2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：第十一章 統(tǒng)計(jì)與成對數(shù)據(jù)的分析

第十一章

統(tǒng)計(jì)與成對數(shù)據(jù)的分析

第一節(jié)隨機(jī)抽樣

［學(xué)習(xí)要求］1.通過實(shí)例，了解簡單隨機(jī)抽樣的含義及其解決問題的過程，掌握兩種簡單隨機(jī)抽樣

方法，抽簽法和隨機(jī)數(shù)法.會(huì)計(jì)算樣本均值，了解樣本與總體的關(guān)系.2.通過實(shí)例，了解分層隨機(jī)

抽樣的特點(diǎn)和適用范圍，了解分層隨機(jī)抽樣的必要性，掌握各層樣本量比例分配的方法.

幅必備知識自主梳理

［知識梳理］

知識點(diǎn)簡單隨機(jī)抽樣、分層隨機(jī)抽樣

1.簡單隨機(jī)抽樣

(1)抽取方式：逐個(gè)不放回抽取和放回抽??；

(2)每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等；

(3)常用方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法.

2.分層隨機(jī)抽樣

(1)一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總

體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣

本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣，每一個(gè)子總體稱為層.在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層

樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配；

(2)分層隨機(jī)抽樣的應(yīng)用范圍：

當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí),往往選用分層隨機(jī)抽樣.

［小題診斷］

1.某企業(yè)有3個(gè)分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，第一、二、三分廠的產(chǎn)量之比為1：2：1,用分層隨機(jī)

抽樣的方法從3個(gè)分廠生產(chǎn)的電子產(chǎn)品中共抽取100件進(jìn)行使用壽命的測試，由所得的測試結(jié)果算

得從第一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的平均使用壽命分別為980h,1020〃，1032〃，則抽取的100

件產(chǎn)品的平均使用壽命為（）

A.1013hB.l014h

C.l016hD.l022h

答案：A

解析：由分層隨機(jī)抽樣的知識可知，從第一、二、三分廠抽取的電子產(chǎn)品數(shù)量分別為25件，50

1

件，25件，則抽取的100件產(chǎn)品的平均使用壽命為前X（980X25+1020X50+1032X25）=1

013（h）.

2.我校高一、高二、高三共有學(xué)生1800名，為了了解同學(xué)們對某一授課軟件的意見，計(jì)劃采用分

層隨機(jī)抽樣的方法從這1800名學(xué)生中抽取一個(gè)容量為72的樣本.若從高一、高二、高三抽取的人

數(shù)恰好是從小到大排列的連續(xù)偶數(shù)，則我校高三年級的人數(shù)為（）

A.800B.750

C.700D.650

答案：D

解析：設(shè)從高三年級抽取的學(xué)生人數(shù)為2x人，則從高二、高一年級抽取的人數(shù)分別為2x—2,2x

-4.

由題意可得2x+（2x—2）+（2x—4）=72,

；.x=13.

設(shè)我校高三年級的學(xué)生人數(shù)為N,且高三抽取26人，

由分層隨機(jī)抽樣，得得第=||,

；.N=650（人）.

3.已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖（1）和圖（2）所示.為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近

視形成原因，用比例分配分層隨機(jī)抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中

生近視人數(shù)分別為（）

A.100,10B.200,10

C.100,20D.200,20

答案：D

4.對于總數(shù)N的一批零件，抽取一個(gè)容量為30的樣本.若每個(gè)零件被抽到的可能性均為25%,則N

=()

A.120B.150

C.200D.240

答案：A

學(xué)生用書1第247頁

,關(guān)鍵能力重點(diǎn)探究二

考點(diǎn)一簡單隨機(jī)抽樣

[例1](1)某中獎(jiǎng)號碼是從分別標(biāo)有1,2,30的30個(gè)小球中逐個(gè)不放回地?fù)u出7個(gè)小球來

按規(guī)則確定中獎(jiǎng)情況，這種從30個(gè)號碼中選7個(gè)號碼的抽樣方法是()

A.分層隨機(jī)抽樣法B.抽簽法

C.隨機(jī)數(shù)法D.其他抽樣方法

(2)某校高一共有10個(gè)班，編號01至10,某項(xiàng)調(diào)查要從中抽取三個(gè)班作為樣本，現(xiàn)用抽簽法抽

取樣本,每次抽取一個(gè)號碼，共抽3次，設(shè)五班第一次被抽到的可能性為°,第二次被抽到的可能

性為b,則()

_32_11

A.a=元,b=eB.q=元,b=G

_3311

C-.67］0，6=元D.a=茄，6=元

［答案］(1)B(2)D

［解析］（1）30個(gè)小球相當(dāng)于號簽，攪拌均勻后逐個(gè)不放回地抽取，是典型的抽簽法.

（2）由簡單隨機(jī)抽樣的定義知，在每次抽取中每個(gè)個(gè)體都有相同的可能性被抽到，故五班在每次

抽樣中被抽到的可能性都是正，所以a=訪，

|方法總結(jié)|

簡單隨機(jī)抽樣的關(guān)注點(diǎn)

1.每個(gè)個(gè)體入樣機(jī)會(huì)均等.

2.用抽簽法，關(guān)鍵看兩點(diǎn)：一是制簽是否方便;二是號簽是否易攪勻.

3.用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本時(shí)，每個(gè)個(gè)體的編號位數(shù)要相同，同一編號被多次抽到，要剔除重復(fù)的編號.

咨.跟蹤訓(xùn)練

1.下列抽樣試驗(yàn)中，適合用抽簽法的有（）

A.從某廠生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中抽取600件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)

B.從某廠生產(chǎn)的兩箱（每箱18件）產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)

C.從甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱（每箱18件）產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)

D.從某廠生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中抽取10件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)

答案：B

解析：A,D中的總體中個(gè)數(shù)較多，不適宜用抽簽法，C中甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量可能有區(qū)別，也

不適宜用抽簽法.

2.用隨機(jī)數(shù)表法從100名學(xué)生（其中男生40名）中抽取20名參加一項(xiàng)文體活動(dòng)，某男生被抽到的

可能性是（）

11

A-1OB-2

12

C，5D，5

答案：c

201

解析：從容量為100的總體中抽取一個(gè)容量為20的樣本，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性都是同=不

考點(diǎn)二分層隨機(jī)抽樣

［例2］(1)我國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中有衰分問題：今有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)七千四

百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役三百人，則北鄉(xiāng)遣()

A.104人B.108人

C.112人D.120人

(2)某校老年、中年和青年教師的人數(shù)如表所示，采用比例分配分層隨機(jī)抽樣的方法調(diào)查教師的

身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本中的老年教師人數(shù)為()

類別人數(shù)

老年教師900

中年教師1800

青年教師1600

合計(jì)4300

A.90B.100

C.180D.300

(3)某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)A,B,C三種產(chǎn)品共3000件，根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的結(jié)果，企業(yè)統(tǒng)計(jì)員

制作了統(tǒng)計(jì)表格，如表所示：

產(chǎn)品類別ABC

產(chǎn)品數(shù)量(件)1300

樣本容量(件)130

由于不小心，表格中A,C產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被損壞，統(tǒng)計(jì)員記得A產(chǎn)品的樣本容量比C產(chǎn)品的

樣本容量多10,根據(jù)以上信息，可得C產(chǎn)品的數(shù)量是件.

［答案］(1)B(2)C(3)800

［解析］(1)由題意可知，這是一個(gè)分層隨機(jī)抽樣的問題，其中北鄉(xiāng)可抽取的人數(shù)為300X

81008100

8100+7488+6912—X22500~

320x

(2)設(shè)該樣本中的老年教師人數(shù)為x.由題意得.=麗，.??x=180.

130

(3)抽取樣本容量3000X云加=300.

設(shè)C產(chǎn)品樣本容量為X,則A產(chǎn)品樣本容量為10+x,

.\x+10+x+130=300,x=80,

1

??80=元=800.

學(xué)生用書［第248頁

|方法總結(jié)|

分層隨機(jī)抽樣的關(guān)注點(diǎn)

1.分層原則:層內(nèi)樣本的差異要小，兩層之間的樣本差異要大，且互不重疊.

2.分層比:各層所抽取的個(gè)體數(shù)與該層所包含的個(gè)體數(shù)之比等于樣本容量與總體的個(gè)體數(shù)之比，即

rij:N"=n：N.

3.分層隨機(jī)抽樣的有關(guān)計(jì)算，轉(zhuǎn)化為按比例列方程或算式求解.

否跟蹤訓(xùn)練

3.某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200,400,300,100件，為檢驗(yàn)

產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丙種型號

的產(chǎn)品中抽取件.

答案：18

解析：因?yàn)闃颖救萘俊?60,產(chǎn)品總數(shù)N=200+400+300+100=l000,所以玄=蕊=4，因此

3

應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取300X^=18（件）.

4.某工廠有A,B,C三個(gè)車間，A車間有600人，B車間有500人.若通過比例分配的分層隨機(jī)抽

樣方法得到一個(gè)樣本量為30的樣本，其中B車間10人，則樣本中C車間的人數(shù)為.

答案：8

解析：設(shè)C車間共有x人，樣本中C車間的人數(shù)為〃；由分層隨機(jī)抽樣的性質(zhì)得：600；器+x=0

400

,解行x=400.故"=30><500+600+400=8.

5.為了了解高一、高二、高三學(xué)生的身體狀況，現(xiàn)用比例分配分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為

1200的樣本，三個(gè)年級學(xué)生人數(shù)之比依次為左：5：3,已知高一年級共抽取了240人，則高三年

級抽取的人數(shù)為

答案:360

2401k1

解析：因?yàn)楦咭荒昙壋槿W(xué)生的比例為可=二，所以上+5+3=:，解得k=2,故高三年級抽取的人

3

數(shù)為1200義2+5+3=360?

學(xué)生用書［第437頁

■課時(shí)作業(yè)鞏固提個(gè)

［A組基礎(chǔ)保分練］

1.為了解某地區(qū)的“健步走”活動(dòng)情況，擬從該地區(qū)的人群中抽取部分人員進(jìn)行調(diào)查，事先已了解

到該地區(qū)老、中、青三個(gè)年齡段人員的“健步走”活動(dòng)情況有較大差異，而男、女“健步走”活

動(dòng)情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是（）

A.抽簽法抽樣

B.按性別分層隨機(jī)抽樣

C.按年齡段分層隨機(jī)抽樣

D.利用隨機(jī)數(shù)法抽樣

答案：C

解析：由題意及分層隨機(jī)抽樣的概念知選C.

2.（2024?山東青島模擬）某中學(xué)高中一年級有400人，高中二年級有320人，高中三年級有280

人，現(xiàn)從中抽取一個(gè)容量為200的樣本，則高中二年級被抽取的人數(shù)為（）

A.28B.32C.40D.64

答案：D

3.某公司生產(chǎn)A,B,C三種不同型號的轎車，其產(chǎn)量之比為2：3：4,為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)

量，用比例分配分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為n的樣本.若樣本中A種型號的轎車比B種型

號的轎車少8輛，則"=（）

A.96B.72

C.48D.36

答案：B

32

解析：由題意得鏟一鏟=8,所以〃=72.

4.某林場有樹苗30000棵，其中松樹苗4000棵.為調(diào)查樹苗的生長情況，采用分層隨機(jī)抽樣的方法

抽取一個(gè)容量為150的樣本，則樣本中松樹苗的數(shù)量為（）

A.30B.25C.20D.15

答案：C

1501

解析：樣本中松樹苗為4000義O記UU而UU=4000義乙而UU=20（棵）.

5.為了調(diào)研雄安新區(qū)的空氣質(zhì)量狀況，某課題組對雄縣、容城、安新三縣空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)查，按地

域特點(diǎn)在三縣內(nèi)設(shè)置空氣質(zhì)量觀測點(diǎn)，已知三縣內(nèi)觀測點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別為6,力z,依次構(gòu)成等差數(shù)

列，且6,“z+6成等比數(shù)列.若用比例分配分層隨機(jī)抽樣的方法抽取12個(gè)觀測點(diǎn)的數(shù)據(jù)，則容城

應(yīng)抽取的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為（）

A.8B.6

C.4D,2

答案:C

解析：?.?三縣內(nèi)觀測點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別為6,Kz,依次構(gòu)成等差數(shù)列，且6,Kz+6成等比數(shù)列，

，［y2=6（z；6）z=18.若用比例分配分層隨機(jī)抽樣抽取12個(gè)觀測點(diǎn)的數(shù)據(jù)，則容城應(yīng)該

12

抽取的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為6+12+18義12=4.

6.在《九章算術(shù)》第三章“衰分”中有如下問題：“今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持

錢一百八十，凡三人俱出關(guān)，關(guān)稅百錢.欲以錢多少衰出之，問各幾何？”其譯文為：今有甲持

560錢，乙持350錢，丙持180錢，甲、乙、丙三人一起出關(guān)，關(guān)稅共100錢，要按照各人帶錢多

少的比例進(jìn)行交稅，問三人各應(yīng)付多少稅？則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.甲應(yīng)付51荻錢

B.乙應(yīng)付32謝錢

C.丙應(yīng)付16同錢

D.三者中甲付的錢最多，丙付的錢最少

答案：B

解析：依題意由分層隨機(jī)抽樣可知，100+（560+350+180）=同，則甲應(yīng)付礪X560=51而

10121056

（錢）；乙應(yīng)付麗X350=32而（錢）；丙應(yīng)付前X180=16（錢）.

7.（多選）（2024?湖北襄陽模擬）某中學(xué)高一年級有20個(gè)班，每班50人；高二年級有30個(gè)班，

每班45人.甲就讀于高一，乙就讀于高二.學(xué)校計(jì)劃從這兩個(gè)年級中共抽取235人進(jìn)行視力調(diào)查，下

列說法中正確的有（）

A.應(yīng)該采用分層隨機(jī)抽樣法

B.高一、高二年級應(yīng)分別抽取100人和135人

C.乙被抽到的可能性比甲大

D.該問題中的總體是高一、高二年級的全體學(xué)生的視力

答案：ABD

2351

解析：由于各年級的年齡段不一樣，因此應(yīng)采用分層隨機(jī)抽樣法.由于比例為20X50+30X45=而，

乙UADUIOUAT'J±U

因此高一年級1000人中應(yīng)抽取100人，高二年級1350人中應(yīng)抽取135人，甲、乙被抽到的可能

性都是「，因此只有C不正確.

8.（多選）某單位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，為了調(diào)查他們的身體狀況的某項(xiàng)

指標(biāo)，需從他們中間抽取一個(gè)容量為42的樣本，則下列說法正確的是（）

A.用抽簽法比分層隨機(jī)抽樣更合理

B.老年人中每個(gè)人被抽到的可能性最小

7

C.中年人中每個(gè)人被抽到的可能性為方

D.老年人、中年人、青年人被抽到的人數(shù)之比為1：2：3

答案：CD

427

解析：用比例分配分層隨機(jī)抽樣更合理，故A錯(cuò)誤，每個(gè)人被抽到的可能性都是為小市=》，

故B錯(cuò)誤，C正確.

V27:54:81=1：2：3,故D正確.

9.某地有2000人參加自學(xué)考試，為了了解他們的成績，從中抽取一個(gè)樣本，若每個(gè)考生被抽到的

概率都是0.04,則這個(gè)樣本的容量是.

答案：80

解析：設(shè)樣本量為"，根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣，得70面=0.04,解得〃=80.

10.某商場有四類食品，食品類別和種數(shù)如表所示：

類別糧食類植物油類動(dòng)物性食品類果蔬類

種數(shù)40103020

現(xiàn)從中抽取一個(gè)容量為20的樣本進(jìn)行食品安全檢測.若采用比例分配分層隨機(jī)抽樣方法抽取樣本,

則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和為.

答案:6

解析：由題意可知，20X40+10+30+20^6.

11.一汽車廠生產(chǎn)A,B,C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號，某月的產(chǎn)量如表

（單位：輛）：

轎車A轎車B轎車C

舒適型100150Z

標(biāo)準(zhǔn)型300450600

按類型用分層隨機(jī)抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛，則z的值

為.

答案：400

解析：設(shè)該廠這個(gè)月共生產(chǎn)轎車"輛，

,?5010

由題意得元=100+300,所以"=2000,

貝Iz=2000-100-300-150-450-600=400.

學(xué)生用書［第438頁

12.（2024?北京模擬）某校高一年級三個(gè)班共有學(xué)生120名，這三個(gè)班的男生、女生人數(shù)如表所

示，已知在全年級中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，抽到二班女生的概率是0.2,則工=；現(xiàn)用比例

分配分層隨機(jī)抽樣的方法在全年級抽取30名學(xué)生，則應(yīng)在三班抽取的學(xué)生人數(shù)為.

一班二班三班

女生人數(shù)20Xy

男生人數(shù)2020z

答案：249

解析：由題意可得面=0.2,解得x=24.三班總?cè)藬?shù)為120—20—20—24—20=36,用比例分配分

301

層隨機(jī)抽樣的方法在全年級抽取30名學(xué)生，每個(gè)學(xué)生被抽到的概率為痂=心故應(yīng)從三班抽取的

1

人數(shù)為36X2=9.

[B組能力提升練]

13.從某魚池中捕得130條魚，做了記號之后，再放回池中，經(jīng)過適當(dāng)?shù)臅r(shí)間后，再從池中捕得100

條魚，計(jì)算其中有記號的魚為10條，試估計(jì)魚池中共有魚的條數(shù)大約為（）

A.1000B.1200

C.130D.1300

答案：D

10130

解析：設(shè)魚池中共有魚的條數(shù)大約為"，則同=〒，解得"=1300.

14.某中學(xué)400名教師的年齡分布情況如圖，現(xiàn)要從中抽取40名教師作樣本，若用分層隨機(jī)抽樣方

法，則40歲以下年齡段應(yīng)抽?。ǎ?/p>

A.40人B.200人C.20AD.10人

答案:C

40

解析：由圖知，40歲以下年齡段的人數(shù)為400X50%=200,若采用分層隨機(jī)抽樣應(yīng)抽取200X痂

=20（人）.

15.（多選）從一群做游戲的小孩中抽出后人，每人分一個(gè)蘋果，讓他們返回繼續(xù)游戲，一段時(shí)間

后，再從中任抽出加人，發(fā)現(xiàn)其中有〃個(gè)小孩曾分過蘋果，則下列說法正確的是（）

A.得到蘋果的小孩占總數(shù)的7

B.得到蘋果的小孩占總數(shù)的:

C.小孩的總數(shù)為方

D.小孩的總數(shù)為k+m—n

答案：BC

k22，JcTTl

解析：設(shè)一共有X個(gè)小孩，則城=為解得x=￡.

16.一工廠生產(chǎn)了16800件某種產(chǎn)品，它們分別來自甲、乙、丙3條生產(chǎn)線,為檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)

量，決定采用分層隨機(jī)抽樣（按比例分配樣本量）的方法進(jìn)行抽樣.已知從甲、乙、丙3條生產(chǎn)線

抽取的產(chǎn)品個(gè)數(shù)分別是a,b,c,且2b=a+c,則乙生產(chǎn)線生產(chǎn)了件產(chǎn)品.

答案：5600

解析：設(shè)甲、乙、丙3條生產(chǎn)線各生產(chǎn)了7甲，7乙，7丙件產(chǎn)品，則a：6：c=T甲：7乙：T丙，即

abc,?'T甲"丙=2%

因?yàn)?6=a+c,所以

/甲/乙/丙r甲+7乙+7丙=16800,

16800

所以T乙=5600.

17.某班的數(shù)學(xué)老師要對該班一?？荚嚨臄?shù)學(xué)成績進(jìn)行分析，利用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本時(shí)，先將該班

70名同學(xué)按00,01,02,…，69進(jìn)行編號，然后從隨機(jī)數(shù)表第9行第9列的數(shù)開始向右讀，則選

出的10個(gè)樣本中第8個(gè)樣本的編號是.

注：以下是隨機(jī)數(shù)表的第8行和第9行.

第8行：

6301637859169555671998

1050717512867358074439

523879

第9行:

3321123429786456078252

4207443815510013429966

027954

答案：38

解析：由隨機(jī)數(shù)表知選出的10個(gè)樣本依次是29,64,56,07,52,42,44,38,15,51,第8個(gè)

樣本編號是38.

18.某地各項(xiàng)事業(yè)取得令人矚目的成就，以2023年為例，社會(huì)固定資產(chǎn)總投資約為3730億元，其

中包括中央項(xiàng)目、省屬項(xiàng)目、地（市）屬項(xiàng)目、縣（市）屬項(xiàng)目和其他項(xiàng)目.圖1、圖2分別是這五

個(gè)項(xiàng)目的投資額不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，請完成下列問題.

（1）地（市）屬項(xiàng)目投資額為億元;

（2）在圖2中，縣（市）屬項(xiàng)目部分所占百分比為/%,對應(yīng)的圓心角為|3,則m=，P

=度（m,p均取整數(shù)）.

答案：（1）830（2）1865

解析：（1）因?yàn)樵摰厣鐣?huì)固定資產(chǎn)總投資約為3730億元，所以地（市）屬項(xiàng)目投資額為3730—

（200+530+670+1500）=830（億元）.

（2）由條形統(tǒng)計(jì)圖可以看出縣（市）屬項(xiàng)目部分總投資為670億元，所以縣（市）屬項(xiàng)目部分所

670

占百分比為〃7%=.X100%p18%,即加=18,對應(yīng)的圓心角為13^360X0.18仁65（度）.

學(xué)生用書1第248頁

第二節(jié)統(tǒng)計(jì)圖表、用樣本估計(jì)總體

［學(xué)習(xí)要求］1.會(huì)列頻率分布表、畫頻率分布直方圖、頻率分布折線圖，體會(huì)它們各自的特點(diǎn).2

會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差.3.能根據(jù)實(shí)際問題的需求合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特

征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并作出合理的解釋.4.會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本

的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征；初步體會(huì)樣本頻率分布和數(shù)字特征的隨機(jī)性.5.會(huì)用

隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想，解決一些簡單的實(shí)際問題；能通過對數(shù)據(jù)的分析為

合理的決策提供一些依據(jù)，認(rèn)識統(tǒng)計(jì)的作用，體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維的差異.

禍必備知識自主梳理

［知識梳理］

知識點(diǎn)一頻率分布直方圖

作頻率分布直方圖的步驟

(1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)；

(2)決定組距與組數(shù)；

(3)將數(shù)據(jù)分組；

(4)列頻率分布表；

(5)畫頻率分布直方圖.

知識點(diǎn)二樣本的數(shù)字特征

1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、百分位數(shù)

(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).

(2)中位數(shù)：把，一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,處在中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或兩個(gè)數(shù)

據(jù)的平均數(shù)).

(3)平均數(shù)：如果有”個(gè)數(shù)據(jù)X1，無2,…，X.,那么這〃個(gè)數(shù)的平均數(shù)歹=———-——

(4)百分位數(shù)：一般地，一組數(shù)據(jù)的第〃百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使這組數(shù)據(jù)中至少有0%

的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有(100—O)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.

2.四分位數(shù)

第25百分位數(shù)，第50百分位數(shù)(中位數(shù))，第75百分位數(shù)，這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到大排列

后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)，其中第25百分位數(shù)也稱第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)，

第75百分位數(shù)也稱第三四分位數(shù)或上四分位數(shù).

3.標(biāo)準(zhǔn)差、方差

（1）標(biāo)準(zhǔn)差：樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示，s=

一土）之+（無2—又）2+…+（萬口一1）］.

學(xué)生用書1第249頁

（2）方差：標(biāo)準(zhǔn)差的平方

52=-［（X）—X）2+（X2—x）2-\------（x?—x）2］,其中即（i=l,2,3,…，〃）是樣本數(shù)據(jù)，〃是

樣本容量，3是樣本平均數(shù).

4.總體平均數(shù)、樣本平均數(shù)、方差

（1）總體平均數(shù)：一般地，總體中有N個(gè)個(gè)體，它們的變量值分別為X，Y2,n，…，YN，則稱

-丫1+丫2+…1N位工,—士

丫=------N----------=小2X為總體均值.

i=1

如果總體的N個(gè)變量中，不同的值共有左（左WN）個(gè)，記為妨，Y2,Yk,其中匕出現(xiàn)的頻數(shù)力

_1k

（z=b2,k）,則總體均值可以寫成加權(quán)平均數(shù)的形式，丫=N￡月

i=1

（2）樣本平均數(shù)：如果從總體中抽取一個(gè)容量為〃的樣本，它們的變量值分別為力，”，…，

丫1+、2+…1n

外，則稱歹=——-——=%z%為樣本均值，又稱樣本平均數(shù).

i=1

（3）比例分配的分層隨機(jī)抽樣中的平均數(shù)：在分層隨機(jī)抽樣中，如果第1層和第2層包含的個(gè)體

數(shù)分別為初和M抽取的樣本量分別為加和"，……a為第一層的平均數(shù)，歹為第二層的平均

數(shù)），則可用

一M—N—m—n_,?、，、，，，一一、“，___

w=—再產(chǎn)土即y—=—而“土訴V—，估計(jì)總體平均數(shù)

［小題診斷］

1.若數(shù)據(jù)修，必,…M的方差為2,則數(shù)據(jù)2對，2工2，…，2時(shí)的方差為（）

A.2B.4C.6D.8

答案：D

解析：根據(jù)方差的性質(zhì)可知，數(shù)據(jù)修，必，…，必的方差『=2,那么數(shù)據(jù)2對，2歷，…，2必的方

差為22s2=8.

2.某射擊運(yùn)動(dòng)員7次的訓(xùn)練成績分別為86,88,90,89,88,87,85,則這7次成績的第80百分

位數(shù)()

A.88.5B.89

C.91D.89.5

答案：B

解析：7次的訓(xùn)練成績從小到大排列為85,86,87,88,88,89,90,

7X80%=5.6,所以第80百分位數(shù)為從小到大排列的數(shù)據(jù)中的第6個(gè)數(shù)據(jù)，即89.

3.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是28,方差是4,若將這組數(shù)據(jù)的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上20,得到一組新數(shù)據(jù)，

則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差是.

答案：484

解析：設(shè)該組數(shù)據(jù)為修，尤2,…，X,,,

則新數(shù)據(jù)為修+20,必+20,…，x?+20,記新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為h'，

__x1+x2+...+xn

因?yàn)閤=---------------=28,

+20+%2+20+…+%九+20

所以h'=---------------------------------=20+28=48.

1___

22

因?yàn)?2=讓(X[—X)+(x2-%)2H------H(x?—%)]=4,

1___

222

所以s2=*[xi+20-(x+20)]+[X2+20-(X+20)12H------b[%?+20-(x+20)]}=5=4.

4.某校體育節(jié)10名旗手的身高(單位：cm)分別為175,178,176,180,179,175,176,179,

180,179,則中位數(shù)為.

答案：178.5

解析：把10名旗手的身高從小到大排列為175,175,176,176,178,179,179,179,180,

180,

178+179,,

則一2—=178.5,所以所求中位數(shù)為178.5.

,關(guān)鍵能力重點(diǎn)探究立

考點(diǎn)一頻率分布直方圖

［例1］隨著新課程改革和高考綜合改革的實(shí)施，高中教學(xué)以發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，學(xué)習(xí)

評價(jià)更關(guān)注學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.為此，某市于2022年舉行第一屆高中數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)競賽，

競賽結(jié)束后，為了評估該市高中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，從所有參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取1000名學(xué)生的

成績(單位：分)作為樣本進(jìn)行估計(jì)，將抽取的成績整理后分成五組，依次記為［50,60),［60,

70),［70,80),［80,90),［90,100］,并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)請補(bǔ)全頻率分布直方圖，并估計(jì)這1000名學(xué)生成績的平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中

點(diǎn)值作代表)；

(2)該市決定對本次競賽成績排在前180名的學(xué)生給予表彰，授予“數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)優(yōu)秀標(biāo)兵”稱

號，一名學(xué)生本次競賽成績?yōu)?9分，請你判斷該學(xué)生能否被授予“數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)優(yōu)秀標(biāo)兵”稱號.

［解］(1)成績在［60,70)的頻率為1-(0.30+0.15+0.10+0.057=0.40,補(bǔ)全的頻率分布直

方圖如圖.

頻率

樣本的平均數(shù)±=55X0.30+65X0.40+75X0.15+85X0.10+95X0.05=67.

(2)因?yàn)榘冫?0.18,

所以由頻率分布直方圖可以估計(jì)獲得“數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)優(yōu)秀標(biāo)兵”稱號學(xué)生的最低成績?yōu)?0-

0.18-0.05-0.10

~0.015~78（分）.

因?yàn)?9>78,所以該學(xué)生能被授予“數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)優(yōu)秀標(biāo)兵”稱號.

學(xué)生用書1第250頁

I方法總結(jié)I

1.由頻率分布直方圖進(jìn)行相關(guān)計(jì)算時(shí)，需掌握的兩個(gè)關(guān)系式

頻率

（1）記記X組距=頻率；

組距

頻數(shù)頻數(shù)

（2）殍［上口=頻率,此關(guān)系式的變形為黑=樣本容量，樣本容量x頻率=頻數(shù).

樣本容重頻率

2.頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系

（1）最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)的估計(jì)值；

（2）中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；

（3）平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長方形的面積乘小長方形底

邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

|再跟蹤訓(xùn)練

1.（2024?深圳模擬）某市衛(wèi)健委為了解社區(qū)服務(wù)志愿者的服務(wù)時(shí)長（單位：小時(shí)），對參加過社

區(qū)服務(wù)的志愿者隨機(jī)抽樣調(diào)查，將樣本中個(gè)體的服務(wù)時(shí)長進(jìn)行整理，得到如圖所示的頻率分布直

方圖.據(jù)此估計(jì)，7.2萬名參加過社區(qū)服務(wù)的志愿者中服務(wù)時(shí)長超過32小時(shí)的約有（）

A.3.3萬人B.3.4萬人

C.3.8萬人D.3.9萬人

答案：A

解析：依題意樣本中服務(wù)時(shí)長超過32小時(shí)的個(gè)體頻率為1—4X（0.005+0.04+0.09）=0.46.由樣

本估計(jì)總體，可得總體中服務(wù)時(shí)長超過32小時(shí)的個(gè)體數(shù)為7.2X0.46=3.312心3.3（萬人）.

考點(diǎn)二總體百分位數(shù)的估計(jì)

⑥角度（一）離散型

［例2］抽查30袋洗衣粉，測量它們的凈重如下（單位：g）

482485485508508509497497498

499500485486488490501502505

490491492493495495495496500

506508509

估計(jì)第25,75百分位數(shù)分別是,.

［答案］490502

［解析］把30個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列為

482485485485486488490490491492493495495495496497497

498499500500501502505506508508508509509

由25%X30=7.5,75%X30=22.5,

可知樣本數(shù)據(jù)的第25,75百分位數(shù)分別為第8,23項(xiàng)數(shù)據(jù)，所以估計(jì)30袋洗衣粉第25,75百分

位數(shù)分別為490,502.

|方法總結(jié)|

設(shè)一組數(shù)據(jù)按照從小到大排列后為,，&，…，龍小計(jì)算i=^P%得知，如果i不是整數(shù)，設(shè)

%+%+1

i。為大于i的比鄰整數(shù)，取、為第p百分位數(shù);如果i是整數(shù)，取一一為第p百分位數(shù).

夠角度（二）連續(xù)型

［例3］為了解學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽取了100個(gè)同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果顯示這些同學(xué)

的支出都在［10,50］（單位：元），其中支出在［30,50］（單位：元）的同學(xué)有67人，其頻率分布

直方圖如圖所示，估計(jì)學(xué)生課外讀物支出的樣本數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù).

［解］由頻率分布直方圖可得支出在［40,50］的頻率為1一（0.01+0.023+0.037）X10=0.3,

又支出在［30,50］（單位：元）的同學(xué)有67人，支出在［30,40）的頻率為0.37,

因此，支出在［40,50］的同學(xué)共有67X拓陋=30（人）.

所以第65百分位數(shù)應(yīng)位于［30,40）內(nèi)，因?yàn)檎n外讀物支出在［10,40）的占70%,

0.65-0.33

所以30+10><不U./—=數(shù)U.SJ七38.65.所以估計(jì)學(xué)生課外讀物支出的樣本數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)為38.65.

I方法總結(jié)I

頻率分布直方圖中的百分位數(shù)，根據(jù)頻率計(jì)算.

學(xué)生用書1第251頁

滓跟蹤訓(xùn)練

2.（2024?江蘇南通模擬）“雙減”政策實(shí)施后，學(xué)生的課外閱讀增多.某班50名學(xué)生到圖書館借書

數(shù)量統(tǒng)計(jì)如下：

借書數(shù)量（單位：本）5678910

頻數(shù)（單位：人）58131194

則這50名學(xué)生的借書數(shù)量的第75百分位數(shù)是（）

A.8B.8.5

C.9D.10

答案：C

解析：由50X75%=37.5,故第75百分位數(shù)在借書數(shù)量從小到大排序后的第38人，又5+8+13

+11=37<38<5+8+13+11+9=46,故第75百分位數(shù)是9.

3.某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用比例分配的分層隨機(jī)抽

樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：［20,30）,［30,40）

,［80,90］,并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)分?jǐn)?shù)的樣本數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)；

(2)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計(jì)

總體中女生的人數(shù).

解：(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為(0.02+0.04)X10=0.6,

0.3

所以樣本中分?jǐn)?shù)小于的頻率為小于的頻率為

701—0.6=04,800.8,70+U=.U=477.5,

所以其分?jǐn)?shù)的樣本數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)估計(jì)值為77.5.

(2)由題意可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為(0.02+0.04)X10X100=60,

所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為60X：=30,

所以樣本中的男生人數(shù)為30X2=60,女生人數(shù)為100—60=40,

40

估計(jì)總體中女生人數(shù)為400義訴=160.

考點(diǎn)三樣本的數(shù)字特征

［例4］(2021?全國乙卷)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指

標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為又和歹，樣本方差分別記為《和原

(1)求五y,s；s,

2.2

(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果歹一檜2則認(rèn)

為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高).

［解］(1)由表格中的數(shù)據(jù)易得：

--0.2+0.3+0+0.2-0.1-0.2+0+0.1+0.2-0.3

%=-----------------而------------------1-10.0=10.0,

-0.1+0.4+0.1+0+0.1+0.3+0.6+0.5+0.4+0.5

y=--------------------------------------------------------1-10.0=10.3,

21

s：=訕X[(9.7-10,0)2+2X(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-

10,0)2+2X(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2]=0.036,

21

s2=iox[(10.0-10.3)2+3X(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2X(10.4-10.3)2+2X(10.5

-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0.04.

(2)由(1)中數(shù)據(jù)可得少一歹=10.3—10.0=0.3,而2=J0.0304,顯然有少一

%>2忙之成立,所以認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.

10

I方法總結(jié)I

利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問題

平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平;標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小.標(biāo)準(zhǔn)

差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定;標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定.

學(xué)生用書［第252頁

咨跟蹋訓(xùn)練

4.(多選)(2021?新高考I卷)有一組樣本數(shù)據(jù)xi，M，…，X,"由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)為，

夕2,…，為，其中％=Xf+c(z=l,2,???,n),c為非零常數(shù),貝！J()

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

答案：CD

1九_1Tl1n1n

解析：A項(xiàng)，設(shè)歹E處則歹(巷+C)因?yàn)镃WO,所以歹=±+C,

1=11=11=11=1

所以又W歹，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

B項(xiàng)，因?yàn)椋?樂+。(i=l,2,,,,,〃),所以為，以，…，為的中位數(shù)是修，x2