2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末模擬試卷（蘇科版+含答案解析）

2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．考試時(shí)間：120分鐘，試卷滿分：120分。本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。4．測(cè)試范圍：九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)+下冊(cè)（蘇科版）。一、選擇題：本題共6小題，每小題2分，共12分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．方程x2-2x=0的根是（

）A．x=2B．x=0C．x1=-2，x2=0D．x1=2，x2=02．一張圓桌旁有四個(gè)座位，A先坐在如圖所示的座位上，B，C，D三人隨機(jī)坐到其他三個(gè)座位上，則A與B不相鄰而坐的概率為（

）A． B． C． D．3．小明調(diào)查了班里40名同學(xué)一周的體育鍛煉情況，結(jié)果如圖所示．該班40名同學(xué)一周參加體育鍛煉時(shí)間的眾數(shù)、中位數(shù)分別是（

）A．16小時(shí)15小時(shí)B．8小時(shí)、9小時(shí)C．10小時(shí)、8.5小時(shí)D．8小時(shí)、8.5小時(shí)4．如圖，是的直徑，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系網(wǎng)格中，點(diǎn)都在格點(diǎn)上，過(guò)點(diǎn)的拋物線可能經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是（

）A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)6．如圖，在中，，，D為上一點(diǎn)，且，在上取一點(diǎn)E，若以A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與相似，則的長(zhǎng)為（）A．8 B． C．8或 D．8或二、填空題：本題共10小題，每小題2分，共20分。7．如圖，樂(lè)器上的一根琴弦，兩個(gè)端點(diǎn)固定在樂(lè)器板面上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，則之間的距離為．8．飛機(jī)著陸后滑行的距離與滑行的時(shí)間之間的關(guān)系式為，則飛機(jī)滑行停下．9．已知O為的外心，，則．10．已知是方程的兩根，則代數(shù)式的值是．11．在某次演講比賽中，演講最終得分按照“演講內(nèi)容占”、“語(yǔ)言表達(dá)占”、“形象風(fēng)度占”進(jìn)行計(jì)算，小亮同學(xué)這三項(xiàng)的得分依次為90，86，95，則小亮同學(xué)的最終得分是分．12．如圖所示的拋物線過(guò)原點(diǎn)，將該拋物線向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，平移后拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．13．如圖，某圓錐形山峰，圓錐底面半徑為，母線長(zhǎng)為，欲從A處修一條最近的盤山公路到景點(diǎn)B（B位于母線的中點(diǎn)處），那么這條盤山公路的長(zhǎng)度是．14．如圖，在中，，，，的半徑為2，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的一條切線（點(diǎn)為切點(diǎn)），則線段長(zhǎng)的最小值為．15．定義：由a，b構(gòu)造的二次函數(shù)叫作一次函數(shù)的“滋生函數(shù)”，一次函數(shù)叫作二次函數(shù)的“本源函數(shù)”（a，b為常數(shù)，且）．若一次函數(shù)的“滋生函數(shù)”是，則二次函數(shù)的“本源函數(shù)”是．16．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，以AB邊上的動(dòng)點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，將沿翻折至，若過(guò)一邊上的中點(diǎn)，則的半徑為．三、解答題（本題共11小題，共88分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸）17．（本小題8分）解方程：（1）； （2）．18．（本小題8分）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，且它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式；（2）判斷點(diǎn)是否在這條拋物線的圖像上．19．（本小題6分）“二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶，被國(guó)際氣象界譽(yù)為“中國(guó)第五大發(fā)明“．小李同學(xué)購(gòu)買了“二十四節(jié)氣”主題郵票，他將A（小雪）、B（寒露）、C（秋分）、D（立秋）四張紀(jì)念郵票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗勻．（1）小李從中隨機(jī)抽取一張郵票，抽中是B（寒露）的概率是．（2）小李先從中隨機(jī)抽取一張郵票，記下內(nèi)容后，正面朝下放回，重新洗勻后再隨機(jī)抽取一張郵票．請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表的辦法求小李兩次抽取的郵票中至少有一張是D（立秋）的概率．20．（本小題8分）的迅猛發(fā)展在多個(gè)領(lǐng)域影響著我們的生活．某校七、八年級(jí)利用課余時(shí)間舉辦了人工智能知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，并從七、八年級(jí)各隨機(jī)抽取了10名學(xué)生代表的成績(jī)（滿分：5分）進(jìn)行了整理、描述和分析，相關(guān)信息如下．a(chǎn)．七年級(jí)10名學(xué)生代表成績(jī)的中位數(shù)和眾數(shù)相同，且每個(gè)得分的人數(shù)均不少于1人．b．七年級(jí)10名學(xué)生代表成績(jī)的條形統(tǒng)計(jì)圖（尚不完整），八年級(jí)10名學(xué)生代表成績(jī)的扇形統(tǒng)計(jì)圖及七、八年級(jí)學(xué)生代表成績(jī)的平均數(shù)與方差對(duì)比表格如下．請(qǐng)根據(jù)以上信息，詳解下列問(wèn)題．（1）學(xué)生代表成績(jī)比較整齊的是年級(jí)．（填“七”或“八”）（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖．（3）若共有400名學(xué)生參與競(jìng)賽，根據(jù)七年級(jí)和八年級(jí)學(xué)生代表的成績(jī)，請(qǐng)估計(jì)參與競(jìng)賽的學(xué)生的成績(jī)不低于4分的人數(shù)．21．（本小題8分）如圖，在和中，，．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．22．（本小題8分）某商場(chǎng)將進(jìn)貨單價(jià)為20元的日用商品以銷售單價(jià)35元售出，平均每月能售出600個(gè)．調(diào)查表明：這種商品的銷售單價(jià)每上漲1元，其銷售量就將減少10個(gè)，為了實(shí)現(xiàn)平均每月14000元的銷售利潤(rùn)，商場(chǎng)決定采取調(diào)控價(jià)格的措施，擴(kuò)大銷售量，減少庫(kù)存，這種商品的銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？23．（本小題8分）如圖是小明家新房客廳地面，地上鋪了大小相同的矩形地板磚，小明的媽媽想在靠墻處擺一組沙發(fā)，沙發(fā)的長(zhǎng)是客廳長(zhǎng)的三分之一，為了美觀，沙發(fā)必須擺在矩形的中央，于是小明媽媽要把沙發(fā)擺放到的三等分點(diǎn)處．當(dāng)時(shí)媽媽沒(méi)有直尺，不能度量，聰明的小明靈機(jī)一動(dòng)，他用一根繩索連接，交于點(diǎn)P，則P即是的三等分點(diǎn)．（1）請(qǐng)仿照小明的方法，找出線段的另一個(gè)三等分點(diǎn)；（2）請(qǐng)你證明：P是的三等分點(diǎn)．24．（本小題8分）已知二次函數(shù)（是常數(shù)）．（1）求證：該二次函數(shù)的圖象與軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）若點(diǎn)在該二次函數(shù)的圖象上，且點(diǎn)在第四象限，該二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，求點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離．25．（本小題8分）閱讀與思考射影定理，又稱“歐幾里得定理”，是數(shù)學(xué)圖形計(jì)算的重要定理，定理內(nèi)容為：在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項(xiàng)，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)．如圖1，在中，，是斜邊上的高，則有如下結(jié)論：①；②；③．下面是該定理的證明過(guò)程（部分）：是斜邊上的高，．，，（依據(jù)），，即．任務(wù)一：（1）材料中的依據(jù)是指__________________；（2）選擇②或③其中一個(gè)定理加以證明；任務(wù)二：應(yīng)用：（3）如圖2，正方形中，點(diǎn)O是對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E在上，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，連接，證明：．26．（本小題9分）如圖，二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為．（1）求k的值；（2）點(diǎn)M是線段上的動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)M向上平移（）個(gè)單位得到點(diǎn)N，若點(diǎn)N在二次函數(shù)的圖象上，求h的最大值；（3）在（2）的條件下，若，線段與二次函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)m的取值范圍．27．（本小題9分）新定義：若一個(gè)三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，則稱這個(gè)三角形為比例三角形．例如：三邊的長(zhǎng)分別為，，．因?yàn)椋允潜壤切危締?wèn)題提出】（1）已知是比例三角形，，，求的長(zhǎng)；【問(wèn)題探究】（2）如圖1，P是矩形的邊上的一動(dòng)點(diǎn)，平分，交邊于點(diǎn)Q，．①求證：；②求證：是比例三角形．【問(wèn)題延伸】（3）如圖2，在（2）的條件下，當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)Q能否重合？若能，求出的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案一、選擇題：本題共6小題，每小題2分，共12分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．方程的根是（

）A． B．C．， D．，【答案】D【詳解】解：由x2-2x=0得x（x-2）=0，∴x-2=0或x=0，解得x1=2，x2=0故選：D．2．一張圓桌旁有四個(gè)座位，A先坐在如圖所示的座位上，B，C，D三人隨機(jī)坐到其他三個(gè)座位上，則A與B不相鄰而坐的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：如圖，根據(jù)圖可知：以B，C，D隨機(jī)而坐的結(jié)果數(shù)共有6種，其中A與B不相鄰而坐的結(jié)果有2種，∴A與B不相鄰而坐的概率為：．故選：A．3．小明調(diào)查了班里40名同學(xué)一周的體育鍛煉情況，結(jié)果如圖所示．該班40名同學(xué)一周參加體育鍛煉時(shí)間的眾數(shù)、中位數(shù)分別是（

）A．16小時(shí)15小時(shí) B．8小時(shí)、9小時(shí) C．10小時(shí)、小時(shí) D．8小時(shí)、小時(shí)【答案】B【詳解】解：根據(jù)題意，可知這一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是8，即該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為8；將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列，處于第20，21位兩個(gè)數(shù)分別為9，9，所以，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是．故選：B．4．如圖，是的直徑，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：連接，∵是的直徑，∴，又∵，由圓周角定理可得：，∴，故選：C．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系網(wǎng)格中，點(diǎn)都在格點(diǎn)上，過(guò)點(diǎn)的拋物線可能經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是（

）A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)【答案】D【詳解】解：∵拋物線過(guò)點(diǎn)，∴，即，∵，∴，A.若拋物線過(guò)點(diǎn)，則，得，與矛盾，故選項(xiàng)A不符合題意；B.若拋物線過(guò)點(diǎn)，則，與不相符，故選項(xiàng)B不符合題意；C.若拋物線過(guò)點(diǎn)，則，得，與矛盾，故選項(xiàng)C不符合題意；D.若拋物線過(guò)點(diǎn)，則，得，代入，得，與相符，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．6．如圖，在中，，，D為上一點(diǎn)，且，在上取一點(diǎn)E，若以A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與相似，則的長(zhǎng)為（）A．8 B． C．8或 D．8或【答案】C【詳解】解：當(dāng)時(shí)，如圖1，，，，，，，；當(dāng)時(shí)，如圖2，，，，，，．綜上，的長(zhǎng)為8或．故選：C．二、填空題：本題共10小題，每小題2分，共20分。7．如圖，樂(lè)器上的一根琴弦，兩個(gè)端點(diǎn)固定在樂(lè)器板面上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，則之間的距離為．【答案】【詳解】解：弦，點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，設(shè)，則，，解方程得，，點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，則，，之間的距離為，故答案為：．8．飛機(jī)著陸后滑行的距離與滑行的時(shí)間之間的關(guān)系式為，則飛機(jī)滑行停下．【答案】20【詳解】解：，∴當(dāng)時(shí)間為時(shí)，滑行了，∴飛機(jī)滑行了停下，故答案為：．9．已知O為的外心，，則．【答案】或【詳解】解：當(dāng)圓心與點(diǎn)在的同側(cè)時(shí)，如圖，；當(dāng)圓心與點(diǎn)在的兩側(cè)時(shí)，如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，，．四邊形為圓的內(nèi)接四邊形，．．綜上，或．故答案為：或10．已知是方程的兩根，則代數(shù)式的值是．【答案】【詳解】解：∵是方程的兩根，∴，，，即∴，故答案為：．11．在某次演講比賽中，演講最終得分按照“演講內(nèi)容占”、“語(yǔ)言表達(dá)占”、“形象風(fēng)度占”進(jìn)行計(jì)算，小亮同學(xué)這三項(xiàng)的得分依次為90，86，95，則小亮同學(xué)的最終得分是分．【答案】【分析】本題考查了加權(quán)平均數(shù)，熟練掌握加權(quán)平均數(shù)的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．利用加權(quán)平均數(shù)公式求解即可．【詳解】解：小亮同學(xué)的最終得分是：（分）．故答案為：．12．如圖所示的拋物線過(guò)原點(diǎn)，將該拋物線向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，平移后拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．【答案】【詳解】解：根據(jù)圖象可知，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴設(shè)圖中二次函數(shù)解析式為：，∵二次函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)，∴把代入得：，解得：，∴圖中二次函數(shù)解析式為y=x-1∴將該拋物線向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，平移后拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：．故答案為：．13．如圖，某圓錐形山峰，圓錐底面半徑為，母線長(zhǎng)為，欲從A處修一條最近的盤山公路到景點(diǎn)B（B位于母線的中點(diǎn)處），那么這條盤山公路的長(zhǎng)度是．【答案】【詳解】解：如圖，將圓錐展開(kāi)得展開(kāi)圖，為的中點(diǎn)，連接，則是這條盤山公路的長(zhǎng)度，設(shè)展開(kāi)圖的圓心角為．∴，∵圓錐的底面半徑是，∴的長(zhǎng)為，∴，解得：，∴，故答案為：．14．如圖，在中，，，，的半徑為2，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的一條切線（點(diǎn)為切點(diǎn)），則線段長(zhǎng)的最小值為．【答案】【詳解】解：連接，如圖所示，∵是的切線，∴，根據(jù)勾股定理知：，∴當(dāng)時(shí)，線段最短，∵在中，，∴，∴，即，∵，∴，故答案為：．15．定義：由a，b構(gòu)造的二次函數(shù)叫作一次函數(shù)的“滋生函數(shù)”，一次函數(shù)叫作二次函數(shù)的“本源函數(shù)”（a，b為常數(shù)，且）．若一次函數(shù)的“滋生函數(shù)”是，則二次函數(shù)的“本源函數(shù)”是．【答案】【詳解】解：由題意得，解得，∴函數(shù)的本源函數(shù)是．故答案為：．16．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，以AB邊上的動(dòng)點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，將沿翻折至，若過(guò)一邊上的中點(diǎn)，則的半徑為．【答案】或或【詳解】設(shè)的半徑為，當(dāng)經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，即經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，∴，當(dāng)經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，則，∴，，在中，∴解得：（負(fù)值舍去）當(dāng)經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，即經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，∴∴解得：綜上所述，半徑為、、故答案為：或或．三、解答題（本題共11小題，共88分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸）17．（本小題8分）解方程：（1）； （2）．【詳解】（1）解：，，，，……1分方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，……2分，，．……4分（2）解：，，……6分或，……7分解得，．……8分18．（本小題8分）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，且它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式；（2）判斷點(diǎn)是否在這條拋物線的圖像上．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式為……1分將點(diǎn)代入得，解得：，……3分∴拋物線的解析式為；……4分（2）解：當(dāng)時(shí)，，……6分∴點(diǎn)不在這條拋物線的圖象上．……8分19．（本小題6分）“二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶，被國(guó)際氣象界譽(yù)為“中國(guó)第五大發(fā)明“．小李同學(xué)購(gòu)買了“二十四節(jié)氣”主題郵票，他將A（小雪）、B（寒露）、C（秋分）、D（立秋）四張紀(jì)念郵票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗勻．（1）小李從中隨機(jī)抽取一張郵票，抽中是B（寒露）的概率是．（2）小李先從中隨機(jī)抽取一張郵票，記下內(nèi)容后，正面朝下放回，重新洗勻后再隨機(jī)抽取一張郵票．請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表的辦法求小李兩次抽取的郵票中至少有一張是D（立秋）的概率．【詳解】（1）解：一共有4張郵票，符合題意的有1張，所以，抽中B的概率是．故答案為：；……2分（2）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：……5分一共有16種可能出現(xiàn)的結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，符合題意的有7種，所以兩次抽取郵票中至少有一張是D的概率是．……6分20．（本小題8分）的迅猛發(fā)展在多個(gè)領(lǐng)域影響著我們的生活．某校七、八年級(jí)利用課余時(shí)間舉辦了人工智能知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，并從七、八年級(jí)各隨機(jī)抽取了10名學(xué)生代表的成績(jī)（滿分：5分）進(jìn)行了整理、描述和分析，相關(guān)信息如下．a(chǎn)．七年級(jí)10名學(xué)生代表成績(jī)的中位數(shù)和眾數(shù)相同，且每個(gè)得分的人數(shù)均不少于1人．b．七年級(jí)10名學(xué)生代表成績(jī)的條形統(tǒng)計(jì)圖（尚不完整），八年級(jí)10名學(xué)生代表成績(jī)的扇形統(tǒng)計(jì)圖及七、八年級(jí)學(xué)生代表成績(jī)的平均數(shù)與方差對(duì)比表格如下． 請(qǐng)根據(jù)以上信息，詳解下列問(wèn)題．（1）學(xué)生代表成績(jī)比較整齊的是年級(jí)．（填“七”或“八”）（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖．（3）若共有400名學(xué)生參與競(jìng)賽，根據(jù)七年級(jí)和八年級(jí)學(xué)生代表的成績(jī)，請(qǐng)估計(jì)參與競(jìng)賽的學(xué)生的成績(jī)不低于4分的人數(shù)．【詳解】（1）解：∵，∴學(xué)生代表成績(jī)比較整齊的是七年級(jí)．故答案為：七．……2分（2）解：∵七年級(jí)10名學(xué)生代表成績(jī)的中位數(shù)和眾數(shù)相同，且每個(gè)得分的人數(shù)均不少于1人，∴2分和3分的人數(shù)分別有1人和4人，……4分補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：……6分（3）解：抽取的八年級(jí)學(xué)生的成績(jī)不低于4分的人數(shù)有（人），（人），答：估計(jì)參與競(jìng)賽的學(xué)生的成績(jī)不低于4分的人數(shù)有160人．……8分21．（本小題8分）如圖，在和中，，．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．【詳解】（1）∵，∴，∴，∵，∴．……4分（2）由（1）得，，∵，∴，∵，∴．……8分22．（本小題8分）某商場(chǎng)將進(jìn)貨單價(jià)為20元的日用商品以銷售單價(jià)35元售出，平均每月能售出600個(gè)．調(diào)查表明：這種商品的銷售單價(jià)每上漲1元，其銷售量就將減少10個(gè)，為了實(shí)現(xiàn)平均每月14000元的銷售利潤(rùn)，商場(chǎng)決定采取調(diào)控價(jià)格的措施，擴(kuò)大銷售量，減少庫(kù)存，這種商品的銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？【詳解】解：設(shè)這種商品的售價(jià)為x元，依題意得……1分，……4分解得：，，……6分因需擴(kuò)大銷售量，減少庫(kù)存，所以應(yīng)舍去，∴．……7分答：這種商品的銷售單價(jià)應(yīng)定為55元．……8分23．（本小題8分）如圖是小明家新房客廳地面，地上鋪了大小相同的矩形地板磚，小明的媽媽想在靠墻處擺一組沙發(fā)，沙發(fā)的長(zhǎng)是客廳長(zhǎng)的三分之一，為了美觀，沙發(fā)必須擺在矩形的中央，于是小明媽媽要把沙發(fā)擺放到的三等分點(diǎn)處．當(dāng)時(shí)媽媽沒(méi)有直尺，不能度量，聰明的小明靈機(jī)一動(dòng)，他用一根繩索連接，交于點(diǎn)P，則P即是的三等分點(diǎn)．（1）請(qǐng)仿照小明的方法，找出線段的另一個(gè)三等分點(diǎn)；（2）請(qǐng)你證明：P是的三等分點(diǎn)．【詳解】（1）解：如圖，為線段的另一個(gè)三等分點(diǎn)；……4分（2）證明：由題意得，四邊形是矩形，，，，，，P是的三等分點(diǎn)．……8分24．（本小題8分）已知二次函數(shù)（是常數(shù)）．（1）求證：該二次函數(shù)的圖象與軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）若點(diǎn)在該二次函數(shù)的圖象上，且點(diǎn)在第四象限，該二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，求點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，∴無(wú)論為何值，∴關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，二次函數(shù)（是常數(shù)）的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)；……4分（2）點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，，整理得，解得或∵點(diǎn)在第四象限，，點(diǎn)坐標(biāo)為，二次函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，∴點(diǎn)坐標(biāo)為∴點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為．……8分25．（本小題8分）閱讀與思考射影定理，又稱“歐幾里得定理”，是數(shù)學(xué)圖形計(jì)算的重要定理，定理內(nèi)容為：在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項(xiàng)，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)．如圖1，在中，，是斜邊上的高，則有如下結(jié)論：①；②；③．下面是該定理的證明過(guò)程（部分）：是斜邊上的高，．，，（依據(jù)），，即．任務(wù)一：（1）材料中的依據(jù)是指__________________；（2）選擇②或③其中一個(gè)定理加以證明；任務(wù)二：應(yīng)用：（3）如圖2，正方形中，點(diǎn)O是對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E在上，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，連接，證明：．【詳解】（1）是斜邊上的高，．，，（兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似），，即，故答案為：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似；……3分（2