中考數(shù)學(xué)幾何專項(xiàng)沖刺專題30三角形綜合練習(xí)（提優(yōu)）含答案及解析

專題30三角形綜合練習(xí)（提優(yōu)）一．選擇題1．如圖，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠ABC的平分線分別交AC、AD于E、F兩點(diǎn)，M為EF的中點(diǎn)，AM的延長線交BC于點(diǎn)N，連接DM，下列結(jié)論：①AE＝AF；②DF＝DN；③△DMN為等腰三角形；④DM平分∠BMN；⑤AE＝NC，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)2．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAD＝30°，AC＝BC＝AD，CE⊥CD，且CE＝CD，連接BD、DE、BE，則下列結(jié)論：①∠ECA＝165°，②BE＝BC；③AD＝BE；④CD＝BD．其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④3．已知，等腰Rt△ABC中AC＝BC，點(diǎn)D在BC上，且∠ADB＝105°，ED⊥AB，G是AF延長線上一點(diǎn)，BE交AG于F，且DE＝2FG，連GE、GB．則下列結(jié)論：①AG⊥BE；②∠DGE＝60°；③BF＝2FG；④AD+2DC＝AB其中正確的結(jié)論有（）A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④4．如圖，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，AE平分∠DAC，AE交CD于點(diǎn)F，CE⊥AE，垂足為點(diǎn)E，EG⊥CD，垂足為點(diǎn)G．則以下結(jié)論：①△EFC∽△ECA；②△ABC≌△AEC；③CE＝AF；（4）S△ACF＝5?5；（5）EG2＝FG?DGA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，E是BD上的一點(diǎn)，連接EC，過點(diǎn)B作BG⊥CE于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)H，EF⊥EC交AB于點(diǎn)F．若正方形ABCD的邊長為4，下列結(jié)論：①OE＝OH；②EF＝EC；③當(dāng)G為CE中點(diǎn)時(shí)，BF＝42?4；④BG?BH＝BE?BOA．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④6．如圖，在等腰△ABC與等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，連接BD和CE相交于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)M，交AD與點(diǎn)N．下列結(jié)論：①BD＝CE；②∠BPE＝180°﹣2α；③AP平分∠BPE；④若α＝60°，則PE＝AP+PD．其中一定正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．47．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的角平分線交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D分別作BC和AB的平行線，交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)H，連接EH交BD于點(diǎn)G，在AE上截取EF＝BE，連接DF．下列說法中正確的有（）（1）GH：FD＝1：2；（2）BD2＝BF?BC；（3）四邊形EBHD是菱形；（4）S△ADF=29S△A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．如圖，△ABC為等腰直角三角形，D為三角形外一點(diǎn)，連接CD，過D作DE⊥DC交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)為DE上一點(diǎn)且DF＝DC，連接BF，N為BF中點(diǎn)，延長DN至點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)G，使得∠ABM＝∠ACD，連接AM，AF，BM，下列結(jié)論：①M(fèi)N＝ND；②DM=2AM；③∠BAM＞∠CGD；④2AF+BF＝DM；⑤若BM＝2，AB=10，AF=2，則SA．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)9．如圖，等邊△ABC中，D、E分別為AC、BC邊上的點(diǎn)，AD＝CE，連接AE、BD交于點(diǎn)F，∠CBD、∠AEC的平分線交于AC邊上的點(diǎn)G，BG與AE交于點(diǎn)H，連接FG．下列說法：①△ABD≌△CAE；②∠BGE＝30°；③∠ABG＝∠BGF；④AB＝AH+FG；⑤S△AGE：S△BGC＝DG：GC，其中正確的說法有（）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)10．如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC交AC的延長線于M，連接CD，給出四個(gè)結(jié)論：①∠ADC＝45°；②BD=12AE；③AC+CE＝AB；④AB﹣BC＝2MC；⑤A．2 B．3 C．4 D．511．如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，BE⊥AC垂足為點(diǎn)F，連接DF，分析下列四個(gè)結(jié)論，①△AEF∽△CAB②S△DFC＝4S△FDE③DF＝DC④AD=2ABA．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)12．如圖，等腰直角三角形△ABC中，∠BAC＝90°、AD＝AE，BE和CD交于點(diǎn)N，AF⊥BE、FG⊥CD交BE的延長線于點(diǎn)G．下列說法：①∠ABE＝∠FAC；②AN垂直平分BC；③GE＝GM；④BG＝AF+FG．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空題13．如圖，在平面直角坐標(biāo)中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，點(diǎn)A在x軸的正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)B在y軸的正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)A，點(diǎn)B在滑動(dòng)過程中可與原點(diǎn)O重合，下列結(jié)論：①若C、O兩點(diǎn)關(guān)于AB對稱，則OA＝23；②C，O兩點(diǎn)之間的最大距離為4；③當(dāng)BO＝BC時(shí)，則AB⊥CO；④AB的中點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路徑的長為12π其中正確的是（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）．14．如圖，△ABC中，AD為BC上的中線，∠EBC＝∠ACB，∠BEC＝120°，點(diǎn)F在AC的延長線上，連接DF，DF＝AD，AC﹣BE＝5，CF＝1，則AB＝．15．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AB上，連接DE，過點(diǎn)D作DF⊥DE交AC于點(diǎn)F．連接EF．下列結(jié)論：①BE+CF=22BC；②AD≥EF；③S四邊形AEDF=12AD2；④S△AEF16．如圖，等邊△ABC外一點(diǎn)P，連接AP、BP、CP，AH垂直平分PC于點(diǎn)H，∠BAP的平分線交PC于點(diǎn)D，連接BD，有以下結(jié)論：①DP＝DB；②DA+DB＝DC；③DA⊥BP；④若連接BH，當(dāng)△BDH為等邊三角形時(shí)，則CP＝3DP，其中正確的有．（只需要填寫序號(hào)）17．將一張圓形紙片，進(jìn)行了如下連續(xù)操作（1）將圓形紙片左右對折，折痕為AB，如圖（2）所示（2）將圓形紙片上下折疊，使A、B兩點(diǎn)重合，折痕CD與AB相交于M，如圖（3）所示（3）將圓形紙片沿EF折疊，使B、M兩點(diǎn)重合，折痕EF與AB相交于N，如圖（4）所示（4）連接AE、AF，如圖（5）所示，則S△AEF：12S18．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC=2+1，P是△ABC內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作PD⊥AB、PE⊥AC、PF⊥BC，垂足分別為D、E、F，且PD+PE＝PF．則P運(yùn)動(dòng)所形成的圖形的長度是19．如圖，在菱形ABCD中，過點(diǎn)B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，延長BD至G，使得DG＝BD，連接EG，F(xiàn)G，若AE＝DE，AB＝2，則EG＝．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（10，10），P′（﹣10，﹣10），直線MN過點(diǎn)P′與x軸平行，與y軸交于點(diǎn)D，等腰直角△ABC的直角頂點(diǎn)A與P′重合，邊AB在直線MN上，且AB＝4，若△ABC的直角邊AB以1個(gè)單位長度/秒的速度在射線DM上移動(dòng)．（1）若△ABC向右平移，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)D重合時(shí)，△ABC停止移動(dòng)，在△ABC向右移動(dòng)的過程中，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，S△PBC的面積為y，y與x的函數(shù)關(guān)系式是．（2）在平移的過程中，若△PBC為直角三角形，點(diǎn)C的坐標(biāo)是．三．解答題21．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，E為AB上一點(diǎn)（不與A，B重合）（1）如圖1，若BC＝BE，求證：CE平分∠ACD；（2）如圖2，若AC＝BC，過點(diǎn)B作BF⊥CE于點(diǎn)F，交CD于G．①求證：AE＝CG；②當(dāng)BC＝BE時(shí)，BG與CF的數(shù)量關(guān)系是．22．在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等邊三角形△ACD，E為AC的中點(diǎn)，連接DE并延長交BC于點(diǎn)F，連接BD．（1）如圖1，若∠BAC＝100°，求∠ABD和∠BDF的度數(shù)；（2）如圖2，∠ACB的平分線交AB于點(diǎn)M，交EF于點(diǎn)N，連接BN．①補(bǔ)全圖2；②若BN＝DN，求證：MB＝MN．23．如圖1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作MN∥BC．分別交AB、AC于M、N．（1）求證：BM+CN＝MN．（2）如圖2，若△ABC是等邊三角形，請從以下兩個(gè)問題任選一題作答．問題①：BC＝6，求MN的長．問題②：求證：O是MN的中點(diǎn)．24．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足為G，且AD＝AB，∠EDF＝60°，其兩邊分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求證：△ABD是等邊三角形；（2）若DG＝2，求AC的長；（3）求證：AB＝AE+AF．25．小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)規(guī)律：兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若△ABC和△ADE均是頂角為40°的等腰三角形，BC、DE分別是底邊，求證：BD＝CE；（2）拓展探究：如圖2，若△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，連接BE，則∠AEB的度數(shù)為；線段BE與AD之間的數(shù)量關(guān)系是；（3）解決問題：如圖3，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．26．頂角等于36°的等腰三角形稱為黃金三角形，如圖1，在△ABC中，已知：AB＝AC，且∠A＝36°．DE是AB的垂直平分線，交AC于D，并連接BD．（1）△BCD是不是黃金三角形？如果是，請給出證明；如果不是，請說明理由；（2）設(shè)AB＝1，BC＝x，試求x的值；（3）如圖2，在△ABC中將BC延長至點(diǎn)F，使CF＝AC＝1，求BCAF27．在△ABC中，∠BAC＝60°．（1）如圖1，若AB＝AC，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且∠APC＝150°，PA＝3，PC＝4，把△APC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B，得到△ADB，連接DP，補(bǔ)完全圖，直接寫出PB的長．（2）如圖2，若AB＝AC，點(diǎn)P在△ABC外，且PA＝3，PB＝5，PC＝4，求∠APC的度數(shù)；（3）如圖3，若AB＝2AC，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且PA=3，PB＝5，∠APC＝120°，直接寫出PC28．已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，點(diǎn)D是直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），連接CE．（1）在圖1中，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證：BC＝CE+CD；（2）在圖2中，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上時(shí)，結(jié)論BC＝CE+CD是否還成立？若不成立，請猜想BC，CE，CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）在圖3中，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的反向延長線上時(shí)，不需寫證明過程，直接寫出BC，CE，CD之間存在的數(shù)量關(guān)系及直線CE與直線BC的位置關(guān)系．29．在平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A（a，0），點(diǎn)B（0，b），已知a，b滿足a2+b2+8a+8b+32＝0．（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）如圖1，點(diǎn)E為線段OB上一點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)A作AF⊥AE，且AF＝AE，連接BF交x軸于點(diǎn)D，若點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣2，c），求c的值及OE的長；（3）在（2）的條件下，如圖2，過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BC∥x軸交EG的延長線于點(diǎn)C，連接OC、AC，試判斷△AOC的形狀，并說明理由．30．【背景】在△ABC中，分別以邊AB、AC為底，向△ABC外側(cè)作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，∠ADB＝∠AEC＝90°．【研究】點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，連接DM，EM，研究線段DM與EM的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系．（1）如圖（1），當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，延長EM到點(diǎn)F，使得MF＝ME，連接BF．此時(shí)易證△EMC≌△FMB，D、B、F三點(diǎn)在一條直線上．進(jìn)一步分析可以得到△DEF是等腰直角三角形，因此得到線段DM與EM的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖（2），當(dāng)∠BAC≠90°時(shí)，請繼續(xù)探究線段DM與EM的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）【應(yīng)用】如圖（3），當(dāng)點(diǎn)C，B，D在同一直線上時(shí)，連接DE，若AB＝22，AC＝4，求DE的長．專題30三角形綜合練習(xí)（提優(yōu)）一．選擇題1．如圖，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠ABC的平分線分別交AC、AD于E、F兩點(diǎn)，M為EF的中點(diǎn)，AM的延長線交BC于點(diǎn)N，連接DM，下列結(jié)論：①AE＝AF；②DF＝DN；③△DMN為等腰三角形；④DM平分∠BMN；⑤AE＝NC，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及角平分線的定義求得∠ABE＝∠CBE=12∠ABC＝22.5°，繼而可得∠AFE＝∠AEB＝67.5°，即可判斷②求出BD＝AD，∠DBF＝∠DAN，∠BDF＝∠ADN，證△DFB≌△DAN，即可判斷②；③根據(jù)A、B、D、M四點(diǎn)共圓求出∠ADM＝22.5°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠DNM，求出∠MDN＝∠DNM，即可判斷③；④求出∠BMD＝45°＝∠BMN，即可判斷④；⑤證明△AFB≌△CNA可得AF＝CN，由AF＝AE，即可判斷⑤．【解答】解：①∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC，∴∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，∠ADB＝90°，∴∠BAD＝45°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=12∠∴∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°，∠AFE＝∠ABE+∠BAD＝22.5°+45°＝67.5°，∴∠AEB＝∠AFE∴AF＝AE，故①正確；②∵AF＝AE，M是EF的中點(diǎn)，∴AM⊥BE，∴∠AMF＝∠ADB＝90°，∵∠AFM＝∠BFD∴∠DAN＝∠FBD，在△FBD和△NAD中∠FBD=∠DANBD=AD∴△FBD≌△NAD，∴DF＝DN，AN＝BF，故②正確；③∵∠ADB＝∠AMB＝90°，∴A、B、D、M四點(diǎn)共圓，∴∠ABM＝∠ADM＝22.5°，∵∠DNA＝∠C+∠CAN＝45°+22.5°＝67.5°，∴∠MDN＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴DM＝MN，∴△DMN是等腰三角形，故③正確；④∵∠DNA＝∠MDN＝67.5°，∴∠DMN＝45°，∵∠BMN＝90°，∴∠BMD＝45°＝∠BMN，∴DM平分∠BMN，故④正確；⑤在△AFB和△CNA中，∠BAF=∠C=45°AB=AC∴△AFB≌△CAN，∴AF＝CN，∵AF＝AE，∴AE＝CN，故⑤正確；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是：①②③④⑤，5個(gè)；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形三線合一的性質(zhì)和應(yīng)用，能正確證明兩個(gè)三角形全等是解此題的關(guān)鍵．2．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAD＝30°，AC＝BC＝AD，CE⊥CD，且CE＝CD，連接BD、DE、BE，則下列結(jié)論：①∠ECA＝165°，②BE＝BC；③AD＝BE；④CD＝BD．其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【分析】①根據(jù)：∠CAD＝30°，AC＝BC＝AD，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出∠ECA＝165°，從而得證結(jié)論正確；②根據(jù)CE⊥CD，∠ECA＝165°，利用SAS求證△ACD≌△BCE即可得出結(jié)論；③由②的結(jié)論，等量代換即可；④過D作DM⊥AC于M，過D作DN⊥BC于N．由∠CAD＝30°，可得CM=12AC，求證△CMD≌△CND，可得CN＝DM=12AC=12【解答】解：∵∠CAD＝30°，AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝75°，∵CE⊥CD，∴∠ECA＝165°，①正確；在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE，∴BE＝AD，③正確；∵BC＝AD，∴BE＝BC，②正確；過D作DM⊥AC于M，過D作DN⊥BC于N．∵∠CAD＝30°，且DM=12∵AC＝AD，∠CAD＝30°，∴∠ACD＝75°，∴∠NCD＝90°﹣∠ACD＝15°，∠MDC＝∠DMC﹣∠ACD＝15°，在△CMD和△CND中，∠CMD=∠CND∠MDC=∠NCD∴△CMD≌△CND，∴CN＝DM=12AC=∴CN＝BN．∵DN⊥BC，∴BD＝CD．∴④正確，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握．3．已知，等腰Rt△ABC中AC＝BC，點(diǎn)D在BC上，且∠ADB＝105°，ED⊥AB，G是AF延長線上一點(diǎn)，BE交AG于F，且DE＝2FG，連GE、GB．則下列結(jié)論：①AG⊥BE；②∠DGE＝60°；③BF＝2FG；④AD+2DC＝AB其中正確的結(jié)論有（）A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④【分析】延長ED交AB于M，證△ACD≌△BCE知∠ADC＝∠BEC＝75°，即可判斷①；求得Rt△EDF中∠EDF＝60°，知DE＝2DF＝2FG即DF＝FG，結(jié)合AG⊥BE可判斷②；在Rt△ACD中由∠ADC＝75°可令CD=6?2、AC=2+6、AD＝4，根據(jù)AB=2AC，變形后可判斷④；由DE=2CD、FG=12DE、EF=32DE可得FG、EF，再根據(jù)BF＝【解答】解：如圖，延長ED交AB于M，則∠DMB＝90°，∵∠ADB＝105°，△ABC是等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠MDB＝45°，∠ADC＝75°，∠CAD＝15°，∴△DCE是等腰直角三角形，∴CE＝CD，在△ACD和△BCE中，∵AC=BC∠ACD=∠BCE=90°∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC＝∠BEC＝75°，∴∠AFE＝180°﹣∠CAD﹣∠CEB＝90°，即AF⊥BE，故①正確；∵∠ADC＝75°，∠CDE＝45°，∴Rt△EDF中，∠EDF＝60°，∴DE＝2DF＝2FG，即DF＝FG，∴EF垂直平分DG，∴△DEG是等邊三角形，∴∠DGE＝60°，故②正確；方法一：在Rt△ACD中，∵∠ADC＝75°，∴∠PAD＝15°，作∠ADP＝∠PAD＝15°，則PA＝PD，∠CPD＝30°，設(shè)CD＝a，則PD＝PA＝2a，PC=3a∴AD=CD則CDAD同理可得ACAD∴CD：AC：AD＝（6?2）：（∴令CD=6?2、AC=∴AB=2AC=2（2+6）＝2+23=4+2（6?方法二：由①知∠AFB＝90°，∵∠ADC＝∠BDF＝75°，∴∠DBF＝15°，由②知△DEG為等邊三角形，且BE⊥AG，∴DF＝GF，∴∠DBF＝∠GBF＝15°，∴∠BGF＝90°﹣∠GBF＝75°，∵∠ABG＝∠ABD+∠DBF+∠GBF＝75°，∴AB＝AG，又∵DG＝DE=2CD∴AB＝AG＝AD+DG＝AD+2CD，故④∵DE=2CD=2（6?∴FG=12DE=3?1，EF=∴BF＝BE﹣EF＝AD﹣EF＝4﹣3+3=1顯然BF≠2FG，故③錯(cuò)誤；綜上可知，①②④正確，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、中垂線的性質(zhì)、等邊三角形的判定及角平分線定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握角平分線定理是解題的關(guān)鍵．4．如圖，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，AE平分∠DAC，AE交CD于點(diǎn)F，CE⊥AE，垂足為點(diǎn)E，EG⊥CD，垂足為點(diǎn)G．則以下結(jié)論：①△EFC∽△ECA；②△ABC≌△AEC；③CE＝AF；（4）S△ACF＝5?5；（5）EG2＝FG?DGA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】①由余角的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得∠ACE＝∠AFD＝∠CFE，且∠CEF＝∠CEA＝90°，可證△EFC∽△ECA；②由“ASA”可證△AEC≌△AEH，可得AC＝AH＝25，CE＝EH，通過證明△CGE∽△CDH，可求GE=12DH=5?1，CG=12CD＝2，可證BC≠③由“ASA”可證△ADF≌△CGE，可得CE＝AF；④通過證明△ADF∽△EGF，可得GEAD=GFDF，可求DF=5?1，GF＝3?5⑤分別求出EG2，F(xiàn)G?DG的值，即可求解．【解答】解：如圖，延長AD，CE交于點(diǎn)H，∵AE平分∠DAC，∴∠DAF＝∠FAC，∵AE⊥CE，∴∠CAE+∠ACE＝90°＝∠DAE+∠AFD＝90°，∴∠ACE＝∠AFD＝∠CFE，又∵∠CEF＝∠CEA＝90°，∴△EFC∽△ECA，故①正確；∵矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝2，∴AC=AB2+BC∵∠DAF＝∠FAC，AE＝AE，∠AEH＝∠AEC＝90°，∴△AEC≌△AEH（ASA），∴AC＝AH＝25，CE＝EH，∴DH＝25?∵EG∥DH，∴△CGE∽△CDH，∴GEDH∴GE∴GE=12DH=5?1，∴CE=CG∴CE≠BC，∴△ABC與△AEC不全等，故②錯(cuò)誤；∵AD＝2，CG＝2，∴AD＝CG＝DG＝2，∵∠DAF+∠AFD＝90°＝∠CFE+∠ECF，∴∠DAF＝∠ECF，又∵∠ADF＝∠EGC＝90°，∴△ADF≌△CGE（ASA），∴AF＝CE，故③正確；∵GE∥AD，∴△ADF∽△EGF，∴GEAD∴5?1∵DF+GF＝DG＝2，∴DF=5?1，GF＝3∴S△ACF=12×CF×AD=12×（2+3∵EG2＝（5?1）2＝6﹣25，F(xiàn)G?DG＝6﹣25∴EG2＝FG?DG，故⑤正確，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．5．如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，E是BD上的一點(diǎn)，連接EC，過點(diǎn)B作BG⊥CE于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)H，EF⊥EC交AB于點(diǎn)F．若正方形ABCD的邊長為4，下列結(jié)論：①OE＝OH；②EF＝EC；③當(dāng)G為CE中點(diǎn)時(shí)，BF＝42?4；④BG?BH＝BE?BOA．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【分析】①由“ASA”可證△BOH≌△COE，可得OE＝OH；②過點(diǎn)E作EP⊥BC于P，EQ⊥AB于Q，由“ASA”可證△QEF≌△PEC，可得EF＝EC；③由線段的垂直平分線的性質(zhì)可求BC＝BE＝4，由正方形的性質(zhì)可求BP＝PE＝22，可求BF的長；④通過證明△BOH∽△BGE，可得BHBE=BOBG，可得BH?BG＝【解答】解：∵BG⊥CE，EF⊥EC，∴∠FEC＝∠BGC＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AO＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD，∵∠ECO+∠GHC＝90°＝∠OBH+∠BHO，∠BHO＝∠CHG，∴∠OBH＝∠ECO，又∵BO＝CO，∠BOH＝∠COE＝90°，∴△BOH≌△COE（ASA），∴OE＝OH，故①正確；如圖，過點(diǎn)E作EP⊥BC于P，EQ⊥AB于Q，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，又∵EP⊥BC，EQ⊥AB，∴EQ＝EP，又∵EP⊥BC，EQ⊥AB，∠ABC＝90°，∴四邊形BPEQ是正方形，∴BQ＝BP＝EP＝QE，∠QEP＝90°＝∠FEC，∴∠QEF＝∠PEC，又∵∠EQF＝∠EPC＝90°，∴△QEF≌△PEC（ASA），∴QF＝PC，EF＝EC，故②正確；∵EG＝GC，BG⊥EC，∴BE＝BC＝4，∴BP＝EP＝22，∴PC＝4﹣22=QF∴BF＝BQ﹣QF＝22?（4﹣22）＝42?4，故∵∠BOH＝∠BGE＝90°，∠OBH＝∠GBE，∴△BOH∽△BGE，∴BHBE∴BH?BG＝BE?BO，故④正確，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)和定理進(jìn)行推理的能力．6．如圖，在等腰△ABC與等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，連接BD和CE相交于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)M，交AD與點(diǎn)N．下列結(jié)論：①BD＝CE；②∠BPE＝180°﹣2α；③AP平分∠BPE；④若α＝60°，則PE＝AP+PD．其中一定正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由“SAS”可證△BAD≌△CAE，可得BD＝CE；由全等三角形的性質(zhì)可得∠ABD＝∠ACE，由外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得∠BPE＝∠ACB+∠ABC＝180°﹣α；由全等三角形的性質(zhì)可得S△BAD＝S△CAE，由三角形面積公式可得AH＝AF，由角平分線的性質(zhì)可得AP平分∠BPE；由全等三角形的性質(zhì)可得∠BDA＝∠CEA，由“SAS”可證△AOE≌△APD，可得AO＝AP，可證△APO是等邊三角形，可得AP＝PO，可得PE＝AP+PD，即可求解．【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE＝α，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴BD＝CE，故①符合題意；∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，∵∠BPE＝∠PBC+∠PCB＝∠PBC+∠ACB+∠ACP＝∠PBC+∠ACB+∠ABP，∴∠BPE＝∠ACB+∠ABC＝180°﹣α，故②不符合題意；如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BD，AF⊥CE，∵△BAD≌△CAE，∴S△BAD＝S△CAE，∴12BD×AH=12CE×AF，且BD∴AH＝AF，且AH⊥BD，AF⊥CE，∴AP平分∠BPE，故③符合題意；如圖，在線段PE上截取OE＝PD，連接AO，∵△BAD≌△CAE，∴∠BDA＝∠CEA，且OE＝PD，AE＝AD，∴△AOE≌△APD（SAS）∴AP＝AO，∵∠BPE＝180°﹣α＝120°，且AP平分∠BPE，∴∠APO＝60°，且AP＝AO，∴△APO是等邊三角形，∴AP＝PO，∵PE＝PO+OE，∴PE＝AP+PD，故④符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)以及角之間的關(guān)系，證明△BAD≌△CAE是解本題的關(guān)鍵．7．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的角平分線交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D分別作BC和AB的平行線，交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)H，連接EH交BD于點(diǎn)G，在AE上截取EF＝BE，連接DF．下列說法中正確的有（）（1）GH：FD＝1：2；（2）BD2＝BF?BC；（3）四邊形EBHD是菱形；（4）S△ADF=29S△A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】①由題意可證四邊形DEBH是平行四邊形，可得GH＝EG，BG＝DG，由三角形中位線定理可得EG∥DF，GE=12DF，可得GH=②通過證明△BDF∽△BCD，可得BDBC=BFBD，可證BD2＝③由菱形的判定可證四邊形EBHD是菱形；④條件不足，無法證明．【解答】解：∵DE∥BC，DH∥AB，∴四邊形DEBH是平行四邊形，∴GH＝EG，BG＝DG，又∵EF＝BE，∴EG∥DF，GE=12∴GH=12∴GH：DF＝1：2，故①正確；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝DE，∴BE＝DE＝EF，∴∠BDF＝90°＝∠C，又∵∠ABD＝∠DBC，∴△BDF∽△BCD，∴BDBC∴BD2＝BC?BF，故②正確；∵BE＝DE，四邊形DEBH是平行四邊形，∴四邊形DEBH是菱形，故③正確；條件不足，無法證明S△ADF=29S△ABC．故故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．8．如圖，△ABC為等腰直角三角形，D為三角形外一點(diǎn)，連接CD，過D作DE⊥DC交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)為DE上一點(diǎn)且DF＝DC，連接BF，N為BF中點(diǎn)，延長DN至點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)G，使得∠ABM＝∠ACD，連接AM，AF，BM，下列結(jié)論：①M(fèi)N＝ND；②DM=2AM；③∠BAM＞∠CGD；④2AF+BF＝DM；⑤若BM＝2，AB=10，AF=2，則SA．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】連接AD，交BC于H，連接AN，CF，由“SAS”可證△BMN≌△FDN，可得MN＝DN，BM＝DF，由“SAS”可證△ABM≌△ACD，可得AM＝AD，∠BAM＝∠CAD，由等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系以及三角形的面積公式依次判斷可求解．【解答】解：∵△ABC為等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠ABC＝45°，∵CD⊥DE，∴∠BAC＝∠EDC＝90°，∵∠CDE+∠DEA+∠BAC+∠ACD＝360°，∴∠ACD+∠AED＝180°，∵∠ACD+∠BED＝180°，∴∠BED＝∠ACD，∵∠ABM＝∠ACD，∴∠ABM＝∠BED，∴BM∥DE，∴∠BMD＝∠EDM，∵N為BF中點(diǎn)，∴BN＝NF，又∵∠BNM＝∠DNF，∴△BMN≌△FDN（AAS），∴MN＝DN，BM＝DF，故①正確；如圖1，連接AD，交BC于H，連接AN，CF，∵CD＝DF，∴DC＝BM，又∵AC＝AB，∠ABM＝∠ACD，∴△ABM≌△ACD（SAS），∴AM＝AD，∠BAM＝∠CAD，∴∠CAD+∠BAD＝∠BAM+∠BAD＝∠MAD＝90°，∴△MAD是等腰直角三角形，∴MD=2AM，∠AMD＝∠ADM＝45°，故②∴∠ACB＝∠ADM＝45°，又∵∠AHC＝∠GHD，∴∠CAD＝∠CGD，∴∠BAM＝∠CGD，故③錯(cuò)誤；∵△MAD是等腰直角三角形，MN＝ND，∴MD＝2AN，在△ANF中，AN＜AF+FN，∴2AN＜2AF+2FN，∴MD＜2AF+BF，故④錯(cuò)誤；∵BM＝2＝DF＝CD，∴CF=2CD＝22∵AF2+CF2＝2+8＝10，AB2＝10，∴AF2+CF2＝AB2，∴∠AFC＝90°，∴S四邊形ACDF＝S△CFD+S△AFC=12×22故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系等關(guān)系，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．9．如圖，等邊△ABC中，D、E分別為AC、BC邊上的點(diǎn)，AD＝CE，連接AE、BD交于點(diǎn)F，∠CBD、∠AEC的平分線交于AC邊上的點(diǎn)G，BG與AE交于點(diǎn)H，連接FG．下列說法：①△ABD≌△CAE；②∠BGE＝30°；③∠ABG＝∠BGF；④AB＝AH+FG；⑤S△AGE：S△BGC＝DG：GC，其中正確的說法有（）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【分析】①正確．根據(jù)SAS證明三角形全等即可．②正確．證明∠BGE=12∠BFE，∠③正確．證明∠BGF＝30°+12∠EAC，∠ABG＝30°+1④正確．過點(diǎn)G作GT⊥BD于T，GJ⊥AE于J，GK⊥BC于K，想辦法證明GF＝GC，AH＝AG即可．⑤正確．由題意，S△AEGS△CBG=12?AE?GJ12【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ACB＝∠BAC＝60°，在△ABD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠ACE=60°∴△ABD≌△CAE（SAS），故①正確，∵△ABD≌△CAE，∴∠CAE＝∠ABD，∵∠BFE＝∠BAE+∠ABD，∴∠BFE＝∠BAE+∠CAE＝∠BAC＝60°，∵∠AEC＝∠EBF+∠BFE，∴∠AEC＝∠FBE+60°，∵∠CBD、∠AEC的平分線交于AC邊上的點(diǎn)G，∴∠GEC=12∠AEC=12∠FBE+30°，∠GBE=1∵∠GEC＝∠GBE+∠BGE，∴∠BGE＝30°，故②正確，∵FG平分∠DFE，BG平分∠FBE，∴同法可得∠BGF=12∠AEB=12（∠EAC+∠C）∵∠ABG＝∠ABD+∠DBG＝∠ABD+12（60°﹣∠ABD）=1∵∠ABD＝∠EAC，∴∠ABG＝∠BGF，故③正確，過點(diǎn)G作GT⊥BD于T，GJ⊥AE于J，GK⊥BC于K，∵GB平分∠DBC，GE平分∠AEC，∴GT＝GK＝GJ，∵∠GFJ＝∠C＝60°，∠GJF＝∠GKC＝90°，∴△GJF≌△GKC（AAS），∴GF＝GC，∵∠BAH+∠EAC＝∠EAC+∠AGF＝60°，∴∠BAH＝∠AGF，∵∠AHG＝∠ABG+∠BAH，∠AGH＝∠BGF+∠AGF，∴∠AHG＝∠AGH，∴AH＝AG，∴AH+GF＝AG+GC＝AC＝AB，∴AB＝AH+GF，故④正確，∵S△AEG∵AE＝BD，∴S△AEG∵S△BGD∴∵S△AEGS△CBG故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．10．如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC交AC的延長線于M，連接CD，給出四個(gè)結(jié)論：①∠ADC＝45°；②BD=12AE；③AC+CE＝AB；④AB﹣BC＝2MC；⑤A．2 B．3 C．4 D．5【分析】通過證明點(diǎn)A，點(diǎn)C，點(diǎn)D，點(diǎn)B四點(diǎn)共圓，由圓周角的性質(zhì)可判斷①；延長BD，AM交于點(diǎn)F，由“ASA”可證△ACE≌△BCF，可得AE＝BF，由互余的性質(zhì)可求BF＝2BD＝AE；過點(diǎn)E作EH⊥AB于H，由“AAS”可證△CEA≌△HEA，可得AC＝AH，CE＝EH，由直角三角形性質(zhì)可得BH＝HE＝CE，可判斷③；由全等三角形的性質(zhì)和平行線分線段成比例可判斷④，設(shè)AC＝BC＝a，用a表示AB，CE，CM，AM，即可求判斷⑤．【解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴點(diǎn)A，點(diǎn)C，點(diǎn)D，點(diǎn)B四點(diǎn)共圓，∴∠ADC＝∠ABC＝45°，∠CAD＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD，∴①正確；如圖，延長BD，AM交于點(diǎn)F，∵AC＝BC，∠CAD＝∠CBD，∠ACE＝∠BCF＝90°，∴△ACE≌△BCF（ASA）∴AE＝BF，∵AE平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠DBC＝∠DCB，且∠BCF＝90°，∴CD＝BD，∠BCD+∠DCF＝90°，∠DBC+∠F＝90°，∴∠DCF＝∠F，∴CD＝DF，∴CD＝DF＝BD，∴BF＝2BD＝AE，故②正確；如圖，過點(diǎn)E作EH⊥AB于H，∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，∠ACB＝∠AHE＝90°，∴△CEA≌△HEA（AAS）∴AC＝AH，CE＝EH，∵∠ABC＝45°，∠EHB＝90°，∴∠ABC＝∠HEB＝45°，∴BH＝HE＝CE，∴AB＝AH+HB＝AC+CE，故③正確；∵AB＝AC+CE＝BC+CE，∴AB﹣BC＝CE，∵△ACE≌△BCF，∴CF＝CE，∴CF＝AB﹣BC，∵DM⊥AC，∠ACB＝90°，∴DM∥BC，∴BDBF∴CF＝2CM，∴AB﹣BC＝2CM，故④正確；設(shè)AC＝BC＝a，∴AB=2a∴CF＝CE＝BH＝AB﹣AC＝（2?1）a∴CM=2?1∴AM=2+1∴AC+ABAM故⑤正確，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題是三角形綜合題，主要考查了四點(diǎn)共圓的判斷，圓的性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線分線段成比例，解本題的關(guān)鍵是添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形．11．如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，BE⊥AC垂足為點(diǎn)F，連接DF，分析下列四個(gè)結(jié)論，①△AEF∽△CAB②S△DFC＝4S△FDE③DF＝DC④AD=2ABA．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【分析】①正確．只要證明∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°即可；②根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論，③根據(jù)已知條件得到四邊形BMDE是平行四邊形，求得BM＝DE=12BC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DM垂直平分④設(shè)AE＝a，AB＝b，則AD＝2a，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：①如圖，過D作DM∥BE交AC于N，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，S△DCF＝4S△DEF∵BE⊥AC于點(diǎn)F，∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正確；②∵點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，∴S△DEF=12S△∵△AEF∽△CBF，∴AF：CF＝AE：BC=1∴S△CDF＝2S△ADF＝4S△DEF，故②正確；③∵DE∥BM，BE∥DM，∴四邊形BMDE是平行四邊形，∴BM＝DE=12∴BM＝CM，∴CN＝NF，∵BE⊥AC于點(diǎn)F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DM垂直平分CF，∴DF＝DC，故③正確；④設(shè)AE＝a，AB＝b，則AD＝2a，由△BAE∽△ADC，有ba=2ab，即∴tan∠CAD=CD∴AD=2故④正確；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算以及解直角三角形的綜合應(yīng)用，正確的作出輔助線構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵．解題時(shí)注意：相似三角形的對應(yīng)邊成比例．12．如圖，等腰直角三角形△ABC中，∠BAC＝90°、AD＝AE，BE和CD交于點(diǎn)N，AF⊥BE、FG⊥CD交BE的延長線于點(diǎn)G．下列說法：①∠ABE＝∠FAC；②AN垂直平分BC；③GE＝GM；④BG＝AF+FG．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由余角的性質(zhì)可求∠ABE＝∠FAC，可判斷①；由“SAS”可證Rt△ABE≌Rt△ACD，可得∠ABE＝∠ACD，可求∠CBN＝∠BCN，可得BN＝CN，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AN垂直平分BC，可判斷②；由余角的性質(zhì)可得∠AEB＝∠FMC，可得∠GEM＝∠GME，可證GE＝GM，可判斷③；過G作GH⊥BC于K，交AF的延長于點(diǎn)H，連BH，由“SAS”可證△GFK≌△HFK，可得GK＝KH，GF＝FH，可得AF+FG＝AH，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得BH＝BG，由等腰三角形的判定和性質(zhì)可得AH＝BH，可得BG＝AH＝AF+FG，可判斷④，即可求解．【解答】解：∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAF+∠FAC＝90°，∴∠ABE＝∠FAC，故①正確；如圖，連接AN，∵△ABC為等腰直角三角形，∴AC＝AB，∠BAC＝90°，∵AD＝AE，∠BAC＝∠BAC，AC＝AB，∴Rt△ABE≌Rt△ACD（SAS），∴∠ABE＝∠ACD，∵AC＝AB，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠CBN＝∠BCN，∴BN＝CN，又∵AB＝AC，∴AN垂直平分BC，故②正確；∵Rt△ABE≌Rt△ACD，∴∠BEA＝∠ADC，又∵GF⊥DC，∴∠FMC+∠DCM＝90°，而∠ADC+∠DCM＝90°，∴∠AEB＝∠FMC，∴∠GEM＝∠GME，∴GE＝GM，故③正確．如上圖，過G作GH⊥BC于K，交AF的延長于點(diǎn)H，連BH，∵CD⊥FG，AF⊥BG，∴∠GFC+∠BCN＝90°，∠CBN+∠BFA＝90°，∴∠GFC＝∠AFB，∴∠GFC＝∠HFK，在△GFK和△HFK中，∠GFK=∠HFKFK=FK∴△GFK≌△HFK（SAS），∴GK＝KH，GF＝FH，∴AF+FG＝AF+FH＝AH，∵GK＝KH，GH⊥BC，∴BG＝BH，又∵BC⊥GH，∴∠GBC＝∠HBC＝∠BCD，∵∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠BCD＝90°﹣∠ACD，∴∠ABC+∠GBC＝∠ABC+∠HBC＝∠ABH＝90°﹣∠ACD，∵∠BAH＝90°﹣∠FAC，∠ABE＝∠CAF＝∠ACD，∴∠ABH＝∠BAH，∴AH＝BH，∴BG＝AH＝AF+FG，故④正確，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．二．填空題13．如圖，在平面直角坐標(biāo)中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，點(diǎn)A在x軸的正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)B在y軸的正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)A，點(diǎn)B在滑動(dòng)過程中可與原點(diǎn)O重合，下列結(jié)論：①若C、O兩點(diǎn)關(guān)于AB對稱，則OA＝23；②C，O兩點(diǎn)之間的最大距離為4；③當(dāng)BO＝BC時(shí)，則AB⊥CO；④AB的中點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路徑的長為12π其中正確的是①②③（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）．【分析】①先根據(jù)直角三角形30°的性質(zhì)和勾股定理分別求AC和AB，由對稱的性質(zhì)可知：AB是OC的垂直平分線，所以O(shè)A＝AC；②當(dāng)OC經(jīng)過AB的中點(diǎn)E時(shí)，OC最大，則C、O兩點(diǎn)距離的最大值為4；③如圖2，當(dāng)∠ABO＝30°時(shí)，易證四邊形OACB是矩形，此時(shí)AB與CO互相平分，但所夾銳角為60°，明顯不垂直，或者根據(jù)四點(diǎn)共圓可知：A、C、B、O四點(diǎn)共圓，則AB為直徑，由垂徑定理相關(guān)推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，但當(dāng)這條弦也是直徑時(shí)，即OC是直徑時(shí)，AB與OC互相平分，但AB與OC不一定垂直；④如圖3，半徑為2，圓心角為90°，根據(jù)弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵BC＝2，∠BAC＝30°，∴AB＝4，AC=42?①若C、O兩點(diǎn)關(guān)于AB對稱，如圖1，∴AB是OC的垂直平分線，則OA＝AC＝23；所以①正確；②如圖1，取AB的中點(diǎn)為E，連接OE、CE，∵∠AOB＝∠ACB＝90°，∴OE＝CE=12當(dāng)OC經(jīng)過點(diǎn)E時(shí)，OC最大，則C、O兩點(diǎn)距離的最大值為4；所以②正確；③如圖2，在Rt△AOB和Rt△ACB中，BO=BCAB=AB∴Rt△AOB≌Rt△ACB（HL），∴AC＝AO，OB＝OC，∴AB垂直平分OC．所以③正確；④如圖3，斜邊AB的中點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路徑是：以O(shè)為圓心，以2為半徑的圓周的14則：90π×2180=所以④不正確；綜上所述，本題正確的有：①②③；故答案為：①②③．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形的綜合題，考查了直角三角形30°的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑問題、弧長公式，熟練掌握直角三角形斜邊中線等于斜邊一半是本題的關(guān)鍵，難度適中．14．如圖，△ABC中，AD為BC上的中線，∠EBC＝∠ACB，∠BEC＝120°，點(diǎn)F在AC的延長線上，連接DF，DF＝AD，AC﹣BE＝5，CF＝1，則AB＝7．【分析】延長AD到G，使DG＝AD，連接BG，CG，GF，過點(diǎn)C作CH⊥BG于H，過作CN⊥BE于N，由平行四邊形的判定可證四邊形ABGC是平行四邊形，可得AC∥BG，AC＝BG，AB＝CG，由“AAS”可證△BCN≌△△BCH，可得BN＝BH，CN＝CH，由三個(gè)角是直角是四邊形是矩形可證四邊形CFGH是矩形，可得HG＝CF＝1，由線段的數(shù)量關(guān)系可求EN的長，由直角三角形的性質(zhì)可求CN＝CH＝43，由勾股定理可求CG的長，即可求解．【解答】解：如圖，延長AD到G，使DG＝AD，連接BG，CG，GF，過點(diǎn)C作CH⊥BG于H，過作CN⊥BE于N，∵AD為BC上的中線，∴BD＝CD，且DG＝AD，∴四邊形ABGC是平行四邊形，∴AC∥BG，AC＝BG，AB＝CG，∴∠ACB＝∠CBG，且∠EBC＝∠ACB，∴∠EBC＝∠CBG，且∠N＝∠CHB＝90°，BC＝BC，∴△BCN≌△BCH（AAS），∴BN＝BH，CN＝CH，∵AC﹣BE＝5，∴BG﹣BE＝BH+HG﹣BE＝BN+HG﹣BE＝EN+HG＝5，∵AD＝DF，AD＝DG，∴AD＝DF＝DG，∴∠AFG＝90°，∵AC∥BG，CH⊥BG，∴CH⊥AF，且CH⊥BG，∠AFG＝90°，∴四邊形CFGH是矩形，∴CF＝HG＝1，∴EN＝4，∵∠BEC＝120°，∴∠NEC＝60°，且∠N＝90°，∴NC=3EN＝43∴CH＝43，∴AB＝CG=CH故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線是本題的關(guān)鍵．15．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AB上，連接DE，過點(diǎn)D作DF⊥DE交AC于點(diǎn)F．連接EF．下列結(jié)論：①BE+CF=22BC；②AD≥EF；③S四邊形AEDF=12AD2；④S△AEF≤1【分析】由“ASA”可證△ADE≌△CDF，可得AE＝CF，S△ADE＝S△CDF，由等腰直角三角形的性質(zhì)可判斷①，③，由三角形的三邊關(guān)系可判斷②，由三角形面積關(guān)系可判斷④．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，∴BD＝CD＝AD=12BC，∠BAD＝∠CAD＝∠C＝45°，AD⊥BC，BC=∵DF⊥DE，∴∠EDF＝∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，且AD＝CD，∠BAD＝∠C，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，∴BE+CF＝BE+AE＝AB，且BC=2AB，∴BE+CF=22BC，故∵AE+AF≥EF，∴AF+CF≥EF，∴AC≥EF，∴2AD≥EF，故②錯(cuò)誤；∵△ADE≌△CDF，∴S△ADE＝S△CDF，∴S四邊形AEDF＝S△ADF+S△CDF＝S△ADC=12×AD2∵S△AEF=12×AE×AF，且AE+AF∴當(dāng)AE＝AF時(shí)，S△AEF的最大值=14S△∴S△AEF≤14S故答案為：①③④【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形面積公式等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．16．如圖，等邊△ABC外一點(diǎn)P，連接AP、BP、CP，AH垂直平分PC于點(diǎn)H，∠BAP的平分線交PC于點(diǎn)D，連接BD，有以下結(jié)論：①DP＝DB；②DA+DB＝DC；③DA⊥BP；④若連接BH，當(dāng)△BDH為等邊三角形時(shí)，則CP＝3DP，其中正確的有①②③．（只需要填寫序號(hào)）【分析】①首先由等邊三角形的性質(zhì)易得AB＝AC＝BC，由垂直平分線的性質(zhì)易得AP＝AC，等量代換可得AP＝AB，由SAS定理可證得△PAD≌△BAD，利用全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；②在CP上截CQ＝PD，證明△ACQ≌△APD，等量代換，證得△ADQ為等邊三角形，得出結(jié)論；③由等腰三角形的性質(zhì)可得AD是BP的垂直平分線；④由垂直平分線的性質(zhì)可得PH＝CH，由等邊三角形的性質(zhì)可得BD＝DH＝PD，可得PC＝4PD．【解答】解：①∵AH是PC的垂直平分線，∴PA＝AC＝AB，∵AD平分∠PAB，∴∠PAD＝∠BAD，在△PAD和△BAD中，PA=BA∠PAD=∠BAD∴△PAD≌△BAD（SAS），∴DP＝DB；故①符合題意；②在CP上截取CQ＝PD，連接AQ，如圖所示：∵AP＝AC，∴∠APD＝∠ACQ，在△APD和△ACQ中，AP=AC∠APD=∠ACQ∴△APD≌△ACQ（SAS），∴AD＝AQ，∠CAQ＝∠PAD，∴∠BAC＝∠CAQ+∠BAQ＝∠PAD+∠BAQ＝∠BAD+∠BAQ＝∠DAQ＝60°，∴△ADQ為等邊三角形，∴DA＝DQ，∴DC＝DQ+CQ＝DA+DB，即DA+DB＝DC．故②符合題意；③∵AB＝AP，AD平分∠PAB，∴AD⊥PB，故③符合題意；④∵AH垂直平分PC，∴PH＝CH，∵△BDH為等邊三角形，∴DB＝DH，∵PD＝DB，∴PD＝DH，∴PH＝2PD，∴CP＝4PD，故④不合題意，故答案為：①②③．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理的應(yīng)用等，作出輔助線構(gòu)建全等三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．17．將一張圓形紙片，進(jìn)行了如下連續(xù)操作（1）將圓形紙片左右對折，折痕為AB，如圖（2）所示（2）將圓形紙片上下折疊，使A、B兩點(diǎn)重合，折痕CD與AB相交于M，如圖（3）所示（3）將圓形紙片沿EF折疊，使B、M兩點(diǎn)重合，折痕EF與AB相交于N，如圖（4）所示（4）連接AE、AF，如圖（5）所示，則S△AEF：12S圓=33【分析】由折疊的性質(zhì)可得∠BMD＝∠BNF＝90°，證得CD∥EF，再根據(jù)垂徑定理可得BM垂直平分EF，再求出BN＝MN，從而得到BM、EF互相垂直平分，連接ME，求出∠MEN＝30°，再求出∠EMN＝60°，根據(jù)等邊對等角求出∠AEM＝∠EAM，由三角形的外角性質(zhì)求出∠AEM＝30°，得到∠AEF＝60°，同理求出∠AFE＝60°，判定△AEF是等邊三角形，設(shè)圓的半徑為r，求出MN=12r，EN=32r，然后求出【解答】解：∵紙片上下折疊A、B兩點(diǎn)重合，∴∠BMD＝90°，∵紙片沿EF折疊，B、M兩點(diǎn)重合，∴∠BNF＝90°，∴∠BMD＝∠BNF＝90°，∴CD∥EF，根據(jù)垂徑定理，BM垂直平分EF，又∵紙片沿EF折疊，B、M兩點(diǎn)重合，∴BN＝MN，∴BM、EF互相垂直平分，連接ME，如圖所示：則ME＝MB＝2MN，∴∠MEN＝30°，∴∠EMN＝90°﹣30°＝60°，又∵AM＝ME（都是半徑），∴∠AEM＝∠EAM，∴∠AEM=12∠EMN∴∠AEF＝∠AEM+∠MEN＝30°+30°＝60°，同理可求∠AFE＝60°，∴∠EAF＝60°，∴△AEF是等邊三角形，設(shè)圓的半徑為r，則MN=12r，EN=∴EF＝2EN=3r，AN＝r+12r∴S△AEF：12S圓＝（12×3r×32r）：12π故答案為：33：2π．【點(diǎn)評(píng)】本題三角形綜合題目，主要考查了翻折變換的性質(zhì)，平行線的判定，垂徑定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積公式以及圓的面積公式等知識(shí)；理解折疊的方法，證明△AEF是等邊三角形是解題關(guān)鍵．18．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC=2+1，P是△ABC內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作PD⊥AB、PE⊥AC、PF⊥BC，垂足分別為D、E、F，且PD+PE＝PF．則P運(yùn)動(dòng)所形成的圖形的長度是2【分析】如圖，作∠ACB的平分線CM交AB于M，作MH∥BC交AC于H，在線段MH上取一點(diǎn)P，過P作PD⊥AB、PE⊥AC、PF⊥BC，垂足分別為D、E、F．首先證明PD+PE＝AM，再證明MA＝MN＝PF，得出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段MH．求出MH即可解決問題；【解答】解：如圖，作∠ACB的平分線CM交AB于M，作MH∥BC交AC于H，在線段MH上取一點(diǎn)P，過P作PD⊥AB、PE⊥AC、PF⊥BC，垂足分別為D、E、F．∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵M(jìn)H∥BC，∴∠AMH＝∠B＝45°，∵PD⊥AB，∴∠PDM＝90°，∴∠DMP＝∠DPM＝45°，∴PD＝DM，∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴∠A＝∠PDA＝∠PEA＝90°，∴四邊形ADPE是矩形，∴PE＝AD，∴PD+PE＝DM+AD＝AM，∵CM平分∠ACB，MN⊥BC，MA⊥AC，∴MA＝MN，∵PF⊥BC，MN⊥BC，∴PF∥NM，∵PM∥FN，∴四邊形PFNM是平行四邊形，∵∠PFN＝90°，∴四邊形PFNM是矩形，∴PF＝MN，∴PF＝AM，∴PF＝PD+PE，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段MH．設(shè)AM＝MN＝x則BN＝MN＝x，BM=2x∵AB=2∴x+2x=∴x＝1，在Rt△AMH中，∵AM＝AH＝1，∴MH=2∴P運(yùn)動(dòng)所形成的圖形的長度是2．故答案為2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、軌跡、角平分線的性質(zhì)定理、矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，正確尋找點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，屬于中考填空題中的壓軸題．19．如圖，在菱形ABCD中，過點(diǎn)B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，延長BD至G，使得DG＝BD，連接EG，F(xiàn)G，若AE＝DE，AB＝2，則EG＝7．【分析】連接AC、EF，根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分可得AC⊥BD，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AB＝BD，然后判斷出△ABD是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的三個(gè)角都是60°求出∠ADB＝60°，設(shè)EF與BD相交于點(diǎn)H，AB＝4x，然后根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EH，再求出DH，從而得到GH，利用勾股定理列式求出EG．【解答】解：如圖，連接AC、EF，在菱形ABCD中，AC⊥BD，∵BE⊥AD，AE＝DE，∴AB＝BD，又∵菱形的邊AB＝AD，∴△ABD是等邊三角形，∴∠ADB＝60°，設(shè)EF與BD相交于點(diǎn)H，AB＝4x，∵AE＝DE，∴由菱形的對稱性，CF＝DF，∴EF是△ACD的中位線，∴DH=12DO=14在Rt△EDH中，EH=3DH=3∵DG＝BD，∴GH＝BD+DH＝4x+x＝5x，在Rt△EGH中，由勾股定理得，EG=EH所以，EGAB∵AB＝2，∴EG=7故答案是：7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形綜合題，需要熟練掌握菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半等知識(shí)點(diǎn)，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出直角三角形以及三角形的中位線．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（10，10），P′（﹣10，﹣10），直線MN過點(diǎn)P′與x軸平行，與y軸交于點(diǎn)D，等腰直角△ABC的直角頂點(diǎn)A與P′重合，邊AB在直線MN上，且AB＝4，若△ABC的直角邊AB以1個(gè)單位長度/秒的速度在射線DM上移動(dòng)．（1）若△ABC向右平移，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)D重合時(shí)，△ABC停止移動(dòng)，在△ABC向右移動(dòng)的過程中，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，S△PBC的面積為y，y與x的函數(shù)關(guān)系式是y＝﹣2x+72（0≤x≤6）．（2）在平移的過程中，若△PBC為直角三角形，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（﹣14，﹣6）或（﹣6，﹣6）．【分析】（1）先求出x的范圍，再利用三角形的面積的和差即可得出結(jié)論；（2）設(shè)出點(diǎn)A坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)B，C坐標(biāo)，進(jìn)而求出BC2，BP2，CP2，最后用勾股定理的逆定理建立方程求解即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵P′（﹣10，﹣10），∴DP'＝10，∵AB＝4，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)P'重合時(shí)，BD＝6，∴B（﹣6，0），∴0≤x≤6，∵△ABC的直角邊AB以1個(gè)單位長度/秒的速度在射線DM上移動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)知，BD＝6﹣x，AD＝10﹣x，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB＝4，如圖，過點(diǎn)P作PG⊥MN于G，∵P（10，10）∴PG＝20，BG＝16﹣x，AG＝10+10﹣x＝20﹣x，∴y＝S△PBC＝S梯形ACPG﹣S△ABC﹣S△PBG=12（AC+PG）×AG?12AB2=12（4+20）×（20﹣x）?12×4＝﹣2x+72（0≤x≤6），故答案為：y＝﹣2x+72（0≤x≤6）；（2）設(shè)A（m，﹣10），∴B（m+4，﹣10），C（m，﹣6），∴BD＝﹣（m+4），AD＝﹣m，∵P（10，10），∴CP2＝（m﹣10）2+（﹣6﹣10）2＝（m﹣10）2+256，BP2＝（m﹣6）2+400，∵AB＝4，∴BC2＝2AB2＝32，∵△PBC為直角三角形，∴①當(dāng)∠PBC＝90°時(shí)，BC2+BP2＝CP2，∴32+（m﹣6）2+400＝（m﹣10）2+256，∴m＝﹣14，∴C（﹣14，﹣6），②當(dāng)∠PCB＝90°時(shí)，BC2+CP2＝BP2，∴32+（m﹣10）2+256＝（m﹣6）2+400，∴m＝﹣6，∴C（﹣6，﹣6）③當(dāng)∠BPC＝90°時(shí)，BP2+CP2＝BC2，∴（m﹣6）2+256+（m﹣10）2+400＝32，此方程無解，即：此種情況不存在，即：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣14，﹣6）或（﹣6，﹣6），故答案為：（﹣14，﹣6）或（﹣6，﹣6）．【點(diǎn)評(píng)】此題是三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形，梯形的面積公式，勾股定理逆定理，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．三．解答題21．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，E為AB上一點(diǎn)（不與A，B重合）（1）如圖1，若BC＝BE，求證：CE平分∠ACD；（2）如圖2，若AC＝BC，過點(diǎn)B作BF⊥CE于點(diǎn)F，交CD于G．①求證：AE＝CG；②當(dāng)BC＝BE時(shí)，BG與CF的數(shù)量關(guān)系是BG＝2CF．【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠DCB，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠CEB＝∠ECB，則可得出答案；（2）①證明Rt△CGF≌Rt△BGD（ASA），由全等三角形的性質(zhì)得出DE＝DG，則可得出結(jié)論；②由全等三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵∠A+∠B＝90°，∠DCB+∠B＝90°，∴∠A＝∠DCB，又∵BC＝BE，∴∠CEB＝∠ECB，又∵∠CEB＝∠A+∠ACE，∠ECB＝∠DCB+∠ECD，∴∠ACE＝∠ECD，即CE平分∠ACD．（2）①∵AC＝BC，且∠ACB＝90°，∴△ABC為等腰直角三角形，又CD⊥AB，∴CD＝BD＝AD，在Rt△CGF和Rt△BGD中，∵∠CGF＝∠BGD，∴∠FCG＝∠DBG，在Rt△CDE和Rt△BDG中，∠DCE=∠DBGCD=BD∴Rt△CGF≌Rt△BGD（ASA），∴DE＝DG，又CD＝AD，∴AE＝CG．②解：∵△CGF≌△BGD，∴BG＝CE，又∵BC＝BE，BF⊥CE，∴CF＝EF，∴BG＝2CF．故答案為：BG＝2CF．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．22．在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等邊三角形△ACD，E為AC的中點(diǎn)，連接DE并延長交BC于點(diǎn)F，連接BD．（1）如圖1，若∠BAC＝100°，求∠ABD和∠BDF的度數(shù)；（2）如圖2，∠ACB的平分線交AB于點(diǎn)M，交EF于點(diǎn)N，連接BN．①補(bǔ)全圖2；②若BN＝DN，求證：MB＝MN．【分析】（1）分別求出∠ADF，∠ADB，根據(jù)∠BDF＝∠ADF﹣∠ADB計(jì)算即可；（2）①根據(jù)要求畫出圖形即可；②設(shè)∠ACM＝∠BCM＝α，由AB＝AC，推出∠ABC＝∠ACB＝2α，可得∠NAC＝∠NCA＝α，∠DAN＝60°+α，由△ABN≌△ADN（SSS），推出∠ABN＝∠ADN＝30°，∠BAN＝∠DAN＝60°+α，∠BAC＝60°+2α，在△ABC中，根據(jù)∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，構(gòu)建方程求出α，再證明∠MNB＝∠MBN即可解決問題．【解答】（1）解：如圖1中，在等邊三角形△ACD中，∠CAD＝∠ADC＝60°，AD＝AC．∵E為AC的中點(diǎn)，∴∠ADE=12∠∵AB＝AC，∴AD＝AB，∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝160°，∴∠ADB＝∠ABD＝10°，∴∠BDF＝∠ADF﹣∠ADB＝20°．（2）①補(bǔ)全圖形，如圖所示．②證明：連接AN．∵CM平分∠ACB，∴設(shè)∠ACM＝∠BCM＝α，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝2α．在等邊三角形△ACD中，∵E為AC的中點(diǎn)，∴DN⊥AC，∴NA＝NC，∴∠NAC＝∠NCA＝α，∴∠DAN＝60°+α，在△ABN和△ADN中，AB=ADBN=DN∴△ABN≌△ADN（SSS），∴∠ABN＝∠ADN＝30°，∠BAN＝∠DAN＝60°+α，∴∠BAC＝60°+2α，在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，∴60°+2α+2α+2α＝180°，∴α＝20°，∴∠NBC＝∠ABC﹣∠ABN＝10°，∴∠MNB＝∠NBC+∠NCB＝30°，∴∠MNB＝∠MBN，∴MB＝MN．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．23．如圖1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作MN∥BC．分別交AB、AC于M、N．（1）求證：BM+CN＝MN．（2）如圖2，若△ABC是等邊三角形，請從以下兩個(gè)問題任選一題作答．問題①：BC＝6，求MN的長．問題②：求證：O是MN的中點(diǎn)．【分析】（1）由在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作MN∥BC，易證得△BOM與△CON是等腰三角形，則可得出結(jié)論；（2）①在BC上截取BG＝BM，CH＝CN，連接OG，OH，證明△MBO≌△GBO（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出OM＝OG，∠BOM＝∠BOG，得出△OGH為等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出OG＝OH＝GH，則可求出答案；②由等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠ABO＝∠OBC，∵M(jìn)N∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∴∠ABO＝∠MOB，∴BM＝OM，同理CN＝ON，∴BM+CN＝OM+ON＝MN；（2）①解：在BC上截取BG＝BM，CH＝CN，連接OG，OH，∵BG＝BM，∠MBO＝∠GBO，OB＝OB，∴△MBO≌△GBO（SAS），∴OM＝OG，∠BOM＝∠BOG，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠OBG＝∠MBO＝30°，∵M(jìn)N∥BC，∴∠MBO＝∠BOG＝30°，∴∠OGH＝60°，同理△NCO≌△HCO，∴ON＝OH，∠HOC＝∠HCO＝30°，∴∠OHG＝60°，∴△OGH為等邊三角形，∴OG＝OH＝GH，∵BC＝6，OG＝BG，OH＝CH，∴GH＝2，∴MN＝OM+ON＝4．②證明：由①可知OM＝OG，ON＝OH，∵△OGH為等邊三角形，∴OG＝OH，∴OM＝ON．【點(diǎn)評(píng)】此題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，平行線的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足為G，且AD＝AB，∠EDF＝60°，其兩邊分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求證：△ABD是等邊三角形；（2）若DG＝2，求AC的長；（3）求證：AB＝AE+AF．【分析】（1）連接BD由等腰三角形的性質(zhì)和已知條件得出∠BAD＝∠DAC=12×120°＝60°，再由AD（2）由等邊三角形的性質(zhì)得出DG＝2AG＝2，則可得出AC＝4；（3）由△ABD是等邊三角形，得出BD＝AD，∠ABD＝∠ADB＝60°，證出∠BDE＝∠ADF，由ASA證明△BDE≌△ADF，得出AF＝BE，即可求解．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC=1∵∠BAC＝120°，∴∠BAD=∠DAC=1∵AD＝AB，∴△ABD是等邊三角形．（2）解：∵△ABD是等邊三角形，∴AD＝AB＝BD，∵AD⊥BC，∴DG=AG=1∴AD＝4＝AB＝AC，即AC＝4；（3）∵△ABD是等三角形，∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD，∵∠EDF＝60°，∴∠ADB﹣∠ADE＝∠EDF﹣∠ADE，即∠BDE＝∠ADF．在△BDE和△ADF中，∠ABD=∠DAC=60°BD=AD∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF，∵AB＝AE+BE，∴AB＝AE+AF．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．25．小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)規(guī)律：兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若△ABC和△ADE均是頂角為40°的等腰三角形，BC、DE分別是底邊，求證：BD＝CE；（2）拓展探究：如圖2，若△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，連接BE，則∠AEB的度數(shù)為60°；線段BE與AD之間的數(shù)量關(guān)系是BE＝AD；（3）解決問題：如圖3，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【分析】（1）先判斷出∠BAD＝∠CAE，進(jìn)而利用SAS判斷出△BAD≌△CAE，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法判斷出△BAD≌△CAE，得出AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，最后用角的差，即可得出結(jié)論；（3）同（2）的方法，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE均是頂角為40°的等腰三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）∵△ABC和△ADE均是等邊三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝∠CED＝60°，∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，∵∠CDE＝60°，∴∠BEC＝∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，∵∠CED＝60°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°，故答案為：60°，BE＝AD；（3）AE＝BE+2CM，理由：同（1）（2）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，∵△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝45°，∴∠BEC＝∠ADC＝135°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME，∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM．∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．【點(diǎn)評(píng)】