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文檔簡介
2023屆上海市浦東新區(qū)南匯中學(xué)開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知,若方程有唯一解,則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.2.已知圓:,圓:,點、分別是圓、圓上的動點,為軸上的動點,則的最大值是()A. B.9 C.7 D.3.已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位),則z的虛部為()A.2 B. C.4 D.4.已知三棱錐的體積為2,是邊長為2的等邊三角形,且三棱錐的外接球的球心恰好是中點,則球的表面積為()A. B. C. D.5.如圖,在矩形中的曲線分別是,的一部分,,,在矩形內(nèi)隨機取一點,若此點取自陰影部分的概率為,取自非陰影部分的概率為,則()A. B. C. D.大小關(guān)系不能確定6.若點是角的終邊上一點,則()A. B. C. D.7.()A. B. C. D.8.已知實數(shù),,函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.9.如圖,矩形ABCD中,,,E是AD的中點,將沿BE折起至,記二面角的平面角為,直線與平面BCDE所成的角為,與BC所成的角為,有如下兩個命題:①對滿足題意的任意的的位置,;②對滿足題意的任意的的位置,,則()A.命題①和命題②都成立 B.命題①和命題②都不成立C.命題①成立,命題②不成立 D.命題①不成立,命題②成立10.盒中有6個小球,其中4個白球,2個黑球,從中任取個球,在取出的球中,黑球放回,白球則涂黑后放回,此時盒中黑球的個數(shù),則()A., B.,C., D.,11.已知函數(shù)(,是常數(shù),其中且)的大致圖象如圖所示,下列關(guān)于,的表述正確的是()A., B.,C., D.,12.函數(shù)的部分圖像大致為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且周期為,當時,,則的值為___________________.14.曲線在點處的切線方程是__________.15.已知邊長為的菱形中,,現(xiàn)沿對角線折起,使得二面角為,此時點,,,在同一個球面上,則該球的表面積為________.16.的展開式中的常數(shù)項為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標系中,點是直線上的動點,為定點,點為的中點,動點滿足,且,設(shè)點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)過點的直線交曲線于,兩點,為曲線上異于,的任意一點,直線,分別交直線于,兩點.問是否為定值?若是,求的值;若不是,請說明理由.18.(12分)已知函數(shù),若的解集為.(1)求的值;(2)若正實數(shù),,滿足,求證:.19.(12分)已知的面積為,且.(1)求角的大小及長的最小值;(2)設(shè)為的中點,且,的平分線交于點,求線段的長.20.(12分)已知動圓Q經(jīng)過定點,且與定直線相切(其中a為常數(shù),且).記動圓圓心Q的軌跡為曲線C.(1)求C的方程,并說明C是什么曲線?(2)設(shè)點P的坐標為,過點P作曲線C的切線,切點為A,若過點P的直線m與曲線C交于M,N兩點,則是否存在直線m,使得?若存在,求出直線m斜率的取值范圍;若不存在,請說明理由.21.(12分)已知函數(shù)在上的最大值為3.(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若銳角中角所對的邊分別為,且,求的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù).(1)當時,求的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個極值點,,且,為的導(dǎo)函數(shù),設(shè),求的取值范圍,并求取到最小值時所對應(yīng)的的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】
求出的表達式,畫出函數(shù)圖象,結(jié)合圖象以及二次方程實根的分布,求出的范圍即可.【詳解】解:令,則,則,故,如圖示:由,得,函數(shù)恒過,,由,,可得,,,若方程有唯一解,則或,即或;當即圖象相切時,根據(jù),,解得舍去),則的范圍是,故選:.【點睛】本題考查函數(shù)的零點問題,考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.2.B【解析】試題分析:圓的圓心,半徑為,圓的圓心,半徑是.要使最大,需最大,且最小,最大值為的最小值為,故最大值是;關(guān)于軸的對稱點,,故的最大值為,故選B.考點:圓與圓的位置關(guān)系及其判定.【思路點睛】先根據(jù)兩圓的方程求出圓心和半徑,要使最大,需最大,且最小,最大值為的最小值為,故最大值是,再利用對稱性,求出所求式子的最大值.3.A【解析】
對復(fù)數(shù)進行乘法運算,并計算得到,從而得到虛部為2.【詳解】因為,所以z的虛部為2.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算及虛部的概念,計算過程要注意.4.A【解析】
根據(jù)是中點這一條件,將棱錐的高轉(zhuǎn)化為球心到平面的距離,即可用勾股定理求解.【詳解】解:設(shè)點到平面的距離為,因為是中點,所以到平面的距離為,三棱錐的體積,解得,作平面,垂足為的外心,所以,且,所以在中,,此為球的半徑,.故選:A.【點睛】本題考查球的表面積,考查點到平面的距離,屬于中檔題.5.B【解析】
先用定積分求得陰影部分一半的面積,再根據(jù)幾何概型概率公式可求得.【詳解】根據(jù)題意,陰影部分的面積的一半為:,于是此點取自陰影部分的概率為.又,故.故選B.【點睛】本題考查了幾何概型,定積分的計算以及幾何意義,屬于中檔題.6.A【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義,求得,再由正弦的倍角公式,即可求解.【詳解】由題意,點是角的終邊上一點,根據(jù)三角函數(shù)的定義,可得,則,故選A.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式的化簡、求值,其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式,準確化簡、計算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎(chǔ)題.7.B【解析】
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.【詳解】.故選B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查了復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.8.D【解析】
根據(jù)題意,對于函數(shù)分2段分析:當,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析可得①,當,由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得,在上恒成立,變形可得②,再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,分析可得③,聯(lián)立三個式子,分析可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,函數(shù)在上單調(diào)遞增,
當,若為增函數(shù),則①,
當,若為增函數(shù),必有在上恒成立,
變形可得:,
又由,可得在上單調(diào)遞減,則,
若在上恒成立,則有②,
若函數(shù)在上單調(diào)遞增,左邊一段函數(shù)的最大值不能大于右邊一段函數(shù)的最小值,則需有,③
聯(lián)立①②③可得:.
故選:D.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及應(yīng)用,注意分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).9.A【解析】
作出二面角的補角、線面角、線線角的補角,由此判斷出兩個命題的正確性.【詳解】①如圖所示,過作平面,垂足為,連接,作,連接.由圖可知,,所以,所以①正確.②由于,所以與所成角,所以,所以②正確.綜上所述,①②都正確.故選:A【點睛】本題考查了折疊問題、空間角、數(shù)形結(jié)合方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.10.C【解析】
根據(jù)古典概型概率計算公式,計算出概率并求得數(shù)學(xué)期望,由此判斷出正確選項.【詳解】表示取出的為一個白球,所以.表示取出一個黑球,,所以.表示取出兩個球,其中一黑一白,,表示取出兩個球為黑球,,表示取出兩個球為白球,,所以.所以,.故選:C【點睛】本小題主要考查離散型隨機變量分布列和數(shù)學(xué)期望的計算,屬于中檔題.11.D【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和特征以及圖象的平移可得正確的選項.【詳解】從題設(shè)中提供的圖像可以看出,故得,故選:D.【點睛】本題考查圖象的平移以及指數(shù)函數(shù)的圖象和特征,本題屬于基礎(chǔ)題.12.A【解析】
根據(jù)函數(shù)解析式,可知的定義域為,通過定義法判斷函數(shù)的奇偶性,得出,則為偶函數(shù),可排除選項,觀察選項的圖象,可知代入,解得,排除選項,即可得出答案.【詳解】解:因為,所以的定義域為,則,∴為偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對稱,排除選項,且當時,,排除選項,所以正確.故選:A.【點睛】本題考查由函數(shù)解析式識別函數(shù)圖象,利用函數(shù)的奇偶性和特殊值法進行排除.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
由題意可得:,周期為,可得,可求出,最后再求的值即可.【詳解】解:函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),.由周期為,可知,,..故答案為:.【點睛】本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可.【詳解】由已知,,所以,又,所以切線方程為,即.故答案為:【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查學(xué)生的基本計算能力,要注意在某點處的切線與過某點的切線的區(qū)別,是一道容易題.15.【解析】
分別取,的中點,,連接,由圖形的對稱性可知球心必在的延長線上,設(shè)球心為,半徑為,,由勾股定理可得、,再根據(jù)球的面積公式計算可得;【詳解】如圖,分別取,的中點,,連接,則易得,,,,由圖形的對稱性可知球心必在的延長線上,設(shè)球心為,半徑為,,可得,解得,.故該球的表面積為.故答案為:【點睛】本題考查多面體的外接球的計算,屬于中檔題.16.31【解析】
由二項式定理及其展開式得通項公式得:因為的展開式得通項為,則的展開式中的常數(shù)項為:,得解.【詳解】解:,則的展開式中的常數(shù)項為:.故答案為:31.【點睛】本題考查二項式定理及其展開式的通項公式,求某項的導(dǎo)數(shù),考查計算能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)是定值,.【解析】
(1)設(shè)出M的坐標為,采用直接法求曲線的方程;(2)設(shè)AB的方程為,,,,求出AT方程,聯(lián)立直線方程得D點的坐標,同理可得E點的坐標,最后利用向量數(shù)量積算即可.【詳解】(1)設(shè)動點M的坐標為,由知∥,又在直線上,所以P點坐標為,又,點為的中點,所以,,,由得,即;(2)設(shè)直線AB的方程為,代入得,設(shè),,則,,設(shè),則,所以AT的直線方程為即,令,則,所以D點的坐標為,同理E點的坐標為,于是,,所以,從而,所以是定值.【點睛】本題考查了直接法求拋物線的軌跡方程、直線與拋物線位置關(guān)系中的定值問題,在處理此類問題一般要涉及根與系數(shù)的關(guān)系,本題思路簡單,但計算量比較大,是一道有一定難度的題.18.(1);(2)證明見詳解.【解析】
(1)將不等式的解集用表示出來,結(jié)合題中的解集,求出的值;(2)利用柯西不等式證明.【詳解】解:(1),,,因為的解集為,所以,;(2)由(1)由柯西不等式,當且僅當,,,等號成立.【點睛】本題考查了絕對值不等式的解法,利用柯西不等式證明不等式的問題,屬于中檔題.19.(1),;(2).【解析】
(1)根據(jù)面積公式和數(shù)量積性質(zhì)求角及最大邊;(2)根據(jù)的長度求出,再根據(jù)面積比值求,從而求出.【詳解】(1)在中,由,得,由,得,所以,所以,,因為在中,,所以,因為(當且僅當時取等),所以長的最小值為;(2)在三角形中,因為為中線,所以,,所以,因為,所以,所以,由(1)知,所以,或,,所以,因為為角平分線,,,或2,所以,或,所以.【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算,余弦定理解三角形及三角形面積公式的應(yīng)用,屬于中檔題.20.(1),拋物線;(2)存在,.【解析】
(1)設(shè),易得,化簡即得;(2)利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可得,要使,只需.聯(lián)立直線m與拋物線方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系即可解決.【詳解】(1)設(shè),由題意,得,化簡得,所以動圓圓心Q的軌跡方程為,它是以F為焦點,以直線l為準線的拋物線.(2)不妨設(shè).因為,所以,從而直線PA的斜率為,解得,即,又,所以軸.要使,只需.設(shè)直線m的方程為,代入并整理,得.首先,,解得或.其次,設(shè),,則,..故存在直線m,使得,此時直線m的斜率的取值范圍為.【點睛】本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用,涉及拋物線中的存在性問題,考查學(xué)生的計算能力,是一道中檔題.21.(1),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2).【解析】
(1)運用降冪公式和輔助角公式,把函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)解析式形式,根據(jù)已知,可以求出的值,再結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)由(1)結(jié)合已知,可以求出角的值,通過正弦定理把問題的取值范圍轉(zhuǎn)化為兩邊對角的正弦值的比值的取值范圍,結(jié)合已知是銳角三角形,三角形內(nèi)角和定理,最后求出的取值范圍.【詳解】解:(1)由已知,所以因此令得因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2)由已知,∴由得,因此所以因為為銳角三角形,所以,解得因此,那么【點睛】本題考查了降冪公式、輔助角公式,考查了正弦定理,考查了正弦型三角函數(shù)的單調(diào)性,考查了數(shù)學(xué)運算能力.22.(1)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為(2)的取值范圍是;對應(yīng)的的值為.【解析】
(1)當時,求的導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個極值點,,且,利用導(dǎo)函數(shù),可得的范圍,再表達,構(gòu)造新函數(shù)可求的取值范圍,從
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