2024年中考數(shù)學(xué)二輪題型突破題型9 二次函數(shù)綜合題 類型2 二次函數(shù)與線段有關(guān)的問題27題（專題訓(xùn)練）（教師版）

類型二二次函數(shù)與線段有關(guān)的問題（專題訓(xùn)練）1．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點，，與軸交于點，其中，．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)點是直線下方拋物線上一動點，過點作于點，求的最大值及此時點的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，將該拋物線向右平移個單位，點為點的對應(yīng)點，平移后的拋物線與軸交于點，為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點．寫出所有使得以為腰的是等腰三角形的點的坐標(biāo)，并把求其中一個點的坐標(biāo)的過程寫出來．【答案】(1)；(2)取得最大值為，；(3)點的坐標(biāo)為或或【分析】（1）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求解；（2）直線的解析式為，過點作軸于點，交于點，設(shè)，則，則，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)平移的性質(zhì)得出，對稱軸為直線，點向右平移5個單位得到，，勾股定理分別表示出，進(jìn)而分類討論即可求解．【詳解】（1）解：將點，．代入得，解得：，∴拋物線解析式為：，（2）∵與軸交于點，，當(dāng)時，解得：，∴,∵．設(shè)直線的解析式為，∴解得：∴直線的解析式為，如圖所示，過點作軸于點，交于點，

設(shè)，則，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)時，取得最大值為，，∴；（3）∵拋物線將該拋物線向右平移個單位，得到，對稱軸為直線，點向右平移5個單位得到∵平移后的拋物線與軸交于點，令，則，∴,∴∵為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點．則點的橫坐標(biāo)為，設(shè)，∴，，當(dāng)時，，解得：或，當(dāng)時，，解得：綜上所述，點的坐標(biāo)為或或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，解直角三角形，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的平移，線段周長問題，特殊三角形問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線與軸交于和兩點，與軸交于點．直線過拋物線的頂點．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)若直線與拋物線交于點，與直線交于點．①當(dāng)取得最大值時，求的值和的最大值；②當(dāng)是等腰三角形時，求點的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)①當(dāng)時，有最大值，最大值為；②或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）①先求出，進(jìn)而求出直線的解析式為，則，進(jìn)一步求出，由此即可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出答案；②設(shè)直線與x軸交于H，先證明是等腰直角三角形，得到；再分如圖3-1所示，當(dāng)時，如圖3-2所示，當(dāng)時，如圖3-3所示，當(dāng)時，三種情況利用等腰三角形的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于和兩點，∴拋物線對稱軸為直線，在中，當(dāng)時，，∴拋物線頂點P的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線解析式為，∴，∴，∴拋物線解析式為（2）解：①∵拋物線解析式為，點C是拋物線與y軸的交點，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，∵直線與拋物線交于點，與直線交于點∴，∴，∵，∴當(dāng)時，有最大值，最大值為；②設(shè)直線與x軸交于H，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴；如圖3-1所示，當(dāng)時，過點C作于G，則∴點G為的中點，由（2）得，∴，∴，解得或（舍去），∴；如圖3-2所示，當(dāng)時，則是等腰直角三角形，∴，即，∴點E的縱坐標(biāo)為5，∴，解得或（舍去），∴如圖3-3所示，當(dāng)時，過點C作于G，同理可證是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴，，∴，∴綜上所述，點E的坐標(biāo)為或或【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判斷，一次函數(shù)與幾何綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．3.小聰設(shè)計獎杯，從拋物線形狀上獲得靈感，在平面直角坐標(biāo)系中畫出截面示意圖，如圖1，杯體ACB是拋物線的一部分，拋物線的頂點C在y軸上，杯口直徑，且點A，B關(guān)于y軸對稱，杯腳高，杯高，杯底MN在x軸上．（1）求杯體ACB所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式（不必寫出x的取值范圍）．（2）為使獎杯更加美觀，小敏提出了改進(jìn)方案，如圖2，杯體所在拋物線形狀不變，杯口直徑，杯腳高CO不變，杯深與杯高之比為0.6，求的長．【答案】（1）；（2）【分析】（1）確定B點坐標(biāo)后，設(shè)出拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）利用杯深CD′與杯高OD′之比為0.6，求出OD′，接著利用拋物線解析式求出B'或A'橫坐標(biāo)即可完成求解．【詳解】解：（1）設(shè)，

∵杯口直徑AB=4，杯高DO=8，

∴將，代入，得，．（2），，，，當(dāng)時，，或，，即杯口直徑的長為．【點睛】本題考查了拋物線的應(yīng)用，涉及到待定系數(shù)法求拋物線解析式、求拋物線上的點的坐標(biāo)等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出相等關(guān)系列出等式等．4．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線與軸，軸分別交于點，拋物線的頂點在直線上，與軸的交點為，其中點的坐標(biāo)為．直線與直線相交于點．

(1)如圖2，若拋物線經(jīng)過原點．①求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；②求的值．(2)連接與能否相等？若能，求符合條件的點的橫坐標(biāo)；若不能，試說明理由．【答案】(1)①；②；(2)能，或或或．【分析】（1）①先求頂點的坐標(biāo)，然后待定系數(shù)法求解析式即可求解；②過點作于點．設(shè)直線為，把代入，得，解得，直線為．同理，直線為．聯(lián)立兩直線解析式得出，根據(jù)，由平行線分線段成比例即可求解；（2）設(shè)點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為．①如圖2-1，當(dāng)時，存在．記，則．過點作軸于點，則．在中，，進(jìn)而得出點的橫坐標(biāo)為6．②如圖2-2，當(dāng)時，存在．記．過點作軸于點，則．在中，，得出點的橫坐標(biāo)為．③如圖，當(dāng)時，存在．記．過點作軸于點，則．在中，，得出點的橫坐標(biāo)為．④如圖2-4，當(dāng)時，存在．記．過點作軸于點，則．在中，，得出點的橫坐標(biāo)為．【詳解】（1）解：①∵，∴頂點的橫坐標(biāo)為1．∴當(dāng)時，，∴點的坐標(biāo)是．設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，把代入，得，解得．∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，即．②如圖1，過點作于點．

設(shè)直線為，把代入，得，解得，∴直線為．同理，直線為．由解得∴．∴．∵，∴．（2）設(shè)點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為．①如圖，當(dāng)時，存在．記，則．∵為的外角，∴．∵．∴．∴．∴．過點作軸于點，則．在中，，∴，解得．∴點的橫坐標(biāo)為6．

②如圖2-2，當(dāng)時，存在．記．∵為的外角，∴．∴∴．∴．過點作軸于點，則．在中，，∴，解得．∴點的橫坐標(biāo)為．

③如圖2-3，當(dāng)時，存在．記．

∵，∴．∴．∴．∴．過點作軸于點，則．在中，，∴，解得．∴點的橫坐標(biāo)為．④如圖2-4，當(dāng)時，存在．記．∵，∴．

∴．∴．過點作軸于點，則．在中，，∴，解得．∴點的橫坐標(biāo)為．綜上，點的橫坐標(biāo)為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，解直角三角形，平行線分線段成比例，熟練掌握以上知識，分類討論是解題的關(guān)鍵．5.如圖1，隧道截面由拋物線的一部分AED和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的一邊BC為12米，另一邊AB為2米．以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，規(guī)定一個單位長度代表1米．E（0，8）是拋物線的頂點．(1)求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)在隧道截面內(nèi)（含邊界）修建“”型或“”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所示，點，在x軸上，MN與矩形的一邊平行且相等．柵欄總長l為圖中粗線段，，，MN長度之和．請解決以下問題：（?。┬藿ㄒ粋€“”型柵欄，如圖2，點，在拋物線AED上．設(shè)點的橫坐標(biāo)為，求柵欄總長l與m之間的函數(shù)表達(dá)式和l的最大值；（ⅱ）現(xiàn)修建一個總長為18的柵欄，有如圖3所示的修建“”型或“”型柵型兩種設(shè)計方案，請你從中選擇一種，求出該方案下矩形面積的最大值，及取最大值時點的橫坐標(biāo)的取值范圍（在右側(cè)）．【答案】(1)y＝x2＋8(2)（?。﹍＝m2＋2m＋24，l的最大值為26；（ⅱ）方案一：＋9≤P1橫坐標(biāo)≤；方案二：＋≤P1橫坐標(biāo)≤【分析】（1）通過分析A點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）（ⅰ）結(jié)合矩形性質(zhì)分析得出P2的坐標(biāo)為（m，－m2＋8），然后列出函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析最值；（ⅱ）設(shè)P2P1＝n，分別表示出方案一和方案二的矩形面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析最值，從而利用數(shù)形結(jié)合思想確定取值范圍．(1)由題意可得：A（－6，2），D（6，2），又∵E（0，8）是拋物線的頂點，設(shè)拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax2＋8，將A（－6，2）代入，（－6）2a＋8＝2，解得：a＝，∴拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2＋8；(2)（?。唿cP1的橫坐標(biāo)為m（0＜m≤6），且四邊形P1P2P3P4為矩形，點P2，P3在拋物線AED上，∴P2的坐標(biāo)為（m，m2＋8），∴P1P2＝P3P4＝MN＝m2＋8，P2P3＝2m，∴l(xiāng)＝3（m2＋8）＋2m＝m2＋2m＋24＝（m－2）2＋26，∵＜0，∴當(dāng)m＝2時，l有最大值為26，即柵欄總長l與m之間的函數(shù)表達(dá)式為l＝m2＋2m＋24，l的最大值為26；（ⅱ）方案一：設(shè)P2P1＝n，則P2P3＝18－3n，∴矩形P1P2P3P4面積為（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27，∵－3＜0，∴當(dāng)n＝3時，矩形面積有最大值為27，此時P2P1＝3，P2P3＝9，令x2＋8＝3，解得：x＝，∴此時P1的橫坐標(biāo)的取值范圍為＋9≤P1橫坐標(biāo)≤，方案二：設(shè)P2P1＝n，則P2P3＝9－n，∴矩形P1P2P3P4面積為（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－）2＋，∵－1＜0，∴當(dāng)n＝時，矩形面積有最大值為，此時P2P1＝，P2P3＝，令x2＋8＝，解得：x＝，∴此時P1的橫坐標(biāo)的取值范圍為＋≤P1橫坐標(biāo)≤．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，準(zhǔn)確識圖，確定關(guān)鍵點的坐標(biāo)，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．6．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐問題提出：某興趣小組開展綜合實踐活動：在中，，D為上一點，，動點P以每秒1個單位的速度從C點出發(fā)，在三角形邊上沿勻速運動，到達(dá)點A時停止，以為邊作正方形設(shè)點P的運動時間為，正方形的而積為S，探究S與t的關(guān)系

(1)初步感知：如圖1，當(dāng)點P由點C運動到點B時，①當(dāng)時，_______．②S關(guān)于t的函數(shù)解析式為_______．(2)當(dāng)點P由點B運動到點A時，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于t的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖象請根據(jù)圖象信息，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式及線段的長．(3)延伸探究：若存在3個時刻（）對應(yīng)的正方形的面積均相等．①_______；②當(dāng)時，求正方形的面積．【答案】(1)①3；②；(2)，；(3)①4；②【分析】（1）①先求出，再利用勾股定理求出，最后根據(jù)正方形面積公式求解即可；②仿照（1）①先求出，進(jìn)而求出，則；（2）先由函數(shù)圖象可得當(dāng)點P運動到B點時，，由此求出當(dāng)時，，可設(shè)S關(guān)于t的函數(shù)解析式為，利用待定系數(shù)法求出，進(jìn)而求出當(dāng)時，求得t的值即可得答案；（3）①根據(jù)題意可得可知函數(shù)可以看作是由函數(shù)向右平移四個單位得到的，設(shè)是函數(shù)上的兩點，則，是函數(shù)上的兩點，由此可得，則，根據(jù)題意可以看作，則；②由（3）①可得，再由，得到，繼而得答案．【詳解】（1）解：∵動點P以每秒1個單位的速度從C點出發(fā)，在三角形邊上沿勻速運動，∴當(dāng)時，點P在上，且，∵，，∴，∴，故答案為：3；②∵動點P以每秒1個單位的速度從C點出發(fā)，在勻速運動，∴，∵，，∴，∴；（2）解：由圖2可知當(dāng)點P運動到B點時，，∴，解得，∴當(dāng)時，，由圖2可知，對應(yīng)的二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為，∴可設(shè)S關(guān)于t的函數(shù)解析式為，把代入中得：，解得，∴S關(guān)于t的函數(shù)解析式為，在中，當(dāng)時，解得或，∴；（3）解：①∵點P在上運動時，，點P在上運動時，∴可知函數(shù)可以看作是由函數(shù)向右平移四個單位得到的，設(shè)是函數(shù)上的兩點，則，是函數(shù)上的兩點，∴，∴，∵存在3個時刻（）對應(yīng)的正方形的面積均相等．∴可以看作，∴，故答案為：4；②由（3）①可得，∵，∴，∴，∴．

.【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與圖形運動問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理等等，正確理解題意利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．7.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過點A（－1，0）和點B（0，3），頂點為C，點D在其對稱軸上，且位于點C下方，將線段DC繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點C落在拋物線上的點P處．(1)求拋物線的解析式；(2)求點P的坐標(biāo)；(3)將拋物線平移，使其頂點落在原點O，這時點P落在點E的位置，在y軸上是否存在點M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）根據(jù)點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得；（2）先求出拋物線的對稱軸，再設(shè)點的坐標(biāo)為，則，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，從而可得，將點代入拋物線的解析式求出的值，由此即可得；（3）先根據(jù)點坐標(biāo)的平移規(guī)律求出點，作點關(guān)于軸的對稱點，連接，從而可得與軸的交點即為所求的點，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，由此即可得出答案．(1)解：將點代入得：，解得，則拋物線的解析式為．(2)解：拋物線的對稱軸為直線，其頂點的坐標(biāo)為，設(shè)點的坐標(biāo)為，則，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，即，將點代入得：，解得或（舍去），當(dāng)時，，所以點的坐標(biāo)為．(3)解：拋物線的頂點的坐標(biāo)為，則將其先向左平移1個單位長度，再向下平移4個單位長度恰好落在原點，這時點落在點的位置，且，，即，恰好在對稱軸直線上，如圖，作點關(guān)于軸的對稱點，連接，則，由兩點之間線段最短可知，與軸的交點即為所求的點，此時的值最小，即的值最小，由軸對稱的性質(zhì)得：，設(shè)直線的解析式為，將點代入得：，解得，則直線的解析式為，當(dāng)時，，故在軸上存在點，使得的值最小，此時點的坐標(biāo)為．【點睛】本題考查了求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、點坐標(biāo)的平移規(guī)律等知識點，熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點，與直線交于點，點在軸上．點從點出發(fā)，沿線段方向勻速運動，運動到點時停止．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)時，請在圖1中過點作交拋物線于點，連接，，判斷四邊形的形狀，并說明理由．(3)如圖2，點從點開始運動時，點從點同時出發(fā)，以與點相同的速度沿軸正方向勻速運動，點停止運動時點也停止運動．連接，，求的最小值．【答案】(1)；(2)四邊形是平行四邊形，理由見解析；(3)【分析】（1）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；（2）作交拋物線于點，垂足為，連接，，由點在上，可知，，連接，得出，則，當(dāng)時，，進(jìn)而得出，然后證明，即可得出結(jié)論；（3）由題意得，，連接．在上方作，使得，，證明，根據(jù)得出的最小值為，利用勾股定理求得，即可得解．【詳解】（1）解：∵拋物線過點，∴，∴，∴；（2）四邊形是平行四邊形．理由：如圖1，作交拋物線于點，垂足為，連接，．∵點在上，∴，，連接，∵，∴，∵，∴，∴，當(dāng)時，，∴，∵，∴，∴，∵軸，軸，∴，∴四邊形是平行四邊形；（3）如圖2，由題意得，，連接．在上方作，使得，，∵，，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴（當(dāng)，，三點共線時最短），∴的最小值為，∵，∴，即的最小值為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于點A、B（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點C，連接．(1)求線段AC的長；(2)若點Р為該拋物線對稱軸上的一個動點，當(dāng)時，求點P的坐標(biāo)；(3)若點M為該拋物線上的一個動點，當(dāng)為直角三角形時，求點M的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或或或【分析】（1）根據(jù)解析式求出A，B，C的坐標(biāo)，然后用勾股定理求得AC的長；（2）求出對稱軸為x=1，設(shè)P（1，t），用t表示出PA2和PC2的長度，列出等式求解即可；（3）設(shè)點M（m,m2-2m-3），分情況討論，當(dāng)，，分別列出等式求解即可．(1)與x軸交點：令y=0，解得，即A（-1，0），B（3，0），與y軸交點：令x=0，解得y=-3，即C（0，-3），∴AO=1,CO=3,∴;(2)拋物線的對稱軸為：x=1，設(shè)P（1，t），∴，，∴∴t=-1，∴P（1，-1）；(3)設(shè)點M（m,m2-2m-3），，，,①當(dāng)時，，解得，（舍），，∴M（1，-4）；②當(dāng)時，，解得，，（舍），∴M（-2，5）；③當(dāng)時，，解得，，∴M或；綜上所述：滿足條件的M為或或或．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了與坐標(biāo)軸交點、線段求值、存在直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會分類討論的思想，屬于中考壓軸題．10．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）已知是拋物（b為常數(shù)）上的兩點，當(dāng)時，總有(1)求b的值；(2)將拋物線平移后得到拋物線．探究下列問題：①若拋物線與拋物線有一個交點，求m的取值范圍；②設(shè)拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，拋物線的頂點為點E，外接圓的圓心為點F，如果對拋物線上的任意一點P，在拋物線上總存在一點Q，使得點P、Q的縱坐標(biāo)相等．求長的取值范圍．【答案】(1)0；(2)①②【分析】（1）根據(jù)，且時，總有，變形后即可得到結(jié)論；（2）按照臨界情形，畫出圖象分情況討論求解即可．【詳解】（1）解：由題可知：

時，總有，．則，∴，∴總成立，且，；（2）①注意到拋物線最大值和開口大小不變，m只影響圖象左右平移下面考慮滿足題意的兩種臨界情形：（i）當(dāng)拋物線過點時，如圖所示，

此時，，解得或（舍）．

（ii）當(dāng)拋物線過點時，如圖所示，

此時，，解得或（舍），綜上，，②同①考慮滿足題意的兩種臨界情形：（i）當(dāng)拋物線過點時，如圖所示，

此時，，解得或（舍）．

（ii）當(dāng)拋物線過點時，如圖所示，

此時，，解得或0（舍）．

綜上，如圖，由圓的性質(zhì)可知，點E、F在線段的垂直平分線上．

令，解得，，，，設(shè)，，，，，，即，．，即，，【點睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、垂徑定理、解一元二次方程等知識，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵．11.如圖，已知拋物線經(jīng)過點．（1）求的值；（2）連結(jié)，交拋物線L的對稱軸于點M．①求點M的坐標(biāo)；②將拋物線L向左平移個單位得到拋物線．過點M作軸，交拋物線于點N．P是拋物線上一點，橫坐標(biāo)為，過點P作軸，交拋物線L于點E，點E在拋物線L對稱軸的右側(cè)．若，求m的值．【答案】（1）；（2）①；②1或．【分析】（1）直接運用待定系數(shù)法求解即可；（2）①求出直線AB的解析式，拋物線的對稱軸方程，代入求解即可；②根據(jù)拋物線的平移方式求出拋物線的表達(dá)式，再分三種情況進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）把點的坐標(biāo)分別代入，得．解得的值分別為．（2）①設(shè)所在直線的函數(shù)表達(dá)式為，把的坐標(biāo)分別代入表達(dá)式，得解得所在直線的函數(shù)表達(dá)式為．由（1）得，拋物線L的對稱軸是直線，當(dāng)時，．∴點M的坐標(biāo)是．②設(shè)拋物線的表達(dá)式是，軸，點N的坐標(biāo)是．∵點P的橫坐標(biāo)為∴點P的坐標(biāo)是，設(shè)交拋物線于另一點Q，∵拋物線的對稱軸是直線軸，∴根據(jù)拋物線的軸對稱性，點Q的坐標(biāo)是．（i）如圖1，當(dāng)點N在點M下方，即時，，，由平移性質(zhì)得，∴∴，解得（舍去），．（ii）圖2，當(dāng)點N在點M上方，點Q在點P右側(cè)，即時，，，解得（舍去），（舍去）．（ⅲ）如圖3，當(dāng)點N在點M上方，點Q在點P左側(cè)，即時，，，解得（舍去），．綜上所述，m的值是1或．【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、拋物線的平移規(guī)律和一元二次方程等知識點，數(shù)形結(jié)合、熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過兩點，并交x軸于另一點B，點M是拋物線的頂點，直線AM與軸交于點D．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)若點H是x軸上一動點，分別連接MH，DH，求的最小值；(3)若點P是拋物線上一動點，問在對稱軸上是否存在點Q，使得以D，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，或或【分析】（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）作點關(guān)于軸的對稱點，連接，與軸的交點即為點，進(jìn)而得到的最小值為的長，利用兩點間距離公式進(jìn)行求解即可；（3）分，，分別為對角線，三種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過兩點，∴，解得：，∴；（2）∵，∴，設(shè)直線，則：，解得：，∴，當(dāng)時，，∴；作點關(guān)于軸的對稱點，連接，則：，，∴當(dāng)三點共線時，有最小值為的長，

∵，，∴，即：的最小值為：；（3）解：存在；∵，∴對稱軸為直線，設(shè)，，當(dāng)以D，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形時：①為對角線時：，

∴，當(dāng)時，，∴，∴；②當(dāng)為對角線時：，

∴，當(dāng)時，，∴，∴；③當(dāng)為對角線時：，

∴，當(dāng)時，，∴，∴；綜上：當(dāng)以D，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，或或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，是中考常見的壓軸題．正確的求出函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為正方形，點，在軸上，拋物線經(jīng)過點，兩點，且與直線交于另一點．（1）求拋物線的解析式；（2）為拋物線對稱軸上一點，為平面直角坐標(biāo)系中的一點，是否存在以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形．若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）為軸上一點，過點作拋物線對稱軸的垂線，垂足為，連接，．探究是否存在最小值．若存在，請求出這個最小值及點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形，點的坐標(biāo)為或或或；（3）存在最小值，最小值為，此時點M的坐標(biāo)為．【分析】（1）由題意易得，進(jìn)而可得，則有，然后把點B、D代入求解即可；（2）設(shè)點，當(dāng)以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形時，則根據(jù)菱形的性質(zhì)可分①當(dāng)時，②當(dāng)時，然后根據(jù)兩點距離公式可進(jìn)行分類求解即可；（3）由題意可得如圖所示的圖象，連接OM、DM，由題意易得DM=EM，四邊形BOMP是平行四邊形，進(jìn)而可得OM=BP，則有，若使的值為最小，即為最小，則有當(dāng)點D、M、O三點共線時，的值為最小，然后問題可求解．【詳解】解：（1）∵四邊形為正方形，，∴，，∴，∴OB=1，∴，把點B、D坐標(biāo)代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）由（1）可得，拋物線解析式為，則有拋物線的對稱軸為直線，∵點D與點E關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，∴，∴由兩點距離公式可得，設(shè)點，當(dāng)以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形時，則根據(jù)菱形的性質(zhì)可分：①當(dāng)時，如圖所示：∴由兩點距離公式可得，即，解得：，∴點F的坐標(biāo)為或；②當(dāng)時，如圖所示：∴由兩點距離公式可得，即，解得：，∴點F的坐標(biāo)為或；綜上所述：當(dāng)以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形，點的坐標(biāo)為或或或；（3）由題意可得如圖所示：連接OM、DM，由（2）可知點D與點E關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，，∴，DM=EM，∵過點作拋物線對稱軸的垂線，垂足為，∴，∴四邊形BOMP是平行四邊形，∴OM=BP，∴，若使的值為最小，即為最小，∴當(dāng)點D、M、O三點共線時，的值為最小，此時OD與拋物線對稱軸的交點為M，如圖所示：∵，∴，∴的最小值為，即的最小值為，設(shè)線段OD的解析式為，代入點D的坐標(biāo)得：，∴線段OD的解析式為，∴．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合、菱形的性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的綜合、菱形的性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點．與y軸交于點．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點P是直線下方拋物線上的一動點，過點P作x軸的平行線交于點K，過點P作y軸的平行線交x軸于點D，求與的最大值及此時點P的坐標(biāo)；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求出點M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)存在，的最大值為，；(3)或【分析】（1）將、、代入拋物線解析式求解即可；（2）可求直線的解析式為，設(shè)（），可求，從而可求，即可求解；（3）過作交拋物線的對稱軸于，過作交拋物線的對稱軸于，連接，設(shè)，可求，，由，可求，進(jìn)而求出直線的解析式，即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，解得：，拋物線的解析式為．（2）解：設(shè)直線的解析式為，則有，解得：，直線的解析式為；設(shè)（），，解得：，，，，，，，當(dāng)時，的最大值為，，．故的最大值為，．（3）解：存在，如圖，過作交拋物線的對稱軸于，過作交拋物線的對稱軸于，連接，∵拋物線的對稱軸為直線，設(shè)，，，，，，解得：，；設(shè)直線的解析式為，則有，解得，直線解析式為，，且經(jīng)過，直線解析式為，當(dāng)時，，

；綜上所述：存在，的坐標(biāo)為或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)中動點最值問題，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出動點坐標(biāo)滿足的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．15.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，下表給出了這條拋物線上部分點的坐標(biāo)值：x…0123…y…03430…（1）求出這條拋物線的解析式及頂點M的坐標(biāo)；（2）是拋物線對稱軸上長為1的一條動線段（點P在點Q上方），求的最小值；（3）如圖2，點D是第四象限內(nèi)拋物線上一動點，過點D作軸，垂足為F，的外接圓與相交于點E．試問：線段的長是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．【答案】（1）；；（2）；（3）是，1．【分析】（1）依據(jù)表格數(shù)據(jù)，設(shè)出拋物線的頂點式，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）利用平移和找對稱點的方式，將的長轉(zhuǎn)化為，再利用兩點之間線段最短確定的最小值等于CE的長，加1后即能確定的最小值；（3）設(shè)出圓心和D點的坐標(biāo)，接著表示出E點的坐標(biāo)，利用圓心到B點的距離等于圓心到D點的距離，求出q和e的關(guān)系，得到E點的縱坐標(biāo)，進(jìn)而確定EF的長為定值．【詳解】解：（1）由表格數(shù)據(jù)可知，頂點坐標(biāo)為（1,4）設(shè)拋物線解析式為：，將點（0,3）代入解析式得：3=a+4，∴，∴拋物線解析式為：，頂點坐標(biāo)．（2）由表格可知，拋物線經(jīng)過點A（-1,0），C（0,3），如圖3，將A點向上平移一個單位，得到，則∴四邊形是平行四邊形，∴，作關(guān)于MQ的對稱點E，則∴，∴，當(dāng)P、E、C三點共線時，最短，設(shè)直線CE的解析式為：，將C、E兩點坐標(biāo)代入解析式可得：，∴，∴直線CE的解析式為：，令，則，∴當(dāng)時，P、E、C三點共線，此時最短，∴的最小值為．（3）是；理由：設(shè)，因為A、B兩點關(guān)于直線x=1對稱，所以圓心位于該直線上，所以可設(shè)的外接圓的圓心為，作，垂足為點N，則，由軸，∴，∵，且由表格數(shù)據(jù)可知∴，化簡得：，∵點D是第四象限內(nèi)拋物線上一動點，且拋物線解析式為，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即的長不變，為1．【點睛】本題涉及到了動點問題，綜合考查了用待定系數(shù)法求拋物線解析式、點的平移、勾股定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、最短路徑問題、圓的性質(zhì)等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是理解并掌握相關(guān)概念與公式，能將題干信息與圖形相結(jié)合，挖掘圖中隱含信息，本題有一定的計算量，對學(xué)生的綜合分析與計算能力都有較高的要求，本題蘊含了數(shù)形結(jié)合的思想方法等．16．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點，點P為第一象限拋物線上的點，連接．

(1)直接寫出結(jié)果；_____，_____，點A的坐標(biāo)為_____，______；(2)如圖1，當(dāng)時，求點P的坐標(biāo)；(3)如圖2，點D在y軸負(fù)半軸上，，點Q為拋物線上一點，，點E，F(xiàn)分別為的邊上的動點，，記的最小值為m．①求m的值；②設(shè)的面積為S，若，請直接寫出k的取值范圍．【答案】(1)，2，，；(2)；(3)，【分析】（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求得、，從而可得，，由，可得，求得，在中，根據(jù)正切的定義求值即可；（2）過點C作軸，交于點D，過點P作軸，交y軸于點E，由，即，再由，可得，證明，可得，設(shè)點P坐標(biāo)為，可得，再進(jìn)行求解即可；（3）①作，且使，連接．根據(jù)證明，可得，即Q，F(xiàn)，H共線時，的值最?。饔邳cG，設(shè)，則，根據(jù)求出點Q的坐標(biāo)，燃然后利用勾股定理求解即可；②作軸，交于點T，求出解析式，設(shè)，，利用三角形面積公式表示出S，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出S的取值范圍，結(jié)合①中結(jié)論即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點，，∴，解得：，∴拋物線解析式為：，∵拋物線與x軸交于A、兩點，∴時，，解得：，，∴，∴，，在中，，故答案為：，2，，；（2）解：過點C作軸，交于點D，過點P作軸，交y軸于點E，∵，，，∴，由（1）可得，，即，∴，∵，∴，∵軸，軸，∴，，∴，又∵，∴，∴，設(shè)點P坐標(biāo)為，則，，∴，解得：（舍），，∴點P坐標(biāo)為．

（3）解：①如圖2，作，且使，連接．∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴Q，F(xiàn)，H共線時，的值最小．作于點G，∵，，∴，∵，∴，∴．設(shè)，則，∴，解得或（舍去），∴，∴，∴，，∴；

②如圖3，作軸，交于點T，待定系數(shù)法可求解析式為，設(shè)，，則，∴，∴，∴，∴．

【點睛】本題考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何綜合、二次函數(shù)與x軸的交點、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程、銳角三角函數(shù)、最值問題、二次函數(shù)最值、用分割法求三角形面積，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．17.已知拋物線與x軸相交于，兩點，與y軸交于點C，點是x軸上的動點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，若，過點N作x軸的垂線交拋物線于點P，交直線于點G．過點P作于點D，當(dāng)n為何值時，；（3）如圖2，將直線繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使它恰好經(jīng)過線段的中點，然后將它向上平移個單位長度，得到直線．①______；②當(dāng)點N關(guān)于直線的對稱點落在拋物線上時，求點N的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）；（3）①；②或．【分析】（1）根據(jù)點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得；（2）先根據(jù)拋物線的解析式可得點的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可得直線的解析式，從而可得點的坐標(biāo)，然后分別求出的長，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，由此建立方程求解即可得；（3）①先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再根據(jù)平移的性質(zhì)可得直線的解析式，從而可得點的坐標(biāo)，然后根據(jù)正切三角函數(shù)的定義即可得；②先求出直線的解析式，再與直線的解析式聯(lián)立求出它們的交點坐標(biāo)，從而可得點的坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式求解即可得．【詳解】解：（1）將點，代入得：，解得，則拋物線的解析式為；（2）由題意得：點的坐標(biāo)為，對于二次函數(shù)，當(dāng)時，，即，設(shè)直線的解析式為，將點，代入得：，解得，則直線的解析式為，，，，，，即，解得或（與不符，舍去），故當(dāng)時，；（3）①如圖，設(shè)線段的中點為點，過點作軸的垂線，交直線于點，則點的坐標(biāo)為，點的橫坐標(biāo)為3，設(shè)直線的解析式為，將點，代入得：，解得，則直線的解析式為，由平移的性質(zhì)得：直線的解析式為，當(dāng)時，，即，，，故答案為：；②由題意得：，則設(shè)直線的解析式為，將點代入得：，解得，則直線的解析式為，聯(lián)立，解得，即直線與直線的交點坐標(biāo)為，設(shè)點的坐標(biāo)為，則，解得，即，將點代入得：，整理得：，解得或，則點的坐標(biāo)為或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合、全等三角形的性質(zhì)、正切三角函數(shù)等知識點，熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．18．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點，其對稱軸為．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，點D是線段上的一動點，連接，將沿直線翻折，得到，當(dāng)點恰好落在拋物線的對稱軸上時，求點D的坐標(biāo)；(3)如圖2，動點P在直線上方的拋物線上，過點P作直線的垂線，分別交直線，線段于點E，F(xiàn)，過點F作軸，垂足為G，求的最大值．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）由題易得c的值，再根據(jù)對稱軸求出b的值，即可解答；（2）過作x軸的垂線，垂足為H求出A和B的坐標(biāo)，得到，，由，推出，解直角三角形得到的長，即可解答；（3）求得所在直線的解析式為，設(shè)，設(shè)所在直線的解析式為：，得，令，解得，分別表示出和，再對進(jìn)行化簡計算，配方成頂點式即可求解．【詳解】（1）解：拋物線與y軸交于點，∴，∵對稱軸為，∴，，∴拋物線的解析式為；（2）如圖，過作x軸的垂線，垂足為H，

令，解得：，∴，，∴，由翻折可得，∵對稱軸為，∴，∵，∴，∴，在中，，∴；（3）設(shè)所在直線的解析式為，把B、C坐標(biāo)代入得：，解得，∴，∵，∴，∵，∴直線與x軸所成夾角為，設(shè)，設(shè)所在直線的解析式為：，把點P代入得，∴，令，則，解得，∴∴∵點P在直線上方，∴，∴當(dāng)時，的最大值為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與兩坐標(biāo)軸分別相交于A，B，C三點（1）求證：∠ACB=90°（2）點D是第一象限內(nèi)該拋物線上的動點，過點D作x軸的垂線交BC于點E，交x軸于點F．①求DE+BF的最大值；②點G是AC的中點，若以點C，D，E為頂點的三角形與AOG相似，求點D的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）①9；②或．【分析】（1）分別計算A，B，C三點的坐標(biāo)，再利用勾股定理求得AB、BC、AC的長，最后利用勾股定理逆定理解題；（2）①先解出直線BC的解析式，設(shè)，接著解出，利用二次函數(shù)的配方法求最值；②根據(jù)直角三角形斜邊的中線性質(zhì)，解得AG的長，再證明，再分兩種情況討論以點C，D，E為頂點的三角形與AOG相似，結(jié)合相似三角形對應(yīng)邊成比例性質(zhì)解題即可．【詳解】解：（1）令x=0，得令得，（2）①設(shè)直線BC的解析式為：，代入，得設(shè)即DE+BF的最大值為9；②點G是AC的中點，在中，即為等腰三角形，若以點C，D，E為頂點的三角形與AOG相似，則①又，或經(jīng)檢驗：不符合題意，舍去，②，又整理得，，或，同理：不合題意，舍去，綜上所述，或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、二次函數(shù)的最值、解一元二次方程等知識，是重要考點，有難度，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．20.如圖，拋物線（其中）與x軸交于A、B兩點，交y軸于點C．（1）直接寫出的度數(shù)和線段AB的長（用a表示）；（2）若點D為的外心，且與的周長之比為，求此拋物線的解析式；（3）在（2）的前提下，試探究拋物線上是否存在一點P，使得？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）∠OCA=45°，AB=a+1；（2）；（3）存在，P1（，），P2（1，-2）．【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)解析式可得A（a，0），C（0，-a），B（-1，0），即可得出OA=OB=a，OB=1，即可證明△OCA是等腰直角三角形，可得∠OCA=45°，根據(jù)線段的和差關(guān)系可表示AB的長；（2）如圖，作△ABC的外接圓⊙D，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC=，利用兩點間距離公式可用a表示出BC的長，根據(jù)圓周角定理可得∠D=2∠OAC=90°，可得△DBC是等腰直角三角形，即可證明△DBC∽△OCA，根據(jù)相似三角形周長之比等于相似比列方程求出a值即可得答案；（3）如圖，過點D作DH⊥AB于H，過點C作AC的垂線，交x軸于F，過點O作OG⊥AC于G，連接AP交CF于E，可得△OCF是等腰直角三角形，利用待定系數(shù)法可得直線CF的解析式，根據(jù)外心的定義及等腰直角三角形的性質(zhì)可求出點D坐標(biāo)，即可得出BH、DH的長，根據(jù)，∠BHD=∠ACE=90°可證明△BHD∽△ACE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出CE的長，根據(jù)兩點間距離公式可得點E坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可得直線AE解析式，聯(lián)立直線AE與拋物線的解析式求出點P坐標(biāo)即可得答案．【詳解】（1）∵拋物線（其中）與x軸交于A、B兩點，交y軸于點C．∴當(dāng)x=0時，y=-a，當(dāng)y=0時，，解得：，，∴A（a，0），C（0，-a），B（-1，0），∴OB=1，OA=OC=a，∴△OCA是等腰直角三角形，∴∠OCA=45°，AB=OA+OB=a+1．（2）如圖，作△ABC的外接圓⊙D，∵點D為的外心，∴DB=DC，∵△OCA是等腰直角三角形，OA=a，∴∠OAC=45°，AC=，∵∠BDC和∠BAC是所對的圓心角和圓周角，∴∠BDC=2∠BAC=90°，∴∠DBC=45°，∴∠DBC=∠OAC，∴△DBC∽△OCA，∵與的周長之比為，∴，即，解得：，經(jīng)檢驗：是原方程的根，∵,∴a=2，∴拋物線解析式為：=．（3）如圖，過點D作DH⊥AB于H，過點C作AC的垂線，交x軸于F，過點O作OG⊥AC于G，連接AP交CF于E，∵a=2，∴C（0，-2），A（2，0），AC=，∵∠OCA=45°，∴∠OCF=45°，∴△OCF是等腰直角三角形，∴F（-2，0），設(shè)直線CF的解析式為y=kx+b，∴，解得：，∴直線CF的解析式為，∵△OCA是等腰直角三角形，OG⊥AC，∴OG所在直線為AC的垂直平分線，點G為AC中點，∵點D為的外心，∴點D在直線OG上，∵A（2，0），C（0，-2），∴G（1，-1），設(shè)直線OG的解析式y(tǒng)=mx，∴m=-1，∴直線OG的解析式y(tǒng)=-x，∵點D為△ABC的外心，∴點D在AB的垂直平分線上，∴點D的橫坐標(biāo)為=，把x=代入y=-x得y=-，∴D（，-），∴DH=，BH=1+=，∵，∠BHD=∠ACE=90°，∴△BHD∽△ACE，∴，即，解得：，∵點E在直線CF上，∴設(shè)點E坐標(biāo)為（n，-n-2），∴CE==，解得：，∴（，），（，），設(shè)直線AE1的解析式為y=k1x+b1，∴，解得：，∴直線AE1的解析式為，同理：直線AE2的解析式為，聯(lián)立直線AE1解析式與拋物線解析式得，解得：，（與點A重合，舍去），∴P1（，），聯(lián)立直線AE2解析式與拋物線解析式得，解得：，（與點A重合，舍去），∴P2（1，-2）．綜上所述：存在點P，使得，點P坐標(biāo)為P1（，），P2（1，-2）．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題關(guān)鍵21.如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+x的圖象過O（0，0）、A（1，0）、B（32，3（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）若線段OB的垂直平分線與y軸交于點C，與二次函數(shù)的圖象在x軸上方的部分相交于點D，求直線CD的解析式；（3）在直線CD下方的二次函數(shù)的圖象上有一動點P，過點P作PQ⊥x軸，交直線CD于Q，當(dāng)線段PQ的長最大時，求點P的坐標(biāo)．【分析】（1）將點O、A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；（2）由點B的坐標(biāo)知，直線BO的傾斜角為30°，則OB中垂線（CD）與x負(fù)半軸的夾角為60°，故設(shè)CD的表達(dá)式為：y=?3x+b，而OB中點的坐標(biāo)為（34，（3）過點P作y軸額平行線交CD于點H，PH=?3x+3?（233x2?233【解析】（1）將點O、A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得c=0a+b+c=032故拋物線的表達(dá)式為：y=233x（2）由點B的坐標(biāo)知，直線BO的傾斜角為30°，則OB中垂線（CD）與x負(fù)半軸的夾角為60°，故設(shè)CD的表達(dá)式為：y=?3x+b，而OB中點的坐標(biāo)為（34，將該點坐標(biāo)代入CD表達(dá)式并解得：b=3故直線CD的表達(dá)式為：y=?3x+（3）設(shè)點P（x，233x2?233則PQ=?3x+3?（233x2?233∵?233＜0，故PQ有最大值，此時點P的坐標(biāo)為（22.如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，AC，BC．M為線段OB上的一個動點，過點M作PM⊥x軸，交拋物線于點P，交BC于點Q．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）過點P作PN⊥BC，垂足為點N．設(shè)M點的坐標(biāo)為M（m，0），請用含m的代數(shù)式表示線段PN的長，并求出當(dāng)m為何值時PN有最大值，最大值是多少？（3）試探究點M在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）將點A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；（2）PN＝PQsin45°=22（?13m2+43（3）分AC＝CQ、AC＝AQ、CQ＝AQ三種情況，分別求解即可．【解析】（1）將點A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得9a?3b+4=016a+4b+4=0，解得a=?故拋物線的表達(dá)式為：y=?13x2（2）由拋物線的表達(dá)式知，點C（0，4），由點B、C的坐標(biāo)得，直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x+4；設(shè)點M（m，0），則點P（m，?13m2∴PQ=?13m2+13m+4+m﹣4=?∵OB＝OC，故∠ABC＝∠OCB＝45°，∴∠PQN＝∠BQM＝45°，∴PN＝PQsin45°=22（?13m2+43∵?26＜（3）存在，理由：點A、C的坐標(biāo)分別為（﹣3，0）、（0，4），則AC＝5，①當(dāng)AC＝CQ時，過點Q作QE⊥y軸于點E，則CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣（﹣m+4）]2＝25，解得：m＝±52故點Q（522，②當(dāng)AC＝AQ時，則AQ＝AC＝5，在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2＝25，解得：m＝1或0（舍去0），故點Q（1，3）；③當(dāng)CQ＝AQ時，則2m2＝[m＝（﹣3）]2+（﹣m+4）2，解得：m=25綜上，點Q的坐標(biāo)為（1，3）或（522，23.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=?12x+5與x軸、y軸分別交于點A、B（如圖）．拋物線y＝ax（1）求線段AB的長；（2）如果拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過線段AB上的另一點C，且BC=5（3）如果拋物線y＝ax2+bx的頂點D位于△AOB內(nèi)，求a的取值范圍．【分析】（1）先求出A，B坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)點C（m，?12m+5），則BC（3）將點A坐標(biāo)代入拋物線解析式中得出b＝﹣10a，代入拋物線解析式中得出頂點D坐標(biāo)為（5，﹣25a），即可得出結(jié)論．【解析】（1）針對于直線y=?1令x＝0，y＝5，∴B（0，5），令y＝0，則?1∴x＝10，∴A（10，0），∴AB=52+1（2）設(shè)點C（m，?1∵B（0，5），∴BC=m∵BC=5∴52|m|=∴m＝±2，∵點C在線段AB上，∴m＝2，∴C（2，4），將點A（10，0），C（2，4）代入拋物線y＝ax2+bx（a≠0）中，得100a+10b=04a+2b=4∴a=?1∴拋物線y=?14x2（3）∵點A（10，0）在拋物線y＝ax2+bx中，得100a+10b＝0，∴b＝﹣10a，∴拋物線的解析式為y＝ax2﹣10ax＝a（x﹣5）2﹣25a，∴拋物線的頂點D坐標(biāo)為（5，﹣25a），將x＝5代入y=?12x+5中，得y=?1∵頂點D位于△AOB內(nèi)，∴0＜﹣25a＜5∴?124，若一次函數(shù)y＝﹣3x﹣3的圖象與x軸，y軸分別交于A，C兩點，點B的坐標(biāo)為（3，0），二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過A，B，C三點，如圖（1）．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖（1），過點C作CD∥x軸交拋物線于點D，點E在拋物線上（y軸左側(cè)），若BC恰好平分∠DBE．求直線BE的表達(dá)式；（3）如圖（2），若點P在拋物線上（點P在y軸右側(cè)），連接AP交BC于點F，連接BP，S△BFP＝mS△BAF．①當(dāng)m=1②求m的最大值．【分析】（1）函數(shù)y＝﹣3x﹣3的圖象與x軸，y軸分別交于A，C兩點，則點A、C的坐標(biāo)分別為（﹣1，0）、（0，﹣3），將點A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；（2）證明△BCD≌△BCM（AAS），則CM＝CD＝2，故OM＝3﹣2＝1，故點M（0，﹣1），即可求解；（3）過點P作PN∥x軸交BC于點N，則△PFN∽△AFB，則AFPF=ABPN，而S△BFP＝mS△BAF，則【解析】（1）一次函數(shù)y＝﹣3x﹣3的圖象與x軸，y軸分別交于A，C兩點，則點A、C的坐標(biāo)分別為（﹣1，0）、（0，﹣3），將點A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得0=a?b+c0=9a+3b+cc=?3，解得故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3；（2）設(shè)直線BE交y軸于點M，從拋物線表達(dá)式知，拋物線的對稱軸為x＝2，∵CD∥x軸交拋物線于點D，故點D（2，﹣3），由點B、C的坐標(biāo)知，直線BC與AB的夾角為45°，即∠MCB＝∠DCD＝45°，∵BC恰好平分∠DBE，故∠MBC＝∠DBC，而BC＝BC，故△BCD≌△BCM（AAS），∴CM＝CD＝2，故OM＝3﹣2＝1，故點M（0，﹣1），設(shè)直線BE的表達(dá)式為：y＝kx+b，則b=?13k+b=0，解得k=故直線BE的表達(dá)式為：y=1（3）過點P作PN∥x軸交BC于點N，則△PFN∽△AFB，則AFPF而S△BFP＝mS△BAF，則AFPF=1①當(dāng)m=1設(shè)點P（t，t2﹣2t﹣3），由點B、C的坐標(biāo)知，直線BC的表達(dá)式為：y＝x﹣3，當(dāng)x＝t﹣2時，y＝t﹣5，故點N（t﹣2，t﹣5），故t﹣5＝t2﹣2t﹣3，解得：t＝1或2，故點P（2，﹣3）或（1，﹣4）；②m=14PN=14[t﹣（t2﹣2t）]=?14∵?14＜25.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點A（﹣3，0）、B（1，0），交y軸于點N，點M為拋物線的頂點，對稱軸與x軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，連接AM，點E是線段AM上方拋物線上一動點，EF⊥AM于點F，過點E作EH⊥x軸于點H，交AM于點D．點P是y軸上一動點，當(dāng)EF取最大值時：①求PD+PC的最小值；②如圖2，Q點為y軸上一動點，請直接寫出DQ+1【分析】（1）拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝3，即可求解；（2）①點C（﹣1，0）關(guān)于y軸的對稱點為點B（1，0），連接BD交y軸于點P，則點P為所求點，PD+PC＝PD+PB＝DB為最小，即可求解；②過點O作直線OK，使sin∠NOK=14，過點D作DK⊥OK于點K，交y軸于點Q，則點Q為所求點，則DQ【解析】（1）拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）由拋物線的表達(dá)式得，點M（﹣1，4），點N（0，3），則tan∠MAC=MC則設(shè)直線AM的表達(dá)式為：y＝2x+b，將點A的坐標(biāo)代入上式并解得：b＝6，故直線AM的表達(dá)式為：y＝2x+6，∵∠EFD＝∠DHA＝90°，∠EDF＝∠ADH，∴∠MAC＝∠DEF，則tan∠DEF＝2，則cos∠DEF=5設(shè)點E（x，﹣x2﹣2x+3），則點D（x，2x+6），則FE