山東專用2025版高考數學一輪復習第八章解析幾何第五講橢圓學案含解析

PAGE1-第五講橢圓ZHISHISHULISHUANGJIZICE學問梳理·雙基自測eq\x(知)eq\x(識)eq\x(梳)eq\x(理)學問點一橢圓的定義平面內與兩個定點F1、F2的__距離的和等于常數(大于|F1F2|)__的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的__焦點__，兩焦點間的距離叫做橢圓的__焦距__．注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c為常數，則有如下結論：(1)若a＞c，則集合P為__橢圓__；(2)若a＝c，則集合P為__線段F1F2__；(3)若a＜c，則集合P為__空集__．學問點二橢圓的標準方程和幾何性質標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)圖形性質范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對稱性對稱軸：坐標軸對稱中心：原點頂點A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)軸長軸A1A2的長為__2a__；短軸B1B2的長為__2b__焦距|F1F2|＝__2c__離心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)a、b、c的關系__c2＝a2－b2__eq\x(重)eq\x(要)eq\x(結)eq\x(論)1．a＋c與a－c分別為橢圓上的點到焦點距離的最大值和最小值．2．過橢圓的焦點且與長軸垂直的弦|AB|＝eq\f(2b2,a)，稱為通徑．3．若過焦點F1的弦為AB，則△ABF2的周長為4a．4．e＝eq\r(1－\f(b2,a2))．5．橢圓的焦點在x軸上?標準方程中x2項的分母較大，橢圓的焦點在y軸上?標準方程中y2項的分母較大．6．AB為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點M(x0，y0)，則(1)弦長l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；(2)直線AB的斜率kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0)．eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測)題組一走出誤區(qū)1．(多選題)下列結論正確的是(CD)A．平面內與兩個定點F1，F2的距離之和等于常數的點的軌跡是橢圓B．橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓C．方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲線是橢圓D．eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距相同題組二走進教材2．(必修2P42T4)橢圓eq\f(x2,10－m)＋eq\f(y2,m－2)＝1的焦距為4，則m等于(C)A．4 B．8C．4或8 D．12[解析]當焦點在x軸上時，10－m>m－2>0，10－m－(m－2)＝4，∴m＝4．當焦點在y軸上時，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8．∴m＝4或8．3．(必修2P68A組T3)過點A(3，－2)且與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦點的橢圓的方程為(A)A．eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1 B．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1C．eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,15)＝1 D．eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,15)＝1題組三考題再現4．(2024·湖南郴州二模)已知橢圓E的中心為原點，焦點在x軸上，橢圓上一點到焦點的最小距離為2eq\r(2)－2，離心率為eq\f(\r(2),2)，則橢圓E的方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1．[解析]∵橢圓上一點到焦點的最小距離為a－c，∴a－c＝2eq\r(2)－2，∵離心率e＝eq\f(\r(2),2)，∴eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，解得a＝2eq\r(2)，c＝2，則b2＝a2－c2＝4，∴橢圓E的方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1．5．(2024·課標全國Ⅱ)已知F1，F2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，則C的離心率為(D)A．1－eq\f(\r(3),2) B．2－eq\r(3)C．eq\f(\r(3)－1,2) D．eq\r(3)－1[解析]設|PF2|＝x，則|PF1|＝eq\r(3)x，|F1F2|＝2x，故2a＝|PF1|＋|PF2|＝(1＋eq\r(3))x,2c＝|F1F2|＝2x，于是離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(2x,1＋\r(3)x)＝eq\r(3)－1．KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考點突破·互動探究考點一橢圓的定義及應用——自主練透例1(1)(2024·泉州模擬)已知橢圓的焦點是F1、F2，P是橢圓上的一個動點，假如M是線段F1P的中點，那么動點M的軌跡是(B)A．圓 B．橢圓C．雙曲線的一支 D．拋物線(2)已知F是橢圓5x2＋9y2＝45的左焦點，P是此橢圓上的動點，A(1,1)是肯定點．則|PA|＋|PF|的最大值和最小值分別為6＋eq\r(2)，6－eq\r(2)．(3)已知F1，F2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且∠F1PF2＝60°.若△PF1F2的面積為3eq\r(3)，則b＝__3__．[解析](1)如圖所示，由題知|PF1|＋|PF2|＝2a，設橢圓方程：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(其中a>b>0)．連接MO，由三角形的中位線可得：|F1M|＋|MO|＝a(a>|F1O|)，則M的軌跡為以F1、O為焦點的橢圓．(2)如下圖所示，設橢圓右焦點為F1，則|PF|＋|PF1|＝6．∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6．由橢圓方程eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1知c＝eq\r(9－5)＝2，∴F1(2,0)，∴|AF1|＝eq\r(2)．利用－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(當P、A、F1共線時等號成立)．∴|PA|＋|PF|≤6＋eq\r(2)，|PA|＋|PF|≥6－eq\r(2)．故|PA|＋|PF|的最大值為6＋eq\r(2)，最小值為6－eq\r(2)．(3)|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2，即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2，所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，所以|PF1||PF2|＝eq\f(4,3)b2，又因為S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sin60°＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)b2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3)b2＝3eq\r(3)，所以b＝3.故填3．名師點撥?(1)橢圓定義的應用范圍：①確認平面內與兩定點有關的軌跡是否為橢圓．②解決與焦點有關的距離問題．(2)焦點三角形的應用：橢圓上一點P與橢圓的兩焦點組成的三角形通常稱為“焦點三角形”，利用定義可求其周長；利用定義和余弦定理可求|PF1||PF2|；通過整體代入可求其面積等．〔變式訓練1〕(1)(2024·大慶模擬)已知點M(eq\r(3)，0)，橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1與直線y＝k(x＋eq\r(3))交于點A、B，則△ABM的周長為__8__．(2)(2024·河北衡水調研)設F1、F2分別是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點，P為橢圓上隨意一點，點M的坐標為(6,4)，則|PM|－|PF1|的最小值為__－5__．[解析](1)直線y＝k(x＋eq\r(3))過定點N(－eq\r(3)，0)．而M、N恰為橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的兩個焦點，由橢圓定義知△ABM的周長為4a＝4×2＝8．(2)由題意可知F2(3,0)，由橢圓定義可知|PF1|＝2a－|PF2|.∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，當且僅當M，P，F2三點共線時取得等號，又|MF2|＝eq\r(6－32＋4－02)＝5,2a＝10，∴|PM|－|PF2|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值為－5．考點二求橢圓的標準方程——師生共研例2求滿意下列各條件的橢圓的標準方程：(1)長軸是短軸的3倍且經過點A(3,0)；(2)短軸一個端點與兩焦點組成一個正三角形，且焦點到同側頂點的距離為eq\r(3)；(3)經過點P(－2eq\r(3)，1)，Q(eq\r(3)，－2)兩點；(4)與橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1有相同離心率，且經過點(2，－eq\r(3))．[解析](1)若焦點在x軸上，設方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．∵橢圓過點A(3,0)，∴eq\f(9,a2)＝1，∴a＝3.∵2a＝3×2b，∴b＝1.∴方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1．若焦點在y軸上，設方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．∵橢圓過點A(3,0)，∴eq\f(9,b2)＝1，∴b＝3．又2a＝3×2b，∴a＝9.∴方程為eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1．綜上所述，橢圓方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1或eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1．(2)由已知，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2c，,a－c＝\r(3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(3)，,c＝\r(3).))從而b2＝a2－c2＝9．∴所求橢圓方程為eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1．(3)設橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，∵點P(－2eq\r(3)，1)，Q(eq\r(3)，－2)在橢圓上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12m＋n＝1，,3m＋4n＝1，))解得m＝eq\f(1,15)，n＝eq\f(1,5)．故橢圓方程為eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1．(4)若焦點在x軸上，設所求橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝t(t>0)，將點(2，－eq\r(3))代入，得t＝eq\f(22,4)＋eq\f(－\r(3)2,3)＝2．故所求方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1．若焦點在y軸上，設方程為eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝λ(λ>0)代入點(2，－eq\r(3))，得λ＝eq\f(25,12)，∴所求方程為eq\f(y2,\f(25,3))＋eq\f(x2,\f(25,4))＝1．綜上可知橢圓方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1或eq\f(y2,\f(25,3))＋eq\f(x2,\f(25,4))＝1．名師點撥?(1)求橢圓的方程多采納定義法和待定系數法，利用橢圓的定義定形態(tài)時，肯定要留意常數2a>|F1F2|這一條件．(2)用待定系數法求橢圓標準方程的一般步驟：①作推斷：依據條件推斷焦點的位置；②設方程：焦點不確定時，要留意分類探討，或設方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠0)；③找關系：依據已知條件，建立關于a，b，c或m，n的方程組；④求解，得方程．〔變式訓練2〕(1)“2<m<6”是“方程eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示橢圓”的(B)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件(2)(2024·廣東模擬)已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1，0)，離心率等于eq\f(1,2)，則C的方程是(D)A．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\r(3))＝1C．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 D．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1考點三橢圓的幾何性質——師生共研例3(1)(2024·河南中原名校、大連市、赤峰市聯考)已知橢圓y2＋mx2＝1(m>0)的離心率為eq\f(1,2)，則m＝eq\f(3,4)或eq\f(4,3)．(2)(2024·河北省衡水中學調研)直線l經過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的eq\f(1,4)，則該橢圓的離心率為(B)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)(3)(2024·廣東省期末聯考)設F1，F2分別是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，若在直線x＝eq\f(a2,c)上存在點P，使線段PF1的中垂線過點F2，則橢圓離心率的取值范圍是(D)A．(0，eq\f(\r(2),2)] B．(0，eq\f(\r(3),3)]C．[eq\f(\r(2),2)，1) D．[eq\f(\r(3),3)，1)[解析](1)將橢圓y2＋mx2＝1(m>0)化為標準方程是y2＋eq\f(x2,\f(1,m))＝1，若eq\f(1,m)>1，即0<m<1，則橢圓的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(\f(1,m)－1),\r(\f(1,m)))＝eq\f(1,2)，解得m＝eq\f(3,4)；若eq\f(1,m)<1，即m>1，則橢圓的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(1－\f(1,m)),1)＝eq\f(1,2)，解得：m＝eq\f(4,3).故答案為：m＝eq\f(3,4)或m＝eq\f(4,3)．(2)不妨設直線l：eq\f(x,c)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋cy－bc＝0?橢圓中心到l的距離eq\f(|－bc|,\r(b2＋c2))＝eq\f(2b,4)?e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，故選B．(3)如圖F2H⊥PF1，∴|F1F2|＝|PF2|，由題意可知eq\f(a2,c)－c≤2c，∴e2＝eq\f(c2,a2)≥eq\f(1,3)，即e≥eq\f(\r(3),3)，又0<e<1，∴eq\f(\r(3),3)≤e<1.故選D．名師點撥?橢圓離心率的求解方法求橢圓的離心率，常見的有三種方法：一是通過已知條件列方程組，解出a，c的值；二是由已知條件得出關于a，c的二元齊次方程，然后轉化為關于離心率e的一元二次方程求解；三是通過取特別值或特別位置，求出離心率．橢圓離心率的范圍問題一般借助幾何量的取值范圍求解，遇直線與橢圓位置關系通常由直線與橢圓方程聯立所得方程判別式Δ的符號求解．〔變式訓練3〕(1)(2024·全國卷Ⅲ)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為(A)A．eq\f(\r(6),3) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),3) D．eq\f(1,3)(2)(2024·內蒙古呼和浩特市質檢)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，點P是橢圓上的動點，若∠A1PA2的最大可以取到120°，則橢圓C的離心率為(D)A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(6),3)(3)(2024·貴州貴陽適應性考試)過橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點F的直線過C的上頂點B，且與橢圓相交于點A，若eq\o(BF,\s\up6(→))＝3eq\o(FA,\s\up6(→))，則C的離心率為(D)A．eq\f(1,3) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(2),2)[解析](1)由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0)，半徑為a．又直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切，∴圓心到直線的距離d＝eq\f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，解得a＝eq\r(3)b，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,\r(3))，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\r(1－\f(b,a)2)＝eq\r(1－\f(1,\r(3))2)＝eq\f(\r(6),3).故選A．(2)當P為短軸端點時∠A1PA2最大，由題意可知eq\f(a,b)＝tan60°＝eq\r(3)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,3)，∴e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(6),3)，故選D．(3)由題意可得B(0，b)，F(－c,0)，由eq\o(BF,\s\up6(→))＝3eq\o(FA,\s\up6(→))，得A(－eq\f(4,3)c，－eq\f(b,3))，點A在橢圓上，則：eq\f(－\f(4,3)c2,a2)＋eq\f(－\f(b,3)2,b2)＝1，整理可得：eq\f(16,9)·eq\f(c2,a2)＝eq\f(8,9)，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,2)，e＝eq\f(\r(2),2).故選D．考點四直線與橢圓——多維探究角度1直線與橢圓的位置關系例4(多選題)若直線y＝kx＋1與橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1總有公共點，則m的值可能是(BCD)A．eq\f(1,2) B．1C．eq\r(3) D．4[解析]解法一：由于直線y＝kx＋1恒過點(0,1)，所以點(0,1)必在橢圓內或橢圓上，則0<eq\f(1,m)≤1且m≠5，故m≥1且m≠5.故選B、C、D．解法二：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,mx2＋5y2－5m＝0，))消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0．由題意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0對一切k∈R恒成立，即5mk2＋m2－m≥0對一切k∈R恒成立，由于m>0且m≠5，∴m≥1且m≠5.故選B、C、D．角度2中點弦問題例5(2024·湖北省宜昌市調研)過點P(3、1)且傾斜角為eq\f(3π,4)的直線與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)相交于A，B兩點，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))，則該橢圓的離心率為(C)A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(6),3) D．eq\f(\r(3),3)[解析]由題意可知P為AB的中點，且kAB＝－1，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\f(x\o\al(2,1),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，兩式相減得eq\f(x1－x2x1＋x2,a2)＝－eq\f(y1－y2y1＋y2,b2)，∴kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2x1＋x2,a2y1＋y2)＝－eq\f(3b2,a2)＝－1，即eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,3)，∴e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(6),3)，故選C．角度3弦長問題例6(2024·廈門模擬)已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)經過點P(－eq\r(3)，eq\f(1,2))，橢圓E的一個焦點為(eq\r(3)，0)．(1)求橢圓E的方程；(2)若直線l過點M(0，eq\r(2))且與橢圓E交于A，B兩點，求|AB|的最大值．[解析](1)依題意，設橢圓E的左、右焦點分別為F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)．由橢圓E經過點P(－eq\r(3)，eq\f(1,2))，得|PF1|＋|PF2|＝4＝2a，∴a＝2，c＝eq\r(3)，∴b2＝a2－c2＝1．∴橢圓E的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1．(2)當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝kx＋eq\r(2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋\r(2)，,\f(x2,4)＋y2＝1))得(1＋4k2)x2＋8eq\r(2)kx＋4＝0．由Δ>0得(8eq\r(2)k)2－4(1＋4k2)×4>0，∴4k2>1．由x1＋x2＝－eq\f(8\r(2)k,1＋4k2)，x1x2＝eq\f(4,1＋4k2)得|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝2eq\r(－6\f(1,1＋4k2)2＋\f(1,1＋4k2)＋1)．設t＝eq\f(1,1＋4k2)，則0<t<eq\f(1,2)，∴|AB|＝2eq\r(－6t2＋t＋1)＝2eq\r(－6t－\f(1,12)2＋\f(25,24))≤eq\f(5\r(6),6)，當且僅當t＝eq\f(1,12)時等號成立．當直線l的斜率不存在時，|AB|＝2<eq\f(5\r(6),6)．綜上，|AB|的最大值為eq\f(5\r(6),6)．名師點撥?直線與橢圓綜合問題的常見題型及解題策略(1)直線與橢圓位置關系的推斷方法①聯立方程，借助一元二次方程的判別式Δ來推斷；②借助幾何性質來推斷．(2)求橢圓方程或有關幾何性質．可依據條件找尋滿意條件的關于a，b，c的等式，解方程即可求得橢圓方程或橢圓有關幾何性質．(3)關于弦長問題．一般是利用根與系數的關系、弦長公式求解．(4)對于中點弦或弦的中點問題，一般利用點差法求解．若直線l與圓錐曲線C有兩個交點A，B，一般地，首先設出A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲線方程，通過作差，構造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，從而建立中點坐標和斜率的關系．留意答題時不要忽視對判別式的探討．〔變式訓練4〕(1)(角度1)直線y＝kx＋k＋1與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的位置關系是__相交__．(2)(角度2)(2024·廣東珠海期末)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點為F，離心率eq\f(\r(2),2)，過點F的直線l交橢圓于A，B兩點，若AB中點為(1,1)，則直線l的斜率為(D)A．2 B．－2C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)(3)(角度3)斜率為1的直線l與橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B兩點，則|AB|的最大值為(C)A．2 B．eq\f(4\r(5),5)C．eq\f(4\r(10),5) D．eq\f(8\r(10),5)[解析](1)由于直線y＝kx＋k＋1＝k(x＋1)＋1過定點(－1,1)，而(－1,1)在橢圓內，故直線與橢圓必相交．(2)因為eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，∴4c2＝2a2，∴4(a2－b2)＝2a2，∴a2＝2b2，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2x\o\al(2,1)＋a2y\o\al(2,1)＝a2b2,b2x\o\al(2,2)＋a2y\o\al(2,2)＝a2b2))，相減得b2(x1＋x2)(x1－x2)＋a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，所以2b2(x1－x2)＋2a2(y1－y2)＝0，所以2b2＋4b2eq\f(y1－y2,x1－x2)＝0，所以1＋2k＝0，∴k＝－eq\f(1,2)，選D．(3)設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線l的方程為y＝x＋t，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4y2＝4，,y＝x＋t))消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，則x1＋x2＝－eq\f(8,5)t，x1x2＝eq\f(4t2－1,5)．∴|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)·eq\r(－\f(8,5)