2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)作業(yè)立體幾何新人教B版

立體幾何

一、選擇題

1.（2019?全國卷H）設(shè)。，萬為兩個平面，則?！ㄊ某湟獥l件是（）

A.。內(nèi)有無數(shù)條直線與￡平行

B.。內(nèi)有兩條相交直線與￡平行

C.a,￡平行于同一條直線

D.a,6垂直于同一平面

B［由面面平行的判定定理知：。內(nèi)兩條相交直線都與￡平行是?！ǚ降某浞謼l件：由

面面平行性質(zhì)定理知，若?！ā?則。內(nèi)任意一條直線都與￡平行，所以。內(nèi)兩條相交直線

都與尸平行是。的必要條件，因此B中條件是a〃￡的充要條件，故選B.］

2.（2021?全國新高考I卷）三知圓錐的底面半徑為、尼，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則

該圓錐的母線長為（）

A.2B.2^2C.4D.4-72

B［設(shè)圓錐的母線長為因為該圓錐的底面半徑為乖，所以2nxm=兀/,

解得/=2蛆，故選B.］

3.（2021?全國甲卷）已知4,B,。是半徑為1的球0的球面上的三個點，且4aL6C,

AC=BC=1,則三棱錐%的體積為（）

也必理立

八.I?n-12J44

A［如圖所示，因為他L8C,所以48為截面圓。的直徑，且四----

=木.連接的，則縱，平面/陽oa=yj1-（野=41-（乎/,、0

=乎,所以三棱錐的體積亞X陽=：x4x1X1柒-一~三

亞］

12,J

4.（2021?浙江高考）如圖，已知正方體力8aM由G4,M川分別為4248的中點，

則（）

D'^--------,Ci

A.直線4〃與直線〃8垂直，直線MV〃平面力頗

B.直線4〃與直線平行，直線柳VJ_平面的臺

C.直線4〃與直線〃8相交，直線〃平面力發(fā)力

D.直線4。與直線48異面，直線」邠J_平面及股笈

A[法一：連接力〃，則易得點必在H〃上，且力〃_L4〃.因為協(xié)

_L平面44心〃，所以ABLM,所以4〃_L平面AB隊,所以4〃與B隊

異面且垂直.在△力能中，由中位線定理可得.拗〃力其所以」相〃平面

AI3CD.易知直線力。與平面陰〃〃成45°角，所以」那與平面能〃〃不

垂直.所以選項A正確.故選A.

法二：以點〃為坐標(biāo)原點，DA,DC,9所在直線分別為筋必z軸建立空間直角坐標(biāo)

系(圖略).設(shè)四=2,則4(2,0,2),2)(0,0,0),ZA(0,0,2),8(2,2,0),所以:(1,0,1),耿1,1,1),

所以淳=(一2,0,-2),而=(2,2,—2),就三(0,1,0),所以蕊?日=-4+0+4=0,

所以又由圖易知直線4〃與〃8是異面直線，所以4。與48異面且垂直.因為平

面力發(fā)力的一個法向量為〃=(0,0,1),所以加?〃=0,所以物V〃平面48s設(shè)直線劭V與平

面能〃〃所成的角為。,因為平面B04A的一個法向量為a=(―1,1,0),所以sin^=|cos

―I就「?o|1A/Q

〈厥a)|=—~==7=4，所以直線松，與平面能〃〃不垂直.故選A.]

I誦?|a|小，

5.(2020?全國卷I)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個

正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其

側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為()

A.用B.與1C.早D.早

C[設(shè)正四棱錐的高為方，底面正方形的邊長為2a,斜高為力，依題意得#=：X2aX辦

1+小,

即li=an?,易知力2+才=■②，由①②得加=上9^君，所以薩=—=三聲.故選C.]

6.(2020?全國卷HD如圖為某兒何體的三視圖，則該幾何體的表面積是()

A.6+472

C.6+273D.4+2鎘

C［由三視圖可知該幾何體為三棱錐，記為三棱錐A4%；將其放入正方體中，如圖,

易知為=4Q力仁2,PB=PC=BC=^,故其表面積為心.+8加+8函+加儆=；X2X2

乙

+/X2X2+Jx2X2+：X2班X2$X乎=6+2小，故選C.］

乙乙乙乙

7.如圖，在四面體抽力中"DLBD,截面血眥是矩形，則下列結(jié)論不一定正確的是（）

A.平面即C_L平面4〃C

B.然〃平面

C.平面力加，平面1如

I）./〃_!_平面BDC

D［由?！ㄩ?；柳匕平面力比；歐平面力鑿得溝〃平面4抬

又性平面力比；平面力比n平面力加=然，

：,PQ//AC

同理QM〃即，因為&LLQ”,

:"CLBD,又BDLAD,ACC\AD=A,

，做_L平面ADC,

，平面BDC上平面ADC,平面仍〃J_平面ADC,

???A和C選項均正確.

由PQ〃AC,得〃*〃平面收梆，

???B選項正確.

,/不能得到或ADLBC,

,不能得到力。_1_平面BDC,故選項D不一定正確.

故選D.]

8.在棱長為1的正方體力呼■力心G。中，E,F,G,〃分別為48,G〃,AB,勿的中

點，點戶從G出發(fā)，沿折線6閱V勻速運動，同時點。從〃出發(fā)，沿折線例G勻速運動，且

點。與點0運動的速度相等，記以區(qū)F,P,。四點為頂點的三棱錐的體積為匕點夕運動

的路程為當(dāng)0W/W2時，表示，與*關(guān)系的圖象為（）

4

C[因為點尸與點0運動的速度相等，設(shè)底面力順的中心為0,連接第0F,則平面

筋把幾何體小印分割為體積相等的兩部分.

⑴當(dāng)時，點P在比上，Q在HD上,如圖①所示，1X1=-,易知點

11X

戶到平面龐F的距離為必故「=2/好=2X[X/=f

圖①圖②

⑵當(dāng)云舄時，點夕在比'上，。在力〃上，點。到平面呼的距離為/見阪=/1

1，…，c1111d1士

X1=5,^=2,為定值.

NoZZ0

3]]

⑶當(dāng)尸后2時，點尸在仍.上，。在/G上，如圖②所示，8華二爐IX1=5,尸到平

乙乙乙

II2—x

面龐尸的距離為2一筋故『=2以魁=2><鼻乂5乂（2—才）=不一.

x1

于OWf,

113

綜上所述，v=<故選c.]

6*

2-x3-c

―,5<KW2,

lJ乙

二、填空題

9.（2021?全國甲卷）已知一個圓錐的底面半徑為6,其體積為30元，則該圓錐的側(cè)面

積為.

15

39n[設(shè)該圓錐的高為力，則由已知條件可得冗X6?X力=3C/，解得力=予則圓

錐的母線長為后時=\/務(wù)36號，故該圓錐的側(cè)面積為nX6X+39n.]

10.（2021?江蘇南京師大附中高三期末）直三榜柱力跖48G中，若/BAC=90°,AB

=AC=y12t皿=2,則點力到平面48G的距離為.

攣[法一：?.?G4_L4以64_1_44,???G4_L平面力488,

XV6^iC平面G46,.??平面平面AABB.

又???48=平面G48n平面力歸歸，

，過力作AGLM,則力。的長為點A到平面MCx的距離，

A”，…“ABXAA12X/2^3

在Rt^/145中，AG—j-7—?—=.

4B鄧o3

法二：由等體積法可知府-4刈=陟/1/1￡,解得點力到平面48G的距離為平.]

11.正方體切■/!由G〃的棱長為1,線段笈〃上有兩個動點￡F,且

密平，則下列結(jié)論中正確的有.（填序號）

①AC1BE；

②三棱錐4頗的體積為定值；

③二面角4跖8的大小為定值；

④異面直線力反即所成角為定值.

①?③[易知力C_L平面板，所以NCL即三棱錐并比F的高就是點力到平面跖〃〃

的距離且為一定值，△戚為一定值，故三棱錐力戚的體積為定值；二面角4環(huán)8的平

面角與二面角4笈如8的平面角相等，故為一定值.]

12.三棱錐力比力的頂點都在同一個球面上，滿足切過球心0,且放=24,則三棱

錐小8切體積的最大值為；三棱錐4筋體積最大時，平面四C截球所得的截面圓

的面積為.

平斗[依題意可知，3是球的直徑，所以當(dāng)0C1BD,0A1BD,即0C=0A=y[2^,

JJ

三棱錐4式）體積取得最大值為

6M=1X|X2V2X72X^2=^2.此時尻=/仁力8=2,即三角形48。是等

OJ乙O

22

邊三角形，設(shè)其外接圓半徑為人由正弦定理得——f=2?=r=F，所以等邊三角形力優(yōu)

sin—

的外接圓的面積，也即平面力比'截球所得的截面圓的面積為nF=JIx（泉）=券.J

三、解答題

13.（2020?江蘇高考）在三棱柱力阮45G中，ABA.AC,8cL平面/8GE,尸分別是

ACt4c的中點.

⑴求證：仔〃平面仍G；

⑵求證：平面仍C_L平面力心.

［證明］(1)因為￡尸分別是dC,AC的中點，

所以EF〃A&,

因為的平面力區(qū)G,平面mG,

所以哥'〃平面ABC.

⑵因為6C_L平面ABC,ABc平面ABC,

所以8CJ_49,

又因為［①ACCAC=C,平面第乙名歸平面陽4

所以仍_L平面仍G

因為ABC：平面ABBi,

所以平面仍UL平面ABBi.

14.(2021?重慶巴蜀中學(xué)高二期中)如圖1所示，在等腰梯形力物中，BELAD,BC=l,

止5,BE=y［3,把△力跳'沿跖折起，使得力仁2m,得到四棱錐4比物.如圖2所示.

(1)求證：4E上平面BQ)；

(2)求平面力比'與平面力切所成銳二面角的余弦值.

［解］(1)證明：在等腰梯形中，BC=1,AD=5tBELAD,可知力￡=2,DE=%

由施工況可得g2.又AC=2?則/=密+公，則力￡L￡C,

又BE1AE,BECEC=E,可得/反1平面靦.

(2)因為力反L平面以4又BELED,則以點后為原點，以做ED,用所在直線分別為必

y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

4(0,0,2),B/,0,0),(76/3,1,0),和即,0,-2),四(0,1,0),

設(shè)平面4%的法向量為n=(x,y,z),則卜2Z，=n=(2,0,^3),

注意到，平面力成的法向量小=(1,0,0),

設(shè)平面力比與平面4口所成銳二面角的平面角為G,

如。22^7

故cos0-cos5,n>fF——Z-?

V4+37

15.(2020?全國卷H)如圖，已知三棱柱/把4劣G的底面是正三角形，側(cè)面能GC是

矩形，MN分別為BC,%G的中點，2為用/上一點，過當(dāng)G和P的平面交力4于2,交AC

于尸.

(1)證明：44〃』加；且平面的工平面即G色

⑵設(shè)。為△44G的中心，若力0〃平面陷G"，KAO=AB,求直線區(qū)/與平面44"V所

成角的正弦值.

［解］(1)證明：因為M川分別為優(yōu)；合G的中點，

所以於r〃CG.

又由已知得力4〃制，故AAJ/MN.

因為△45。是正三角形，所以AG_L4M

又BxCIMN,

故臺GJ■平面AAMN.

所以平面44MVJ_平面EBCF.

⑵由已知得力ML密

以"為坐標(biāo)原點，質(zhì)的方向為才軸正方向，I礪為單位長，建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系J-xyz,則4Q2,4IU小.

連接,伊，則四邊形加如為平行四邊形，故網(wǎng)=乎，/(乎，0

由⑴知平面44%歸_平面ABC.

作AQL4W,垂足為。，則ML平面力必

又〃=(0,—1,0)是平面44MM的法向量，故

所以直線8石與平面44捌,所成角的正弦值為鳴.

16.請從下面三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的橫線上，并作答.

QAB1BC,②％與平面力四所成的角為白③/ABC=j

OO

如圖，在四棱錐2力質(zhì)中，底面力倒是菱形，處JL平面力比〃且為=4Q2,即的

中點為人.

(1)在線段46上是否存在一點G,使得力勿平面打右？若存在，指出G在46上的位置

并給以證明；若不存在，請說明理由；

(2)若,求二面角六力C〃的余弦值.

［解］(1)在線段48上存在中點￡使得力尸〃平面RX.

證明如下：如圖所示：

設(shè)尸。的中點為從連接力，HG,

YFHHCD,FH=^CD,AG"CD,AG=^CD,

:.FH〃AG,FH=AG,，四邊形力面為平行四邊形，除心"GH.

又面匕平面尸GG力尺平面0%,

二力尸〃平面PGC.

⑵選擇①力比1_4G

???Rf_L平面ABCD,

：.PALBC,

由題意知力〃，川，彼此兩兩垂直，

以熊,AD,/P分別為尤必z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

VPA=AB=2,

則力(0,0,0),M2,0,0),(7(2,2,0),Z?(0,2,0),/(0,1,1),尸(0,0,2),

???港=(0,1,1),*=(-2,-1,1),

〃?AF=y+z=0,

設(shè)平面￡4。的一個法向量為〃=(x,y,z),?'J

,〃?CF=-2x—y-\-z=Qt

取y=l,得〃=(一1,1,-1),

平面兒刀的一個法向量為v=(0,0,1),

設(shè)二面角片4C〃的平面角為

則36=.>|=坐'

???二面角產(chǎn)4G〃的余弦值為乎.

選擇②尸。與平面力以力所成論角為《：

O

???丹_!_平面力809,取中點區(qū)連接力區(qū)取力〃的中點機(jī)連接寓CM,貝ijFM〃PA,

且用/=1,

???￡月_平面ABCD,

FC與平面伸⑼所成角為NFCM"FCM=三,

6

在Rt△此V中，陽小,

又CM=AE,AE+B彥=A#,?'?BOLAE,

:?AE,AD,IP彼此兩兩垂直，

以四,AD,/P分別為必力z軸，建立空間直角坐標(biāo)