中考數(shù)學幾何專項沖刺專題16幾何最值之瓜豆原理鞏固練習（提優(yōu)）含答案及解析

幾何最值之瓜豆原理鞏固練習1. 點A是雙曲線在第一象限上的一個動點，連接AO并延長交另一交令一分支點B，以AB為斜邊作等腰Rt△ABC，點C在第二象限，隨著點A的運動，點C的位置也在不斷變化，但始終在某函數(shù)圖像上運動，則這個函數(shù)的解析式為.2. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90o，AC＝8，BC＝6，點D是以A為圓心，4為半徑的圓上一點，連接BD，M為BD的中點，則線段CM的長度的最大值為.3. 如圖，已知線段AB＝12，點C在線段AB上，且△ACD是邊長為4的等邊三角形，以CD為邊的右側(cè)作矩形CDEF，連接DF，點M是DF的中點，連接MB，則線段MB的最小值為.4. 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90o，∠A＝30o，BC＝2，D是AB上一動點，以DC為斜邊向右側(cè)作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90o，連接BE，則線段BE的最小值為.5. 如圖，已知在扇形AOB中，OA＝3，∠AOB＝120o，C是在上的動點，以BC為邊作正方形BCDE，當點C從點A移動至點B時，求點D運動的路徑長？6. 如圖，A（－1，1），B（－1，4），C（－5，4），點P是△ABC邊上一動點，連接OP，以O(shè)P為斜邊在OP的右上方作等腰直角△OPQ，當點P在△ABC邊上運動一周時，求點Q的軌跡形成的封閉圖形面積是多少？7. 如圖，已知點A是第一象限內(nèi)橫坐標為的一個定點，軸于點M，交直線于點N，若點P是線段ON上的一個動點，∠APB＝30o，BA⊥PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動，求當點P從點O運動到點N時，求點B的運動路徑長？幾何最值之瓜豆原理鞏固練習1. 點A是雙曲線在第一象限上的一個動點，連接AO并延長交另一交令一分支點B，以AB為斜邊作等腰Rt△ABC，點C在第二象限，隨著點A的運動，點C的位置也在不斷變化，但始終在某函數(shù)圖像上運動，則這個函數(shù)的解析式為.【分析】動點C可看作是由主動點A繞著原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90o得到的，所說點C所在的圖像必然也是雙曲線.【解答】【解析】連接OC，作CD⊥軸于點D，AE⊥軸于點E，如圖所示：設(shè)點A的坐標為，∵A、B兩點是正比例函數(shù)圖像與反比例函數(shù)圖像的交點，∴點A與點B關(guān)于原點對稱，∴OA＝OB，∵△ABC為等腰直角三角形，∴OC＝OA，OC⊥OA，∴∠DOC＋∠AOE＝90o，∵∠DOC＋∠DCO＝90o，∴∠DCO＝∠AOE，在△COD與△OAE中，，∴△COD≌△OAE（AAS），，，∴點C在反比例函數(shù)的圖像上.2. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90o，AC＝8，BC＝6，點D是以A為圓心，4為半徑的圓上一點，連接BD，M為BD的中點，則線段CM的長度的最大值為.【分析】本題即可用中點模型處理（詳見本專輯的專題02中點模型），也可以用瓜豆原理得到點M的軌跡，將問題轉(zhuǎn)化為點到圓的距離問題，然后求解.【解答】7【解析】法一、中點模型取AB的中點E，連接EM、CE，如圖所示：在Rt△ABC中，，∵E是Rt△ABC斜邊上的中點，∴CE＝5，∵M是BD的中點，E是AB的中點，，∴在△CEM中，，即，∴CM的長度最大值為7.法二、瓜豆原理由M為BD的中點，結(jié)合瓜豆原理內(nèi)容可得點M的軌跡是一個圓，如圖所示，M點的軌跡就是由圓A以定點B為位似中心，以為位似比縮小來的.∴圓E的半徑為2，當C、E、M三點共線時，CM的長度最大，∵E是Rt△ABC斜邊的中點，∴CE＝5，∴CM＝CE＋EM＝5＋2＝7.3. 如圖，已知線段AB＝12，點C在線段AB上，且△ACD是邊長為4的等邊三角形，以CD為邊的右側(cè)作矩形CDEF，連接DF，點M是DF的中點，連接MB，則線段MB的最小值為.【解答】6【解析】法一、連接AM、CM，如圖所示：∵△ACD為等邊三角形，∴AC＝AD，∠DAC＝60o，∵四邊形DCFE是矩形，點M是DF的中點，∴DM＝CM，在△ADM與△ACM中，，∴△ADM≌△ACM（SSS），∴∠DAM＝∠CAM，∵∠DAC＝60o，∴∠ACM＝30o，∴當BM⊥AM時，MB有最小值，此時.法二、如圖所示∵∠FCB＝30o，∴F的路徑是定射線DF，又∵點M是DF的中點，∴，∵D點為定點，F(xiàn)點為主動點，M點為從動點，由瓜豆原理內(nèi)容可知M點的路徑亦是一條射線，取CD的中點N，連接NM并延長，則射線NM就是M點的路徑，且NM∥CF，作BG⊥NM于點G，交CF于點H，則BG⊥CF，故BG＝BH＋HG＝BH＋CN＝4＋2＝6，∴線段BM的最小值即為BG，最小值為6.4. 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90o，∠A＝30o，BC＝2，D是AB上一動點，以DC為斜邊向右側(cè)作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90o，連接BE，則線段BE的最小值為.【解答】【解析】由題意可知C為定點，D點為主動點，路徑為線段AB，點E為從動點，∵△DCE是等腰直角三角形，∴∠DCE＝45o，，結(jié)合瓜豆原理內(nèi)容可知從動點E的路徑為一條線段，可以看成是由線段AB先繞著定點C逆時針旋轉(zhuǎn)45o，再以定點C為位似中心，以為位似比縮小來的，如圖，將BE的最小距離轉(zhuǎn)化為點到線的最小距離（點B到的最短距離），由旋轉(zhuǎn)相似可得，，，在中，有，則，∴線段BE的最小值為.5. 如圖，已知在扇形AOB中，OA＝3，∠AOB＝120o，C是在上的動點，以BC為邊作正方形BCDE，當點C從點A移動至點B時，求點D運動的路徑長？【解答】【解析】將圓O補充完整，延長BO交圓O于點F，取的中點H，連接FH、HB、BD，如圖所示：由題意可得△FHB是等腰直角三角形，HF＝HB，∠FHB＝90o，∵∠FDB＝45o＝∠FHB，∴點D在圓H上運動，軌跡如圖中藍色虛線，∴∠HFG＝∠HCF＝15o，∴∠FHG＝150o，∴∠CHB＝120o，∴，∴點D的運動路徑長度為.6. 如圖，A（－1，1），B（－1，4），C（－5，4），點P是△ABC邊上一動點，連接OP，以O(shè)P為斜邊在OP的右上方作等腰直角△OPQ，當點P在△ABC邊上運動一周時，求點Q的軌跡形成的封閉圖形面積是多少？【解答】3【解析】根據(jù)△OPQ是等腰直角三角形可得：Q點運動軌跡與P點軌跡形狀相同，根據(jù)OP:OQ＝，可得P點軌跡圖形與Q點軌跡圖形相似比為，故面積比為2:1，△ABC面積為1/2×3×4＝6，故Q點軌跡形成的封閉圖形面積為3．7. 如圖，已知點A是第一象限內(nèi)橫坐標為的一個定點，軸于點M，交直線于點N，若點P是線段ON上的一個動點，∠APB＝30o，BA⊥PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動，求當點P從點O運動到點N時，求點B的運動路徑長？【解答】【解析】由題意可知，點N在直線上，于點M，則△OMN是等