2024年中考數(shù)學(xué)《動(dòng)點(diǎn)綜合問(wèn)題》及答案

動(dòng)點(diǎn)綜合問(wèn)題（33題）

一、

1.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖1,矩形ARCO中，口。為其對(duì)角線，一動(dòng)點(diǎn)尸從。出發(fā)，沿著。

的路徑行進(jìn)，過(guò)點(diǎn)P作尸Q，CD,垂足為Q.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為加尸Q—OQ為"，“與t的函數(shù)圖

A4V2口87V311

A.丁B.-rC.丁Dn.—

2.（2024.黑龍江齊齊哈爾.中考真題）如圖，在等腰母△ABC中，乙BAC=90°,AB=12,動(dòng)點(diǎn)E,尸同時(shí)從

點(diǎn)A出發(fā),分別沿射線AB和射線AC的方向勻速運(yùn)動(dòng),且速度大小相同,當(dāng)點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)尸也隨

之停止運(yùn)動(dòng)，連接即，以EF為邊向下做正方形EFGH，設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路程為c（0V2：（12）,正方形

EFGH和等腰以A4bC重合部分的面積為下列圖像能反映u與C之間函數(shù)關(guān)系的是（）

3.（2024?四川瀘州?中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E,尸分別是邊AB,8c上的動(dòng)點(diǎn),

且滿足AE=BF,AF與DE交于點(diǎn)O,點(diǎn)河是。尸的中點(diǎn)，G是邊上的點(diǎn)，AG=2GB,則OM+

J尸G的最小值是（）

C.8D.10

4.（2024?甘肅?中考真題）如圖1,動(dòng)點(diǎn)P從菱形ABCD的點(diǎn)A出發(fā),沿邊AB■勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C

時(shí)停止.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為力，PO的長(zhǎng)為y,沙與①的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)

5.（2024.湖南長(zhǎng)沙.中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=6,乙5=30°,點(diǎn)E是8C邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接

AE,Z2E,過(guò)點(diǎn)4作/斤,可于點(diǎn)P.設(shè)￡?=宓，人斤=”則沙與2之間的函數(shù)解析式為（不考慮自變

量力的取值范圍）（）

C.1D”遺

XX

二、填空題

6.（2024.江蘇揚(yáng)州.中考真題）如圖，已知兩條平行線射點(diǎn)4是上的定點(diǎn)，ABJL:于點(diǎn)B,點(diǎn)、C、D分

別是"、。上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AC=8。，連接CD交線段于點(diǎn)E,CD于點(diǎn)H,則當(dāng)NBAH最大

時(shí)，sinZBAH的值為.

_____________眇

7.（2024.四川廣安?中考真題）如圖，在0ABe?中，AB=4,AD=5,30°,點(diǎn)河為直線上一

動(dòng)點(diǎn),^\MA+MD的最小值為.

8.（2024.四川涼山.中考真題）如圖，。及■的圓心為雙（4,0）,半徑為2,P是直線g=刀+4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)P作。河的切線,切點(diǎn)為Q,則PQ的最小值為

9.（2024.黑龍江綏化.中考真題）如圖，已知AAOB=50°,點(diǎn)P為AAOB內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)M為射線OA、點(diǎn)N

為射線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△尸AW的周長(zhǎng)最小時(shí)，則NMPN=.

10.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知4（3,0）,8（0,2）,過(guò)點(diǎn)8作4軸的垂線

Z,P為直線Z上一動(dòng)點(diǎn)，連接PO,9,則PO+24的最小值為.

11.（2024?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，在△48。中，N4BC=60°,BC=8,E是BC邊上一點(diǎn)、，且BE=2,點(diǎn)、

/是△A8C的內(nèi)心，BI的延長(zhǎng)線交/C于點(diǎn)D,P是BD上一動(dòng)點(diǎn),連接PE、PC,則PE+PC的最小值

12.（2024.山東煙臺(tái).中考真題）如圖，在OABCD中，ZC=120°,AB=8,BC=W.E為邊CD的中點(diǎn)，F(xiàn)

為邊4D上的一動(dòng)點(diǎn)，將4DEF沿EF翻折得△￡）上斤，連接AD,,則△面積的最小值為

13.（2024.四川宜賓.中考真題）如圖，正方形4BCD的邊長(zhǎng)為1,M、N是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn).若NMAN

=45°,則MN的最小值為

14.（2024.四川宜賓.中考真題）如圖，在平行四邊形ABC?中，AB=2,AD=4,E、尸分別是邊CD、AD1.

的動(dòng)點(diǎn)，且CE=DF.當(dāng)AE+CF的值最小時(shí)，則CE=.

三、解答題

15.（2024.江蘇蘇州.中考真題）如圖，△ABC中，47=BC,乙4cB=90°,4（—2,0）,。（6,0）,反比例函數(shù)"

=^（fc^0,T>0）的圖象與4B交于點(diǎn)。（小,4）,與交于點(diǎn)E.

⑴求?TZ,k的值；

（2）點(diǎn)P為反比例函數(shù)"=/（%#0避＞0）圖象上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P在之間運(yùn)動(dòng)，不與。，后重合），過(guò)點(diǎn)

尸作PM7/AB,交"軸于點(diǎn)雙，過(guò)點(diǎn)尸作尸N〃工軸，交8C于點(diǎn)N,連接MV,求△*!小面積的最大值，

并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

16.（2024.四川自貢.中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)夕=做+6的圖象與反比例函數(shù)0=

—的圖象交于4—6,1），B（l,n）兩點(diǎn).

X

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

（2）P是直線2=—2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△MB的面積為21,求點(diǎn)P坐標(biāo);

（3）點(diǎn)Q在反比例函數(shù)4=5位于第四象限的圖象上，AQAB的面積為21,請(qǐng)直接寫(xiě)出Q點(diǎn)坐標(biāo).

X

17.（2024.四川瀘州.中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=a/+be+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)

人（3,0）,與"軸交于點(diǎn)J3,且關(guān)于直線劣=1對(duì)稱.

⑴求該拋物線的解析式；

（2）當(dāng)—IWcWt時(shí)，0的取值范圍是—1,求t的值;

（3）點(diǎn)。是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作力軸的垂線交直線于點(diǎn)。，在沙軸上是否存

在點(diǎn)E,使得以8,。，。，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長(zhǎng);若不存在，說(shuō)明理由.

18.（2024.四川南充?中考真題）已知拋物線y=—/+就+。與力軸交于點(diǎn)A（-l,0），8（3,0）.

rai圖2

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,拋物線與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P為線段OC上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線24,PB分別交拋物線

于點(diǎn)瓦。,設(shè)APAD面積為S，△尸BE面積為$2,求善的值；

（3）如圖2,點(diǎn)K是拋物線對(duì)稱軸與c軸的交點(diǎn),過(guò)點(diǎn)K的直線（不與對(duì)稱軸重合）與拋物線交于點(diǎn)

N,過(guò)拋物線頂點(diǎn)G作直線2〃力軸，點(diǎn)Q是直線I上一動(dòng)點(diǎn).求QM+QN的最小值.

19.（2024?吉林?中考真題）如圖，在△ABC中，ZC=90°,ZB=30°,AC=3cm,AD是△ABC的角平分線.

動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以V3cm^的速度沿折線AD-DB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)P作PQ〃4交AC于

點(diǎn)Q,以PQ為邊作等邊三角形PQE,且點(diǎn)C,E在PQ同側(cè),設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（f>0）,/\PQE

與△ABC重合部分圖形的面積為S（cm2）.

（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段4。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷△APQ的形狀（不必證明），并直接寫(xiě)出AQ的長(zhǎng)（用含力的代數(shù)式

表示）.

（2）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)。重合時(shí)，求力的值.

（3）求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍.

20.（2024.四川德陽(yáng)?中考真題）如圖，拋物線夕=d—2+c與刀軸交于點(diǎn)人（—1,0）和點(diǎn)與4軸交于點(diǎn)C.

___________F

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)0〈/42時(shí)，求g=a?一力+c的函數(shù)值的取值范圍；

（3）將拋物線的頂點(diǎn)向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)/,點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，求M+

暇?的最小值.

21.（2024.黑龍江大興安嶺地.中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形的邊在刀軸上,

點(diǎn)A在第一象限，。4的長(zhǎng)度是一元二次方程X2-5X-6=0的根，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)以每秒2個(gè)單位

長(zhǎng)度的速度沿折線04-運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OB—BA運(yùn)

動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1秒（0〈力（3.6）,Z\OPQ的面積為S.

（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在⑵的條件下，當(dāng)S=時(shí)，點(diǎn)河在v軸上,坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使得以點(diǎn)。、P、M、N為

頂點(diǎn)的四邊形是菱形.若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在，說(shuō)明理由.

22.（2024.江西?中考真題）綜合與實(shí)踐

如圖，在Rt/\ABC中，點(diǎn)。是斜邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。與點(diǎn)A不重合），連接CD,以CD為直角邊在CD

的右側(cè)構(gòu)造Rt/XCDE,ADCE=90°,連接BE,霽=巽=鵬.

CDCA

H2

特例感知

（1）如圖1,當(dāng)m=1時(shí)，8E與AD之間的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；

類(lèi)比遷移

（2）如圖2,當(dāng)?。?時(shí)，猜想BE與之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明猜想.

拓展應(yīng)用

（3）在（1）的條件下，點(diǎn)尸與點(diǎn)。關(guān)于。E對(duì)稱,連接。尸，即，,如圖3.已知AC=6,設(shè)入。=以四

邊形CDFE的面積為9.

①求"與①的函數(shù)表達(dá)式，并求出"的最小值；

②當(dāng)BF=2時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出4D的長(zhǎng)度.

23.（2024.黑龍江齊齊哈爾.中考真題）綜合與探究:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線4=皆工一2與c軸

交于點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C,過(guò)A,C兩點(diǎn)的拋物線y=a/+bcc+c（a￥0）與立軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)8（

-1,0）,點(diǎn)P是拋物線位于第四象限圖象上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P分別作t軸和y軸的平行線，分別交直線AC

于點(diǎn)E,點(diǎn)尸.

（2）點(diǎn)。是立軸上的任意一點(diǎn)，若△ACD是以AC為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)EF=時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（4）在（3）的條件下，若點(diǎn)N是0軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)N作拋物線對(duì)稱軸的垂線,垂足為M,連接M4,

MP,^\NA+MP的最小值為.

24.（2024.四川廣元.中考真題）在平面直角坐標(biāo)系rrO夕中，已知拋物線尸：y=—/+b宓+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)

A（—3,-L）,與y軸交于點(diǎn)5（0,2）.

⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）在直線上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)C,連接OC交于點(diǎn)。，求器的最大值及此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（3）作拋物線尸關(guān)于直線y=-1上一點(diǎn)的對(duì)稱圖象尸，拋物線F與尸只有一個(gè)公共點(diǎn)E（點(diǎn)E在沙軸右

側(cè)），G為直線上一點(diǎn)，以為拋物線F對(duì)稱軸上一點(diǎn)，若以8,瓦G,H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊

形，求G點(diǎn)坐標(biāo).

25.（2024.天津.中考真題）將一個(gè)平行四邊形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0（0,0）,點(diǎn)力⑶0）,

點(diǎn)在第一象限，且OC=2,/49C=60°.

（1）填空:如圖①，點(diǎn)C的坐標(biāo)為,點(diǎn)B的坐標(biāo)為；

（2）若P為立軸的正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線Z，c軸,沿直線I折疊該紙片，折疊后點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

O,落在土軸的正半軸上,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C.設(shè)OP=九

①如圖②,若直線I與邊CB相交于點(diǎn)Q,當(dāng)折疊后四邊形PO'C'Q與00ABe重疊部分為五邊形時(shí)，

O'C與相交于點(diǎn)E.試用含有t的式子表示線段BE的長(zhǎng)，并直接寫(xiě)出t的取值范圍；

②設(shè)折疊后重疊部分的面積為S,當(dāng)日wtw#■時(shí)，求S的取值范圍（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）.

oa

26.（2024.湖南.中考真題）已知二次函數(shù)y=-x2+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2,5）,點(diǎn)。（電,"）,。但，紡）是此二

次函數(shù)的圖像上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).

⑴求此二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）如圖1,此二次函數(shù)的圖像與步軸的正半軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)P在直線AB的上方，過(guò)點(diǎn)P作PC，立軸于

點(diǎn)。，交于點(diǎn)。,連接AC,DQ,PQ.若g=傷+3,求證言文的值為定值；

⑶如圖2,點(diǎn)P在第二象限，g=—2g,若點(diǎn)河在直線PQ上，且橫坐標(biāo)為X1-l,過(guò)點(diǎn)河作AWLc軸

于點(diǎn)N,求線段AW長(zhǎng)度的最大值.

27.（2024.廣東.中考真題）【問(wèn)題背景】

如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是直線夕=姐（0>0）上第一象限內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（。。>?？冢?，以線

段BD為對(duì)角線作矩形ABCD,4D〃c軸.反比例函數(shù)夕="的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.

X

【構(gòu)建聯(lián)系】

（1）求證：函數(shù)V="的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.

X

（2）如圖2,把矩形ABCD沿BD折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E.當(dāng)點(diǎn)E落在沙軸上，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,2）

時(shí)，求k的值.

【深入探究】

（3）如圖3,把矩形ABCD沿折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E.當(dāng)點(diǎn)E,4重合時(shí),連接AC交8。于點(diǎn)P.

以點(diǎn)。為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作?O.若OP=3囂，當(dāng)。。與4ABC的邊有交點(diǎn)時(shí)，求R的取值范圍.

交于點(diǎn)。.點(diǎn)。是拋物線的頂點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,連接AC,OC,直線AC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M,若點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上一點(diǎn)，且

S"MC=2SADW求點(diǎn)P的坐標(biāo)：

(3)若點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱軸上位于點(diǎn)。上方的一動(dòng)點(diǎn),是否存在以點(diǎn)N,A,C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三

角形,若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

29.(2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=a/+be+c(a￥O)的圖像

經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)人(4,0).經(jīng)過(guò)點(diǎn)4的直線與該二次函數(shù)圖象交于點(diǎn)8(1,3),與9軸交于點(diǎn)C.

(1)求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在直線上方時(shí),過(guò)點(diǎn)P作PE，①軸于點(diǎn)E,與直線

交于點(diǎn)。，設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為m.

①m為何值時(shí)線段PD的長(zhǎng)度最大，并求出最大值；

②是否存在點(diǎn)P,使得^BPD與△AOC相似.若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

30.(2024?四川廣安?中考真題)如圖，拋物線y=—率？+尻+c與比軸交于/,8兩點(diǎn)，與4軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)

O

A坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)B坐標(biāo)為(3,0).

（1）求此拋物線的函數(shù)解析式.

（2）點(diǎn)P是直線上方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作7軸的垂線交直線于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂

線，垂足為點(diǎn)E，請(qǐng)?zhí)骄?PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo);若沒(méi)有

最大值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）點(diǎn)M為該拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)=45°時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)雙的坐標(biāo).

31.（2024.山東煙臺(tái).中考真題）如圖，拋物線m=姐2+E+c與立軸交于人，口兩點(diǎn)，與夕軸交于點(diǎn)C,OC

=OA,AB=4,對(duì)稱軸為直線h-.x=—1,將拋物線為繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后得到新拋物線紡，拋物線紡與"

軸交于點(diǎn)。，頂點(diǎn)為E,對(duì)稱軸為直線b

（1）分別求拋物線仇和統(tǒng)的表達(dá)式；

⑵如圖1,點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（—6,0）,動(dòng)點(diǎn)河在直線h上，過(guò)點(diǎn)M作MN//x軸與直線為交于點(diǎn)N,連接

FM,DN.求IW+MN+ON的最小值；

（3）如圖2,點(diǎn)H的坐標(biāo)為（0,-2），動(dòng)點(diǎn)P在拋物線統(tǒng)上，試探究是否存在點(diǎn)P，使NPEH=24DHE?

若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

32.（2024?甘肅?中考真題）如圖1,拋物線y=a（＞—%y+A；交c軸于O,4（4,0）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為6（2,23）.點(diǎn)

。為08的中點(diǎn).

___________F

（1）求拋物線y=a（a;—h）2+k的表達(dá)式；

（2）過(guò)點(diǎn)。作CH，OA,垂足為H,交拋物線于點(diǎn)E.求線段CE的長(zhǎng).

（3）點(diǎn)D為線段OA上一動(dòng)點(diǎn)（。點(diǎn)除外）,在。。右側(cè)作平行四邊形OCFD.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)F落在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

②如圖3,連接BD,BF,求BD+BF的最小值.

33.（2024?重慶?中考真題）在RtZVLBC中，AACB=90°,=過(guò)點(diǎn)B作〃人C.

⑴如圖1,若點(diǎn)。在點(diǎn)8的左側(cè)，連接CD,過(guò)點(diǎn)A作AELCD交于點(diǎn)E.若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，求

證：AC=2BD；

⑵如圖2,若點(diǎn)。在點(diǎn)B的右側(cè)，連接AO,點(diǎn)斤是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交47于點(diǎn)G,連接CR.

過(guò)點(diǎn)F作出，BG交4B于點(diǎn)河，CN平分/ACB交BG于點(diǎn)N,求證：AM=CN+^BD；

（3）若點(diǎn)。在點(diǎn)B的右側(cè)，連接AD,點(diǎn)尸是40的中點(diǎn)，且A尸=AC.點(diǎn)P是直線47上一動(dòng)點(diǎn),連接

FP,將尸P繞點(diǎn)廠逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到尸Q,連接8Q,點(diǎn)R是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接BR,QR.在點(diǎn)P

的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)BQ取得最小值時(shí),在平面內(nèi)將ABQR沿直線QR翻折得到△TQR,連接FT.在點(diǎn)

R的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，直接寫(xiě)出察的最大值.

動(dòng)點(diǎn)綜合問(wèn)題（33題）

一、

1.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖1,矩形ARCO中，口。為其對(duì)角線，一動(dòng)點(diǎn)尸從。出發(fā)，沿著。

的路徑行進(jìn)，過(guò)點(diǎn)P作尸Q，CD,垂足為Q.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為加尸Q—OQ為"，“與t的函數(shù)圖

A4V2口87V311

A.丁B.-rC.丁Dn.—

【答案】B

【分析】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得出信息是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)函數(shù)的圖象與坐標(biāo)的關(guān)系確定CD的長(zhǎng)，再根據(jù)矩形性質(zhì)及勾股定理列方程求解.

【詳解】解：由圖象得：CD=2,當(dāng)BD+BP=4時(shí)，PQ=CD=2,此時(shí)點(diǎn)P在BC邊上，

設(shè)此時(shí)BP=a,則BD=4—a,AD=BC=2+a,

在RtNBCD中，RD?—BC2=B,

即：（4—a）2—（a+2）2=22,

解得:a=W，

o

:.AD=a+2=,

o

故選：B.

2.（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如圖,在等腰Rt/\ABC中，/R4C=90°,4B=12,動(dòng)點(diǎn)E,F同時(shí)從

點(diǎn)A出發(fā),分別沿射線AB和射線AC的方向勻速運(yùn)動(dòng)，且速度大小相同，當(dāng)點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)尸也隨

之停止運(yùn)動(dòng)，連接即，以所為邊向下做正方形即GH,設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路程為力（0<*<12）,正方形

EFGH和等腰AtZWLBC重合部分的面積為下列圖像能反映“與力之間函數(shù)關(guān)系的是（）

【答案】A

【分析】本題考查動(dòng)態(tài)問(wèn)題與函數(shù)圖象，能夠明確g與力分別表示的意義，并找到幾何圖形與函數(shù)圖象之間的

關(guān)系，以及對(duì)應(yīng)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意并結(jié)合選項(xiàng)分析當(dāng)與重合時(shí)，及當(dāng)力44時(shí)圖象的走勢(shì)，和

當(dāng)力>4時(shí)圖象的走勢(shì)即可得到答案.

【詳解】解:當(dāng)HG與重合時(shí)，設(shè)在石=力，由題可得：

EF—EH—V2x,BE—12—x,

在Rt^EHB中，由勾股定理可得：BE2=BH2+EH2,

???（方方）2+（囂力）2=（12—力y,

/.x=4,

當(dāng)0V/&4時(shí)，g=（V2T）2=2x2,

V2>O,

圖象為開(kāi)口向上的拋物線的一部分，

當(dāng)HG在下方時(shí)，設(shè)4￡=/，由題可得：

/.EF=V2x,BE=12—rc,

???ZAEF=ZB=45°,ZA=AEOB=90°,

???/\FAE-/\EOB,

.AE=EO

??國(guó)一麗’

?xEO

V2x12—6'

12—T

:?EO="廣,

v2

當(dāng)4VcV12時(shí)，g=（V2x）?x—（12—6）3?=—/+126,

v2

*/—1V0,

圖象為開(kāi)口向下的拋物線的一部分，

綜上所述：A正確,

故選：4

3.（2024.四川瀘州.中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形中，點(diǎn)E,尸分別是邊上的動(dòng)點(diǎn),

且滿足=B斤，AF與。E交于點(diǎn)O,點(diǎn)加?是。F的中點(diǎn)，G是邊上的點(diǎn)，AG=2G8,則OM+

_____________眇

J尸G的最小值是（）

C.8D.10

【答案】B

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等等，先證明

AADE空^BAF（SAS）得到AADE=ABAE,進(jìn)而得到ZDOF=90°,則由直角三角形的性質(zhì)可得OM=

如圖所示，在AB延長(zhǎng)線上截取BH=BG,連接易證明4FBG空/XFBH（SAS）,則FH=FG,可

得當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，DF+HF有最小值，即此時(shí)（W+^FG有最小值，最小值即為0H的長(zhǎng)的一半，

求出AH=8,在RtAADH中，由勾股定理得DH=y/AD2+AH2=10,責(zé)任O2W+:FG的最小值為5.

【詳解】解：?.?四邊形ABGD是正方形，

AD=AB,NDAB=AABC=90°,

又AE=BF,

：.AADEn△BAF(SAS),

???/ADE=/BAF,

：./.DOF=AADO+/DAO=ABAF+/.DAO=/.DAB=90°,

???點(diǎn)河是。F的中點(diǎn)，

；.OM=，DF;

如圖所示，在AB延長(zhǎng)線上截取BH=BG,連接FH,

?：NFBG=NFBH=90°,FB=FB,BG=BH,

：.^FBG篤AFBH(SAS),

：.FH=FG,

：.OM+-j-FG=^DF+三HF=g(DF+HF),

.?.當(dāng)H、。、F三點(diǎn)共線時(shí)，OF+HF有最小值，即此時(shí)OM+yFG有最小值，最小值即為的長(zhǎng)的一半,

???AG=2GB,AB=6,

:,BH=BG=2,

AH—8,

在Rt/\ADH中，由勾股定理得DH=y/Alf+AH2=10,

.?.OM+/FG的最小值為5,

故選：B.

4.（2024.甘肅.中考真題）如圖1,動(dòng)點(diǎn)P從菱形的點(diǎn)人出發(fā)，沿邊AB-BC勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。

時(shí)停止.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為力，PO的長(zhǎng)為y,y與①的函數(shù)圖象如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)

時(shí)，PO的長(zhǎng)為（）

圖1圖2

A.2D.2V2

【答案】C

【分析】結(jié)合圖象，得到當(dāng)2=0時(shí)，PO=49=4,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，PO=BO=2,根據(jù)菱形的性質(zhì)，得

AAOB=ABOC=90°,繼而得到AB=BC=y/O^+OB*2=2函，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí)，PO的長(zhǎng)為

解得即可.

本題考查了菱形的性質(zhì)，圖象信息題，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，勾股定理,直角三

角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】結(jié)合圖象,得到當(dāng)土=0時(shí)，PO=AO=4,

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，PO=BO=2,

根據(jù)菱形的性質(zhì)，得AAOB=ABOC=90°,

故AB=BC=y/O^+OB2=2V5,

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí)，PO的長(zhǎng)為yBC=V5,

故選C.

5.（2024.湖南長(zhǎng)沙.中考真題）如圖，在菱形4BCD中，AB=6,NB=30°,點(diǎn)E是8c邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接

AE,DE,過(guò)點(diǎn)［作人斤，于點(diǎn)P.設(shè)DE=x,A尸=9,則夕與土之間的函數(shù)解析式為（不考慮自變

量c的取值范圍）（）

【答案】。

【分析】本題考查菱形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形的

性質(zhì)求解x、y的關(guān)系式是解答的關(guān)鍵.過(guò)D作DH_LBC,交BC延長(zhǎng)線于H,則/DHE=90°,根據(jù)菱形的

性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到CD=AD==6,ZADF=ADEH,ZDCH==30°,進(jìn)而利用含30度角的

直角三角形的性質(zhì)DH=±CD=3,證明AAFD?4DHE彳導(dǎo)到*=聾■，然后代值整理即可求解.

2L）HDE/

【詳解】解:如圖，過(guò)。作DH_LBC,交BC延長(zhǎng)線于H,則乙DHE=90°,4/

?.?在菱形ABGD中，48=6,乙8=30°,

:.AB"CD,AD〃BC,CD=AD=AB=6,

：.NADF=NDEH,4DCH=ZB=30°,

在RtACDH中，DH=]CD=3,

?.?AF±DE,

：.AAFD=/.DUE=90°,又AADF=ADEH,

???/\AFD?/\DHE,

.AF=AD

??成一市’

DE=x,AF=y,

.y_-6_

.?3%'

，

,,yx

故選：c.

二、填空題

6.(2024.江蘇揚(yáng)州?中考真題)如圖，已知兩條平行線。、為，點(diǎn)4是人上的定點(diǎn)，，，2于點(diǎn)B，點(diǎn)。分

別是"、。上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足人。=連接CD交線段于點(diǎn)E,BH，CD于點(diǎn)則當(dāng)NBAH最大

時(shí)，sin/R4H的值為.

[分析】證明AACE空"DE(ASA)，得出BE=AE=^AB,根據(jù)BH_LCD,得出2BHE=90°,說(shuō)明點(diǎn)H在

以BE為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取線段BE的中點(diǎn)。，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑畫(huà)圓,則點(diǎn)H在0O上運(yùn)動(dòng)，說(shuō)明

當(dāng)與OO相切時(shí)■最大，得出OH_L根據(jù)AO=AE+OE=3OE,利用=

黑=:，即可求出結(jié)果.

oCyzJ/0

【詳解】解：?.?兩條平行線4、[2,點(diǎn)I是牛上的定點(diǎn)，4BJ_于點(diǎn)B,

.?.點(diǎn)8為定點(diǎn)，的長(zhǎng)度為定值，

；Zi///2,

A4ACE=4BDE,4CAE=4DBE,

?/AC=BD,

：.&ACEZ^BDE(ASA),

；.BE=AE=[AB,

?：BH±CD,

：.ABHE=90°,

:.點(diǎn)、H在以BE為直徑的圓上運(yùn)動(dòng),

如圖，取線段BE的中點(diǎn)O,以點(diǎn)。為圓心，OB為半徑畫(huà)圓,

則點(diǎn)H在QO上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)與OO相切時(shí)最大，

：.OH±AH,

?；AE=OB=2OE,

：.AO^AE+OE^3OE,

?：OH=OE,

..OHOE1

??ssg”談二

故答案為：!.

o

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周南定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解直角三角形等

知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡.

7.（2024.四川廣安?中考真題）如圖，在DABCD中，48=4,AD=5,4ABe=30°,點(diǎn)河為直線BC上一

動(dòng)點(diǎn)，則M4+MD的最小值為

【答案】@

【分析】如圖，作A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)4,連接4。交于AT,則AH=A'H,AH±BC,AM'A'M',

當(dāng)M,M'重合時(shí)，AM+Aff）最小，最小值為再進(jìn)一步結(jié)合勾股定理求解即可.

【詳解】解:如圖，作力關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)4,連接4。交BC于AT,則4H■=Aff_LBC,入河，=

A'M',

：.當(dāng)初,AT重合時(shí)，AM+7WD最小，最小值為40,

?/AB=4,AABC=30°,在QABCD中，

AH=^AB=2,ADHBC,

AA'=2AH=4,AA'±AD,

AD=5,

A'

=/邛+52=何,

故答案為：何

【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，求最小值問(wèn)題，正確理解各性質(zhì)及掌握各知

識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

8.（2024.四川涼山.中考真題）如圖，。及■的圓心為雙（4,0）,半徑為2,P是直線g=刀+4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)P作。河的切線,切點(diǎn)為Q,則PQ的最小值為

【分析】記直線?/=劣+4與2，9軸分別交于點(diǎn)A,K,連接QM,PM,KM;由直線解析式可求得點(diǎn)4K的坐

標(biāo)，從而得△OAK,△OKM均是等腰直痢三角形，由相切及勾股定理得：PQ=^PM2-QM2,由QM=2,則

當(dāng)最小時(shí)，PQ最小，點(diǎn)P與點(diǎn)K重合，此時(shí)■最小值為KM,由勾股定理求得的最小值，從而求得

結(jié)果.

【詳解】解：記直線夕=,+4與c,夕軸分別交于點(diǎn)A,K,連接QM,PM,KM,

當(dāng)必=0,夕=4,當(dāng)夕=0,即2+4=0,

解得：x=—4,

即K(O,4),A(—4,0);

而M(4,0),

：.OA=OK=OM=^,

：./\OAK,△OKM均是等腰直角三角形，

AAKO=AMKO=45°,

AAKM=90°,

?：QP與。M相切，

ZPQM=90°,

APQ=y/PM2-QM'2,

?：QM=2,

當(dāng)PQ最小時(shí)即PM最小，

當(dāng)PA/_LAK時(shí)，取得最小值，

即點(diǎn)P與點(diǎn)K重合,此時(shí)P7W最小值為KM,

在Rt/\OKM中，由勾股定理得：KM=y/OM2+OK2=472

/.PQ=732^4=2V7,

/.PQ最小值為26.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題，垂線段最短，正確添加輔助線

是解題的關(guān)鍵.

9.(2024.黑龍江綏化.中考真題)如圖，已知AAOB=50°,點(diǎn)P為AAOB內(nèi)部一點(diǎn),點(diǎn)河為射線OA、點(diǎn)、N

為射線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，則NMPN=

【答案】80°/80度

【分析】本題考查了軸對(duì)稱一最短路線問(wèn)題，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用；作點(diǎn)P關(guān)于。4,

OB的對(duì)稱點(diǎn)打,三.連接OP、,OP?.則當(dāng)初，N是月￡與。力，OB的交點(diǎn)時(shí)，^PMN的周長(zhǎng)最短,根據(jù)對(duì)

稱的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解:作P關(guān)于。4,OB的對(duì)稱點(diǎn)呂，連接。月，OP2.則當(dāng)是舄g與。4,03的交點(diǎn)時(shí)，

△PMN的周長(zhǎng)最短,連接PiP、P?P,

???P、舄關(guān)于04對(duì)稱，

NPQP=2ZMOF,OPr=OP,PXM=PM,AOPVM=NOPM,

同理，/P20P=2ZNOP,OP=OP2,ZOP2N=AOPN,

/.乙P\OP?=4PQP+NROP=2(ZMOP+ZNOP)=2ZAOB=100°,OP、=OPLOP,

：.△ROg是等腰三角形.

A4ORN=/ORW=40°,

AZMPN=ZMPO+ANPO=AOP2N+4OP、M=80°

故答案為：80°.

10.(2024.四川成者B?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系rcOy中，已知4(3,0),8(0,2),過(guò)點(diǎn)口作"軸的垂線

I,P為直線I上一動(dòng)點(diǎn),連接PO,E4,則PO+_R4的最小值為.

【答案】5

【分析】本題考查軸對(duì)稱一最短問(wèn)題以及勾股定理和軸對(duì)稱圖形的性質(zhì).先取點(diǎn)A關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)A,,

連A'O交直線，于點(diǎn)。，連AC,得到AC=A'C,A'A±Z,再由軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短，得到

當(dāng)O,P,4三點(diǎn)共線時(shí)，PO+_R4的最小值為40,再利用勾股定理求40即可.

【詳解】解:取點(diǎn)A關(guān)于直線Z的對(duì)稱點(diǎn)A',連A'O交直線Z于點(diǎn)。，連AC,

則可知AC=4。，ArA±l,

PO+PA^PO+PA'>AO,

即當(dāng)O,P,4三點(diǎn)共線時(shí)，PO+24的最小值為4。,

1/直線I垂直于g軸，

/.AA_L7軸，

???4(3,0),石(0,2),

f

??.AO=3,AA=4f

???在凡△449中，

A'O=y/O^+AA'2=V32+42=5,

故答案為：5

11.(2024?四川內(nèi)江?中考真題)如圖，在△48。中，N4BC=60°,BC=8,E是BC邊上一點(diǎn)、，且BE=2,點(diǎn)、

/是△A8C的內(nèi)心，BI的延長(zhǎng)線交/C于點(diǎn)D,P是BD上一動(dòng)點(diǎn),連接PE、PC,則PE+PC的最小值

為.

_______W

【答案】

【分析】在AB取點(diǎn)F,使BF=BE=2,連接PF,CF,過(guò)點(diǎn)F作FH_LBC于H,利用三角形內(nèi)心的定義可得

出/4BD=/CBD,利用SAS證明△BFP空△BEP,得出PF=PE,則PE+PC=PF+PSCF,當(dāng)C、

P、F三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PC最小，最小值為CF,利用含30°的直角三角形的性質(zhì)求出9,利用勾股定理求

出FH,CF即可.

【詳解】解:在48取點(diǎn)F,使BF=BE=21,連接PF,CF,過(guò)點(diǎn)F作FH_LBC于H,

是△ABC的內(nèi)心，

:.BI平分NABC,

ZABD=ZCBD,

叉BP=BP,

：.△BFP空ABEP(SAS),

：.PF=PE,

：.PE+PC=PF+POCF,

當(dāng)。、。、干三點(diǎn)共線時(shí)，。石+。。最小，最小值為CF,

?：FH±BC,AABC=60°,

ZBFH=30°,

:.BH=[BF=I,

：.FH=^BF2-BH'2=V3,CH=BC—BH=7,

：.CF=^CH2+FH2=2V13,

.?.PE+PC的最小值為

故答案為：2，瓶.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)心，全等三角形的判定與性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，

明確題意，添加合適輔助線，構(gòu)造全等三角形和含30°的直角三角形是解題的關(guān)鍵.

12.(2024.山東煙臺(tái).中考真題)如圖，在OABCD中，ZC=120°,AB=8,BC=W.E為邊CD的中點(diǎn)，F(xiàn)

為邊4D上的一動(dòng)點(diǎn)，將4DEF沿EF翻折得AD'EF,連接AD,,,則AABD'面積的最小值為

【答案】20V3-16/-16+20V3

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CD=AB=8,AB〃CD,AABC=60°,由折疊性質(zhì)得到ED=DE=4,

進(jìn)而得到點(diǎn)。在以E為圓心，4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，過(guò)E作EM_LAB交4B延長(zhǎng)線于“，交圓E于

。，此時(shí)。到邊AB的距離最短，最小值為。M■的長(zhǎng)，即此時(shí)△ABZ7面積的最小，過(guò)。作C7V_LAB于N,根

據(jù)平行線間的距離處處相等得到雨=C7V,故只需利用銳角三角函數(shù)求得CN=5沖即可求解.

【詳解】解：在UABCD中,4BCD=120°,AB=8,

:.CD=AB=8,AB//CD,AABC^180°-ABCD=60°,

:E為邊CD的中點(diǎn)、,

：.DE=CE=~CD=4：,

?：△DEF沿EF翻折得4DEF,

:.ED=DE=4,

點(diǎn)。在以E為圓心，4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，過(guò)E作EM_LAB交AB延長(zhǎng)線于河，交圓￡于/7，此時(shí)

。到邊的距離最短，最小值為D'M的長(zhǎng)，即△ABD面積的最小，

過(guò)。作CN_LAB于N,

?：AB//CD,

:.EM=CN,

在Rt^BCN中，10,"JBN=60°,

CN—BC-sin60°=10x—=5A/3,

D'M=ME-ED'=5V3-4,

△ABZ7面積的最小值為/x8x（5遮-4）=20同一16,

故答案為：20A/3—16.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、圓的有關(guān)性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系、銳角三角函數(shù)等知

識(shí)，綜合性強(qiáng)的填空壓軸題，得到點(diǎn)D'的運(yùn)動(dòng)路線是解答的關(guān)鍵.

13.（2024.四川宜賓.中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,河、N是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn).若AMAN

=45°,則的最小值為.

【答案】-2+2V2/2V2-2

【分析】將AADN順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABP,再證明篤△AMN(SAS),從而得到MN=MP=BM+

BP=BM+DN,再設(shè)設(shè)CN=a,CM=b，得到MN=2—a—b,利用勾股定理得到C7V2+CM2=MN2,即a2

+/=(2—a—6)2,整理得到(2—a)(2—b)=2,從而利用完全平方公式得到MN=2-a-b>-2+

2J(2—a)(2—b),從而得解.

【詳解】解：?.?正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,

:.AD=AB=BC=CD=1,ABAD=NABC=4c=ZD=90°,

將AADN順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到/XABP,則AADN空/\ABP,

：.4DAN=/BAP,ND=ZABP=90°,AN=AP,DN=BP,

:.,&P、B、M、。共線,

：/M4N=45°,

/./MAP=ZMAB+BAP=ZMAB+DAN=90°—4MAN=45°=AMAN,

________________________________F

?/AP=AN,AMAP=AMAN,AM=AM,

：.AMAP名AN(SAS'),

:.MP=MN,

：.MN=MP=BM+BP=BM+DN,

設(shè)CN=a,CM=b，則DN=l—a,BM=l—b,

:.MN=BM+DN=2—a—b,

???/C=90°,

:.CN?+CM?=MN?,即a?+I)?=(2-a-b)2,

整理得：(2—a)(2—b)=2,

MN—2—CL—b

——2+(2—CL)+(2—b)

——2+(V2—a)2+(J2—I)?

=—2+(V2—(z)2—2,2—a,V2—b+(V2—b)2+2,2—a?A/2—b

=-2+(V2—CL-V2—6)2+2J(2—a)(2—b)

>_2+2J(2—Q)(2—b)

——2+2y/2,

當(dāng)且僅當(dāng)^二F,即2—0=2—6=2，也即Q=b=2—2時(shí)，7VW取最小值-2+2村,

故答案為：-2+2，^.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的運(yùn)算，完全平方公式等知識(shí),

證明和得到（2—a）（2—b）=2是解題的關(guān)鍵.

14.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖,在平行四邊形ABCD中，A8=2,=4,石、F分別是邊CD、AD上

的動(dòng)點(diǎn)，且CE=。尸.當(dāng)AE+CF的值最小時(shí)，則CE=.

【答案】善