【八年級上冊數(shù)學(xué)滬教版】專題15 勾股定理及兩點間的距離公式（知識精講+綜合訓(xùn)練）（解析版）

第第頁參考答案：1．B【分析】根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)的面積求出，，從而計算的面積．【詳解】解：在中，，，，∵的面積為，∴，，則，故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理，三角形面積公式，掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．2．B【分析】作E點關(guān)于的對稱點，過作交于點F，交于點P，連接，當(dāng)三點共線，時，的值最小，利用所對直角邊等于斜邊一半求出，最后根據(jù)邊長關(guān)系計算的長即可．【詳解】解：作E點關(guān)于的對稱點，過作交于點F，交于點P，連接，∴，,∴，當(dāng)三點共線，時，的值最小，∵是正三角形，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．D【分析】利用可證，故①正確；由全等三角形的性質(zhì)可得出，，求出，即可得到②正確；根據(jù)梯形的面積公式可得③正確；根據(jù)列式，可得④正確；整理后可得，即⑤正確．【詳解】解：∵，，∴，∴，在和中，，∴，故①正確；∴，，∵，∴，∵，∴，故②正確；∵，，∴梯形的面積是，故③正確；∵，∴，故④正確；整理得：，∴該圖可以驗證勾股定理，故⑤正確；正確的結(jié)論個數(shù)是5個，故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，梯形的面積計算，三角形的面積計算，勾股定理等知識，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．4．D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，以及三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行計算即可解答．【詳解】解：A、，，是直角三角形，選項說法錯誤，不符合題意；B、，設(shè)，，，，，，是直角三角形，選項說法錯誤，不符合題意；C、，，，，是直角三角形，選項說法錯誤，不符合題意；D、，，，，，不是直角三角形，選項說法正確，符合題意，故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．5．B【分析】如圖所示，過點作軸于E，利用勾股定理和面積法求出，，，，進(jìn)而得到的橫縱坐標(biāo)變化規(guī)律即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點作軸于E，在中，由勾股定理得，∵，∴，∴，∴，，同理，得，，觀察可知，點的縱坐標(biāo)是循環(huán)出現(xiàn)，點的橫坐標(biāo)是每4次一個循環(huán)，每個循環(huán)橫坐標(biāo)增加10，∵，∴的縱坐標(biāo)與相同，即為，的橫坐標(biāo)為，∴，故選：B．【點睛】本題主要考查了點的坐標(biāo)規(guī)律探索，勾股定理，正確理解題意找到點之間的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．6．C【分析】根據(jù)和以及對頂角相等的性質(zhì)，推出，再運(yùn)用勾股定理求出即可．【詳解】解：∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則在中，，即，解得．∴線段的長度為15．故選：C．【點睛】此題考查了勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是推出，再運(yùn)用勾股定理求解．7．B【分析】根據(jù)以及角平分線的定義可得結(jié)論①；根據(jù)以及可得結(jié)論②；根據(jù)三角形面積可得結(jié)論③；過點作，垂足分別為，則可得，進(jìn)而得出，設(shè)，則，，根據(jù)三角形中線等分面積可得，進(jìn)而得出，然后可得的值．【詳解】解：∵平分，∴，∵，是高，∴，∴，∴，故①正確；∵，，∴，故②正確；∵，∴，故③錯誤；過點作，垂足分別為，∵平分，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，∵是中線，∴，，∴，即，∴，即，∴，∴，故④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有①②④，故選：B．【點睛】本題考查了三角形的中線，高，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．8．D【分析】過點P分別作的垂線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可知，，易證，推出．設(shè)，由外角的性質(zhì)可得，，所以；故①正確；由外角的性質(zhì)可得，由三角形內(nèi)角和可得，，所以，即；故②不正確；在射線上截取，延長到點L，使得，連接，易證，所以，易證，所以，所以，由外角的性質(zhì)可知，，所以，故③正確；因為，，且，所以．故④正確．【詳解】解：過點P分別作的垂線，垂足分別為I，M，N，∵平分，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，∴，對于，，∴，對于，，∴，∴；故①正確；∵，∴，∴，∴，即；故②不正確；在射線上截取，延長到點L，使得，連接，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，故③正確；∵，，又∵，∴．故④正確．綜上，①③④正確．故選：D．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)定理，作出輔助線，構(gòu)造全等是解題關(guān)鍵．9．2【分析】設(shè)，由勾股定理可得,，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可得，進(jìn)而得到、，最后在中用勾股定理求得x即可．【詳解】解：設(shè)∵，，∴,,∵，，∴∴∵，，，∴,即，解得：或（舍）．故答案為2．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，設(shè)、用x表示出其他線段是解答本題的關(guān)鍵．10．【分析】先求解，再分三種情況討論：如圖，把長方體沿前面與上面展開，過作于，如圖，把長方體沿左邊面與上面展開，如圖，把長方體沿左邊面與后面展開，過作于，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：∵長方體中，長為8米，，∴，如圖，把長方體沿前面與上面展開，過作于，則，∴，如圖，把長方體沿左邊面與上面展開，則，∴，如圖，把長方體沿左邊面與后面展開，過作于，則，∴，而，∴一只螞蟻從點出發(fā)沿長方體的表面爬到點，則它爬行的最短路程為米，故答案為：．【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，立體圖形的表面展開圖的認(rèn)識，掌握“利用勾股定理構(gòu)建直角三角形”是解本題的關(guān)鍵．11．11【分析】根據(jù)等邊對等角及平行線的性質(zhì)得出平分，再由角平分線的性質(zhì)得出，利用全等三角形的判定和性質(zhì)得出，結(jié)合圖形求周長即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴平分，∵，，∴，在與中，，∴，∴，∴的周長為：，故答案為：11．【點睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，綜合運(yùn)用這些知識點是解題關(guān)鍵．12．①②④【分析】如圖，過作于，證明，可得，可判斷①符合題意；證明，，可判斷②符合題意；由，證明，可判斷③不符合題意；由，可判斷④符合題意；【詳解】解：如圖，過作于，∵平分，，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴，故①符合題意；∵，∴，∵，，∴，∴，故②符合題意；∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即．故③不符合題意；∵，，∴故④符合題意；故答案為：①②④．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理的應(yīng)用，作出合適的輔助線構(gòu)建全等三角形是解本題的關(guān)鍵．13．6【詳解】作點關(guān)于軸對稱的點，連接，交軸于點，連接，則：，∴當(dāng)三點共線時，的值最小，∵，，∴，∴，∵點P與點O關(guān)于直線對稱，∴，交于點D，過點作軸，交軸于點，則：，，∴，∴，∵點和點關(guān)于軸對稱，∴，∴，∴．∴的最小值為：6；故答案為：6．【點睛】本題考查坐標(biāo)系下的軸對稱，以及含角的直角三角形．熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，以及利用軸對稱法解決線段和最小問題，是解題的關(guān)鍵．14．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①為等腰直角的底邊；②為等腰直角其中的一條腰；分別找出符合題意的點即可．【詳解】解：如圖，分情況討論：①為等腰直角的底邊時，符合條件的點有，，共個；②為等腰直角其中的一條腰時，符合條件的點有，，，，共個，綜上可得：符合條件的點有個．故答案為：．【點睛】本題考查了網(wǎng)格中等腰直角三角形的判定和勾股定理的逆定理，熟知等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、分情況探尋是解本題的關(guān)鍵．15．或【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)，等邊三角形的性質(zhì)可得出的邊長，進(jìn)而求得的面積，則可得出的面積，然后根據(jù)題目中條件分兩種情況用含有a的代數(shù)式表示出的面積即可求得a的值．【詳解】解：過點作軸，垂足為，由、，得，，為等邊三角形，由勾股定理，得，，又，，由，得，．當(dāng)在與交點的上方時，如圖過點P作垂直于的延長線于點E,過點B作于點F，==由，得故答案為：或．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理和平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)等知識點，解題時利用點的坐標(biāo)特征表示三角形面積是解題的關(guān)鍵，另外需分析P點位置的可能性，需要考慮全面才能得出正確答案．16．【分析】首先明確要使得周長最小，即使得最小，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可知，從而可得滿足最小即可，根據(jù)兩點之間線段最短確定即為最小值，從而求解即可．【詳解】解：如圖，連接，由翻折的性質(zhì)可知，，垂直平分，∴，∵，，∴，，∴M點為上一個固定點，則長度固定，∴，∵周長，∴要使得周長最小，即使得最小，∵，∴滿足最小即可，當(dāng)P、B、C三點共線時，滿足最小，此時，P點與D點重合，，∴周長最小值即為故答案為：12．【點睛】本題考查翻折的性質(zhì)，以及最短路徑問題等，掌握翻折的基本性質(zhì)，利用角平分線的性質(zhì)進(jìn)行推理求解，理解并熟練運(yùn)用兩點之間線段最短是解題關(guān)鍵．17．收購站E應(yīng)建在離A點10km處【分析】先根據(jù)“C，D兩村到E站的距離相等”得出DE=CE，再根據(jù)勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：∵C，D兩村到E站的距離相等．∴DE=CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A=∠B=90°，∴，，∴，設(shè)AE=xkm，則BE=AB-AE=（25-x）km．∵DA=15km，CB=10km，∴，即解得：x=10，∴AE=10km，∴收購站E應(yīng)建在離A點10km處．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用勾股定理將兩個直角三角形的斜邊表示出來．18．(1)、(2)(3)13(4)【分析】（1）用兩種不同的方法計算陰影部分的面積即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，即可得出答案；（3）利用（2）中的數(shù)量關(guān)系代入計算即可；（4）用兩種不同的方法表示出一個棱長為x的正方體挖去一個小長方體后的體積，即可得出答案．【詳解】（1）解：陰影部分的面積可以看做邊長為的正方形，陰影部分的面積可表示為，還可以看做邊長為c的正方形的面積減去四個直角三角形的面積，即陰影部分的面積可表示為，故答案為：、（2）解：由（1）得,即，∴，故答案為：；（3）解：∵一直角三角形的兩條直角邊長為5和12，設(shè)斜邊為c，∴∴，即斜邊長為13；故答案為：13（4）解：一個棱長為x的正方體挖去一個小長方體后的體積為，拼成一個新長方體的體積為，∴，故答案為：【點睛】此題主要考查了勾股定理的推導(dǎo)和應(yīng)用，勾股定理的的推導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．19．(1)(2)成立，理由見解析(3)，證明見解析【分析】（1）連接，由，得，可得，而，為中點，知是的平分線，即得；（2）過作于，于，同（1）可得，由，可得，從而，可證，故；（3）過作于，于，由（2）知，可得，，，即可得，而，，有，從而，設(shè)，則，，由，得，，即，，又，即可得．【詳解】（1）解：，理由如下：連接，如圖：，，，即，，為中點，是的平分線，，，角平分線上的點到兩邊的距離相等；故答案為：；（2）將繞點點旋轉(zhuǎn)，（1）中的關(guān)系還成立，理由如下：過作于，于，如圖：同（1）可得，，，，即，，∴，；（3），證明如下：過作于，于，如圖：由（2）知，，，，，，，，，，于，于，，設(shè)，則，，，，，即，，，．【點睛】本題考查等腰直角三角形中的旋轉(zhuǎn)問題，涉及三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理及應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．20．（1）見詳解；（2）見詳解；（3）【分析】（1）由題意易得，則有，然后可證，進(jìn)而問題可求證；（2）同理（1）可證，然后可得，進(jìn)而可證，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求證；（3）延長，交于一點C，過點C作，交的延長線于點G，過點C作于點H，由題意易得，，然后可證，則有，，由（2）可知，，，設(shè)，則有，進(jìn)而根據(jù)線段的和差關(guān)系、等積法及勾股定理可進(jìn)行求解．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）證明：同理（1）可證，∴，，