2024年天津中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)模擬題分類匯編：幾何動態(tài)與函數(shù)綜合（共36道）（解析版）

二輪復(fù)習(xí)2024年中考數(shù)學(xué)重要考點

名校模擬題分類匯編專題10

——幾何動態(tài)與函數(shù)綜合（共36道）（天津?qū)Ｓ茫?/p>

1.（2023上?天津河西?九年級天津?qū)嶒炛袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC

是正方形，點A,C在坐標(biāo)系上，點8（6,6）,尸是射線。8上一點，將她。尸繞點A順時

針旋轉(zhuǎn)90。，得。是點尸旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點.

⑴如圖1,當(dāng)OP=2魚時，求點。的坐標(biāo)；

⑵如圖2,設(shè)點尸（x,y）（0<x<6）,0AP。的面積為S,求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出

當(dāng)S取最小值時，點尸的坐標(biāo)；

⑶當(dāng)3尸+2。=8&時，直接寫出點Q的坐標(biāo).

【答案】⑴。（8,4）

（2）S=/_6*+18,P（3,3）

⑶（13,-1）

【分析】（1）如圖（1）,過尸點作PGEx軸，垂足為G,過。點作軸，垂足為證

明RtEL4QH0Rt0APG.即可求點。的坐標(biāo)；

（2）如圖（2）,過尸點作PG以軸，垂足為G.根據(jù)勾股定理和面積公式，得到S=/-6x+

18.進而可求S與尤的函數(shù)關(guān)系式，并寫出當(dāng)S取最小值時，點P的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)BP+BQ=8VL可得BP+OP=8迎.因為08=6a,說明點P在OB的延長線上.可

得結(jié)合（1）進而可求點。的坐標(biāo).

【詳解】（1）解：如圖（1）,過尸點作PG0x軸，垂足為G,

過。點作。麗:軸，垂足為“，則EIPGA=0AHQ=9O。，

圖⑴

回四邊形0A2C是正方形,

00AOB=45".

0B(6,6),

0OA=6.

在RtEIOPG中，4POG=45°,

幽OPG是等腰直角三角形，即。G=PG,

回OP=VOG2+PG2=720G2=2V2,

國OG=PG=2.

EL4G=OA-OG=4.

03AOP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得0AB。，

SAQ=AP,BQ=OP,0GAP+0/M2=9O",

又團團EMQ+回AQH=90°,

EBGAP=EIAQH

在EAQH■和MPG中，

/.GAP=Z.AQH

Z.PGA=乙AHQ=90°,

,AP=AQ

EBAQHffilAPG(AAS).

EA"=PG=2,。樂AG=4.

EIQ(8,4)；

(2)解：如圖(2),過尸點作PGEx軸，垂足為G.

圖⑵

EHAO尸繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得MB。,

0Ap=4。，團陰。=90°.

EHPOG=45°,

E10G=PG=x,

設(shè)P(x,x),

EAG=6-x.

在RtHAPG中，根據(jù)勾股定理，

AP2=AG2+PG2=(6-x)2+%2,

整理得4P2=2x2-12x+36.

SSAAPQ=^AP?AQ,

ES=x2—6x+18=(x—3)2+9.

團當(dāng)x=3時，S取最小值，

0P(3,3)；

(3)解：Q(13,-1).

理由如下：

H3AOP繞點A旋轉(zhuǎn)得到財8。，

^OP=BQ.

^BP+BQ=8V2,

回8P+OP=8企.

EOB=6V2,

回點P在OB的延長線上.

如圖(3)：

由圖知：BP+OP=BP+OB+BP=8V2

0BP=V2

00P=OB+BP=6岳岳

^OG=PG=—OP=1,

2

^\AG=OG-OA=7-6=1,

由(1)的解，知R?4QH0Rt[ZL4PG,

EA樂PG=7,QH^AG=l,

SOH=OA+AH=6+7=13,

BiQ(13,-1).

【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)-旋轉(zhuǎn),

解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合綜合運用以上知識.

2.(2023上?天津南開?九年級南開翔宇學(xué)校校考階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形

OBCD,點C(4,2&),現(xiàn)將矩形。BCD繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)(0。<乙EOB<180。)得至I］矩形。EFG,

點B、C、。的對應(yīng)點分別為點E、F、G.

圖1

圖3備用圖

(1)如圖1,當(dāng)點E落在邊CD上時,求直線FG的函數(shù)表達式;

⑵如圖2,當(dāng)C、E、F三點在一直線上時，CD所在直線與。E、GF分別交于點H、M,求線

段MG的長度.

(3)如圖3,設(shè)點P為邊FG的中點，連接PE,在矩形OBCD旋轉(zhuǎn)過程中，點8到直線PE的距離

是否存在最大值？若存在，請直接寫出這個最大值；若不存在，請說明理由.

【答案】(l)y=x+4

(2)2

⑶存在，+4

【分析】(1)由矩形。BC。，點C(4,2②,得OB=CD=4,BC=。。=2VL乙ODC=90°,

可得DE=70E2-002=、16-8=22,即知NDOE=45。，E(2y/2,2y/2),設(shè)FG的函數(shù)

表達式為了=%+6,求出G(—2,2),代入可得b=4,故FG的函數(shù)表達式為y=%+4；

(2)過點M作MN_LOE于N,連接OC、OF,證明△MNH三△CEH(AAS),可得MH=HC,

XRt△BOC=Rt△EOC(UV),有乙BOC=4EOC,可得OH=HC,設(shè)OH=HC=m,由勾

股定理有(2/)2+(4-m)2=m2；解得爪=3,即。H=CH=3,從而可得MG=4-MF=

2；

(3)當(dāng)PE在。的左側(cè)且PE1。8時，B到直線PE的距離最大，設(shè)PE于。8的交點為M,求出

PE=7EF2+PF2=J(2魚產(chǎn)+22=2后由面積法得。M=竽，故點B到直線PE的距離

最大值是殍+4.

【詳解】(1)解：?.?矩形OBCD,點C(4,2/)，

???OB=CD=4,BC=OD=2VLzODC=90°,

?.?矩形OEFG是由矩形。BCD旋轉(zhuǎn)得到，

???OE=OB=4,FGWOE,

在Rt△ODE中，DE=y/OE2-OD2=V16-8=2VL

DE=DO,

???乙DOE=45°,E(2V2,2V2),

直線。E表達式為y=x,

設(shè)FG的函數(shù)表達式為y=x+b,

由GO=DO=2近，NOOG=45。得G(—2,2),

2=-2+b,

解得b=4,

???FG的函數(shù)表達式為y=%+4；

(2)解：如圖，過點M作MN1OE于N,連接。C、OF,

???矩形OEFG是由矩形。BCD旋轉(zhuǎn)得至IJ,

???OF=OC,Z-OEF=90°,

???FE=EC,

???(MNE=乙NEF=Z.EFM=90°,

???四邊形MNEF是矩形，

??.MN=FE,

MN=EC,

???乙MNH=Z.CEH=90°,乙MHN=乙CHE,

??.△MNHCEH(AAS),

:.MH=HC,

vBC=FE=EC,OC=OC,

???Rt△BOC三RtAEOC(HL),

???Z-BOC=Z-EOC,

???CD\\OB,

???Z-DCO=乙BOC=Z-EOC,

???OH=HC,

設(shè)OH=HC=m,

在內(nèi)△OOH中，OD2+DU=Ok,

???(2V2)2+(4—m)2=m2；

解得m=3,

/.OH=CH=3,

EH=4—3=1,

.??MF=NE=2EH=2,

.?.MG=4-MF=2；

(3)解：在矩形OBCD旋轉(zhuǎn)過程中，點B到直線PE的距離存在最大值，這個最大值是竽,

理由如下：

當(dāng)PE在。的左側(cè)且PE1OB時，8到直線PE的距離最大，設(shè)PE于。B的交點為M,如圖：

???P為FG的中點,

FP=PG=2,

22

PE=y/EF+PF=J(2魚/+22=2百，

SAPEQ=|$矩形OEFG=

=4VL

?-?|OMx2V3=4V2,

OM=3

BM=—3+4,

???點B到直線PE的距離最大值是竽+4.

【點睛】本題考查一次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)問

題等，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

3.(2023上,天津濱海新?九年級天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)?？计谥?在平面直角坐標(biāo)系

中，已知。為坐標(biāo)原點，點4(1,0),B(0,2).以點4為旋轉(zhuǎn)中心，把△AB。順時針旋轉(zhuǎn)，得AaCD.

圖①圖②

(1)如圖①，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后滿足DCIIx軸時，求點C的坐標(biāo)；

⑵如圖②，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后點C恰好落在x軸正半軸上時，求點。的坐標(biāo)；

⑶在(2)的條件下，邊。8上的一點P旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為P'當(dāng)DP+4P'取得最小值時，求

點P的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可).

【答案】(1)(3,1)

⑵(1+g,管)

⑶(0,零)

【分析】(1)如圖1中，作CHlx軸于H.只要證明四邊形4DCH是矩形，利用矩形的性質(zhì)

即可解決問題；

(2)如圖2中，作DM1x軸于在RtAADC中，求出DM、4M即可解決問題；

(3)連接P4P71,作點4關(guān)于y軸的對稱點4,連接D4交y軸于P”,連接力P",由題意4P'=

AP"=A'P",推出DP+4P，=P"D+4P”=4D,根據(jù)兩點之間線段最短，可知當(dāng)點尸與

點P"重合時，P2+PD的值最小.只要求出直線AD的解析式即可解決問題.

【詳解】（1）解：過點。作C”！無軸于H,

圖①

胤4(1,0),5(0,2),

團。4=1,OB=2,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得AAB。三△4CD,

固4。=AO=1,DC=BO=2,Z.CDA=/.BOA=90°,

又EIDCIIx軸，

0Z￡>=4DAH=/.AHC=90°,

團四邊形ZMHC為矩形，

固4H=DC,CH=DA=1,

回點C的坐標(biāo)為(3,1)；

(2)過點。作DMJ.x軸于M,

圖②

由Rt△4CD面積-1知-DM=^1DA-DC,

在Rt△AB。中，由勾股定理得AB=14。2+BQ2=Vs,

SiAC—V5,

-DM=-xlx2,

22

WM=—,

5

在Rt△ZMM中，AM=y/DA2-DM2=y,

HOM=OA+AM=1+^-,

回點。的坐標(biāo)為(1+g,等)；

(3)連接P4P'A,作點A關(guān)于y軸的對稱點4,連接交y軸于P",連接4P”,

由題意可得4P=AP',

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得AP'=AP"=A'P",

回DP+AP'=P"D+A'P"=A'D,

134（-1,0）,。的坐標(biāo)為（1+日,手）,

回設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b,

（0=-k+b

則［等=（i+?）k+/,，

f,475-2

k=-------

團直線40的解析式為y=詈、+筆N,

當(dāng)％=0時，y=4回2,

回點P的坐標(biāo)為（0,第工）.

【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題、勾股定理解直角三角形，兩點之間線段最短等

知識，解題的關(guān)鍵是會利用兩點之間線段最短解決最短路徑問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)

造直角三角形解決問題.

4.（2023上?天津和平?九年級天津市第五十五中學(xué)校考期中）等腰Rt△ABC中，/.BAC=90。,

4B=4C,點2、點B分別是y軸、久軸上兩個動點，直角邊4c交x軸于點。，斜邊BC交y軸于

點E.

（1）如圖（1）,已知C點的橫坐標(biāo)為-1,直接寫出點4的坐標(biāo)；

⑵如圖（2）,當(dāng)?shù)妊黂tAABC運動到使點。恰為4c中點時，連接DE,求證：^ADB=乙CDE；

⑶如圖(3),若點4在x軸上，且4(-6,0),點B在y軸的正半軸上運動時，分別以08、4B為

直角邊在第一、二象限作等腰直角ABOD和等腰直角△ABC,連結(jié)CD交y軸于點P,問當(dāng)點B

在y軸的正半軸上運動時，BP的長度是否變化?若變化請說明理由，若不變化，請求出BP的

長度.

【答案】⑴4(0,1)

(2)見詳解

⑶BP的長度不變，BP=3

【分析】(1)如圖1,過點C作CF軸于點尸，構(gòu)建全等三角形：AACF三△ABO(AAS),

結(jié)合該全等三角形的對應(yīng)邊相等易得04的長度，由點A是y軸上一點可以推知點A的坐標(biāo)；

(2)過點C作CG14C交y軸于點G,則A4CG三△ABD(ASA),即得CG=AD=CD,乙ADB=

乙G,由NDCE=NGCE=45。，可證△DCE三△GCE(SAS)得NCDE=NG,從而得到結(jié)論；

(3)如圖3,過點C作CE_Ly軸于點E,構(gòu)建全等三角形：△CBE三△BAO(AAS),結(jié)合全

等三角形的對應(yīng)邊相等推知：CE=BO,BE=A0=6.再結(jié)合已知條件和全等三角形的判

定定理AAS得到：△CPE=△DPB,故BP=EP=3.

【詳解】(1)解：如圖1,過點C作CFly軸于點R

圖I

0CF1y軸于點F,

回NCF4=90°,^ACF+ACAF=90°,

團NC4B=90°,

EZC71F+乙BAO=90°,

El^ACF=4BAO,

在△4CF和AABO中，

(Z.ACF=Z.BAO

{Z.CFA=Z.AOB=90°

IAC=AB

回△ACF三AAB。(AAS)

回C點的橫坐標(biāo)為一1,

0CF=。4=1,

0/1(0,1)；

(2)證明：如圖2,過點C作CGL4C交y軸于點G,

圖2

團CG_LAC,

^ACG=90°,^CAG+Z.AGC=90°,

團乙4。。=90°,

^ADO+^DAO=90°,

^AGC=/.ADO,

在△AUG和△ABO中

(乙4CG=乙BAD=90°

{AC=AB，

IZ.AGC=^ADO

回△/CG=Ai4^D(ASA),

團CG=AD=CD,Z..ADB=zG,

團乙4cB=45°,乙4CG=90°,

^DCE=乙GCE=45°,

在△OCE和△GCE中，

(CD=CG

\^DCE=(GCE,

(CE=CE

^DCE=△GCE(SAS),

^CDE=4G,

^ADB=4CDE；

(3)解：8P的長度不變，理由如下:

如圖3,過點C作CEly軸于點E,

圖3

團乙4BC=90°,

0ZCBE+Z.ABO=90°.

^BAO+(ABO=90°,

^CBE=Z.BAO.

^CEB=乙AOB=90°,AB=AC,

[HACBE=△R4O(AAS),

團CE=BO,BE=AO=6.

^BD=BO,

0CE=BD.

團4CEP=2DBP=90°,乙CPE=乙DPB,

0ACPE三△OPB(AAS),

團BP=EP=3.

【點睛】本題考查了三角形綜合題.主要利用了全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理，解決本

題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)建全等三角形.

5.(2023?天津河西?天津市新華中學(xué)校考二模)如圖，將一個直角三角形紙片AOB放置在平

面直角坐標(biāo)系中，已知點。(0,0),0A=2,AA0B=30°.D,E兩點同時從原點。出發(fā)，

點D以每秒百個單位長度的速度沿x軸正方向運動，點E以每秒1個單位長度的速度沿y

軸正方向運動，連接DE,交。力于點F，將AOEF沿直線DE折疊得到AOEF,設(shè)。，E兩點

的運動時間為f秒.

⑴求N0ED的度數(shù)及點A的坐標(biāo);

（2）若折疊后4O'EF與AAOB重疊部分的面積為S,

①當(dāng)折疊后△O'EF與420B重疊部分的圖形為三角形時，請寫出S與f的函數(shù)解析式并直

接寫出f的取值范圍；

②求S的最大值（直接寫出結(jié)果即可）.

【答案】（1）4OED=60。；X（1,V3）;

/(O

(2)①S=②s有最大值?；

—t2-3t+2V3(V3<t<—)

-83

【分析】（I）利用勾股定理求得。8的長，可求得點4的坐標(biāo)，利用特殊角的三角函數(shù)值即

可求得N0ED=60°；

（II）①分點。'落在線段。力上和點。'落在線段。4延長線上兩種情況討論，利用特殊角的三

角函數(shù)值以及三角形面積公式即可求解；

②畫出圖形，根據(jù)S=|0BxXB-|0FxEF心BEx8G結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得重

疊部分面積最大值.

【詳解】（1）???^ABO=90°,^AOB=30°,OA=2,

：.AB=-OA=1,

2

???OB=y/OA2-AB2=V3；

Z.EOD=90°,OE=3OD=V3t,

???tan/OED=—=V3,

OE

???乙OED=60°；

（2）①?；NOEO=60。，/.AOB=30°,

?-?Z.OFE=90°,即。4IDE,

.,.將△OEF沿直線DE折疊得到4（TEF,折疊后的點。'落在直線04上，

如圖，當(dāng)點。'落在線段。4上，△。上?與44。8重疊部分是4。缶尸，

此時△OEF=AO'EF,

???OE=O'E=t,乙EO'F=乙EOF=30°,

EF=-O'E=-t,

22

O'F^—t,

2

■■-S=--EF-O'F=—tz(0<t<—)；

2813J

如圖，當(dāng)點。'落在線段。4的延長線上時，△。'所與44。8重疊部分是44用尸,

設(shè)4B與EF交于點M,

OE=O'E=t,NET。=90°,/.EOF=30°,

???cosZ.EOF——

OE2

OF=—OE=—t,

22

???AF=OA-OF=2-—t,

2

乙ABO=Z.EFO=90°,

Z.AOB+Z.BAO=/-AMF+Z.BAO=90°,

???^AMF=30°,

???Z-MFA=90°,/-AMF=30°,

.,AFV3

tanZ-AMF=—=一,

MF3

MF=y[3AF=2V3-|t,

S=--AF-MF=-(_2-—tY=-t2-3t+2V3(V3<t<—).

22283

，sj*2(0<tw竽).

匕產(chǎn)一3^+273(73wt<手)

解：②當(dāng)點。'落在線段04的延長線上時，△O'EF與AAOB重疊部分是口4GEF,

OE=O'E=t,乙EFO=90°,乙EOF=30°,

???EF^-O'E=-t,OF^—OE^—t,N8EG=6(T,N8GE=30°,

2222

團BE=V3—t,BG—V3(V3—t),

iii

^\S=-OBxAB--OFxEF--BExBG

222

1r-1V511

=-xV3xl--x—tx-t--(V3-t)xV3(V3-t)

乙乙乙乙乙

5V3,2百r-

=一一—t2+3t-V3(--<t<V3)

O3

團對稱軸為t=竽，

E--<0,

8

回當(dāng)t=竽時，s有最大值F；

【點睛】本題主要考查了直線與X軸的交點、用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、運用三角函

數(shù)解三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識，對運算

能力要求比較高，運用分類討論和割補法是解決第(2)小題的關(guān)鍵.

6.(2022?天津?天津市雙菱中學(xué)?？寄M預(yù)測)在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形208C是矩形，

點。(0,0),點4(5,0),點8(0,3).以點A為中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形A0BC,得到矩形4QEF,

點。，B,C的對應(yīng)點分別為。，E,F.

圖1圖2

⑴如圖1當(dāng)點Z)落在BC邊上時，求點。的坐標(biāo)；

(2汝口圖2當(dāng)點。落在線段BE上時，4。與BC交于點H.

①求證ANDB=AAOB；

②求點"的坐標(biāo).

⑶記K為矩形20BC對角線的交點，S為AKDE的面積，求S的取值范圍(直接寫出結(jié)果即

可)

【答案】(1)(1,3)

(2)①見解析

②仔，3)

30-3734>0，30+3V34

(3)--------<D<-------

44

【分析】對于(1),根據(jù)點的坐標(biāo)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得力。=4。=5,在直角三角形中運用勾股

定理可求出CD的長，從而可確定答案；

對于(2)①，根據(jù)直角三角形全等的判定方法進行判定即可，再根據(jù)①知NB4D=ZCFX,

故BH=AH,在RtAACH中，運用勾股定理可求得4"的長，得出坐標(biāo)；

對于(3),在矩形旋轉(zhuǎn)的過程中，根據(jù)點K與直線DE的距離范圍即可確定S的取值范圍.

【詳解】(1)田點4(5,0),點8(0,3),

回。4=5,OB—3.

回四邊形4。8c是矩形，

固4c=OB=3,BC=OA=5,乙OBC=M=90°.

回矩形2DEF是由矩形AOBC旋轉(zhuǎn)得到的,

SAD=AO=5.

在RtA/WC中，AD2=AC2+DC2,

&DC=WW2-"2=，52-32=4,

WD=BC-DC=1,

國點。的坐標(biāo)是(1,3)；

(2)①證明：由四邊形4DEF是矩形，知乙4DE=90。.

回點。在線段BE上，得乙=90°.

由(1)知，AD=AO,

又AB=AB,4AOB=90°,

回RtAADBEIRt△力。B；

②由RtAADBEIRt△力。B,得=

在矩形ZOBC中，OA||BC,

SZ.CBA=/.OAB,

S/.BAD=/.CBA,

0BH=AH.

設(shè)=t(0<t<5),則4H=t,HC=BC-BH=5-t.

在RtAACH中，AH2=AC2+HC2,

或2=32+(5―土產(chǎn)，

解得t=y,

回BH=—,

5

回點X的坐標(biāo)是(￡,3)；

(3)30-3⑸VsV3。+3用

4~~4

如圖，當(dāng)矩形頂點。在線段4B上時，點K到直線DE的距離最小，最小值為線段DK的長,

則DK=AD--AB=5-=5--,

222

如圖，當(dāng)矩形頂點。在B4的延長線上時，點K到直線DE距離最大，最大值為線段DE的長,

則。K=AD+^AB=5+亨，

EIS=-DK-DE=3°+3”

24

rrhI30-3V34/0,30+3回

44

【點睛】本題主要考查了矩形的旋轉(zhuǎn)問題，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等，弄清線

段的運動路徑是解題的關(guān)鍵.

7.（2023?天津河?xùn)|?天津市第七中學(xué)校考模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，點4（2,0）,點

B（2,2）.將△。/IB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，得△（T4B,點4,。旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為4,。二記

旋轉(zhuǎn)角為a.

（1）如圖①，當(dāng)a=45。時，求點4的坐標(biāo)；

（2）如圖②，當(dāng)a=60。時，求點4的坐標(biāo)；

（3）連接。4,設(shè)線段04,的中點為M,連接。'M,求線段。'”的長的最小值（直接寫出結(jié)

【答案】⑴（2—近，2-V2）；（2）（2-V3,1）；（3）V5-V2

【分析】（1）過點4作力'C1OA,垂足為C,根據(jù)題意可得。4=AB=2,AOAB=90°,從

而求出N40B=乙4BO=45°,OB=2V2,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)力'B=AB=2,點4在線段。B上,

然后利用銳角三角函數(shù)即可求出結(jié)論；

（2）連接44,過點4作4D1OA,垂足為。，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)乙4'AB=^AA/B=60°,AA'=

AB=A'B=2,然后利用銳角三角函數(shù)可得AD=^AA'=1,AD=^-AA'=V3,求出OD,

即可得出結(jié)論；

（3）連接。4,設(shè)線段。4的中點為M,連接OM,取4B的中點N,連接。N、MN,根據(jù)

中位線的性質(zhì)可得MN=]OB=VL利用勾股定理求出O'N,然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可

得出結(jié)論.

【詳解】解：(1)如圖，過點A作AC1O4垂足為C.

E點4（2,0）,點B（2,2）,

EOA=AB=2,40AB=90°.

fflN力。B=^ABO=45°,OB=25/2.

E△0'4'B是△（MB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到的，a=45°,

團4B=AB=2,點A在線段OB上.

fflOA'=OB-A'B=2V2-2.

在RtAO4C中，A'C=OA'-sinzXOF=2-V2,OC=4C=2-

E點4的坐標(biāo)為（2—a,2-V2）.

團A'B=AB=2,AABA'=a=60°,

E/LA'AB=AAA'B=60°,AA'=AB=A'B=2.

團^A'AO=^OAB-^A'AB=30°.

在RtAA'AD中，A'D=-AA'=1,AD=^AA'=V3.

22

EOD=OA-AD=2->/3.

E點A的坐標(biāo)為（2—舊，1）.

（3）連接。4,設(shè)線段。4'的中點為M,連接。M,取4B的中點N,連接O'N、MN

0MN為回AQB的中位線，A'N=^A'B=1

0MN=|OB=V2

由勾股定理可得O'N=JO'A'2+A'N2=V5

WM>0'N-MN=V5-A/2（當(dāng)且僅當(dāng)M在線段ON上時，取等號）

回O'M的最小值為花-應(yīng).

【點睛】此題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理和三

角形中位線的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理和

三角形中位線的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.

8.（2023下?天津河北?九年級天津二中校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點，點

4（一3,0）,點8（0,遙）.以4B為一邊作等邊三角形ABC,點C在第二象限.

（助如圖①，求點C的坐標(biāo)；

（助將△408繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得AAOB,點4。旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為4,0'.

①如圖②，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為30。時，A'B,40與AC分別交于點E,F,40,與4B交于點G,求4

4。位與4ABC公共部分面積S的值；

②若P為線段CO的中點，求4P長的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）.

【答案】（助點C的坐標(biāo)為（一3,2百）；（助①S=6-|舊；03-y<XP<3+y.

【分析】（助利用48的坐標(biāo)，求解利用等邊三角形的性質(zhì)可得答案；

(E)①過點G作GH1AB于點H,分別求解^A'BG,A4EF的面積，利用S=S^BG-S^EF,

可得答案；②如圖，。'在以B為圓心，0B=百為半徑的圓上運動，延長C4至。，使C4=DA,

則。(—3,—275),設(shè)。0,丫)，得到：4ap2=0+3)2+(y+28)，所以：4ap2表示點0,與。

之間的距離，連接DB交圓B于。，，當(dāng)。，在B的下方，4P最短，反之最長，從而可得答案.

【詳解】解：(助???、(—3,0),B(0,V3),

0A=3,OB=V3.

在RtAAOB中，???tan/BA。=竺=立，

0A3

???Z.BA0=30°.

AB=20B=2V3.

???△ABC是等邊三角形，

???4CAB=60°,AC=AB=2^3.

???ACAO=90°,

團點C的坐標(biāo)為(一3,28).

(回)①過點G作GH1AB于點H,

團將△4。8順時針旋轉(zhuǎn)30。，得^A'0'B,

A'B=AB=2V3,=^BAO=30",^A'BA=30°.

NA=^A'BA=30°.

GA'=GB.

■■GHLAB,

A'H=-A'B=V3.

2

在RtAA'HG中，?.?tanNB4'G=^,

A'H

：.GH=Btan30°=1.

???S"BG=\A'B-G/7=V3.

v/.CAB=60°,WBG=30°,

Z.A'EF=^CAB+Z.A'BG=90°.

Dp

在Rt△BE4中，vsinzCXS=—,

AB

???BE—AB-sin60°=2V3x—=3.

2

在Rt^AEF'中，ArE=ArB-BE=243-3,

EF=A'E-tan30°=2—V3.

??*S&NEF=?EF=|(2V3-3)(2-V3)=|V3-6.

S-S^ArBG-S^ArEF=6--V3.

②如圖，0,在以8為圓心，。8=次為半徑的圓上運動，

延長CA至。，使貝⑺(一3,-28)，

設(shè)。則由勾股定理得：%2+(y-V3)=(V3)=3,

???。(一3,2百)，P為。'。的中點，

???4(—3,0),

2

."=(芋+3*(空),

2

44P2=*+3)2+(y+2V3),

所以：4Ap2表示點。與。之間的距離，連接D8交圓B于。。

當(dāng)。'在B的下方，4P最短，反之最長,

設(shè)2。為y-kx+b,

B（0,V3）,￡＞（-3,-2V3）,

.（b=W

"l-3/c+V3=-2V3

解得：產(chǎn)噂

lb=如

BD為:y=V3x+A/3,

（y=V3x+V3

（%2+（y-V3）2=3，

解得：\2或12

[y=V3--[y=V3+-

當(dāng)。'在B的下方時，坐標(biāo)為：0'（-日，舊一習(xí)，

4Ap2=。'￡）2=（一/+3j+4-1+2旬之

2222

=（3-f）+（V3）（3-f）=4（3-f）,

7

."=(3-與),

???AP>Of

???AP=3-—

2f

同理：當(dāng)。'在B的上方時，0'(?，|+百)，

22

44P2=O'D2=(y+3)+(V3+j+2V3)=4(3+

???AP>0,

??.AP=3+當(dāng)

【點睛】本題考查的是方程組的解法，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，

銳角三角函數(shù)，圓的基本性質(zhì)，即圓外一點與圓的最短距離與最長距離，掌握以上知識是解

題的關(guān)鍵.

9.(2023下?天津南開?九年級南開翔宇學(xué)校?？茧A段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，點。(0,0),

點4(2,0),點B(2,2),點P在線段。8上(不與點。，8重合).過點P作PQ1。8交線段04于

點Q,以PQ為邊作正方形PQEF(點F與點。在點P兩側(cè)).

(1)如圖1,當(dāng)點E在A8邊上時，求點P的坐標(biāo).

⑵設(shè)OP=t,正方形04B重疊部分圖形的面積為S.

①如圖2,若正方形「<2石尸與4。28重疊部分為五邊形，邊4B分別與QE,EF相交于點M,N,

試用含有t的式子表示MN的長，并直接寫出t的取值范圍；

②當(dāng)iwtwe時，求S的取值范圍(直接寫出結(jié)果即可).

【答案】⑴(|,|)

(2)①MN=3V2t-4(/<t<V2)；@1<S<

【分析】(1)過點P作PCI。4于點C,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出蕓=；,繼而根據(jù)PC陰4

得出PC=OC=|,即可得出P點的坐標(biāo)；

(2)①先求得t的范圍，進而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得MN的長度；

②根據(jù)S=S^pQEF-SAMNE得出關(guān)于t的二次函數(shù)，進而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)解：如圖所示，過點P作PC，。4于點C,

團點4(2,0),點8(2,2),

WA=AB=2,△OZB是等腰直角三角形,

團4尸。。=45°,

0APC。是等腰直角三角形，

團四邊形尸QEF是正方形，

團PQ=PF,(FPQ=(QPO=90°,

0A。尸Q是等腰直角三角形，

團。尸=PQ,

同理得出^是等腰直角三角形,

0EF=BF,

團OP=PF=BF,

CM

回PC1OA,BA1OA,

團PCIIB4

團—=—OP=一1

OA0B3

2

團。C=

3

回△PC。是等腰直角三角形,

2

團PC=oc=-,

3

（2）解:由(1)可得當(dāng)E在上時，P

回。P蓍

當(dāng)P是。B的中點時，M,N,分別與4B重合,

配=加=加

0PO=PQ=PF,

回。P=PF,

SOP=t,

HOF=23BF=FN=OB-OF=2&-2t,

由（1）可得AFBN是等腰直角三角形，

0AFNM是等腰直角三角形，

EINE=EF-FN=t-（2V2-2t）=3t-2V2

SiMN=V2NE=3V2t-4

I3MN=3V2t-4（^<t<V2）

（2）@MN=3V2t-4（手<t<旬

S=S正方形PQEF-SAMNE=PQ2_那皿=:—*32t_4）2=產(chǎn)一+16-

24V2t）=-1t2+6V2C-4

???對稱軸為t=-%=￥，a=-^<0,當(dāng)1=竽時，取得最大值，最大值為

-2X?727

4X（-1）X（-4）-（6V2）2_56-72_8

7=——

字4-147

當(dāng)t=l時，S=——x1+6A/2—3=6A/2——,

當(dāng)力=迎時，S=-^7x（V2）2+6V2xV2-4=-7+12-4=l,

o

El<S<-.

7

【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，平行線分線段成比例，二次函數(shù)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，

等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，分類討是解題的關(guān)鍵.

10.（2023下?天津和平?九年級天津一中校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點，

△40B為直角三角形，0B在久軸上，/.0AB=90°,AB=6,0B=10,把AAOB繞點8順時

針旋轉(zhuǎn)，得△408,點力，。旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為4,。'記旋轉(zhuǎn)角為a.

（1）如圖①，若a=30。，求0'點的坐標(biāo)；

（2）如圖②，若a=90。，求4點的坐標(biāo)；

（3）如圖③，連接44',00',直線。。'交44于點C,點E為4。的中點，連接CE.在旋轉(zhuǎn)過程

中，求CE的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）.

【答案】（1）0'（10-58,5）

（2W（碧）

（3）2<CE<8

【分析】（1）過。'作O'F_L0B于點/，OB=O'B=10,通過直角三角形的性質(zhì)可求。'尸的

長，即可求得點?！淖鴺?biāo)；

（2）過作AG1x軸于點G,過A作4H1x軸于點H,首先可證得△4BGEIA84H,可得力G=

BH,HG^A'H,再通過三角形的面積及勾股定理即可求得；

(3)由題意知，/.A'BO'=Z.ABO,AB=A'B',OB=O'B',可得4。8。'=/.ABA',Z.OO'B=

4O'OB=Z.AA'B=/.A'AB,可證得，^A'BO'=^O'CA',O',C,B,A共圓，連接BC,O'A,

由NO,4B=90。，可得N8C0=9O。，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得C為。。'的中點，可證

得CE為Aa。。，的中位線，則CE=14。，，由旋轉(zhuǎn)知，。，軌跡為以B為圓心，。8為半徑的圓，

知。'力的最小值為O'B=4B,據(jù)此即可求解.

【詳解】(1)解：過。'作O'F10B于點F,如圖①所示：

圖①

???△40B繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到^A'O'B,

：.OB=O'B=5,

乙O'BO=30°,

O'F=-O'B=5,BF=5V3,

2

???OF=OB-BF=10-5V3,

???0110-5但5)；

(2)解:過作4G_L久軸于點G,過4作4"1%軸于點“，如圖②所示:

圖②

???Z.AGB=/.BHA'=90°,

4GAB4-Z.ABG=90°,

???Z.ABA'=90°,

???^ABG+^HBA'=90°,

???AGAB=

???△20B繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到4A'O'B,

：.AB=A'B,△ABG^BA'H(AAS),

???AG=BH,BG=A'H,

在Rt△。48中，0A=y/B02-AB2=8,

11

'-'S^AB=-AB-0A=-0B-AG,

???AG=Y，

???BH=y,

??.OH=OB+BH=g,

在4GB中，BG=?,

A'H=y,

??,”(g常)；

(3)解：由題意可知，^A'BO'=^ABO,AB=A'B,OB=O'B,

???^A'BO'+Z.AB0'=乙4B。+乙48。，，即WB。，=^ABA',

■：AB=A'B,OB=O'B,

11

???/.00'B=乙O'OB=j(180o-z0S0,),AAA'B=AA'AB=j(180°-^ABA'},

???/.00'B=/.O'OB=AAA'B=Z.A'AB,

■：z.00'B+z.0'CA'=Z.AA'B+Z.A'B0',

：./-O'CA'=^A'BO',

..O',C,B,4四點共圓，

連接BC,O'A,如圖③所示：

圖③

/.O'A'B=90°,

???乙BC(T=90°,

???OB=O'B,

.??點C為。。，的中點，

???點E為40的中點，

CE為AA。。的中位線，

1

CE=-AO',

2

由旋轉(zhuǎn)可知，。'軌跡為以B為圓心，OB長為半徑的圓，如圖所示:

O：-—、、

/‘、''

:/\、

：

~o\B~I~

■■。2的最小值為O'B-AB=4,。2的最大值為O'B+AB=16,

???2<CE<8.

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定

與性質(zhì)，三角形中位線的判定與性質(zhì)，四點共圓的判定與圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，畫出輔助圖

形，確定CF的最小值是解決本題的關(guān)鍵.

11.(2023下?天津濱海新?九年級天津經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)第一中學(xué)校考開學(xué)考試)在平面直角

坐標(biāo)系中，矩形。4BC,。為原點，4(3,0),B(3,4),C(0,4),將△OBC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，點。,C

旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為O',C'.

⑴如圖(1),當(dāng)NCBC—30。時，求L的坐標(biāo)；

⑵如圖(2),當(dāng)點0'恰好落在無軸上時，。'廠與交于點0.

①此時D8與。0,是否相等，說明理由；

②求點。的坐標(biāo)；

⑶求△20(，面積的最大值.(直接寫出答案即可)

【答案】⑴。(3-竽,|)

(2)①。8=。。，；@D(3,0

⑶14

【分析】(1)如圖①中，過點C'作C'HLBC于點H.解直角三角形求出可得結(jié)論;

(2)①此時與0。，相等，證明408。'=乙0。'8即可；

②設(shè)。8=DO'=x,再利用勾股定理構(gòu)建方程求出x即可；

(3)如圖③中，當(dāng)點C'值48的延長線上時，△4。'。'的面積最大.

【詳解】(1)如圖①中，過點C‘作C'”于點H.

AB=0C=4,BC=3,

在RtABC'H中,Z.BHC=90°,/.HBC'=30°,

???—泗，=|,BH=,,

.?.CH=3-手

(2)①結(jié)論：DB=DO'.

圖②

理由：-?-BO=BO',BA100',

Z.OBA=Z.ABO',

■：ABWOC,

：.乙ABO=乙COB=乙BO'C',

???乙DBO'=乙DO'B,

DB=DO'；

②???BO=BO',BA100',

???OA-AO'=3,

設(shè)BD=DO'=x,

在RtAA。。'中，AD2+AO'2=O'D2,

(4-%)2+32=x2,

???。⑶)

(3)如圖③中，當(dāng)點C'值A(chǔ)B的延長線上時，此時點4到。工，的距離最大，即A4TL的面

積最大.

△40'C'的面積的最大值=|x7X4=14.

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的判定和

性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)

構(gòu)建方程解決問題.

12.(2023下?天津和平?九年級天津市雙菱中學(xué)?？奸_學(xué)考試)在平面直角坐標(biāo)系中，。為原

點，點4(4,0),點B(0,3),把△力80繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到△4B0，，點A、。旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)

點為4、0',記旋轉(zhuǎn)角為a.

(1)如圖①，若a=90。，求力4的長；

(2)如圖②，若a=60。，求點。，的坐標(biāo)；

(3)如圖③，尸為上一點，且PAPB=2:1,連接尸。\PA',在△4BO繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)

一周的過程中，求APO%'的面積的最大值和最小值(直接寫出結(jié)果可).

【答案］⑴5方

⑵。(乎,|)

⑶5I

【分析】(1)連接A4',過點4作4。lx軸，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求得4D和AD的值，再利用

勾股定理即可求解.

(2)過點0'作。'H，。8于點X,連接。。'，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AB。。，是等邊三角形，根據(jù)等

邊三角形的性質(zhì)即可求解.

(3)設(shè)尸到40'的距離為小則%「0如=24。'，八=2九，由題意得。是在以B為圓心的圓

上運動，當(dāng)P011014時,AP。'劫的面積最小;PG，"42時，APO'4的面積最大利用勾

股定理即可求解.

【詳解】(1)解：連接44,過點4作4D1X軸，如圖所示：

把△48。繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到△480,且點4(4,0),點B(0,3),

得O'D=0B=3,OA'=。4=4,

SA'D=。4+O'D=4+3=7,AD=OA-OD=^-3=1,

?1.AA'=y/A'D2+AD2=V72+I2=5V2.

(2)過點。'作O'H1OB于點H,連接。O',如圖所示：

把44B。繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到4A'BO',且旋轉(zhuǎn)角ct=60°,

回AB。。，是等邊三角形，

回O'B=OB=3,

MH=RB=|,O，H='OB-BH2=J32_（|）2=竽,

.?.。第,|）.

（3）設(shè)P到AO'的距離為九

回SAPO*,=~A'O'xh=2h,

EHAB。繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，

回。是在以B為圓心的圓上運動，

如圖所示：

當(dāng)P?！俊?遇1