湖南省岳陽(yáng)市岳陽(yáng)縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題含答案

湖南省岳陽(yáng)市岳陽(yáng)縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題含答案2024年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)月考試題一、單選題（每題5分，共40分）1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.2.若，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.3.“”是“直線與圓相切”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件4已知向量，滿足，，，則（）A.2 B. C.4 D.165.已知，都是銳角，，，則（）A. B. C. D.6.有一袋子中裝有大小、質(zhì)地相同的白球k個(gè)，黑球.甲、乙兩人約定一種游戲規(guī)則如下：第一局中兩人輪流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局獲勝但從第二局起，上一局的負(fù)者先摸球.若第一局中甲先摸球，記第局甲獲勝的概率為，則關(guān)于以下兩個(gè)命題判斷正確的是（）①，且；②若第七局甲獲勝概率不小于0.9，則不小于1992.A.①②都是真命題 B.①是真命題，②是假命題C.①是假命題，②是真命題 D.①②都是假命題7.已知，函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A. B.C. D.8.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.466 B.467 C.932 D.933二、多選題（每題5分，共20分）9.下列關(guān)于平面向量的說(shuō)法中正確的是（）A.不共線，且，則.B.若向量，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是C.已知，則在上的投影的坐標(biāo)為D.已知點(diǎn)為的垂心，則10.如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，為上一點(diǎn)，，分別在直線上，，則：（）.A.B.C.若平面且到距離相等，則直線與的夾角正弦值為D.的最小值為11.如圖，函數(shù)的部分圖象，則（）A.B.將圖象向右平移后得到函數(shù)的圖象C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.在區(qū)間上的最大值與最小值之差的取值范圍為12.如圖，圓錐的底面直徑和母線長(zhǎng)均為6，其軸截面為，為底面半圓弧上一點(diǎn)，且，，，則（）A.當(dāng)時(shí)，直線與所成角的余弦值為B.當(dāng)時(shí)，四面體的體積為C.當(dāng)且面時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，三、填空題（每題5分，共20分）13.已知函數(shù).若不等式對(duì)任意恒成立，則的取值范圍是______.14.已知，且，則_____________.15.一只盒子中裝有4個(gè)形狀大小相同的小球，小球上標(biāo)有4個(gè)不同的數(shù)字.摸球人不知最大數(shù)字是多少，每次等可能地從中摸出一個(gè)球，不放回.摸球人決定放棄前面兩次摸出的球，從第3次開(kāi)始，如果摸出的球上標(biāo)有的數(shù)字大于前面摸出的球上的數(shù)字，就把這個(gè)球保存下來(lái)，摸球結(jié)束，否則繼續(xù)摸球.問(wèn)摸球人最后保存下來(lái)是數(shù)字最大的球的概率是______.16.已知，分別為雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于、兩點(diǎn)（其中在第一象限），的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，若，則直線的斜率為_(kāi)____.四、解答題（共70分）17.已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為，對(duì)任意正整數(shù)恒成立，且.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求實(shí)數(shù)的值；（2）若，數(shù)列前項(xiàng)和為，求證：；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)集合，.集合中元素的個(gè)數(shù)記為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.18.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，為等邊三角形且垂直于底面.（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的正弦值.19.已知，數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿足；數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列是等差數(shù)列？如果存在，求出實(shí)數(shù)的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）求使得不等式成立的的最大值．20.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，判斷在上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；（3）設(shè)，在的圖象上有一點(diǎn)列，直線的斜率為，求證：．21.在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國(guó)醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點(diǎn)生產(chǎn)口罩?防護(hù)服?消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng)，在國(guó)際社會(huì)上贏得一片贊譽(yù).我國(guó)某口罩生產(chǎn)廠商在加大生產(chǎn)的同時(shí)，狠抓質(zhì)量管理，不定時(shí)抽查口罩質(zhì)量?該廠質(zhì)檢人員從某日生產(chǎn)的口罩中隨機(jī)抽取了100個(gè)，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下五組：，得到如下頻率分布直方圖.規(guī)定：口罩的質(zhì)量指標(biāo)值越高，說(shuō)明該口罩質(zhì)量越好，其中質(zhì)量指標(biāo)值低于130的為二級(jí)口罩，質(zhì)量指標(biāo)值不低于130的為一級(jí)口罩.（1）求該廠商生產(chǎn)口罩質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和第60百分位數(shù)；（2）現(xiàn)從樣本口罩中利用分層抽樣方法隨機(jī)抽取8個(gè)口罩，再?gòu)闹谐槿?個(gè)，記其中一級(jí)口罩個(gè)數(shù)為，求的分布列及方差；（3）在2024年“五一”勞動(dòng)節(jié)前，甲?乙兩人計(jì)劃同時(shí)在該型號(hào)口罩某網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物平臺(tái)上分別參加兩店各一個(gè)訂單“秒殺”搶購(gòu)，其中每個(gè)訂單由個(gè)該型號(hào)口罩構(gòu)成.假定甲?乙兩人在兩店訂單“秒殺”成功的概率分別為，記甲?乙兩人搶購(gòu)成功的口罩總數(shù)量為，求當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)期望取最大值時(shí)正整數(shù)的值.22.已知橢圓的離心率為，，分別為橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，且的面積為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為、是橢圓上不與頂點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)．（i）若點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上且位于軸下方，直線交軸于點(diǎn)，設(shè)和的面積分別為，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)：（ii）若直線與直線交于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，求證：為定值，并求出此定值（其中、分別為直線和直線的斜率）．2024年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)月考試題一、單選題（每題5分，共40分）1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將集合化簡(jiǎn)，再由交集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所?故選：C.2.若，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法，化簡(jiǎn)整理為標(biāo)準(zhǔn)型，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)與虛部的定義，可得答案.【詳解】，則，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部是.故選：B.3.“”是“直線與圓相切”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求得，根據(jù)充分、必要條件的知識(shí)確定正確答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為，若直線與圓相切，則有，解得或.所以“”是“直線與圓相切”的充分不必要條件.故選：A4.已知向量，滿足，，，則（）A.2 B. C.4 D.16【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律列式計(jì)算即得.【詳解】由，得，而，因此，所以.故選：C5.已知，都是銳角，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】運(yùn)用兩角和與差的正弦公式展開(kāi)，化切為弦得，代入即可求解.【詳解】由題意，又，所以，即，所以，所以.故選：D6.有一袋子中裝有大小、質(zhì)地相同的白球k個(gè)，黑球.甲、乙兩人約定一種游戲規(guī)則如下：第一局中兩人輪流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局獲勝但從第二局起，上一局的負(fù)者先摸球.若第一局中甲先摸球，記第局甲獲勝的概率為，則關(guān)于以下兩個(gè)命題判斷正確的是（）①，且；②若第七局甲獲勝的概率不小于0.9，則不小于1992.A.①②都是真命題 B.①是真命題，②是假命題C.①是假命題，②是真命題 D.①②都是假命題【答案】A【解析】【分析】分別計(jì)算在第一局中：摸1次，摸3次，，摸次甲獲勝概率，可得，從而求得，由于第局甲獲勝包括兩種情況：第局甲贏且第局甲后摸球和第局甲輸且第局甲先摸球，可得，利用數(shù)列求通項(xiàng)公式的構(gòu)造法，可得是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，求出，解不等式即可求解.【詳解】第一局：摸1次甲獲勝概率為：，摸3次甲獲勝概率為：，摸5次甲獲勝概率：，摸7次甲獲勝概率：，，摸次甲獲勝概率：，所以，所以，第局甲獲勝包括兩種情況：第局甲贏且第局甲后摸球和第局甲輸且第局甲先摸球，則，故①正確；由，設(shè)，解得，所以，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，即，所以，即，即，即，即，則，即，解得，所以不小于1992，所以②正確.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是在第一局中求出摸1次，摸3次，，摸次甲獲勝概率，可得其概率是等比數(shù)列，從而得到，利用數(shù)列求和和極限的知識(shí)進(jìn)行求解.7.已知，函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分、討論，根據(jù)沒(méi)有零點(diǎn)求出的范圍可得答案.【詳解】時(shí)，，若無(wú)解，則或；時(shí)，，若無(wú)解，則，則.故選：D．8.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.466 B.467 C.932 D.933【答案】B【解析】【分析】方法一：根據(jù)的范圍，確定的范圍，結(jié)合已知條件以及函數(shù)的零點(diǎn)，得且，分別驗(yàn)證、、確定的范圍，求出的最大值，代入函數(shù)解析式即可求解；方法二：利用換元的令，根據(jù)的范圍，確定的范圍，由，得出的范圍，結(jié)合圖象性質(zhì)，以及已知條件，最終確定的最大值，代入函數(shù)解析式即可求解.【詳解】方法一：由題意，函數(shù)，可得函數(shù)的周期為，因?yàn)?，可得，又由函?shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且滿足，且，可得，即，且，當(dāng)時(shí)，，解得，所以；當(dāng)時(shí)，，解得，所以；當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)解集為空集，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.所以，得，，則，解得，令，則有，解得，即，因?yàn)椋怨灿?67個(gè)零點(diǎn).方法二：由題意，函數(shù)，可得函數(shù)的周期為，因?yàn)椋稍O(shè)，則，又函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，可得，所以，則由圖象性質(zhì)，可知，得，即.或者，得，即.所以最大為，得.，則，解得.令，則有：，解得：，即，因?yàn)?，所以共?67個(gè)零點(diǎn).故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于區(qū)間長(zhǎng)度為定值的動(dòng)區(qū)間，若區(qū)間上至少含有個(gè)零點(diǎn)，需要確定含有個(gè)零點(diǎn)的區(qū)間長(zhǎng)度，一般和周期相關(guān).二、多選題（每題5分，共20分）9.下列關(guān)于平面向量的說(shuō)法中正確的是（）A.不共線，且，則.B.若向量，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是C.已知，則在上的投影的坐標(biāo)為D.已知點(diǎn)為的垂心，則【答案】BD【解析】【分析】求得三向量間的關(guān)系判斷選項(xiàng)A；求得的取值范圍判斷選項(xiàng)B；求得在上的投影的坐標(biāo)判斷選項(xiàng)C；求得三者間的關(guān)系判斷選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A：不共線，且，則，則即.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：向量，且與的夾角為鈍角，則，解之得或或則的取值范圍是.判斷正確；選項(xiàng)C：在上的投影向量為，則在上的投影的坐標(biāo)為.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：點(diǎn)為的垂心，則,則，則，由可得，則，即，由，可得，則,即，故.判斷正確.故選：BD10.如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，為上一點(diǎn)，，分別在直線上，，則：（）.A.B.C.若平面且到距離相等，則直線與的夾角正弦值為D.的最小值為【答案】AD【解析】【分析】建系標(biāo)點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)向量垂直可得.對(duì)于A：根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示分析判斷；對(duì)于B：利用坐標(biāo)運(yùn)算求模長(zhǎng)即可；對(duì)于C：舉反例說(shuō)明即可；對(duì)于D：分析可知當(dāng)時(shí)，取到最小值，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)，則，因?yàn)?，則，解得.對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，且，可得，則，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋缙矫孢^(guò)的中點(diǎn)，且與平面平行，則到平面的均為距離，符合題意，此時(shí)平面的法向量，可得，此時(shí)直線與的夾角正弦值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)，則，，若取到最小值，則，可得，解得，則，，所以的最小值為，故D正確；故選：AD.11.如圖，函數(shù)的部分圖象，則（）A.B.將圖象向右平移后得到函數(shù)的圖象C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.在區(qū)間上的最大值與最小值之差的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，利用五點(diǎn)法作圖求出，再結(jié)合正弦型函數(shù)圖象與性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于A，觀察圖象，，的最小正周期，解得，由，得，而，則，所以，A正確；對(duì)于B，將圖象向右平移后得到函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此區(qū)間上單調(diào)遞增，C正確.對(duì)于D，函數(shù)的圖象對(duì)稱軸為，當(dāng)與關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，的最大值與最小值的差最小，此時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，而，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，而，最大值與最小值的差為1；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)，最大值與最小值的差最大，，當(dāng)或時(shí)均可取到等號(hào)，所以最大值與最小值之差取值范圍為，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：給定的部分圖象求解解析式，一般是由函數(shù)圖象的最高（低）點(diǎn)定A，求出周期定，由圖象上特殊點(diǎn)求.12.如圖，圓錐的底面直徑和母線長(zhǎng)均為6，其軸截面為，為底面半圓弧上一點(diǎn)，且，，，則（）A.當(dāng)時(shí)，直線與所成角的余弦值為B.當(dāng)時(shí)，四面體的體積為C.當(dāng)且面時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，算出各個(gè)線段長(zhǎng)度，將異面直線通過(guò)轉(zhuǎn)化化為同面直線，根據(jù)余弦定理求解即可；對(duì)于B，根據(jù)題意先計(jì)算出四面體的體積，又因四面體中一個(gè)底面積是原來(lái)的四分之一，故可求解；對(duì)于C，法一：根據(jù)中位線定理，即可判斷，法二：構(gòu)建空間坐標(biāo)系，將各點(diǎn)表示出來(lái)，同時(shí)設(shè)平面的一個(gè)法向量為，根據(jù)向量運(yùn)算法則，根據(jù)可求解；對(duì)于D，法一：求出所需線段，根據(jù)余弦定理可求出，代入求解即可，法二：解出，同時(shí)，根據(jù)，則，即可求解.【詳解】由題意可知是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，，，.時(shí)，為的中點(diǎn)，取得，為直線與所成角或其補(bǔ)角，又根據(jù)余弦定理可得，再根據(jù)余弦定理可求得,所以,，.則，故A正確；在中，，，得，，且，則四面體的體積為.，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，故四面體體積為四面體體積的四分之一，得四面體體積為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于CD選項(xiàng)：【法一】當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)，則，所以面過(guò)作交于，所以面，此時(shí)為的中點(diǎn),又因相較于點(diǎn)，所以面面，得面，所以，故C正確；當(dāng)時(shí)，，在面內(nèi)過(guò)作交于，則面，面，故此時(shí)得到的，中，，由余弦定理得，，，得，則，故D正確.故選：ACD.【法二】則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與垂直的直線為軸，分別以、所在直線為軸和軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意得，，，，，，得，，，對(duì)于C，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，可取.面時(shí)，得，解得故C正確.對(duì)于D，，由得，，.故D正確.故選：ACD.三、填空題（每題5分，共20分）13.已知函數(shù).若不等式對(duì)任意恒成立，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】首先分析函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，再將不等式轉(zhuǎn)化為，再將不等式，轉(zhuǎn)化為，利用基本不等式求最值，即可求解.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，所以為奇函?shù).因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)闉镽上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以不等式即為，則.因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是判斷函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性，解抽象不等式.14.已知，且，則_____________.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)條件，利用換底公式得到，從而得到或，即可求解.【詳解】因?yàn)?，整理得到，解得或，所以或，故答案為：?15.一只盒子中裝有4個(gè)形狀大小相同的小球，小球上標(biāo)有4個(gè)不同的數(shù)字.摸球人不知最大數(shù)字是多少，每次等可能地從中摸出一個(gè)球，不放回.摸球人決定放棄前面兩次摸出的球，從第3次開(kāi)始，如果摸出的球上標(biāo)有的數(shù)字大于前面摸出的球上的數(shù)字，就把這個(gè)球保存下來(lái)，摸球結(jié)束，否則繼續(xù)摸球.問(wèn)摸球人最后保存下來(lái)是數(shù)字最大的球的概率是______.【答案】【解析】【分析】先求出標(biāo)有數(shù)字的4只球排序情況，標(biāo)有數(shù)字最大的球分為第3次摸到和第4次摸到兩種情形，結(jié)合古典概型即可得結(jié)果.【詳解】標(biāo)有數(shù)字的4只球排序共有種情況.要摸到標(biāo)有數(shù)字最大的球，有以下兩種情況：①標(biāo)有數(shù)字最大的球第3次摸到，其他的小球隨意在哪個(gè)位置，有種情況.②標(biāo)有數(shù)字最大的球第4次摸到，標(biāo)有數(shù)字第二大的球在第1次或第2次被摸出，其他的球在哪次摸出任意，有種情況.故所求概率為.故答案為：.16.已知，分別為雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于、兩點(diǎn)（其中在第一象限），的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，若，則直線的斜率為_(kāi)____.【答案】【解析】【分析】作出示意圖，由切線性質(zhì)結(jié)合雙曲線定義可得兩內(nèi)切圓都與軸相切于，后設(shè)直線傾斜角為，由幾何知識(shí)可得，后由兩圓外切相關(guān)條件可得答案.【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，的內(nèi)切圓的圓心為，記邊上的切點(diǎn)分別為，由切線的性質(zhì)可得：，由雙曲線定義可得：，即，則，又.則，又，則，即.同理可得，的內(nèi)切圓也與軸相切于點(diǎn).連接，則與軸垂直，設(shè)圓與相切于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，記垂足為，則.設(shè)直線傾斜角為，則.在四邊形中，注意到，又四邊形內(nèi)角和為，則，在中，，，則，則直線斜率，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)形成的三角形的內(nèi)切圓與x軸相切于雙曲線頂點(diǎn)處.四、解答題（共70分）17.已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為，對(duì)任意正整數(shù)恒成立，且.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求實(shí)數(shù)的值；（2）若，數(shù)列前項(xiàng)和為，求證：；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)集合，.集合中元素的個(gè)數(shù)記為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1）證明見(jiàn)解析，（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列定義，即可證明結(jié)論；進(jìn)而結(jié)合已知求出實(shí)數(shù)的值；（2）結(jié)合（1）可求出的表達(dá)式，進(jìn)而可得表達(dá)式，繼而推出只需證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，即可證明結(jié)論；（3）由題意可知中元素個(gè)數(shù)等價(jià)于滿足的不同解的個(gè)數(shù)，利用反正思想推出，從而推出不等式共個(gè)不同解，即可得答案.【小問(wèn)1詳解】由題意得，兩式相減可得，令可得，即.令可得，即，所以又.數(shù)列為首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，所以.，要證成立，只需證，即令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增,故，；【小問(wèn)3詳解】時(shí)，集合，即，中元素個(gè)數(shù)等價(jià)于滿足的不同解的個(gè)數(shù)，如果，則，矛盾；如果，則，矛盾，又，，即，共個(gè)不同解，所以.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題為數(shù)列的綜合應(yīng)用問(wèn)題，解答的難點(diǎn)在于第二問(wèn)，要注意列用類加的方法得出，從而要證成立，只需證，即，從而構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題.18.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，為等邊三角形且垂直于底面.（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）法一：先證，再由線面垂直的判定定理證明面，即可得證；法二：建系，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算代入計(jì)算，即可證明；（2）法一：建系，由面面角的向量求法，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；法二：由面面角的定義，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】法一：證明：如圖所示，取中點(diǎn)，為等邊三角形，，又面垂直于底面，交線為，得面，又面.底面為直角梯形，，，，，，所以，，，所以，得，又，得面，面，所以.法二：取中點(diǎn)，為等邊三角形且垂直于底面，交線為，則，得面，又因?yàn)?，，，可設(shè)，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與平行的直線為軸，分別以、所在直線為軸和軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，得，，，得，，所以，得.【小問(wèn)2詳解】法一：由（1）知面，不妨設(shè)，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與平行的直線為軸，分別以、所在直線為軸和軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，得，，，，，；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，可取；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，可取.設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的正弦值為.法二：不妨設(shè)，為等邊三角形且垂直于底面，交線為，底面為直角梯形，，，所以面，又，得面，面，得面面，交線為，取的中點(diǎn)，則，等邊邊長(zhǎng)為2，則，，則面，則點(diǎn)到面的距離等于點(diǎn)到面的距離為，因?yàn)槊妫?，，均為直角三角形，，得，?作，可得，所以平面與平面夾角的正弦值為.19.已知，數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿足；數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列是等差數(shù)列？如果存在，求出實(shí)數(shù)的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）求使得不等式成立的的最大值．【答案】（1）（2）存在，（3）4【解析】【分析】（1）根據(jù)作差得到，結(jié)合等比數(shù)列的定義計(jì)算可得；（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的定義作差得到，即可求出；（3）結(jié)合（2）可得的通項(xiàng)公式，即可得到，令，利用作差法說(shuō)明單調(diào)性，即可求出的最大值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)棰伲?，?①得，∴，而，∴，∴成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴．【小問(wèn)2詳解】假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列是等差數(shù)列，∴為常數(shù)，∴，解得，∴存在使成等差數(shù)列，且公差為．【小問(wèn)3詳解】由（2）知，∴，∴不等式，即，令，則，∴在上單調(diào)遞減，注意到，，∴時(shí)，，∴．20.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，判斷在上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；（3）設(shè)，在的圖象上有一點(diǎn)列，直線的斜率為，求證：．【答案】（1）在上單調(diào)遞減，理由見(jiàn)解析（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用多次求導(dǎo)的方法來(lái)判斷出在上的單調(diào)性.（2）利用多次求導(dǎo)的方法，結(jié)合恒成立，列不等式來(lái)求得的取值范圍.（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，得到，求得的不等關(guān)系式，然后根據(jù)分組求和法以及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式證得不等式成立.【小問(wèn)1詳解】上單調(diào)遞減，理由如下：當(dāng)時(shí)，，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立①，當(dāng)時(shí)，②，，設(shè)，時(shí)，，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，，要使①恒成立，由于②，則需恒成立，所以恒成立，所以，.此時(shí)，在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，使得恒成立.綜上所述，的取值范圍是.【小問(wèn)3詳解】由（2）可知，當(dāng)，時(shí)，恒成立，即時(shí)，恒成立，下證：，時(shí)，，由上述分析可知，，即，則，所以，，即得證.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性：首先對(duì)函數(shù)進(jìn)行多次求導(dǎo)，通過(guò)分析導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判斷函數(shù)在不同區(qū)間的單調(diào)性，這一步為后續(xù)的不等式恒成立條件的推導(dǎo)奠定了基礎(chǔ).結(jié)合不等式求參數(shù)范圍：通過(guò)設(shè)定不等式恒成立，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，逐步推導(dǎo)出參數(shù)的取值范圍.利用等比數(shù)列和斜率關(guān)系進(jìn)行證明：在小問(wèn)3中，通過(guò)對(duì)等比數(shù)列的求和以及利用斜率條件，成功證明了所需的不等式.21.在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國(guó)醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點(diǎn)生產(chǎn)口罩?防護(hù)服?消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng)，在國(guó)際社會(huì)上贏得一片贊譽(yù).我國(guó)某口罩生產(chǎn)廠商在加大生產(chǎn)的同時(shí)，狠抓質(zhì)量管理，不定時(shí)抽查口罩質(zhì)量?該廠質(zhì)檢人員從某日生產(chǎn)的口罩中隨機(jī)抽取了100個(gè)，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下五組：，得到如下頻率分布直方圖.規(guī)定：口罩的質(zhì)量指標(biāo)值越高，說(shuō)明該口罩質(zhì)量越好，其中質(zhì)量指標(biāo)值低于130的為二級(jí)口罩，質(zhì)量指標(biāo)值不低于130的為一級(jí)口罩.（1）求該廠商生產(chǎn)口罩質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和第60百分位數(shù)；（2）現(xiàn)從樣本口罩中利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取8個(gè)口罩，再?gòu)闹谐槿?個(gè)，記其中一級(jí)口罩個(gè)數(shù)為，求的分布列及方差；（3）在2024年“五一”勞動(dòng)節(jié)前，甲?乙兩人計(jì)劃同時(shí)在該型號(hào)口罩的某網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物平臺(tái)上分別參加兩店各一個(gè)訂單“秒殺”搶購(gòu)，其中每個(gè)訂單由個(gè)該型號(hào)口罩構(gòu)成.假定甲?乙兩人在兩店訂單“秒殺”成功的概率分別為，記甲?乙兩人搶購(gòu)成功的口罩總數(shù)量為，求當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)期望取最大值時(shí)正整數(shù)的值.【答案】（1）平均數(shù)為123，第60百分位數(shù)為125；（2）分布列見(jiàn)解析，方差為（3）6【解析】【分析】（1）利用