2024年中考數(shù)學(xué)二輪題型突破題型6 幾何最值（專題訓(xùn)練）（教師版）

題型六幾何最值（專題訓(xùn)練）1．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，和是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，把以為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)為射線、的交點(diǎn)．若，．以下結(jié)論：①；②；③當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，；④在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)線段最短時(shí)，的面積為．其中正確結(jié)論有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】證明即可判斷①，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出②，證明得出，即可判斷③；以為圓心，為半徑畫圓，當(dāng)在的下方與相切時(shí)，的值最小，可得四邊形是正方形，在中，然后根據(jù)三角形的面積公式即可判斷④．【詳解】解：∵和是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，，故①正確；設(shè)，∴,∴，∴，故②正確；當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，如圖所示

∵，，∴∴∵，．∴，∴∴，故③正確；④如圖所示，以為圓心，為半徑畫圓，

∵，∴當(dāng)在的下方與相切時(shí)，的值最小，∴四邊形是矩形，又，∴四邊形是正方形，∴，∵，∴，在中，∴取得最小值時(shí)，∴故④正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，勾股定理，切線的性質(zhì)，垂線段最短，全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2.如圖，在矩形紙片ABCD中，，，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿EF所在直線翻折，得到，則的長的最小值是A． B．3 C． D．【答案】D【詳解】以點(diǎn)E為圓心，AE長度為半徑作圓，連接CE，當(dāng)點(diǎn)在線段CE上時(shí)，的長取最小值，如圖所示，根據(jù)折疊可知：．在中，，，，，的最小值．故選D．3.如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于點(diǎn)E，D是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是()【答案】B【詳解】如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，∵tanA==2，設(shè)AE=a，BE=2a，則有：100=a2+4a2，∴a2=20，∴a=2或-2（舍棄），∴BE=2a=4，∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM=BE=4（等腰三角形兩腰上的高相等））∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，∴，∴DH=BD，∴CD+BD=CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值為4．故選B．4.如圖，在中，，，，點(diǎn)O是AB的三等分點(diǎn)，半圓O與AC相切，M，N分別是BC與半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，則MN的最小值和最大值之和是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【詳解】如圖，設(shè)⊙O與AC相切于點(diǎn)D，連接OD，作垂足為P交⊙O于F，此時(shí)垂線段OP最短，PF最小值為，∵，，∴∵，∴∵點(diǎn)O是AB的三等分點(diǎn)，∴，，∴，∵⊙O與AC相切于點(diǎn)D，∴，∴，∴，∴，∴MN最小值為，如圖，當(dāng)N在AB邊上時(shí)，M與B重合時(shí)，MN經(jīng)過圓心，經(jīng)過圓心的弦最長，MN最大值，,∴MN長的最大值與最小值的和是6．故選B．6．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長為4，點(diǎn)，分別在邊，上，且，平分，連接，分別交，于點(diǎn)，，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作垂足為，連接，有下列四個(gè)結(jié)論：①垂直平分；②的最小值為；③；④．其中正確的是（

）

A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③【答案】D【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和三角形全等即可證明，通過等量轉(zhuǎn)化即可求證，利用角平分線的性質(zhì)和公共邊即可證明，從而推出①的結(jié)論；利用①中的部分結(jié)果可證明推出，通過等量代換可推出③的結(jié)論；利用①中的部分結(jié)果和勾股定理推出和長度，最后通過面積法即可求證④的結(jié)論不對(duì)；結(jié)合①中的結(jié)論和③的結(jié)論可求出的最小值，從而證明②不對(duì).【詳解】解：為正方形，，，，，.,,，，.平分，.，.，，垂直平分，故①正確.由①可知，，，，，，由①可知，.故③正確.為正方形，且邊長為4，，在中，.由①可知，，，.由圖可知，和等高，設(shè)高為，，，，.故④不正確.由①可知，，，關(guān)于線段的對(duì)稱點(diǎn)為，過點(diǎn)作，交于，交于，最小即為，如圖所示，

由④可知的高即為圖中的，.故②不正確.綜上所述，正確的是①③.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的綜合題，涉及到三角形相似，最短路徑，三角形全等，三角形面積法，解題的關(guān)鍵在于是否能正確找出最短路徑以及運(yùn)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn).7.如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將△ABG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，當(dāng)AG+BG+CG取最小值時(shí)EF的長（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：如圖，∵將△ABG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，∴△BFG是等邊三角形．∴BF=BG=FG，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，∴當(dāng)G點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的長，過E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長線于F，∴∠EBF=180°-120°=60°，∵BC=4，∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2=EC2，∴EC=4．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，∴EF=CE=，故選：D．8．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，的圓心O與正方形的中心重合，已知的半徑和正方形的邊長都為4，則圓上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意一點(diǎn)距離的最小值為（

）．

A． B．2 C． D．【答案】D【分析】設(shè)正方形四個(gè)頂點(diǎn)分別為，連接并延長，交于點(diǎn)，由題意可得，的長度為圓上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意一點(diǎn)距離的最小值，求解即可．【詳解】解：設(shè)正方形四個(gè)頂點(diǎn)分別為，連接并延長，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，如下圖：

則的長度為圓上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意一點(diǎn)距離的最小值，由題意可得：，由勾股定理可得：，∴，故選：D.【點(diǎn)睛】此題考查了圓與正多邊形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A與正多邊形的性質(zhì)，確定出圓上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意一點(diǎn)距離的最小值的位置．9．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，，是正方形的邊的三等分點(diǎn)，是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，的值是___________．

【答案】【分析】作點(diǎn)F關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，此時(shí)取得最小值，過點(diǎn)作的垂線段，交于點(diǎn)K，根據(jù)題意可知點(diǎn)落在上，設(shè)正方形的邊長為，求得的邊長，證明，可得，即可解答．【詳解】解：作點(diǎn)F關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線段，交于點(diǎn)K，

由題意得：此時(shí)落在上，且根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，當(dāng)P點(diǎn)與重合時(shí)取得最小值，設(shè)正方形的邊長為a，則，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，

，當(dāng)取得最小值時(shí)，的值是為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的最值問題，軸對(duì)稱的性質(zhì)，相似三角形的證明與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，正確畫出輔助線是解題的關(guān)鍵．10．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，線段，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，在的上方作，使，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，當(dāng)最小時(shí)，的面積為___________．

【答案】【分析】連接，交于點(diǎn)P，由直角三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可得垂直平分，為定角，可得點(diǎn)F在射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，最小，由含30度角直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：連接，交于點(diǎn)P，如圖，∵，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∵，∴,∴是等邊三角形，∴；∵線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，∵，∴垂直平分，，∴點(diǎn)F在射線上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，∴；∵，∴，∴，∵，∴由勾股定理得，∴，∴；

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，斜邊中線性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的判定，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，確定點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑是關(guān)鍵與難點(diǎn)．11.如圖，中，，，，是內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則線段長的最小值為________.【答案】2：【詳解】∵∠PAB+∠PBA=90°∴∠APB=90°∴點(diǎn)P在以AB為直徑的弧上（P在△ABC內(nèi)）設(shè)以AB為直徑的圓心為點(diǎn)O，如圖接OC，交☉O于點(diǎn)P，此時(shí)的PC最短∵AB=6，∴OB=3∵BC=4∴∴PC=5-3=212.如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE=1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為．【分析】同樣是作等邊三角形，區(qū)別于上一題求動(dòng)點(diǎn)路徑長，本題是求CG最小值，可以將F點(diǎn)看成是由點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，由此作出G點(diǎn)軌跡：考慮到F點(diǎn)軌跡是線段，故G點(diǎn)軌跡也是線段，取起點(diǎn)和終點(diǎn)即可確定線段位置，初始時(shí)刻G點(diǎn)在位置，最終G點(diǎn)在位置（不一定在CD邊），即為G點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡．CG最小值即當(dāng)CG⊥的時(shí)候取到，作CH⊥于點(diǎn)H，CH即為所求的最小值．根據(jù)模型可知：與AB夾角為60°，故⊥．過點(diǎn)E作EF⊥CH于點(diǎn)F，則HF==1，CF=，所以CH=，因此CG的最小值為．13.如圖，矩形中，，，點(diǎn)是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為_____．【答案】【詳解】為矩形，又點(diǎn)到的距離與到的距離相等，即點(diǎn)線段垂直平分線上，連接，交與點(diǎn)，此時(shí)的值最小，且故答案為：14.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，點(diǎn)P是AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP，以BP為邊作等邊△BPQ，連接CQ，則點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，線段CQ長度的最小值是______．【答案】54【詳解】解：如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接CE，PE．

∵∠ACB=90°，∠A=30°，

∴∠CBE=60°，

∵BE=AE，

∴CE=BE=AE，

∴△BCE是等邊三角形，

∴BC=BE，

∵∠PBQ=∠CBE=60°，

∴∠QBC=∠PBE，

∵QB=PB，CB=EB，

∴△QBC≌△PBE（SAS），

∴QC=PE，

∴當(dāng)EP⊥AC時(shí)，QC的值最小，

在Rt△AEP中，∵AE=52，∠A=30°，

∴PE=12AE=54，

∴CQ的最小值為故答案為：515.如圖，在正方形ABCD中，AB＝8，AC與BD交于點(diǎn)O，N是AO的中點(diǎn)，點(diǎn)M在BC邊上，且BM＝6．P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，則PM﹣PN的最大值為．【答案】2【分析】作以BD為對(duì)稱軸作N的對(duì)稱點(diǎn)N'，連接PN'，MN'，依據(jù)PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，可得當(dāng)P，M，N'三點(diǎn)共線時(shí)，取“＝”，再求得＝，即可得出PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，再根據(jù)△N'CM為等腰直角三角形，即可得到CM＝MN'＝2．【解答】解：如圖所示，作以BD為對(duì)稱軸作N的對(duì)稱點(diǎn)N'，連接PN'，MN'，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)可知，PN＝PN'，∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，當(dāng)P，M，N'三點(diǎn)共線時(shí)，取“＝”，∵正方形邊長為8，∴AC＝AB＝，∵O為AC中點(diǎn)，∴AO＝OC＝，∵N為OA中點(diǎn)，∴ON＝，∴ON'＝CN'＝，∴AN'＝，∵BM＝6，∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，∴＝∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM＝45°，∴△N'CM為等腰直角三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM﹣PN的最大值為2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．16.如圖，是等邊三角形，，N是的中點(diǎn)，是邊上的中線，M是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值是________．【答案】【分析】根據(jù)題意可知要求BM+MN的最小值，需考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化BM，MN的值，從而找出其最小值，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求出CN，即可求出答案．【解析】解：連接CN，與AD交于點(diǎn)M，連接BM．（根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短；點(diǎn)到直線垂直距離最短），是邊上的中線即C和B關(guān)于AD對(duì)稱，則BM+MN=CN，則CN就是BM+MN的最小值．∵是等邊三角形，，N是的中點(diǎn)，

∴AC=AB=6,AN=AB=3,,∴.即BM+MN的最小值為．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，涉及到等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．17.如圖，在中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以點(diǎn)C為圓心，6為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D．連接AD、BD、CD，則2AD+3BD的最小值是．【分析】首先對(duì)問題作變式2AD+3BD=，故求最小值即可．考慮到D點(diǎn)軌跡是圓，A是定點(diǎn)，且要求構(gòu)造，條件已經(jīng)足夠明顯．當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC邊時(shí)，DA=3，此時(shí)在線段CD上取點(diǎn)M使得DM=2，則在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，始終存在．問題轉(zhuǎn)化為DM+DB的最小值，直接連接BM，BM長度的3倍即為本題答案．18.如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足∠AMD＝90°，則點(diǎn)M到直線BC的距離的最小值為_____．【答案】【解析】【分析】取AD的中點(diǎn)O，連接OM，過點(diǎn)M作ME⊥BC交BC的延長線于E，點(diǎn)點(diǎn)O作OF⊥BC于F，交CD于G，則OM+ME≥OF．求出OM，OF即可解決問題．【詳解】解：取AD的中點(diǎn)O，連接OM，過點(diǎn)M作ME⊥BC交BC的延長線于E，點(diǎn)點(diǎn)O作OF⊥BC于F，交CD于G，則OM+ME≥OF．∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，∴OM＝AD＝2，∵AB∥CD，∴∠GCF＝∠B＝60°，∴∠DGO＝∠CGE＝30°，∵AD＝BC，∴∠DAB＝∠B＝60°，∴∠ADC＝∠BCD＝120°，∴∠DOG＝30°＝∠DGO，∴DG＝DO＝2，∵CD＝4，∴CG＝2，∴OG＝2，GF＝，OF＝3，∴ME≥OF﹣OM＝3﹣2，∴當(dāng)O，M，E共線時(shí)，ME的值最小，最小值為3﹣2．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，垂線段最短，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．19.如圖，四邊形是菱形，B=6，且∠ABC=60°，M是菱形內(nèi)任一點(diǎn)，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM的最小值為________．【答案】【詳解】將△BMN繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到△BNE，∵BM=BN，∠MBN=∠CBE=60°，∴MN=BM∵M(jìn)C=NE∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．當(dāng)A、M、N、E四點(diǎn)共線時(shí)取最小值A(chǔ)E．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=，∴AE=2AH=．故答案為．20.如圖，在矩形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，P為BC邊上的任意一點(diǎn)，把沿PE折疊，得到，連接CF．若AB＝10，BC＝12，則CF的最小值為_____．【答案】8【解析】【分析】點(diǎn)F在以E為圓心、EA為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E、F、C共線時(shí)時(shí)，此時(shí)FC的值最小，根據(jù)勾股定理求出CE，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BE＝EF＝5即可．【詳解】解：如圖所示，點(diǎn)F在以E為圓心EA為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E、F、C共線時(shí)時(shí)，此時(shí)CF的值最小，根據(jù)折疊的性質(zhì)，△EBP≌△EFP，∴EF⊥PF，EB＝EF，∵E是AB邊的中點(diǎn)，AB＝10，∴AE＝EF＝5，∵AD＝BC＝12，∴CE＝＝＝13，∴CF＝CE﹣EF＝13﹣5＝8．故答案為8．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短的綜合運(yùn)用，靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．21.如圖所示，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，，點(diǎn)分別在上，求周長的最小值_____．【答案】周長的最小值為8【詳解】如圖，作P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)、，交OA、OB于M、N，此時(shí)周長最小，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)可知，，，且，，，，為等邊三角形，即周長的最小值為8.22．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖1，一大一小兩個(gè)等腰直角三角形疊放在一起，，分別是斜邊，的中點(diǎn)，．

(1)將繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)，距離的最大值和最小值；(2)將繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（如圖），求的長．【答案】(1)最大值為，最小值為(2)【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線，得出的值，進(jìn)而根據(jù)題意求得最大值與最小值即可求解；（2）過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得，進(jìn)而得出，進(jìn)而可得，勾股定理解，即可求解．【詳解】（1）解：依題意，，，當(dāng)在的延長線上時(shí)，的距離最大，最大值為，當(dāng)在線段上時(shí)，的距離最小，最小值為；

（2）解：如圖所示，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，

∵繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在中，，在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．23.在正方形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線AC（不含點(diǎn)A）上任意一點(diǎn)，AB=；（1）如圖1，將△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，連接EF；①把圖形補(bǔ)充完整（無需寫畫法）；②求的取值范圍；(2)如圖2，求BE+AE+DE的最小值．【答案】（1）①補(bǔ)圖見解析；②；（2）【詳解】（1）①如圖△DCF即為所求；②∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝2，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°，∴AC＝＝AB＝4，∵△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，∴∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°，設(shè)AE＝CF＝x，EF2＝y(tǒng)，則EC＝4?x，∴y＝（4?x）2＋x2＝2x2?8x＋160（0＜x≤4）．即y＝2（x?2）2＋8，∵2＞0，∴x＝2時(shí)，y有最小值，最小值為8，當(dāng)x＝4時(shí)，y最大值＝16，∴8≤EF2≤16．（2）如圖中，將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AFG，連接EG，DF．作FH⊥AD于H．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，△AEG是等邊三角形，∴AE＝EG，∵DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，∴AE＋BE＋DE的最小值為線段DF的長．在Rt△AFH中，∠FAH＝30°，AB＝=AF，∴FH＝AF＝，AH＝＝，在Rt△DFH中，DF＝＝，∴BE＋AE＋ED的最小值為．24．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）1643年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)）當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，如圖1，將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，

由，可知為①三角形，故，又，故，由②可知，當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時(shí)，取最小值，如圖2，最小值為，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有③；已知當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．如圖3，若，則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為④點(diǎn)．(2)如圖4，在中，三個(gè)內(nèi)角均小于，且，已知點(diǎn)P為的“費(fèi)馬點(diǎn)”，求的值；

(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/，a元/，元/，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為___________元．（結(jié)果用含a的式子表示）【答案】(1)①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③；④A．(2)(3)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行推理分析即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的方法將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，即可得出可知當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時(shí)，取最小值，最小值為，在根據(jù)可證明，由勾股定理求即可，（3）由總的鋪設(shè)成本，通過將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，得到等腰直角，得到，即可得出當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時(shí)，取最小值，即取最小值為，然后根據(jù)已知和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求出即可．【詳解】（1）解：∵，∴為等邊三角形；∴，，又，故，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時(shí)，取最小值，最小值為，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，∴，，∴，，又∵，∴，∴，∴；∵，∴，，∴，，∴三個(gè)頂點(diǎn)中，頂點(diǎn)A到另外兩個(gè)頂點(diǎn)的距離和最?。帧咭阎?dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．∴該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為點(diǎn)A，故答案為：①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③；④．（2）將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，由（1）可知當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時(shí)，取最小值，最小值為，

∵，∴，又∵∴，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，∴，∴最小值為，（3）∵總的鋪設(shè)成本∴當(dāng)最小時(shí)，總的鋪設(shè)成本最低，將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，，，∴，∴，當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時(shí)，取最小值，即取最小值為，

過點(diǎn)作，垂足為，∵，，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為總的鋪設(shè)成本（元）故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了費(fèi)馬點(diǎn)求最值問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意，利用旋轉(zhuǎn)作出正確的輔助線是解本題的關(guān)鍵．25．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）在中，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接．

(1)如圖1，若，，求線段的長．(2)如圖2，以為邊在上方作等邊，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)．若，求證：．(3)在取得最小值的條件下，以為邊在右側(cè)作等邊．點(diǎn)為所在直線上一點(diǎn)，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到．連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，當(dāng)取最大值時(shí)，連接，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的值．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）解，求得，根據(jù)即可求解；（2）延長使得，連接，可得，根據(jù)，得出四點(diǎn)共圓，則，，得出，結(jié)合已知條件得出，可得，即可得證；（3）在取得最小值的條件下，即，設(shè)，則，，根據(jù)題意得出點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取的中點(diǎn)，連接，則是的中位線，在半徑為的上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)取最大值時(shí)，即三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，則四邊形是矩形，得出是的中位線，同理可得是的中位線，是等邊三角形，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，則，在中，勾股定理求得，進(jìn)而即可