2024學(xué)年成都市蓉城高二數(shù)學(xué)上學(xué)期12月期末考試卷附答案解析

學(xué)年成都市蓉城高二數(shù)學(xué)上學(xué)期12月期末考試卷考試時間120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．2．若直線的方向向量為，且過點，則直線的方程為（）A． B． C． D．3．成都市某高中為鼓勵全校師生增強(qiáng)身體素質(zhì)，推行了陽光校園跑的措施，隨機(jī)調(diào)查了10名同學(xué)在某天校園跑的時長（單位：分鐘），得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：20，25，32，38，40，43，56，62，67，74，則這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是（）A．56 B．59 C．62 D．64.54．設(shè)為定點，動點滿足，則動點的軌跡方程為（）A． B． C． D．5．不透明的口袋里有4個白球，2個紅球，這6個球除了顏色外完全相同，從中不放回地抽取2個球，則抽出的2個球均為白球的概率為（）A． B． C． D．6．已知圓，直線，若圓上至少有3個點到直線的距離為1，則的取值范圍為（）A． B． C．或 D．或7．如圖，在平行六面體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．8．設(shè)為雙曲線上的兩點，線段的中點為，則（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求；全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．在空間直角坐標(biāo)系中，，則（）A． B．點到直線的距離為C． D．直線與平面所成角的正弦值為10．已知事件，事件發(fā)生的概率分別為，則下列說法正確的是（）A．若事件與事件互斥，則B．若事件與事件相互獨立，則C．若事件發(fā)生時事件一定發(fā)生，則D．若，則事件與事件相互獨立11．已知橢圓與雙曲線的左、右焦點相同，分別為，橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點，且，橢圓與雙曲線的離心率分別為，則下列說法正確的是（）A． B．當(dāng)時，C．的最小值為 D．的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．設(shè)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為11，則的平均數(shù)為______．13．過三點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．14．已知橢圓的上頂點為分別為橢圓的左、右焦點，過點作線段的垂線，垂線與橢圓交于兩點，若橢圓的離心率為，且，則的周長為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）“世界圖書與版權(quán)日”又稱“世界讀書日”，2024年4月23日是第29個“世界讀書日”．自“世界讀書日”確定以來，某高校每年都會舉辦讀書知識競賽活動來鼓勵該校學(xué)生閱讀，現(xiàn)從參加競賽的學(xué)生中抽取100人，將他們的競賽成績分成六組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求這100名學(xué)生成績的眾數(shù)和平均數(shù)（取各組區(qū)間中間值計算）；（2）已知成績落在的學(xué)生平均成績?yōu)?2，方差為9，落在的學(xué)生平均成績?yōu)?7，方差為4，求這兩組成績的總體平均數(shù)和總體方差．16．（15分）已知圓是直線上的一動點，過點作圓的切線，切點分別為．（1）當(dāng)點的橫坐標(biāo)為2時，求切線的方程；（2）當(dāng)點在直線上運(yùn)動時，求四邊形面積的最小值．17．（15分）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃一次，規(guī)則如下：若命中，則此人繼續(xù)投籃一次，若未命中，則換對方投籃一次．已知甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為，甲、乙每次投籃的結(jié)果相互獨立，第一次投籃者為甲．（1）求第3次投籃者為乙的概率；（2）求前4次投籃中甲投籃次數(shù)不少于3次的概率．18．（17分）在平行四邊形中（如圖1），為的中點，將等邊沿折起，連接，且（如圖2）．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）點在線段上，若點到平面的距離為，求平面與平面所成角的余弦值．19．（17分）一動圓與圓外切，與圓內(nèi)切．（1）設(shè)動圓圓心的軌跡為，求曲線的方程；（2）①若點是直線上的動點，直線與曲線分別交于兩點，證明：直線過定點；②設(shè)和的面積分別為和，求的最大值．?dāng)?shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．12345678CABBCADB1．解：點關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)為，故選C．2．解：直線的方向向量為直線的斜率，整理得：，故選A．3．解：數(shù)據(jù)個數(shù)共有10個，且為從小到大排列，這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為第7個數(shù)據(jù)56和第8個數(shù)據(jù)62的平均數(shù)59，故選B．4．解：，雙曲線的方程為，故選B．5．解：從4個白球，2個紅球中不放回抽取2個球，共有15種情況，其中抽出2球均為白球有6種情況，，故選C．6．解：根據(jù)題意知，圓心到直線的距離，故選A．7．解：設(shè)，又，故選D．8．解：設(shè)，兩式相減，得，直線的方程為：，代入雙曲線中，得，，故選B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求；全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．91011BCABDACD9．解：A選項：，故A錯誤；B選項：取，點到直線的距離，故B正確；C選項：，故C正確；D選項：易求平面的法向量，故D錯誤；故選BC．10．解：A選項：事件與事件互斥，，故A正確；B選項：事件與事件相互獨立，，，故B正確；C選項：若事件發(fā)生時事件一定發(fā)生，，故C錯誤；D選項：事件與事件相互獨立，事件與事件相互獨立，故D正確；故選ABD．11．解：A選項：為焦點三角形，，故A正確；B選項：根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，可得，，在中，由余弦定理，可得：，，整理得，，當(dāng)時，，故B錯誤；C選項：，故C正確；D選項：，故取，，故D正確；故選ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．90解：的平均數(shù)的平均數(shù)．13．解：設(shè)圓的方程為，代入三點，有圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．14．26解：離心率為等邊三角形，設(shè)，直線的方程為，代入中，得，，周長．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）解：（1）眾數(shù)：75，第1至第6組的頻率分別為，平均數(shù)：；（2）根據(jù)題意可知，成績落在的學(xué)生人數(shù)為20人，成績落在的學(xué)生人數(shù)為30人，總體平均數(shù)：，總體方差：．16．（15分）解：（1）點在直線上，且點的橫坐標(biāo)為點的坐標(biāo)為，①當(dāng)切線的斜率不存在時，滿足題意，此時，切線的方程為；②當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)斜率為，此時切線方程為，即：，設(shè)圓心到切線的距離為，根據(jù)題意可得：，，此時，切線方程為，化簡，得，切線方程為或；（2）為公共邊，，，又當(dāng)最小時，最小，由題意可知，當(dāng)時，最小，此時，，，四邊形面積的最小值為．17．（15分）解：（1）設(shè)事件"甲第次投籃投進(jìn)"，事件"乙第次投籃投進(jìn)"，事件"第三次投籃者為乙"，根據(jù)題意可知，與互斥，；（2）設(shè)事件"前4次投籃中甲投籃次數(shù)不少于3次"，根據(jù)題意可知：，事件互斥，且每次投籃的結(jié)果相互獨立，．18．（17分）解：（1）證明：連接，在中，，，在中，，同理可得：，平面；（2）設(shè)為的中點，，平面平面，平面平面，又平面平面平面，平面以點為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，過點且平行于的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面的法向量為，，，取，設(shè)直線與平面所成角為，（其他解法酌情給分）（3）設(shè)，，，設(shè)點到平面的距離為，，，是線段上靠近點的三等分點，易求平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，，．取，設(shè)平面與平面所成的角為，．19．（17分）解：（1）設(shè)動圓的半徑為，動圓與圓外切，