2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期末模擬培優(yōu)卷（蘇科版+含答案解析）

2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試卷（培優(yōu)卷）注意事項：1．考試時間：120分鐘，試卷滿分：120分。本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．測試范圍：九年級數(shù)學(xué)上冊全冊（蘇科版）。第Ⅰ卷一、選擇題：本題共6小題，每小題2分，共12分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．拋物線y=（x-2）2+1的頂點坐標(biāo)是（）A．（-2,-1）B．（-2,1）C．（2,-1）D．（2,1）2．下表是我旗去年某日最高氣溫（℃）的統(tǒng)計結(jié)果：旗（鎮(zhèn)）科爾沁鎮(zhèn)俄體鎮(zhèn)歸流河鎮(zhèn)居力很鎮(zhèn)大石寨鎮(zhèn)索倫鎮(zhèn)阿力德爾鎮(zhèn)氣溫（℃）26262525252322則該日最高氣溫（℃）的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（

）A．25，25 B．25，26 C．25，23 D．24，253．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，點O為AB的中點，以點C為圓心，5為半徑作⊙C，則下列判斷錯誤的是（

）A．點O在⊙C上B．點在⊙C上C．點A在⊙C外D．OB的中點在⊙C外4．投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，點數(shù)大于3的概率是（

）A． B． C． D．235．關(guān)于的一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根6．如圖，在矩形中，，，點、分別是、邊上一點，連接、，交于點，若，，則的長為（

）A． B． C． D．1第Ⅱ卷二、填空題：本題共10小題，每小題2分，共20分。7．已知，則=．8．將拋物線先向右平移2個單位，再向下平移3個單位得到新的拋物線為．9．已知a，b是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值為．10．已知點，，在拋物線上，則，，的大小關(guān)系是．11．小明本學(xué)期數(shù)學(xué)綜合實踐活動、期中考試及期末考試的成績分別是88分、90分和90分，各項占學(xué)期成績的百分比分別為，則小明的數(shù)學(xué)學(xué)期成績是分．12．已知一個圓錐的母線長為5，底面圓的半徑為3，則該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)是．13．如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，為上一點，、關(guān)于對稱，，則°．14．小明經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：不論字母系數(shù)m取何值，函數(shù)的圖像恒過一定點P，則P點坐標(biāo)為．15．如圖C、D在直徑的半圓上，D為半圓弧的中點，，則陰影部分的面積是．16．如圖，矩形中，，，以為圓心，2為半徑作，為上一動點，連接．以為直角邊作，使，，則點與點的最小距離為．三、解答題：本題共11小題，共88分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（8分）解方程：（1）；（2）．18．（8分）根據(jù)下列條件，分別求出二次函數(shù)的解析式．（1）已知圖象的頂點坐標(biāo)為（﹣1，﹣8），且過點（0，﹣6）；（2）已知圖象經(jīng)過點A（﹣1，0）、B（0，3），且對稱軸為直線x=1．19．（8分）2024年4月23日是第29個世界讀書日．某校開展豐富多彩的閱讀活動，每位學(xué)生根據(jù)自己的愛好選擇一類書籍（A：科技類、B：文學(xué)類、C：政史類、D：藝術(shù)類、E：其他類），甲同學(xué)從A、B、C三類書籍中隨機選擇一種，乙同學(xué)從B、C、D、E四類書籍中隨機選擇一種．（1）乙同學(xué)恰好選中B的概率是______；（2）求甲、乙兩位同學(xué)選擇相同類別書籍的概率．（用樹狀圖或列表法）20．（8分）某學(xué)校八年級班和班進行了一次數(shù)學(xué)測試，各班前名的成績（滿分：分）分別是：八班：，，，，；

八班：，，，，．兩班前5名成績的有關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)見表：平均分中位數(shù)眾數(shù)八八請解決下面問題：（1）填空：__________，__________，__________；（2）計算八年級班前名成績的方差；（3）已知八年級班前名成績的方差為，根據(jù)以上信息，說明哪個班前5名的整體成績比較好．21．（8分）如圖，在中，，，是邊上的高，點為線段上一點（不與點，點重合），連接，作與的延長線交于點，與交于點，連接．（1）求證：；（2）若，求證：．22．（8分）“十四五”時期，國家政策提出要堅持“以文塑旅、以旅彰文”，打造獨具魅力的中華文化旅游體驗，文旅融合發(fā)展進入高水平階段．著名旅游景區(qū)“只有河南·戲劇幻城”以黃河文明為創(chuàng)作根基，對于樹立河南文化自信，加速中原崛起具有重要意義.該景區(qū)一奶茶店銷售一款奶茶，每杯成本價為6元，根據(jù)銷售經(jīng)驗，在旅游旺季，若每杯定價25元，則平均每天可銷售杯，若每杯價格降低1元，則平均每天可多銷售杯．年春節(jié)假期，店家決定進行降價促銷活動，則當(dāng)每杯售價定為多少元時，既能讓顧客獲得最大優(yōu)惠，又可使此款奶茶實現(xiàn)平均每天元的利潤？23．（6分）圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點叫格點．的頂點均在格點上．只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求畫圖，保留作圖痕跡．（1）在圖①中，分別在邊上畫點，連接，使，且．（2）在圖②中，分別在邊上畫點，連接，使，且．（3）在圖③中，分別在邊上畫點，連接，使，且．24．（8分）已知二次函數(shù)，其中．（1）若該二次函數(shù)的圖象與軸僅有一個公共點，求實數(shù)的值．（2）在（1）的條件下，若直線的圖象與二次函數(shù)的圖象交于兩點，，且．請直接寫出當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r，為直角三角形．25．（8分）如圖1，是的直徑，點D為下方上一點，點C為的中點，連結(jié)．（1）求證：平分．（2）如圖2，延長相交于點E，①求證：．②若，，求的半徑．26．（8分）如果一條直線把矩形分割成兩個矩形，其中一個為黃金矩形（寬與長的比為的矩形），則稱這條直線為該矩形的黃金線．例如圖所示的矩形中，直線，分別交、于點、，且，顯然直線是矩形的黃金線．（1）如圖，在矩形中，，．請在圖中畫出矩形的其中一條黃金線，其中在邊上，在邊上，并標(biāo)注出線段的長度；（2）將正方形紙片按圖所示的方式折疊．如圖所示，按上述方法折疊所得到的折痕是否為正方形的黃金線？請說明理由．（3）在矩形中，，，已知矩形的黃金線恰好將矩形分割成兩個黃金矩形，則_____________（只要求直接寫出其中三個答案）．27．（10分）【項目式學(xué)習(xí)】項目主題：學(xué)科融合—用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界項目背景：學(xué)習(xí)完相似三角形性質(zhì)后，某學(xué)校科學(xué)小組的同學(xué)們嘗試用數(shù)學(xué)的知識和方法來研究凸透鏡成像規(guī)律．項目素材：素材一：凸透鏡成像規(guī)律：（）表示凸透鏡的焦距，（）表示物體到凸透鏡的距離，（）表示像到凸透鏡的距離，規(guī)律如下表物體到凸透鏡距離u像到凸透鏡距離v像的大小像的正倒縮小倒立等大倒立放大倒立與物同側(cè)放大正立素材二：透鏡成像中，光路圖的規(guī)律：通過透鏡中心的光線不發(fā)生改變；平行于主光軸的光線經(jīng)過折射后光線經(jīng)過焦點．項目任務(wù)：（1）任務(wù)一：凸透鏡的焦距為，蠟燭AB的高為，離透鏡中心的距離是時，請你利用所學(xué)的知識填空：①_________，②_________，③_________；（2）任務(wù)二：某實驗小組取焦距為的凸透鏡，高度AB是的蠟燭，設(shè)置物距時，測量蠟燭的成像的高，①以為自變量，為因變量，寫出與的關(guān)系式：；②當(dāng)時，隨的增大而（選填“增大”或“減小”）（提示：可在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，不計分）．參考答案一、選擇題：本題共6小題，每小題2分，共12分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．拋物線的頂點坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵y=（x-2）2+1是拋物線的頂點式，∴根據(jù)頂點式的性質(zhì)可知，頂點坐標(biāo)是（2,1），故選：D．2．下表是我旗去年某日最高氣溫的統(tǒng)計結(jié)果：旗（鎮(zhèn)）科爾沁鎮(zhèn)俄體鎮(zhèn)歸流河鎮(zhèn)居力很鎮(zhèn)大石寨鎮(zhèn)索倫鎮(zhèn)阿力德爾鎮(zhèn)氣溫26262525252322則該日最高氣溫的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（

）A．25，25 B．25，26 C．25，23 D．24，25【答案】A【詳解】解：∵25出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴該日最高氣溫的眾數(shù)是25℃；把這些數(shù)從小到大排列，22，23，25，25，25，26，26，中位數(shù)是25℃，故選：A．3．如圖，在中，，點為的中點，以點為圓心，5為半徑作，則下列判斷錯誤的是（

）A．點在上 B．點在上C．點在外 D．的中點在外【答案】D【詳解】解：如圖，連接，取中點，連接，，點為的中點，，，，以點為圓心，5為半徑作，，點和點在上，A、B選項判斷正確，不符合題意；，點在外，C選項判斷正確，不符合題意；，是等邊三角形，是的中點，，在中，，即，的中點在內(nèi)，D選項判斷錯誤，符合題意；故選：D．4．投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，點數(shù)大于3的概率是（

）A． B． C． D．23【答案】C【詳解】解：∵一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，骰子的六個面上分別刻有1到6的點數(shù)，點數(shù)大于3的有4，5，6共3個，∴這個骰子向上的一面點數(shù)大于3的概率為．故選：C．5．關(guān)于的一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【答案】B【詳解】解：一元二次方程中，、、，，有兩個不相等的實數(shù)根．故選：B．6．如圖，在矩形中，，，點、分別是、邊上一點，連接、，交于點，若，，則的長為（

）A． B． C． D．1【答案】A【詳解】解：在矩形中，，，點、分別是、邊上一點，連接，交于點；，，在直角三角形中，，，，，，，．，，，即，解得：，，，，，解得：，故選：A．二、填空題：本題共10小題，每小題2分，共20分。7．已知，則=．【答案】【詳解】∵，∴∴=.故答案為.8．將拋物線先向右平移2個單位，再向下平移3個單位得到新的拋物線為．【答案】【詳解】解：由題意知，拋物線先向右平移2個單位，再向下平移3個單位得到新的拋物線為，故答案為：．9．已知a，b是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值為．【答案】【詳解】解：根據(jù)題意得，，．故答案為：．10．已知點，，在拋物線上，則，，的大小關(guān)系是．【答案】【詳解】解：由拋物線可知對稱軸為直線，開口向上，，，∴．故答案為：．11．小明本學(xué)期數(shù)學(xué)綜合實踐活動、期中考試及期末考試的成績分別是88分、90分和90分，各項占學(xué)期成績的百分比分別為，則小明的數(shù)學(xué)學(xué)期成績是分．【答案】【詳解】解：小明的數(shù)學(xué)成績是（分），故答案為：．12．已知一個圓錐的母線長為5，底面圓的半徑為3，則該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)是．【答案】【詳解】解：設(shè)該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)是，依題意得，，解得，，故答案為：．13．如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，為上一點，、關(guān)于對稱，，則°．

【答案】130【詳解】解：連接，如圖：

設(shè)，則，，，、關(guān)于對稱，，，，，，∴，解得：，，，又四邊形是的內(nèi)接四邊形，，故答案為：130．14．小明經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：不論字母系數(shù)m取何值，函數(shù)的圖像恒過一定點P，則P點坐標(biāo)為．【答案】【詳解】解：當(dāng)，即時，，所以無論字母系數(shù)m取何值時，圖像恒過一定點P．15．如圖C、D在直徑的半圓上，D為半圓弧的中點，，則陰影部分的面積是．

【答案】【詳解】解：設(shè)的中點為，連接，

∵C、D在直徑的半圓上，D為半圓弧的中點，，∴，，∴，∴為等邊三角形，∴，過點作，則：，∴，∴陰影部分的面積；故答案為：．16．如圖，矩形中，，，以為圓心，2為半徑作，為上一動點，連接．以為直角邊作，使，，則點與點的最小距離為．【答案】【詳解】解：如圖，取的中點，連接，，，∴，∵四邊形是矩形∴，，四邊形是矩形，，，，，，，點的運動軌跡是以為圓心，為半徑的圓，，，，的最小值為．故答案為：．三、解答題：本題共11小題，共88分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（8分）解方程：（1）；（2）．【詳解】（1）解：，，∴，；...........................................................4分（2）解：，，，∴，．...........................................................8分18．（8分）根據(jù)下列條件，分別求出二次函數(shù)的解析式．（1）已知圖象的頂點坐標(biāo)為（﹣1，﹣8），且過點（0，﹣6）；（2）已知圖象經(jīng)過點A（﹣1，0）、B（0，3），且對稱軸為直線x=1．【詳解】（1）解：∵圖象的頂點坐標(biāo)為（﹣1，﹣8），且過點（0，﹣6），∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為：，把（0,﹣6）代入得：，解得：a=2，故二次函數(shù)的解析式為：；...........................................................4分（2）解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為，把A（﹣1,0）、B（0,3），對稱軸為直線x=1代入得：，解得：，故二次函數(shù)解析式為：．...........................................................8分19．（8分）2024年4月23日是第29個世界讀書日．某校開展豐富多彩的閱讀活動，每位學(xué)生根據(jù)自己的愛好選擇一類書籍（A：科技類、B：文學(xué)類、C：政史類、D：藝術(shù)類、E：其他類），甲同學(xué)從A、B、C三類書籍中隨機選擇一種，乙同學(xué)從B、C、D、E四類書籍中隨機選擇一種．（1）乙同學(xué)恰好選中B的概率是______；（2）求甲、乙兩位同學(xué)選擇相同類別書籍的概率．（用樹狀圖或列表法）【詳解】（1）解：乙同學(xué)從B、C、D、E四類書籍中隨機選擇一種，則乙同學(xué)恰好選中B的概率是，故答案為：．...........................................................4分（2）解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中甲乙兩位同學(xué)選擇相同類別書籍的結(jié)果有2種，即，∴甲乙兩位同學(xué)選擇相同類別書籍的概率為．...........................................................8分20．（8分）某學(xué)校八年級班和班進行了一次數(shù)學(xué)測試，各班前名的成績（滿分：分）分別是：八班：，，，，；

八班：，，，，．兩班前5名成績的有關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)見表：平均分中位數(shù)眾數(shù)八八請解決下面問題：（1）填空：__________，__________，__________；（2）計算八年級班前名成績的方差；（3）已知八年級班前名成績的方差為，根據(jù)以上信息，說明哪個班前5名的整體成績比較好．【詳解】（1）解：八班的成績從高到低依次是：，，，，；五個數(shù)中處在中間的是，，出現(xiàn)次數(shù)最多的是，，八班的成績是：，，，，，，；...........................................................2分（2）八班的方差是:；...........................................................5分（3）∵八年級班和八年級班的前五名同學(xué)的成績的中位數(shù)與眾數(shù)相同；八年級班的平均分比八年級的平均分高；八年級班的方差比八年級的方差小，說明八年級班前五名的成績比較移穩(wěn)定，所以八年級班前五名的整體成績較好．...........................................................8分21．（8分）如圖，在中，，，是邊上的高，點為線段上一點（不與點，點重合），連接，作與的延長線交于點，與交于點，連接．（1）求證：；（2）若，求證：．【詳解】（1）證明：∵，，∴，又∵，∴；...........................................................4分（2）證明：∵，∴，又∵，∴，∴，即．...........................................................8分22．（8分）“十四五”時期，國家政策提出要堅持“以文塑旅、以旅彰文”，打造獨具魅力的中華文化旅游體驗，文旅融合發(fā)展進入高水平階段．著名旅游景區(qū)“只有河南·戲劇幻城”以黃河文明為創(chuàng)作根基，對于樹立河南文化自信，加速中原崛起具有重要意義.該景區(qū)一奶茶店銷售一款奶茶，每杯成本價為6元，根據(jù)銷售經(jīng)驗，在旅游旺季，若每杯定價25元，則平均每天可銷售杯，若每杯價格降低1元，則平均每天可多銷售杯．年春節(jié)假期，店家決定進行降價促銷活動，則當(dāng)每杯售價定為多少元時，既能讓顧客獲得最大優(yōu)惠，又可使此款奶茶實現(xiàn)平均每天元的利潤？【詳解】解：設(shè)當(dāng)每杯售價定為x元時，既能讓顧客獲得最大優(yōu)惠，又可使此款奶茶實現(xiàn)平均每天元的利潤，根據(jù)題意，得，整理，得，解得，，∵要讓顧客獲得最大優(yōu)惠，∴，∴當(dāng)每杯售價定為20元時，既能讓顧客獲得最大優(yōu)惠，又可使此款奶茶實現(xiàn)平均每天6300元的利潤．...........................................................8分23．（6分）圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點叫格點．的頂點均在格點上．只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求畫圖，保留作圖痕跡．（1）在圖①中，分別在邊上畫點，連接，使，且．（2）在圖②中，分別在邊上畫點，連接，使，且．（3）在圖③中，分別在邊上畫點，連接，使，且．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；...........................................................2分（2）如圖，即為所求；...........................................................4分（3）如圖，即為所求；...........................................................6分24．（8分）已知二次函數(shù)，其中．（1）若該二次函數(shù)的圖象與軸僅有一個公共點，求實數(shù)的值．（2）在（1）的條件下，若直線的圖象與二次函數(shù)的圖象交于兩點，，且．請直接寫出當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r，為直角三角形．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象與軸僅有一個公共點∴，解...........................................................2分（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，解得，∴點A的坐標(biāo)是1,0，∵直線的圖象與二次函數(shù)的圖象交于兩點，，且過都過定點，且．則根據(jù)二次函數(shù)圖象可知，點B為，∵，，∴∵為直角三角形，∴或，...........................................................4分①當(dāng)時，過點作軸于點D，則，∴,∴，設(shè)點的坐標(biāo)為，則，,∴，解得或（不合題意，舍去）∴點的坐標(biāo)為，即，把點代入得，，解得，，...........................................................6分②當(dāng)時，過點作軸于點E，則，∴,∴，設(shè)點的坐標(biāo)為，則，,∴，解得或（不合題意，舍去）∴點的坐標(biāo)為，即3,-4，把點3,-4代入得，，解得，，綜上可知，當(dāng)或時，為直角三角形．...........................................................8分25．（8分）如圖1，是的直徑，點D為下方上一點，點C為的中點，連結(jié)．（1）求證：平分．（2）如圖2，延長相交于點E，①求證：．②若，，求的半徑．【詳解】（1）證明：點C為的中點，，，平分；...........................................................3分（2）①證明：是的直徑，，，，；②如圖2，連接，則，，，，，，，，，，設(shè)的半徑為r，則，，，，，整理得，解得（不符合題意，舍去），的半徑為5．...........................................................8分26．（8分）如果一條直線把矩形分割成兩個矩形，其中一個為黃金矩形（寬與長的比為的矩形），則稱這條直線為該矩形的黃金線．例如圖所示的矩形中，直線，分別交、于點、，且，顯然直線是矩形的黃金線．（1）如圖，在矩形中，，．請在圖中畫出矩形的其中一條黃金線，其中在邊上，在邊上，并標(biāo)注出線段的長度；（2）將正方形紙片按圖所示的方式折疊．如圖所示，按上述方法折疊所得到的折痕是否為正方形的黃金線？請說明理由．（3）在矩形中，，，已知矩形的黃金線恰好將矩形分割成兩個黃金矩形，則_____________（只要求直接寫出其中三個答案）．【詳解】（1）∵∴,如圖所示，此時，...........................................................2分（2）折痕是正方形的黃金線．理由如下：如圖，連結(jié)，設(shè)，，由折疊得，在中，，，又，∴．解得：．即．∴．∴是正方形的黃金線．...........................................................4分（3）①當(dāng)，時，EF把矩形ABCD分割成兩個黃金矩形，則∵AB=1，AD=a∴，∴∴；②當(dāng)，時，EF把矩形ABCD分割成兩個黃金矩形，則∵AB=1，AD=a∴，∴∴；③當(dāng)，時，EF把矩形ABCD分割成兩個黃金矩形，則∵AB=1，AD=a∴，∴∴；④當(dāng)，時，EF把矩形AB