎng)得3分，平場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分．若每場(chǎng)比賽中兩隊(duì)勝、平、負(fù)的概率均為，則在比賽結(jié)束時(shí)丙隊(duì)在輸了第一場(chǎng)且其積分仍超過其余三支球隊(duì)的積分的概率為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率計(jì)算公式【專題】概率與統(tǒng)計(jì)；對(duì)應(yīng)思想；定義法；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)丙是最高分可得丙余下兩場(chǎng)比賽全贏，再就甲乙、甲丁的輸贏（丙的第一場(chǎng)對(duì)手若為甲）分類討論后可得正確的選項(xiàng)．【解答】解：三隊(duì)中選一隊(duì)與丙比賽，丙輸，，例如是丙甲，若丙與乙、丁的兩場(chǎng)比賽一贏一平，則丙只得4分，這時(shí)，甲乙、甲丁兩場(chǎng)比賽中甲只能輸，否則甲的分?jǐn)?shù)不小于4分，不合題意，在甲輸?shù)那闆r下，乙、丁已有3分，那個(gè)它們之間的比賽無論什么情況，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合題意．若丙全贏（概率是時(shí)，丙得6分，其他3人分?jǐn)?shù)最高為5分，這時(shí)甲乙，甲丁兩場(chǎng)比賽中甲不能贏，否則甲的分?jǐn)?shù)不小于6分，（1）若甲乙，甲丁兩場(chǎng)比賽中甲一平一輸，則一平一輸?shù)母怕适牵缙揭遥敹?，則乙丁比賽時(shí)，丁不能贏，概率是，（2）若甲乙，甲丁兩場(chǎng)比賽中甲兩場(chǎng)均平，概率是，乙丁這場(chǎng)比賽無論結(jié)論如何均符合題意，（3）若甲乙，甲丁兩場(chǎng)比賽中甲都輸，概率是，乙丁這場(chǎng)比賽只能平，概率是．綜上，概率為，正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件的應(yīng)用，屬于中檔題．2．（2024?織金縣校級(jí)模擬）已知袋中有除顏色外形狀相同的紅、黑球共10個(gè)，設(shè)紅球的個(gè)數(shù)為，從中隨機(jī)取出3個(gè)球，取出2紅1黑的概率記為，當(dāng)最大時(shí)，紅球個(gè)數(shù)為A．6 B．7 C．8 D．9【答案】【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用；排列組合的綜合應(yīng)用；古典概型及其概率計(jì)算公式【專題】綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；方程思想【分析】根據(jù)題意，由古典概型公式可得，根據(jù)求出，根據(jù)只能取正整數(shù)，得出，關(guān)系，即可求解．【解答】解：根據(jù)題意，10個(gè)球中，紅球個(gè)數(shù)為，從中隨機(jī)取出3個(gè)球，取出2紅1黑的概率記為，則，則，故，若，即，解可得，又由且，則有，，且，故．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率與不等式的綜合應(yīng)用，涉及古典概型的計(jì)算，屬于中檔題．3．（2024?荊州模擬）已知隨機(jī)變量，且，則的最小值為A．9 B． C．4 D．6【答案】【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì)；方程思想；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【分析】由已知結(jié)合正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性求得，代入，再由導(dǎo)數(shù)求最值．【解答】解：，可得正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為，又，，即．令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，則的最小值為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．4．（2024?蘇州三模）如圖是一塊高爾頓板的示意圖，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．記格子從左到右的編號(hào)分別為0，1，2，，10，用表示小球最后落入格子的號(hào)碼，若，則A．4 B．5 C．6 D．7【答案】【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；對(duì)應(yīng)思想；概率與統(tǒng)計(jì)【分析】小球在下落過程中，共10次等可能向左或向右落下，則小球落入格子的號(hào)碼服從二項(xiàng)分布，且落入格子的號(hào)碼即向右次數(shù)，即，則，1，，，然后由二項(xiàng)式系數(shù)對(duì)稱性即可得解．【解答】解：小球在下落過程中，共10次等可能向左或向右落下，則小球落入格子的號(hào)碼服從二項(xiàng)分布，且落入格子的號(hào)碼即向右次數(shù)，即，所以，1，，，由二項(xiàng)式系數(shù)對(duì)稱性知，當(dāng)時(shí)，最大，故．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)分布及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．5．（2024?菏澤二模）下列結(jié)論正確的是A．已知一組樣本數(shù)據(jù)，，，現(xiàn)有一組新的數(shù)據(jù)，，，，則與原樣本數(shù)據(jù)相比，新的數(shù)據(jù)平均數(shù)不變，方差變大 B．已知具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，，其線性回歸方程為，若樣本點(diǎn)的中心為，則實(shí)數(shù)的值是4 C．50名學(xué)生在一?？荚囍械臄?shù)學(xué)成績，已知，則，的人數(shù)為20人 D．已知隨機(jī)變量，若，則【答案】【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布；正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義；用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)；經(jīng)驗(yàn)回歸方程與經(jīng)驗(yàn)回歸直線【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的數(shù)字特征即可判斷；根據(jù)線性回歸方程為過樣本點(diǎn)的中心即可判斷；根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)即可判斷；根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)即可判斷．【解答】解：對(duì)于，新數(shù)據(jù)的和為，故平均數(shù)不變，又，故原數(shù)據(jù)的極差為，新數(shù)據(jù)極差為，所以，所以極差變小了，由于平均數(shù)沒變，說明新數(shù)據(jù)相對(duì)于原數(shù)據(jù)更集中于平均數(shù)附近，故數(shù)據(jù)更穩(wěn)定，所以方差應(yīng)該變小，故錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)榫€性回歸方程為過樣本點(diǎn)的中心，所以，解得，故錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)?，已知，所以，所以人?shù)為人，故錯(cuò)誤．對(duì)于，因?yàn)?，所以，，解得，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．6．（2024?南開區(qū)一模）已知隨機(jī)變量，，且，則A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義；離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；概率與統(tǒng)計(jì)；定義法；對(duì)應(yīng)思想【分析】根據(jù)正態(tài)分布以及二項(xiàng)分布相關(guān)知識(shí)可解．【解答】解：因?yàn)殡S機(jī)變量，，且，則，，根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)可知，則，則．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正態(tài)分布以及二項(xiàng)分布相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．7．（2024?羅湖區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)、、為互不相等的正實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量和的分布列如表，若記，分別為，的方差，則下列說法正確的是A． B． C． D．與的大小關(guān)系與，，的取值有關(guān)【答案】【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；概率與統(tǒng)計(jì)；對(duì)應(yīng)思想【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的期望和方差的公式結(jié)合題中所給隨機(jī)變量和的分布列即可求解．【解答】解：由題，，故，，又，即，也即．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了離散型隨機(jī)變量的期望和方差的有關(guān)計(jì)算，屬于中檔題．8．（2024?遼寧一模）猜燈謎是中國元宵節(jié)特色活動(dòng)之一．已知甲、乙、丙三人每人寫一個(gè)燈謎，分別放入三個(gè)完全相同的小球，三人約定每人隨機(jī)選一個(gè)球（不放回），猜出自己所選球內(nèi)的燈謎者獲勝．若他們每人必能猜對(duì)自己寫的燈謎，并有的概率猜對(duì)其他人寫的燈謎，則甲獨(dú)自獲勝的概率為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式；概率的應(yīng)用【專題】綜合法；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題；方程思想；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)題意，分2種情況討論甲獲勝的情況，由相互獨(dú)立事件的概率性質(zhì)求出各自的概率，由互斥事件的概率公式計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，若甲獨(dú)自獲勝，分2種情況討論：①甲抽到自己的燈謎，而乙、丙都沒有抽到自己的燈謎，甲乙丙三人每人隨機(jī)選一個(gè)球，有種抽取方法，若只有甲抽到自己的燈謎，有1種抽取方法，故只有甲抽到自己的燈謎的概率為，則此時(shí)甲獨(dú)自獲勝的概率，②甲乙丙都沒有抽到自己的燈謎，甲乙丙都沒有抽到自己的燈謎，甲有2種可能，乙、丙只有1種可能，則有種可能，故甲乙丙都沒有抽到自己的燈謎的概率為，則此時(shí)甲獨(dú)自獲勝的概率，故甲獨(dú)自獲勝的概率．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，注意“甲獨(dú)自獲勝”的情形，屬于中檔題．9．（2024?格爾木市模擬）小王、小張兩人進(jìn)行象棋比賽，共比賽局，且每局小王獲勝的概率和小張獲勝的概率均為，如果某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人，則此人贏得比賽．記小王贏得比賽的概率為，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A． B．（2）（1） C． D．隨著的增大而增大【答案】【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；邏輯推理；概率與統(tǒng)計(jì)；綜合法【分析】要使小王贏得比賽，則小王至少贏局，進(jìn)而表達(dá)出，結(jié)合組合數(shù)公式求解得到，由此能求出結(jié)果．【解答】解：由題意知，要使小王贏得比賽，則小王至少贏局，則，，，，，，，（1），故正確；（2），（2）（1），故錯(cuò)誤；，故正確；由，，，隨著的增大而增大，故正確，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式、組合數(shù)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．10．（2024?益陽模擬）秋冬季節(jié)是某呼吸道疾病的高發(fā)期，為了解該疾病的發(fā)病情況，疾控部門對(duì)該地區(qū)居民進(jìn)行普查化驗(yàn)，化驗(yàn)結(jié)果陽性率為，但統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果顯示患病率為．醫(yī)學(xué)研究表明化驗(yàn)結(jié)果是有可能存在誤差的，沒有患該疾病的居民其化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的概率為0.01，則該地區(qū)患有該疾病的居民化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的概率為A．0.96 B．0.97 C．0.98 D．0.99【答案】【考點(diǎn)】條件概率【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；概率與統(tǒng)計(jì)【分析】利用全概率公式和條件概率公式即可求得所求事件的概率．【解答】解：設(shè)“患有該疾病”，“化驗(yàn)結(jié)果呈陽性”，由題意可知（A），（B），．（B）（A），，解得．患有該疾病的居民化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的概率為0.98．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全概率公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題．二．多選題（共5小題）11．（2024?香坊區(qū)校級(jí)模擬）一個(gè)袋子中有4個(gè)紅球，6個(gè)綠球，采用不放回方式從中依次隨機(jī)取出2個(gè)球．事件“兩次取到的球顏色相同”；事件“第二次取到紅球”；事件“第一次取到紅球”．下列說法正確的是A． B．事件與事件是互斥事件 C． D．【答案】【考點(diǎn)】隨機(jī)事件；互斥事件與對(duì)立事件【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解【分析】由已知先列舉出事件，，包含的基本事件，然后結(jié)合互斥事件的概念及古典概率公式檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答】解：由題意可得，（紅，紅），（綠，綠），（紅，紅），（綠，紅），（紅，紅），（紅，綠），則，選項(xiàng)錯(cuò)誤；，選項(xiàng)錯(cuò)誤；，選項(xiàng)正確；，選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了事件基本關(guān)系的判斷，還考查了古典概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12．（2024?佛山一模）有一組樣本數(shù)據(jù)0，1，2，3，4，添加一個(gè)數(shù)形成一組新的數(shù)據(jù)，且，1，2，3，4，，則新的樣本數(shù)據(jù)A．極差不變的概率是 B．第25百分位數(shù)不變的概率是 C．平均值變大的概率是 D．方差變大的概率是【答案】【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)【專題】對(duì)應(yīng)思想；概率與統(tǒng)計(jì)；計(jì)算題；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)題意得到取各個(gè)值的概率，結(jié)合極差、百分位數(shù)、平均數(shù)以及方差的概念與計(jì)算公式逐一判斷即可．【解答】解：由題意得，，，，，，對(duì)于，若極差不變，則，1，2，3，4，概率為，故正確；對(duì)于，由于，，所以原數(shù)據(jù)和新數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)均為第二個(gè)數(shù)，所以，2，3，4，5，第25百分位數(shù)不變的概率是，故錯(cuò)誤；對(duì)于，原樣本平均值為，平均值變大，則，4，5，概率為，故正確；對(duì)于，原樣本的方差為，顯然，當(dāng)時(shí)，新數(shù)據(jù)方差變小，當(dāng)，4，5時(shí)，新數(shù)據(jù)方差變大，當(dāng)時(shí)，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，同理，當(dāng)時(shí)，新數(shù)據(jù)的方差為，所以方差變大的概率為，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望和方差，概率的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．13．（2024?越秀區(qū)校級(jí)一模）下列說法正確的是A．?dāng)?shù)據(jù)2，1，3，4，2，5，4，1的第45百分位數(shù)是4 B．若數(shù)據(jù)，，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為，則數(shù)據(jù)，，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為 C．隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則 D．隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若方差，則【答案】【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義；用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)；重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布；離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）【專題】概率與統(tǒng)計(jì)；轉(zhuǎn)化法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法，可判定錯(cuò)誤；根據(jù)方差的性質(zhì)，可判定正確；根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，可判定正確；根據(jù)二項(xiàng)分布性質(zhì)和概率的計(jì)算公式，可判定正確．【解答】解：對(duì)于中，數(shù)據(jù)從小到大排列為1，1，2，2，3，4，4，5，共有8個(gè)數(shù)據(jù)，因?yàn)?，所以?shù)據(jù)的第45分位數(shù)為第4個(gè)數(shù)據(jù)，即為2，所以不正確；對(duì)于中，數(shù)據(jù)，，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為，由數(shù)據(jù)方差的性質(zhì)，可得數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為，所以正確；對(duì)于中，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，可得，所以正確；對(duì)于中，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，可得，解得或，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，可得；綜上可得，，所以正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，屬于中檔題．14．（2024?新鄭市校級(jí)一模）關(guān)于下列命題中，說法正確的是A．已知，若，，則 B．?dāng)?shù)據(jù)91，72，75，85，64，92，76，78，86，79的分位數(shù)為78 C．已知，若，則 D．某校三個(gè)年級(jí)，高一有400人，高二有360人．現(xiàn)用分層抽樣的方法從全校抽取57人，已知從高一抽取了20人，則應(yīng)從高三抽取19人【答案】【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義；重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布；分層隨機(jī)抽樣；離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）【專題】轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布期望和方差公式可構(gòu)造方程求得，知錯(cuò)誤；將數(shù)據(jù)按照從小到大順序排序后，根據(jù)百分位數(shù)的估計(jì)方法直接求解知正確；由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性可求得正確；根據(jù)分層抽樣原則可計(jì)算得到高二應(yīng)抽取學(xué)生數(shù)，由此可得高三數(shù)據(jù)，知正確．【解答】解：對(duì)于，，，，解得，故錯(cuò)誤；對(duì)于，將數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?4，72，75，76，78，79，85，86，91，92，，分位數(shù)為第5個(gè)數(shù)，即78，故正確；對(duì)于，，，故正確；對(duì)于，抽樣比為，高二應(yīng)抽取人，則高三應(yīng)抽取人，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量期望與方差，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．15．（2024?袁州區(qū)校級(jí)三模）同時(shí)拋出兩枚質(zhì)地均勻的骰子甲、乙，記事件：甲骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，事件：乙骰子點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，事件：甲、乙骰子點(diǎn)數(shù)相同．下列說法正確的有A．事件與事件對(duì)立 B．事件與事件相互獨(dú)立 C．事件與事件相互獨(dú)立 D．（C）【答案】【考點(diǎn)】隨機(jī)事件；互斥事件與對(duì)立事件【專題】概率與統(tǒng)計(jì)；綜合法；數(shù)學(xué)抽象；整體思想【分析】對(duì)于，甲骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，乙骰子點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，事件可以同時(shí)發(fā)生，由對(duì)立事件的概念可判斷；對(duì)于，計(jì)算出（A）（B），，根據(jù)（A）（B）可以判定兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立；對(duì)于，計(jì)算出（A）（C），，根據(jù)（A）（C）可以判定兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立；對(duì)于，由前面可知（C），，即可判斷是否相等．【解答】解：由題意，得，，，對(duì)于，當(dāng)甲為奇數(shù)點(diǎn)，且乙為偶數(shù)點(diǎn)時(shí)，事件可以同時(shí)發(fā)生，所以事件與事件不互斥，故事件與事件不對(duì)立，故錯(cuò)誤；對(duì)于，由題意知，又，故事件與事件相互獨(dú)立，故正確；對(duì)于，，又，故事件與事件相互獨(dú)立，故正確；對(duì)于，由上知，，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相互獨(dú)立，互斥及對(duì)立事件的判斷，屬于中檔題．三．填空題（共5小題）16．（2024?江西一模）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下遞推的方式定義：，，，，，，，且中，則中所有元素之和為奇數(shù)的概率為．【答案】．【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；概率與統(tǒng)計(jì)；對(duì)應(yīng)思想；定義法【分析】記中所有偶數(shù)組成的集合為，所有奇數(shù)組成的集合為，集合的子集為，集合中含有奇數(shù)個(gè)元素的子集為，則所有元素之和為奇數(shù)的集合可看成，然后可解．【解答】解：由斐波那契數(shù)列規(guī)律可知，集合，，，中的元素有674個(gè)偶數(shù)，1350個(gè)奇數(shù)，記中所有偶數(shù)組成的集合為，所有奇數(shù)組成的集合為，集合的子集為，集合中含有奇數(shù)個(gè)元素的子集為，則所有元素之和為奇數(shù)的集合可看成，顯然集合共有個(gè)，集合共有個(gè)，所以所有元素之和為奇數(shù)的集合共有個(gè)，又集合的非空子集共有個(gè)，所以中所有元素之和為奇數(shù)的概率為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)以及古典概型相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．17．（2024?廈門模擬）在維空間中，以單位長度為邊長的“立方體”的頂點(diǎn)坐標(biāo)可表示為維坐標(biāo)，，，，其中，，．則5維“立方體”的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是32；定義：在維空間中兩點(diǎn)，，，與，，，的曼哈頓距離為．在5維“立方體”的頂點(diǎn)中任取兩個(gè)不同的頂點(diǎn)，記隨機(jī)變量為所取兩點(diǎn)間的曼哈頓距離，則．【答案】32；．【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)乘法原理，即可確定頂點(diǎn)個(gè)數(shù)；首先確定，1，2，，5，再結(jié)合組合數(shù)公式求概率，即可求解分布列和數(shù)學(xué)期望．【解答】解：對(duì)于5維坐標(biāo)，，，，有，兩種選擇，故共有種選擇，即5維“立方體”的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是個(gè)頂點(diǎn)；對(duì)于的隨機(jī)變量，在坐標(biāo)，，，，與，，，，中有個(gè)坐標(biāo)值不同，即，剩下個(gè)坐標(biāo)值滿足，此時(shí)所對(duì)應(yīng)情況數(shù)為種，即，故分布列為：12345所以數(shù)學(xué)期望．故答案為：32；．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．18．（2024?和平區(qū)二模）為銘記歷史、緬懷先烈，增強(qiáng)愛國主義情懷，某學(xué)校開展共青團(tuán)知識(shí)競賽活動(dòng)．在最后一輪晉級(jí)比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)回答一道有關(guān)團(tuán)史的問題，每個(gè)人回答正確與否互不影響．已知甲回答正確的概率為，甲、丙兩人都回答正確的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是．若規(guī)定三名同學(xué)都回答這個(gè)問題，則甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有1人回答正確的概率為；若規(guī)定三名同學(xué)搶答這個(gè)問題，已知甲、乙、丙搶到答題機(jī)會(huì)的概率分別為，，，則這個(gè)問題回答正確的概率為．【答案】；．【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用；相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式【專題】綜合法；計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；概率與統(tǒng)計(jì)【分析】根據(jù)題意，設(shè)甲回答正確為事件，乙回答正確為事件，丙回答正確為事件，先由相互獨(dú)立事件的概率公式求出（B）、（C）的值，結(jié)合對(duì)立事件的性質(zhì)求出第一空答案，結(jié)合全概率公式以及條件概率公式計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)甲回答正確為事件，乙回答正確為事件，丙回答正確為事件，則（A），（A）（C），（B）（C），則（C），（B），若規(guī)定三名同學(xué)都回答這個(gè)問題，則甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有1人回答正確的概率，若規(guī)定三名同學(xué)搶答這個(gè)問題，已知甲、乙、丙搶到答題機(jī)會(huì)的概率分別為，，，則這個(gè)問題回答正確的概率．故答案為：；．【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件概率的計(jì)算，涉及相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，屬于中檔題．19．（2024?魏都區(qū)校級(jí)三模）拋擲一枚不均勻的硬幣，正面向上的概率為，反面向上的概率為，記次拋擲后得到偶數(shù)次正面向上的概率為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】．【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；全概率公式【專題】整體思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；概率與統(tǒng)計(jì)；綜合法【分析】根據(jù)題意可求出，第次拋擲后得到偶數(shù)次正面向上，包括兩種情況：①前次拋擲后得到偶數(shù)次正面向上，且第次拋擲得到反面向上；②前次拋擲后得到奇數(shù)次正面向上，且第次拋擲得到正面向上，由全概率公式得可，再構(gòu)造等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可．【解答】解：1次拋擲后得到偶數(shù)次正面向上的概率為，2次拋擲后得到偶數(shù)次正面向上的概率為，第次拋擲后得到偶數(shù)次正面向上，包括兩種情況：①前次拋擲后得到偶數(shù)次正面向上，且第次拋擲得到反面向上；②前次拋擲后得到奇數(shù)次正面向上，且第次拋擲得到正面向上，由全概率公式得，，即，所以，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全概率公式，考查了數(shù)列的遞推式，屬于中檔題．20．（2024?浙江模擬）甲、乙兩人玩游戲，規(guī)則如下：第局，甲贏的概率為；第局，乙贏的概率為．每一局沒有平局．規(guī)定：當(dāng)其中一人贏的局?jǐn)?shù)比另一人贏的局?jǐn)?shù)多兩次時(shí)游戲結(jié)束．則游戲結(jié)束時(shí)，甲、乙兩人玩的局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為．【答案】．【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）【專題】概率與統(tǒng)計(jì)；定義法；對(duì)應(yīng)思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】利用期望滿足的性質(zhì)可求題設(shè)中的數(shù)學(xué)期望．【解答】解：設(shè)甲、乙兩人玩的局?jǐn)?shù)為，其數(shù)學(xué)期望為，由題設(shè)，游戲至少進(jìn)行兩局，若，則比分為，，否則前兩局的比分為，從此刻開始直到游戲結(jié)束，進(jìn)行的局?jǐn)?shù)的期望跟比分為時(shí)相同，總局?jǐn)?shù)的期望為，故，故．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的期望及性質(zhì)，是中檔題．四．解答題（共5小題）21．（2024?香河縣校級(jí)模擬）人工智能（英語：，縮寫為亦稱智械、機(jī)器智能，指由人制造出來的可以表現(xiàn)出智能的機(jī)器．通常人工智能是指通過普通計(jì)算機(jī)程序來呈現(xiàn)人類智能的技術(shù)．人工智能的核心問題包括建構(gòu)能夠跟人類似甚至超卓的推理、知識(shí)、規(guī)劃、學(xué)習(xí)、交流、感知、移物、使用工具和操控機(jī)械的能力等．當(dāng)前有大共的工具應(yīng)用了人工智能，其中包括搜索和數(shù)學(xué)優(yōu)化、邏輯推演．而基于仿生學(xué)、認(rèn)知心理學(xué)，以及基于概率論和經(jīng)濟(jì)學(xué)的算法等等也在逐步探索當(dāng)中．思維來源于大腦，而思維控制行為，行為需要意志去實(shí)現(xiàn)，而思維又是對(duì)所有數(shù)據(jù)采集的整理，相當(dāng)于數(shù)據(jù)庫．某中學(xué)計(jì)劃在高一年級(jí)開設(shè)人工智能課程．為了解學(xué)生對(duì)人工筸能是否感興趣，隨機(jī)從該校高一年級(jí)學(xué)生中抽取了400人進(jìn)行調(diào)查，整理得到如下列聯(lián)表：感興趣不感興趣合計(jì)男生18040220女生12060180合計(jì)300100400（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為對(duì)人工智能是否感興趣與性別有關(guān)聯(lián)？（2）從對(duì)人工智能感興趣的學(xué)生中按性別采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行采訪，記隨機(jī)變量表示抽到的3人中女生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，其中．0.10.050.010.0050，0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為對(duì)人工智能是否感興趣與性別有關(guān)聯(lián)；（2）的分布列為：0123．【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；整體思想【分析】（1）根據(jù)題目給出的列聯(lián)表，計(jì)算的值，再與臨界值比較，即可作出判斷；（2）由題意可知的可能取值為0，1，2，3，利用古典概型的概率公式求出相應(yīng)的概率，得到的分布列，再結(jié)合期望公式求解．【解答】解：（1）由列聯(lián)表可得，，因?yàn)?，所以依?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為對(duì)人工智能是否感興趣與性別有關(guān)聯(lián)；（2）抽取的10人中男生人數(shù)為，女生人數(shù)為，則的可能取值有0，1，2，3，所以，，，，所以的分布列為：0123所以．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于中檔題．22．（2024?江西一模）設(shè)是一個(gè)二維離散型隨機(jī)變量，它們的一切可能取的值為，，其中，，令，，稱是二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列．與一維的情形相似，我們也習(xí)慣于把二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列寫成下表形式：現(xiàn)有個(gè)相同的球等可能的放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，記落下第1號(hào)盒子中的球的個(gè)數(shù)為，落入第2號(hào)盒子中的球的個(gè)數(shù)為．（1）當(dāng)時(shí)，求的聯(lián)合分布列；（2）設(shè)，且，計(jì)算．【答案】（1）的聯(lián)合分布列為：012010200（2）．【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）由題意知可取0，1，2，可取0，1，2，直接計(jì)算概率，列出的聯(lián)系分布列即可；（2）直接計(jì)算，，結(jié)合二項(xiàng)分布的期望公式求出．【解答】解：（1）由題意知可取0，1，2，可取0，1，2，則，，，，，，，，，，的聯(lián)合分布列為：012010200（2）當(dāng)時(shí)，，，，，設(shè)，則由二項(xiàng)分布的期望公式得．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列、概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式、二項(xiàng)分布等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．23．（2024?黃山模擬）某校高三年級(jí)1000名學(xué)生的高考適應(yīng)性演練數(shù)學(xué)成績頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是，，，，，，，，，，，．（1）求圖中的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這1000名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績的第85百分位數(shù)；（2）從這次數(shù)學(xué)成績位于，，，的學(xué)生中采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方．法抽取9人，再從這9人中隨機(jī)抽取3人，該3人中成績?cè)趨^(qū)間，的人數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）0.005；120；（2）分布列見解析；期望為2．【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；方程思想；概率與統(tǒng)計(jì)；綜合題【分析】（1）利用頻率分布直方圖中頻率之和為1，列方程求解即可，根據(jù)第85百分位數(shù)公式計(jì)算即可；（2）求出的可能取值及對(duì)應(yīng)的概率，完成分布列，即可求出期望．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可得，解得．前4個(gè)矩形面積之和為，前5個(gè)矩形面積之和為．設(shè)這1000名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績的第85百分位數(shù)為，則，解得，，所以這1000名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績的第85百分位數(shù)為120．（2）數(shù)學(xué)成績位于，，，的學(xué)生人數(shù)之比為：，所以所抽取的9人中，數(shù)學(xué)成績位于，的學(xué)生人數(shù)為人，數(shù)學(xué)成績位于，的學(xué)生人數(shù)為人，由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有0，1，2，3，則，，，．所以的分布列為：0123．【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖及離散型隨機(jī)變量分布列，屬中檔題．24．（2024?河南模擬）某公司擬通過摸球中獎(jiǎng)的方式對(duì)員工發(fā)放節(jié)日紅包．在一個(gè)不透明的袋子中裝有個(gè)形狀大小相同的標(biāo)有面值的球，每位員工從球袋中一次性隨機(jī)摸取個(gè)球，摸完后全部放回袋中，球上所標(biāo)的面值之和為該員工所獲得的紅包數(shù)額．（1）若，，當(dāng)袋中的球中有2個(gè)所標(biāo)面值為40元，1個(gè)為50元，1個(gè)為60元時(shí)，在員工所獲得的紅包數(shù)額不低于90元的條件下，求取到面值為60元的球的概率；（2）若，，當(dāng)袋中的球中有1個(gè)所標(biāo)面值為10元，2個(gè)為20元，1個(gè)為30元，1個(gè)為40元時(shí)，求員工所獲得紅包數(shù)額的數(shù)學(xué)期望與方差．【答案】（1）；（2）期望為96；方差為104．【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差【專題】轉(zhuǎn)化法；轉(zhuǎn)化思想；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）記事件：員工所獲得的紅包數(shù)額不低于90元，事件：取到面值為60元的球，根據(jù)條件先求（A），，再利用條件概率公式，即可求解；（2）由題知可能取值為80，90，100，110，再求出對(duì)應(yīng)的概率，利用期望和方差的計(jì)算公式，即可求解．【解答】解：（1）記事件：員工所獲得的紅包數(shù)額不低于90元，事件：取到面值為60元的球，因?yàn)榍蛑杏?個(gè)所標(biāo)面值為40元，1個(gè)為50元，1個(gè)為60元，且，，，，，所以，又，所以．（2）設(shè)為員工取得的紅包數(shù)額，則可能取值為80，90，100，110，所以，，，，所以，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差，考查概率的計(jì)算，屬于中檔題．25．（2024?北京）某保險(xiǎn)公司為了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同保險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：索賠次數(shù)01234保單份數(shù)800100603010假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為0.4萬元；前三次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司賠償0.6萬元．假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立．用頻率估計(jì)概率．（1）估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；（2）一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差．記為一份保單的毛利潤，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；如果無索賠的保單的保費(fèi)減少，有索賠的保單的保費(fèi)增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與中估計(jì)值的大小，（結(jié)論不要求證明）【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）【專題】對(duì)應(yīng)思想；數(shù)學(xué)模型法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中的數(shù)據(jù)可求賠償次數(shù)不少2的概率；（2）設(shè)為賠付金額，則可取0，0.8，1.6，2.4，3，用頻率估計(jì)概率后可求得分布列及數(shù)學(xué)期望，從而可求；先算出下一期保費(fèi)的變化情況，結(jié)合的結(jié)果可求．【解答】解：（1）設(shè)為“隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次”，由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得；（2）設(shè)為賠付金額，則可取0，0.8，1.6，2.4，3，由題可得，，，，，所以，因?yàn)槊麧櫴潜ＹM(fèi)與賠償金額之差，故（萬元）；由知未賠償?shù)母怕蕿?，至少賠償一次的概率為，故保費(fèi)的變化為，設(shè)為保單下一保險(xiǎn)期的毛利潤，故（萬元）．所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查用概率的數(shù)學(xué)期望的知識(shí)解決實(shí)際應(yīng)用問題，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．?dāng)?shù)列遞推式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、遞推公式定義：如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an﹣1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．2、數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系式：an＝．在數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)公式an的關(guān)系，是本講內(nèi)容一個(gè)重點(diǎn)，要認(rèn)真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，你注意到此等式成立的條件了嗎？（n≥2，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1）；若a1適合由an的表達(dá)式，則an不必表達(dá)成分段形式，可化統(tǒng)一為一個(gè)式子．（2）一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含an或Sn的關(guān)系式，然后再求解．【解題方法點(diǎn)撥】數(shù)列的通項(xiàng)的求法：（1）公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含或的關(guān)系式，然后再求解．（3）已知a1?a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．（6）已知遞推關(guān)系求an，有時(shí)也可以用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）．特別地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an．②形如an＝的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)．（7）求通項(xiàng)公式，也可以由數(shù)列的前幾項(xiàng)進(jìn)行歸納猜想，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．2．隨機(jī)事件【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件．（或“偶然性事件”）2．特點(diǎn)：（1）隨機(jī)事件可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）每個(gè)試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先預(yù)測(cè)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；（3）進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)．3．注意：（1）隨機(jī)事件發(fā)生與否，事先是不能確定的；（2）必然事件發(fā)生的機(jī)會(huì)是1；不可能事件發(fā)生的機(jī)會(huì)是0；隨機(jī)事件發(fā)生的機(jī)會(huì)在0﹣1之間，0和1可以取到．（3）要判斷一個(gè)事件是必然事件、隨機(jī)事件、還是不可能事件，要從定義出發(fā)．3．互斥事件與對(duì)立事件【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．互斥事件（1）定義：一次試驗(yàn)中，事件A和事件B不能同時(shí)發(fā)生，則這兩個(gè)不能同時(shí)發(fā)生的事件叫做互斥事件．如果A1，A2，…，An中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說事件A1，A2，…An彼此互斥．（2）互斥事件的概率公式：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，如果隨機(jī)事件A和B是互斥事件，則有：P（A+B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A與B互斥．推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件發(fā)生（即A1，A2，…，An中有一個(gè)發(fā)生）的概率等于這n個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）2．對(duì)立事件（1）定義：一次試驗(yàn)中，兩個(gè)事件中必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件叫做對(duì)立事件，事件A的對(duì)立事件記做．注：①兩個(gè)對(duì)立事件必是互斥事件，但兩個(gè)互斥事件不一定是對(duì)立事件；②在一次試驗(yàn)中，事件A與只發(fā)生其中之一，并且必然發(fā)生其中之一．（2）對(duì)立事件的概率公式：P（）＝1﹣P（A）3．互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別和聯(lián)系互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生．因此，對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，即“互斥”是“對(duì)立”的必要但不充分條件，而“對(duì)立”則是“互斥”的充分但不必要條件．【命題方向】1．考查對(duì)知識(shí)點(diǎn)概念的掌握例1：從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．“至少有一個(gè)紅球”與“都是黑球”B．“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”C．“至少有一個(gè)黑球”與“至少有1個(gè)紅球”D．“恰有1個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”分析：列舉每個(gè)事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對(duì)立事件的定義，依次驗(yàn)證即可解答：對(duì)于A：事件：“至少有一個(gè)紅球”與事件：“都是黑球”，這兩個(gè)事件是對(duì)立事件，∴A不正確對(duì)于B：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“都是黑球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)紅球一個(gè)黑球，∴B不正確對(duì)于C：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“至少有1個(gè)紅球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)紅球一個(gè)黑球，∴C不正確對(duì)于D：事件：“恰有一個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”不能同時(shí)發(fā)生，∴這兩個(gè)事件是互斥事件，又由從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，得到所有事件為“恰有1個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”以及“恰有2個(gè)紅球”三種情況，故這兩個(gè)事件是不是對(duì)立事件，∴D正確故選D點(diǎn)評(píng)：本題考查互斥事件與對(duì)立事件．首先要求理解互斥事件和對(duì)立事件的定義，理解互斥事件與對(duì)立事件的聯(lián)系與區(qū)別．同時(shí)要能夠準(zhǔn)確列舉某一事件所包含的基本事件．屬簡單題．例2：下列說法正確的是（）A．互斥事件一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件不一定是互斥事件B．互斥事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件C．事件A，B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大D．事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率?。治觯焊鶕?jù)對(duì)立事件和互斥事件的概率，得到對(duì)立事件一定是互斥事件，兩個(gè)事件是互斥事件不一定是對(duì)立事件，這兩者之間的關(guān)系是一個(gè)包含關(guān)系．解答：根據(jù)對(duì)立事件和互斥事件的概念，得到對(duì)立事件一定是互斥事件，兩個(gè)事件是互斥事件不一定是對(duì)立事件，故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查互斥事件與對(duì)立事件之間的關(guān)系，這是一個(gè)概念辨析問題，這種題目不用運(yùn)算，只要理解兩個(gè)事件之間的關(guān)系就可以選出正確答案．2．互斥事件概率公式的應(yīng)用例：甲乙兩人下棋比賽，兩人下成和棋的概率是，乙獲勝的概率是，則乙不輸?shù)母怕适欠治觯河洝皟扇讼鲁珊推濉睘槭录嗀，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，且，，則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）可求．解答：甲乙兩人下棋比賽，記“兩人下成和棋”為事件A，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，則，，則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）＝故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題主要考查互斥事件的關(guān)系，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率計(jì)算中的應(yīng)用．3．對(duì)立事件概率公式的應(yīng)用例：若事件A與B是互為對(duì)立事件，且P（A）＝0.4，則P（B）＝（）A.0B.0.4C.0.6D.1分析：根據(jù)對(duì)立事件的概率公式p（）＝1﹣P（A），解得即可．解答：因?yàn)閷?duì)立事件的概率公式p（）＝1﹣P（A）＝0.6，故選C．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)立事件的定義，屬于基礎(chǔ)題．4．古典概型及其概率計(jì)算公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：如果一個(gè)試驗(yàn)具有下列特征：（1）有限性：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果（即基本事件）只有有限個(gè)；（2）等可能性：每次試驗(yàn)中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的．則稱這種隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個(gè)重要特征，所以求事件的概率就可以不通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，而只要通過對(duì)一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計(jì)算即可．2．古典概率的計(jì)算公式如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是；如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率為P（A）＝＝．【解題方法點(diǎn)撥】1．注意要點(diǎn)：解決古典概型的問題的關(guān)鍵是：分清基本事件個(gè)數(shù)n與事件A中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個(gè)方面：（1）本試驗(yàn)是否具有等可能性；（2）本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；（3）事件A是什么．2．解題實(shí)現(xiàn)步驟：（1）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個(gè)數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；（4）利用公式P（A）＝求出事件A的概率．3．解題方法技巧：（1）利用對(duì)立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．5．概率的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】概率相關(guān)知識(shí)梳理：一、古典概型與互斥事件1．頻率與概率：頻率是事件發(fā)生的概率的估計(jì)值．2．古典概率計(jì)算公式：P（A）＝．集合的觀點(diǎn)：設(shè)試驗(yàn)的基本事件總數(shù)構(gòu)成集合I，事件A包含的事件數(shù)構(gòu)成集合A，則．3．古典概型的特征：（1）每次試驗(yàn)的結(jié)果只有一個(gè)基本事件出現(xiàn)；（2）試驗(yàn)結(jié)果具有有限性；（3）試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)等可能性．4．互斥事件概率（1）互斥事件：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，一次試驗(yàn)中不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件A，B稱為互斥事件．（2）互為事件概率計(jì)算公式：若事件A，B互斥，則P（A+B）＝P（A）+P（B）．（3）對(duì)立事件：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，一次試驗(yàn)中兩個(gè)事件A，B不會(huì)同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)事件發(fā)生，這樣的兩個(gè)事件稱為對(duì)立事件．記作：B＝，由對(duì)立事件定義知：P（A）＝1﹣P（）（4）互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系：對(duì)立必互斥，互斥未必對(duì)立．用集合的觀點(diǎn)分析對(duì)立事件與互斥事件：設(shè)兩個(gè)互斥事件A，B包含的所有結(jié)果構(gòu)成集合A，B，則A∩B＝?（如圖所示）設(shè)兩個(gè)對(duì)立事件A，包含的所有結(jié)果構(gòu)成的集合為A，，A∩＝?，A∪＝I，則注：若A1，A2，…，An任意兩個(gè)事件互斥，則：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）二、幾何概型幾何概型定義：向平面有限區(qū)域（集合）G內(nèi)投擲點(diǎn)M，若點(diǎn)M落在子區(qū)域G1?G的概率與G1的面積成正比，而與G的形狀、位置無關(guān)，我們就稱這種概型為幾何概型．幾何概型計(jì)算公式：幾何概型的特征：（1）試驗(yàn)的結(jié)果有無限個(gè)（無限性）；（2）試驗(yàn)的結(jié)果出現(xiàn)等可能性．注：幾何概型中的區(qū)域可以是長度、面積、體積等．三、條件概率與獨(dú)立事件1．條件概率的定義：對(duì)于任何兩個(gè)事件A，B，在已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率稱為事件B發(fā)生時(shí)事件A發(fā)生的條件概率，記為P（A|B）．類似的還可定義為事件A發(fā)生時(shí)事件B發(fā)生的條件概率，記為P（B|A）．2．把事件A，B同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的事件D，稱為事件A，B的交（或積），記為：A∩B＝D或D＝AB．3．條件概率計(jì)算公式：P（A|B）＝（P（B）＞0），P（B|A）＝（P（A）＞0），注：（1）事件A在“事件B發(fā)生的條件下”的概率與沒有事件B發(fā)生時(shí)的概率是不同的．（2）對(duì)于兩個(gè)事件A，B，如果P（A|B）＝P（A）則表明事件B的發(fā)生不影響事件A發(fā)生的概率．此時(shí)事件A，B是相互獨(dú)立的兩個(gè)事件，即有P（A|B）＝P（A）＝（P（B）＞0?P（AB）＝P（A）P（B）．故當(dāng)兩個(gè)事件A，B，若P（AB）＝P（A）P（B），則事件A，B相互獨(dú)立，同時(shí)A與，與B，與也相互獨(dú)立．四、二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布1．二項(xiàng)分布：（1）n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念：在相同的條件下，重復(fù)做n次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立．n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特征：①每次試驗(yàn)的條件相同，某一事件發(fā)生的概率不變；②各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響，且每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果發(fā)生或不發(fā)生．（2）二項(xiàng)分步概率計(jì)算公式：一般地，在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率為P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率為，若隨機(jī)變量由此式確定，則X服從參數(shù)n，p的二項(xiàng)分布，記作：X～B（n，p）．2．超幾何分布超幾何分布定義：一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中含有M件次品（M≤N），從N件產(chǎn)品中任取n件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中含有的次品的個(gè)數(shù)，則，（k為非負(fù)整數(shù)），若隨機(jī)變量由此式確定，則X服從參數(shù)N，M，k的超幾何分布，記作X～H（N，M，n）注：超幾何分布是概率分布的另一種形式，要注意公式中N，M，k的含義．隨機(jī)變量X取某一個(gè)值的概率就是求這一事件發(fā)生的次數(shù)與總次數(shù)的商．3．正態(tài)分布：（1）正態(tài)曲線：函數(shù)f（x）＝，x∈（﹣∞，+∞）圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．（2）若隨機(jī)變量X～N（μ，σ2），則E（X）＝μ，D（X）＝σ2．五、離散型隨機(jī)變量的分布列，期望，方差．1、概念：（1）隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用希臘字母ξ、η等表示．（2）離散型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．若ξ是隨機(jī)變量，η＝aξ+b，其中a、b是常數(shù)，則η也是隨機(jī)變量．（3）連續(xù)型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量（4）離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出．2、離散型隨機(jī)變量（1）隨機(jī)變量：在隨機(jī)試驗(yàn)中，試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量X來表示，并且X是隨著試驗(yàn)結(jié)果的不同而變化的，這樣的變量X叫做一個(gè)隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用大寫字母X，Y，…表示，也可以用希臘字母ξ，η，…表示．（2）離散型隨機(jī)變量：如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱X為離散型隨機(jī)變量．3、離散型隨機(jī)變量的分布列．（1）定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能值為x1，x2，…，xn；X取每一個(gè)對(duì)應(yīng)值的概率分別為p1，p2，…，pn，則得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn該表為隨機(jī)變量X的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列．（2）性質(zhì)：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．4、離散型隨機(jī)變量的期望數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為x1x2…xn…Pp1p2…pn…則稱Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望．?dāng)?shù)學(xué)期望的意義：數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．平均數(shù)與均值：一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn＝，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×，所以ξ的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值．期望的一個(gè)性質(zhì)：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．5、離散型隨機(jī)變量的方差；方差：對(duì)于離散型隨機(jī)變量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取這些值的概率分別是p1，p2，…，pn…，那么，稱為隨機(jī)變量ξ的均方差，簡稱為方差，式中的Eξ是隨機(jī)變量ξ的期望．標(biāo)準(zhǔn)差：Dξ的算術(shù)平方根叫做隨機(jī)變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差，記作．方差的性質(zhì)：．方差的意義：（1）隨機(jī)變量的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；（2）隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量的特征數(shù)，它們都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度；（3）標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實(shí)際問題中應(yīng)用更廣泛．【解題方法點(diǎn)撥】概率和離散型隨機(jī)變量知識(shí)是新課標(biāo)高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，重點(diǎn)考查古典概率、幾何概率、離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)等內(nèi)容，對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)考查以選擇題、填空題為主．考查的內(nèi)容相對(duì)簡單，即掌握住基礎(chǔ)知識(shí)就能解決此類問題．對(duì)于綜合性知識(shí)的考查主要是把概率、隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)、離散型隨機(jī)變量的均值、方差等內(nèi)容綜合在一起解決實(shí)際問題，多以大題的形式出現(xiàn)．題目的難度在中等以上水平，解決此類問題的關(guān)鍵是正確理解離散型隨機(jī)變量的取值及其特征（即是否符合特殊的一些分布，如二項(xiàng)分布、超幾何分布等），便于求出分布列，進(jìn)而求出均值與方差．利用均值、方差的含義去分析問題，這也是新課標(biāo)高考命題的方向．【命題方向】題型一：概率的計(jì)算典例1：已知函數(shù)y＝（0≤x≤4）的值域?yàn)锳，不等式x2﹣x≤0的解集為B，若a是從集合A中任取的一個(gè)數(shù)，b是從集合B中任取一個(gè)數(shù)，則a＞b的概率是（）A．B．C．D．解：由題意，A＝[0，2]，B＝[0，1]，以a為橫坐標(biāo)，b為縱坐標(biāo)，建立平面直角坐標(biāo)系，則圍成的區(qū)域面積為2，使得a＞b的區(qū)域面積為2﹣，故所求概率為．故選D題型二：離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差典例2：在汶川大地震后對(duì)唐家山堰塞湖的搶險(xiǎn)過程中，武警官兵準(zhǔn)備用射擊的方法引爆從湖壩上游漂流而下的一個(gè)巨大的汽油罐．已知只有5發(fā)子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射擊是相互獨(dú)立的，且命中的概率都是．（Ⅰ）求油罐被引爆的概率；（Ⅱ）如果引爆或子彈打光則停止射擊，設(shè)射擊次數(shù)為ξ．求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E（ξ）．（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）解：（I）設(shè)命中油罐的次數(shù)為X，則當(dāng)X＝0或X＝1時(shí)，油罐不能被引爆．，，∴（II）射擊次數(shù)ξ的取值為2，3，4，5．，，，P（ξ＝5）＝1﹣P（ξ＝2）﹣P（ξ＝3）﹣P（ξ＝4）＝．因此，ξ的分布列為：ξ2345P∴6．相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．相互獨(dú)立事件：事件A（或B）是否發(fā)生，對(duì)事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，這樣兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件．2．相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式：將事件A和事件B同時(shí)發(fā)生的事件即為A?B，若兩個(gè)相互獨(dú)立事件A、B同時(shí)發(fā)生，則事件A?B發(fā)生的概率為：P（A?B）＝P（A）?P（B）推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率之積，即：P（A1?A2…An）＝P（A1）?P（A2）…P（An）3．區(qū)分互斥事件和相互獨(dú)立事件是兩個(gè)不同的概念：（1）互斥事件：兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生；（2）相互獨(dú)立事件：一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響．7．條件概率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、條件概率的定義：對(duì)于任何兩個(gè)事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)P（B|A）來表示．（2）條件概率公式：稱為事件A與B的交（或積）．（3）條件概率的求法：①利用條件概率公式，分別求出P（A）和P（AB），得P（B|A）＝，其中P（A）＞0；②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件數(shù)n（A），再在事件A發(fā)生的條件下求出事件B包含的基本事件數(shù)，即n（A∩B），得P（B|A）＝【解題方法點(diǎn)撥】典例1：利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1到6之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)a和b，在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2發(fā)生的概率是．解：由題意得，利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1到6之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)a和b，基本事件的總個(gè)數(shù)是6×6＝36，即（a，b）的情況有36種，事件“a+b為偶數(shù)”包含基本事件：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18個(gè)，“在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4個(gè)，故在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2發(fā)生的概率是P＝＝故答案為：典例2：甲乙兩班進(jìn)行消防安全知識(shí)競賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊(duì)，首輪比賽每人一道必答題，答對(duì)則為本隊(duì)得1分，答錯(cuò)不答都得0分，已知甲隊(duì)3人每人答對(duì)的概率分別為，，，乙隊(duì)每人答對(duì)的概率都是．設(shè)每人回答正確與否相互之間沒有影響，用ξ表示甲隊(duì)總得分．（Ⅰ）求隨機(jī)變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4的條件下，甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高的概率．分析：（Ⅰ）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．（Ⅱ）設(shè)“甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4”為事件A，“甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高”為事件B，分別求出P（A），P（AB），再由P（B/A）＝，能求出結(jié)果．解答：（Ⅰ）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，P（ξ＝0）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝，P（ξ＝1）＝（1﹣）（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）（1﹣）×＝，P（ξ＝2）＝++＝，P（ξ＝3）＝＝，∴隨機(jī)變量ξ的分布列為：ξ0123P數(shù)學(xué)期望E（ξ）＝0×+1×+2×+3×＝．（Ⅱ）設(shè)“甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4”為事件A，“甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高”為事件B，則P（A）＝++＝，P（AB）＝＝，P（B|A）＝＝＝．8．全概率公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，有P（B）＝．9．離散型隨機(jī)變量及其分布列【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、相關(guān)概念；（1）隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用希臘字母ξ、η等表示．（2）離散型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．若ξ是隨機(jī)變量，η＝aξ+b，其中a、b是常數(shù)，則η也是隨機(jī)變量．（3）連續(xù)型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量（4）離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出．2、離散型隨機(jī)變量（1）隨機(jī)變量：在隨機(jī)試驗(yàn)中，試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量X來表示，并且X是隨著試驗(yàn)結(jié)果的不同而變化的，這樣的變量X叫做一個(gè)隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用大寫字母X，Y，…表示，也可以用希臘字母ξ，η，…表示．（2）離散型隨機(jī)變量：如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱X為離散型隨機(jī)變量．3、離散型隨機(jī)變量的分布列．（1）定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能值為x1，x2，…，xn；X取每一個(gè)對(duì)應(yīng)值的概率分別為p1，p2，…，pn，則得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn該表為隨機(jī)變量X的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列．（2）性質(zhì)：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．10．離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、離散型隨機(jī)變量的期望數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為x1x2…xn…Pp1p2…pn…則稱Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望．?dāng)?shù)學(xué)期望的意義：數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．平均數(shù)與均值：一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn＝，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×，所以ξ的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值．期望的一個(gè)性質(zhì)：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．11．離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、離散型隨機(jī)變量的期望數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為x1x2…xn…Pp1p2…pn…則稱Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望．?dāng)?shù)學(xué)期望的意義：數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．平均數(shù)與均值：一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn＝，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×，所以ξ的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值．期望的一個(gè)性質(zhì)：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．2、離散型隨機(jī)變量的方差；方差：對(duì)于離散型隨機(jī)變量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取這些值的概率分別是p1，p2，…，pn…，那么，稱為隨機(jī)變量ξ的均方差，簡稱為方差，式中的Eξ是隨機(jī)變量ξ的期望．標(biāo)準(zhǔn)差：Dξ的算術(shù)平方根叫做隨機(jī)變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差，記作．方差的性質(zhì)：．方差的意義：（1）隨機(jī)變量的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；（2）隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量的特征數(shù)，它們都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度；（3）標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實(shí)際問題中應(yīng)用更廣泛．12．n重伯努利試驗(yàn)與二