中考數(shù)學幾何專項沖刺專題11弦圖模型鞏固練習（基礎）含答案及解析

弦圖模型鞏固練習1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b．AB＝c，將Rt△ABC繞點O依次旋轉90°、180°和270°，構成的圖形如圖所示，該圖是我國古代數(shù)學家趙爽制作的“勾股圓方圖”，也被稱作“趙爽弦圖”，它是我國最早對勾股定理證明的記載，也成為了2002年在北京召開的國際數(shù)學家大會的會標設計的主要依據．（1）請你利用這個圖形證明勾股定理．（2）請你利用這個圖形說明a2+b2≥2ab，并說明等號成立的條件．（3）設a=x，b=y，代入a2+b2≥2根據你得到的結論解決下面的問題：長為x，寬為y的矩形，其周長為16，請問當x，y取何值時，該矩形面積最大？最大面積是多少？2．如圖1，在計算陰影部分面積時，我們可以用邊長為a的大正方形面積減去邊長為b的小正方面積，即：S＝a2﹣b2．我們也可以把圖中陰影部分剪下一個小長方形，然后按圖2把陰影部分拼接成一個長為（a+b），寬為（a﹣b）的長方形來計算面積，即：S＝（a+b）（a﹣b），因為陰影部分的面積相等，我們可以得到a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），這恰好驗證了平方差公式．（1）圖3中最大正方形的面積算法也可以驗證一個乘法公式，請用含a和b的代數(shù)式寫出這個公式：．（2）圖4是著名的“趙爽弦圖”，它是由四個形狀大小完全一致的直角三角形拼成，每個直角三角形的兩直角邊的長分別為a和b，斜邊長為c，我國古代數(shù)學家趙爽利用此圖驗證了直角三角形的斜邊c和兩直角邊a和b之間存在一個固定的等量關系，請你求出關于a、b、c的關系式．3．教材在探索平方差公式時利用了面積法，面積法除了可以幫助我們記憶公式，還可以直觀地推導或驗證公式，俗稱“無字證明”，例如，著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個直角三角形較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c），大正方形的面積可以表示為c），也可以表示為4×12ab+（a﹣b）2，由此推導出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長為a，b，斜邊長為c，則a2+b2＝c（1）圖②為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你利用圖②推導勾股定理．（2）如圖③，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，設BD＝x，求x的值．（3）試構造一個圖形，使它的面積能夠解釋（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，畫在如圖4的網格中，并標出字母a，b所表示的線段．4．我國古代數(shù)學家趙爽曾用圖1證明了勾股定理，這個圖形被稱為“弦圖”.2002年在北京召開的國際數(shù)學家大會（ICM2002）的會標（圖2），其圖案正是由“弦圖”演變而來．“弦圖”是由4個全等的直角三角形與一個小正方形組成，恰好拼成一個大正方形請你根據圖1解答下列問題：（1）敘述勾股定理（用文字及符號語言敘述）；（2）證明勾股定理；（3）若大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，求（a+b）2的值．5．公元3世紀初，我國數(shù)學家趙爽證明勾股定理的圖形稱為“弦圖”．1876年美國總統(tǒng)Garfeild用圖1（點C、點B、點C′三點共線）進行了勾股定理的證明．△ACB與△BC′B′是一樣的直角三角板，兩直角邊長為a，b，斜邊是c．請用此圖證明勾股定理．拓展應用l：如圖2，以△ABC的邊AB和邊AC為邊長分別向外做正方形ABFH和正方形ACED，過點F、E分別作BC的垂線段FM、EN，則FM、EN、BC的數(shù)量關系是怎樣？直接寫出結論．拓展應用2：如圖3，在兩平行線m、n之間有一正方形ABCD，已知點A和點C分別在直線m、n上，過點D作直線l∥n∥m，已知l、n之間距離為1，l、m之間距離為2．則正方形的面積是．6．通過整式乘法的學習，我們進一步了解了利用圖形面積來說明法則、公式等的正確性的方法，例如利用圖甲可以對平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2給予解釋．圖乙中的△ABC是一個直角三角形，∠C＝90°，人們很早就發(fā)現(xiàn)直角三角形的三邊a，b，c滿足a2+b2＝c2的關系．圖丙是2002年國際數(shù)學家大會的會徽，選定的是我國古代數(shù)學家趙爽用來證明勾股定理的弦圖，弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形．如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較短直角邊長為a，較長直角邊長為b，求出（a+b）2的值．7．下圖是“弦圖”，請將“弦圖”中的四個直角三角形通過你所學過的圖形變換，在以下方格紙中設計另兩個不同的圖案．畫圖要求：（1）每個直角三角形的頂點均在方格紙的格點上，且四個三角形不重疊；（2）所設計的圖案（不含方格紙）必須是中心對稱圖形或軸對稱圖形．8．圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若AC＝6，BC＝5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數(shù)學風車”，則這個風車的外圍周長是多少？弦圖模型鞏固練習1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b．AB＝c，將Rt△ABC繞點O依次旋轉90°、180°和270°，構成的圖形如圖所示，該圖是我國古代數(shù)學家趙爽制作的“勾股圓方圖”，也被稱作“趙爽弦圖”，它是我國最早對勾股定理證明的記載，也成為了2002年在北京召開的國際數(shù)學家大會的會標設計的主要依據．（1）請你利用這個圖形證明勾股定理．（2）請你利用這個圖形說明a2+b2≥2ab，并說明等號成立的條件．（3）設a=x，b=y，代入a2+b2≥2根據你得到的結論解決下面的問題：長為x，寬為y的矩形，其周長為16，請問當x，y取何值時，該矩形面積最大？最大面積是多少？【分析】（1）根據題意，我們可在圖中找等量關系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個直角三角形的面積，列出等式化簡即可得出勾股定理的表達式．（2）利用非負數(shù)的性質證明即可．（3）把a、b的值代入a2+b2≥2ab中，進行計算得到a+b≥2ab．利用該結論求得當x，y取何值時，該矩形面積最大以及其最大面積．【解答】解：（1）∵大正方形面積為c2，直角三角形面積為12ab，小正方形面積為：（b﹣a）2∴c2＝4×12ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+即c2＝a2+b2．（2）∵（a﹣b）2≥0，∴a2﹣2ab+b2≥0，∴a2+b2≥2ab，當且僅當a＝b時，等號成立．（3）把a=x，b=y，代入a2+b2≥2ab中得到：a+b≥2依題意得：x+y＝8．則x+y≥2xy，即8≥2xy，∴xy≤16，當且僅當x＝y(tǒng)＝4時取“＝”．∴當x＝y(tǒng)＝4時，該矩形面積最大，最大面積是16．【點評】本題考查了四邊形綜合題．需要學生掌握勾股定理的證明和以及非負數(shù)的性質，掌握三角形和正方形面積計算公式是解決問題的關鍵．2．如圖1，在計算陰影部分面積時，我們可以用邊長為a的大正方形面積減去邊長為b的小正方面積，即：S＝a2﹣b2．我們也可以把圖中陰影部分剪下一個小長方形，然后按圖2把陰影部分拼接成一個長為（a+b），寬為（a﹣b）的長方形來計算面積，即：S＝（a+b）（a﹣b），因為陰影部分的面積相等，我們可以得到a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），這恰好驗證了平方差公式．（1）圖3中最大正方形的面積算法也可以驗證一個乘法公式，請用含a和b的代數(shù)式寫出這個公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2或a2+2ab+b2＝（a+b）2．（2）圖4是著名的“趙爽弦圖”，它是由四個形狀大小完全一致的直角三角形拼成，每個直角三角形的兩直角邊的長分別為a和b，斜邊長為c，我國古代數(shù)學家趙爽利用此圖驗證了直角三角形的斜邊c和兩直角邊a和b之間存在一個固定的等量關系，請你求出關于a、b、c的關系式．【分析】（1）根據圖3的各個部分的面積可得完全平方公式；（2）通過圖中小正方形面積證明勾股定理．【解答】解：（1）由題意可得：（a+b）2＝a2+2ab+b2或a2+2ab+b2＝（a+b）2．故答案為：（a+b）2＝a2+2ab+b2或a2+2ab+b2＝（a+b）2．（2）S大正方形=c2=(b?a)2+4×12ab=b2﹣2ab+【點評】本題考查了因式分解的應用，用數(shù)形結合來證明勾股定理，鍛煉了同學們的數(shù)形結合的思想方法．3．教材在探索平方差公式時利用了面積法，面積法除了可以幫助我們記憶公式，還可以直觀地推導或驗證公式，俗稱“無字證明”，例如，著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個直角三角形較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c），大正方形的面積可以表示為c），也可以表示為4×12ab+（a﹣b）2，由此推導出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長為a，b，斜邊長為c，則a2+b2＝c（1）圖②為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你利用圖②推導勾股定理．（2）如圖③，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，設BD＝x，求x的值．（3）試構造一個圖形，使它的面積能夠解釋（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，畫在如圖4的網格中，并標出字母a，b所表示的線段．【分析】（1）梯形的面積可以由梯形的面積公式求出，也可利用三個直角三角形面積求出，兩次求出的面積相等列出關系式，化簡即可得證；（2）運用勾股定理在Rt△ABD和Rt△ADC中求出AD2，列出方程求解即可；（3）畫出邊長為a+b和a+2b的矩形即可．【解答】解：（1）梯形ABCD的面積為12也可以表示為12ab+1即a2+b2＝c2；（2）在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2；在Rt△ADC中，AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2；所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，解得x=9（3）如圖，由此可得（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．【點評】此題主要考查了勾股定理的證明與應用，熟練掌握相關定理是解答此題的關鍵．4．我國古代數(shù)學家趙爽曾用圖1證明了勾股定理，這個圖形被稱為“弦圖”.2002年在北京召開的國際數(shù)學家大會（ICM2002）的會標（圖2），其圖案正是由“弦圖”演變而來．“弦圖”是由4個全等的直角三角形與一個小正方形組成，恰好拼成一個大正方形請你根據圖1解答下列問題：（1）敘述勾股定理（用文字及符號語言敘述）；（2）證明勾股定理；（3）若大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，求（a+b）2的值．【分析】（1）用文字及符號語言敘述勾股定理即可；（2）如圖1，根據四個全等的直角三角形的面積+小正方形的面積＝大正方形的面積，代入數(shù)值，即可證明；（3）利用（2）的結論進行解答．【解答】解：（1）勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．在直角三角形中，兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，a2+b2＝c2．（2）∵S大正方形＝c2，S小正方形＝（b﹣a）2，4SRt△＝4×12ab＝2∴c2＝2ab+（b﹣a）2＝2ab+b2﹣2ab+a2＝a2+b2，即a2+b2＝c2．（3）∵4SRt△＝S大正方形﹣S小正方形＝13﹣1＝12，∴2ab＝12．∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝13+12＝25．【點評】本題考查了勾股定理的證明．求面積時，利用了“分割法”．5．公元3世紀初，我國數(shù)學家趙爽證明勾股定理的圖形稱為“弦圖”．1876年美國總統(tǒng)Garfeild用圖1（點C、點B、點C′三點共線）進行了勾股定理的證明．△ACB與△BC′B′是一樣的直角三角板，兩直角邊長為a，b，斜邊是c．請用此圖證明勾股定理．拓展應用l：如圖2，以△ABC的邊AB和邊AC為邊長分別向外做正方形ABFH和正方形ACED，過點F、E分別作BC的垂線段FM、EN，則FM、EN、BC的數(shù)量關系是怎樣？直接寫出結論FM+EN＝BC．拓展應用2：如圖3，在兩平行線m、n之間有一正方形ABCD，已知點A和點C分別在直線m、n上，過點D作直線l∥n∥m，已知l、n之間距離為1，l、m之間距離為2．則正方形的面積是5．【分析】用a、b、c表示三角形與梯形的面積，再根據梯形的面積等于三個直角三角形的面積和便可得結論；拓展1．過點A作AP⊥BC于點P，再證明三角形全等便可得結論；拓展2．過點D作PQ⊥m，分別交m于點P，交n于點Q，然后證明三角形全等，轉化線段，再用勾股定理解答【解答】解：∵點C、點B、點B′三點共線，∠C＝∠C′＝90°∴四邊形ACC′B′是直角梯形，∵△ACB與△BC′B′是一樣的直角三角板，∴Rt△ACB≌Rt△BC′B′，∴∠CAB＝∠C′BB′，AB＝BB′，∴∠CBA+∠C′BB’＝90°∴△ABB′是等腰直角三角形，所以S梯形ACC′B′＝（AC+B′C′）?CC′÷2=(a+bS△ACB=12AC?BC=12ab，S△BC′B′=12所以(a+b)a2+2ab+b2＝ab+ab+c2，∴a2+b2＝c2；拓展1．過A作AP⊥BC于點P，則∠BMF＝∠APB＝90°，∵∠ABF＝90°，∴∠BFM+∠MBF＝∠MBF+∠ABP，∴∠BFM＝∠ABP，在△BMF和△ABP中，∠BFM=∠ABP∠BMF=∠APB=90°∴△BMF≌△ABP（AAS），∴FM＝BP，同理，EN＝CP，∴FM+EN＝BP+CP，即FM+EN＝BC，故答案為：FM+EN＝BC；拓展2．過點D作PQ⊥m，分別交m于點P，交n于點Q，如圖3，則∠APD＝∠ADC＝∠CQD＝90°，∴∠ADP+∠DAP＝∠ADP+∠CDQ＝90°，∴∠DAP＝∠CDQ，在△APD和△DQC中，∠DAP=∠CDQ∠APD=∠DQC∴△APD≌△DQC（AAS），∴AP＝DQ＝2，∵PD＝1，∴AD2＝22+12＝5，∴正方形的面積為5，故答案為：5．【點評】本題是勾股定理的探究與應用，主要考查了勾股定理的性質及應用，正方形的性質，平行線的性質，全等三角形的性質與判定，關鍵是構造全等三角形和直角三角形．6．通過整式乘法的學習，我們進一步了解了利用圖形面積來說明法則、公式等的正確性的方法，例如利用圖甲可以對平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2給予解釋．圖乙中的△ABC是一個直角三角形，∠C＝90°，人們很早就發(fā)現(xiàn)直角三角形的三邊a，b，c滿足a2+b2＝c2的關系．圖丙是2002年國際數(shù)學家大會的會徽，選定的是我國古代數(shù)學家趙爽用來證明勾股定理的弦圖，弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形．如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較短直角邊長為a，較長直角邊長為b，求出（a+b）2的值．【分析】根據勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面積，然后求四個直角三角形的面積，即可得到ab的值，然后根據