人教版高二下學(xué)期數(shù)學(xué)(必修二)《6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示》同步測試題含答案

第第頁人教版高二下學(xué)期數(shù)學(xué)(必修二)《6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示》同步測試題含答案考試時(shí)間：60分鐘；滿分：100分學(xué)校：___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________考卷信息：本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分100分，限時(shí)60分鐘，本卷題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本節(jié)內(nèi)容的具體情況！一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2023·北京·高一期末）已知向量a=1,x，b=x,4，則“x=2”是“A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（3分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)A(2,0),B(4,2)，若點(diǎn)P在直線AB上，且|AB|=2|AP|，則點(diǎn)PA．(3,1) B．(1,?1) C．(3,1)或(1,?1) D．(3,1)或(1,1)3．（3分）設(shè)向量a=(1,?3),b=(?2,4),c=(?1,?2)，若表示向量4A．(2,6) B．(?2,6) C．(2,?6) D．(?2,?6)4．（3分）（2022秋·廣東·高三階段練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，設(shè)AC=a，BD=b，AP=12A．712a?112b B．15．（3分）（2022春·河南焦作·高一期中）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E滿足DE=2EC，點(diǎn)O是邊AB的中點(diǎn)，AE與DO交于點(diǎn)M．設(shè)DM=λAB+μA．?25 B．25 C．?6．（3分）（2022秋·江蘇南京·高二階段練習(xí)）在矩形ABCD中，AB=1,AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在矩形ABCD所在平面內(nèi)，且滿足AP?DP=3.若AP=mABA．?1 B．1 C．2 D．37．（3分）（2022秋·山東濰坊·高三階段練習(xí)）銳角三角形ABC中，D為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），點(diǎn)O滿足AO=3OD，且滿足AO=λAB+μA．43 B．34 C．3 8．（3分）（2022秋·山東·高三階段練習(xí)）若點(diǎn)G是△ABC所在平面上一點(diǎn)，且AG+BG+CG=0→,H是直線BG上一點(diǎn)，A．2 B．1C．12 D．二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022秋·福建福州·高三期中）已知向量a=2,?1,A．若a∥b，則m=?4 B．若aC．若|2a?b|=|a+b10．（4分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，直角三角形ABC中，D，E是邊AC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，G是BE的中點(diǎn)，直線AG分別與BD，BC交于點(diǎn)F，H設(shè)AB=a，AC=A．AG=12a+13b 11．（4分）（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知向量a=sin2ωx,1，b=1,cos2ωx，ω>0A．ω=2B．fx在3C．fx的圖象向左移π4個(gè)單位，圖像關(guān)于D．fx取最大值時(shí)，x的取值集合為12．（4分）（2022秋·福建三明·高三期中）如下圖所示，B是AC的中點(diǎn)，BE=2OB，P是平行四邊形BCDE內(nèi)(含邊界)的一點(diǎn)，且OP=xA．當(dāng)P是線段CE的中點(diǎn)時(shí)，x=?12B．當(dāng)x=?12C．若x+y為定值2時(shí)，則在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的軌跡是一條線段D．x?y的最大值為?1三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)a=4,?3，b=x,5，c=?1,y，若a14．（4分）（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知OA=3,1，OB=?1,2，OC⊥OB，BC∥OA，又15．（4分）（2022春·廣東廣州·高一階段練習(xí)）在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，E為CD的中點(diǎn)，若EF=2FB，AF=λAB+μAD16．（4分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，O為線段BC上一點(diǎn)，且BO=2OC，G為線段AO的中點(diǎn)，過點(diǎn)G的直線分別交直線AB，AC于D，E兩點(diǎn)，AB=mADm>0，AC=nAE四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022春·廣東韶關(guān)·高一階段練習(xí)）已知向量a=2,1，b=(1)求2a(2)求滿足c=ma+nb的實(shí)數(shù)18．（6分）（2022春·重慶銅梁·高一階段練習(xí)）已知向量a=3,2，b=(－1,3)（1）求滿足a?＝mb?+n（2）若(a?+k19．（8分）（2022秋·山東濟(jì)寧·高三階段練習(xí)）如圖所示，已知在△OCB中，A是CB的中點(diǎn)，D是將OB分成2∶1的一個(gè)內(nèi)分點(diǎn)，DC和OA交于點(diǎn)E，設(shè)OA=a，(1)用a和b表示向量OC，DC；(2)若OE=λOA，求實(shí)數(shù)20．（8分）（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知平行四邊形ABCD中，AB=3，BC=6，∠DAB=60o，點(diǎn)E是線段(1)求AB?(2)若AF=AE+λAD，且21．（8分）（2022春·湖北襄陽·高一期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)向量a=?cosα?(1)若a+b=(2)設(shè)α=5π6，0<β<π，且22．（8分）（2022春·全國·高一期末）如圖，已知四邊形ABDE為平形四邊形，AB=12BC，AM=13(1)用向量a，b表示ED；(2)若點(diǎn)P是線段CM上的一動(dòng)點(diǎn)，AP=xa+yb（其中參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2023·北京·高一期末）已知向量a=1,x，b=x,4，則“x=2”是“A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】利用向量平行的坐標(biāo)表示判斷即可.【解答過程】若x=2，則a=1,2，b=2,4，若a∥b，則x2∴“x=2”是“a∥故選：A.2．（3分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)A(2,0),B(4,2)，若點(diǎn)P在直線AB上，且|AB|=2|AP|，則點(diǎn)PA．(3,1) B．(1,?1) C．(3,1)或(1,?1) D．(3,1)或(1,1)【解題思路】將向量模長關(guān)系改寫成向量共線的形式，注意分類計(jì)算坐標(biāo).【解答過程】∵A(2,0),B(4,2),∴AB=(2,2)，∵點(diǎn)P在直線AB上，且|AB|=2|AP|，∴AB=2AP或AB=?2AP故選：C.3．（3分）設(shè)向量a=(1,?3),b=(?2,4),c=(?1,?2)，若表示向量4A．(2,6) B．(?2,6) C．(2,?6) D．(?2,?6)【解題思路】根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，結(jié)合題意求解即可.【解答過程】由題可知：4a即d=?6故選：D.4．（3分）（2022秋·廣東·高三階段練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，設(shè)AC=a，BD=b，AP=12A．712a?112b B．1【解題思路】根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合平面向量線性運(yùn)算的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【解答過程】因?yàn)锳C=a，BD=b，所以所以PQ=故選：B.5．（3分）（2022春·河南焦作·高一期中）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E滿足DE=2EC，點(diǎn)O是邊AB的中點(diǎn)，AE與DO交于點(diǎn)M．設(shè)DM=λAB+μA．?25 B．25 C．?【解題思路】利用平面向量基本定理即可求解.【解答過程】如圖，在平行四邊形ABCD中，DE=2EC，△AOM∽△EDM，OMDM因?yàn)镈M=λAB+μ故選：C.6．（3分）（2022秋·江蘇南京·高二階段練習(xí)）在矩形ABCD中，AB=1,AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在矩形ABCD所在平面內(nèi)，且滿足AP?DP=3.若AP=mABA．?1 B．1 C．2 D．3【解題思路】根據(jù)已知條件建系計(jì)算,結(jié)合向量運(yùn)算和輔助角公式,計(jì)算范圍即可【解答過程】根據(jù)矩形ABCD,AB=1,AD=2,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以AD,AB分別為x,y軸,則A0,0,D又因DP=則AP?DP即m2+m+n=2cosα+sin所以m+n可取-1,1,2；又5+12故選:D.7．（3分）（2022秋·山東濰坊·高三階段練習(xí)）銳角三角形ABC中，D為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），點(diǎn)O滿足AO=3OD，且滿足AO=λAB+μA．43 B．34 C．3 【解題思路】根據(jù)向量線性運(yùn)算表示出AO，由此求得λ,μ，再根據(jù)基本不等式求得1λ【解答過程】依題意AO=3設(shè)BD=xBCAO=所以λ=3?3x所以1=4當(dāng)且僅當(dāng)x1?x故選：D.8．（3分）（2022秋·山東·高三階段練習(xí)）若點(diǎn)G是△ABC所在平面上一點(diǎn)，且AG+BG+CG=0→,H是直線BG上一點(diǎn)，A．2 B．1C．12 D．【解題思路】根據(jù)向量的運(yùn)算確定G的位置，可得B、H、D三點(diǎn)共線，利用三點(diǎn)共線得x+2y=1，再由不等式求最值即可.【解答過程】設(shè)G(x,y)，A(x因?yàn)锳G+BG+CG=所以點(diǎn)G是△ABC的重心，設(shè)點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，則AC=2AD，B、G、又AH=x因?yàn)锽、H、D三點(diǎn)共線，所以x+2y=1，所以x2+4y2=x2+2y2≥故選：C．二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022秋·福建福州·高三期中）已知向量a=2,?1,A．若a∥b，則m=?4 B．若aC．若|2a?b|=|a+b【解題思路】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示判斷A，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示判斷B，根據(jù)向量的模的坐標(biāo)表示判斷C，D.【解答過程】對(duì)于A，因?yàn)閍∥b，所以2×2=?1對(duì)于B，因?yàn)閍⊥b，所以2×m+?1對(duì)于C，因?yàn)閨2a?b|=|a對(duì)于D，因?yàn)閍+b=a，所以b2故選：AB.10．（4分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，直角三角形ABC中，D，E是邊AC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，G是BE的中點(diǎn)，直線AG分別與BD，BC交于點(diǎn)F，H設(shè)AB=a，AC=A．AG=12a+13b 【解題思路】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AC，AB的方向?yàn)閤軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，分別寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，特別聯(lián)立方程組解得H，再根據(jù)選項(xiàng)一一判斷即可．【解答過程】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AC，AB的方向?yàn)閤軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=a，AC=b，則A0,0，Db3,0，E2b3,0又F為△ABE的重心，則F2b9,a3，直線AG的方程為y=聯(lián)立解得H25b,35a，則AH=因?yàn)閍=AB=所以AG=12a+13故選：ACD．11．（4分）（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知向量a=sin2ωx,1，b=1,cos2ωx，ω>0A．ω=2B．fx在3C．fx的圖象向左移π4個(gè)單位，圖像關(guān)于D．fx取最大值時(shí)，x的取值集合為【解題思路】化簡fx，根據(jù)最小正周期是π可得ω=1，從而得到f【解答過程】因?yàn)閍=sin2ωx,1，=sin由2π2ω=π，可得選項(xiàng)A：ω=1.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：由x∈3π8由π,3π2?2選項(xiàng)C：fx的圖象向左移π4個(gè)單位，可得y=3+2選項(xiàng)D：由2x+π4則fx取最大值時(shí)，x的取值集合為x故選：BD.12．（4分）（2022秋·福建三明·高三期中）如下圖所示，B是AC的中點(diǎn)，BE=2OB，P是平行四邊形BCDE內(nèi)(含邊界)的一點(diǎn)，且OP=xA．當(dāng)P是線段CE的中點(diǎn)時(shí)，x=?12B．當(dāng)x=?12C．若x+y為定值2時(shí)，則在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的軌跡是一條線段D．x?y的最大值為?1【解題思路】結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算、三點(diǎn)共線等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【解答過程】依題意，BC=A選項(xiàng)，當(dāng)P是線段CE的中點(diǎn)時(shí)，OP=OB+B選項(xiàng)，若OP設(shè)F,G分別是BC,DE的中點(diǎn)，連接GF并延長，交AO的延長線于A'則OE//A'G，且則P點(diǎn)的軌跡是FG，A'所以y∈3C選項(xiàng)，OP=xOA+y令x2=m,y2=n、由于x+y=2,x2+所以Q,A,B三點(diǎn)共線.設(shè)H,I分別是BE,CD的中點(diǎn)，連接HI，交BC于J，則HI//B是OH的中點(diǎn)，J是BC的中點(diǎn)，則Q點(diǎn)的軌跡是BJ，P點(diǎn)的軌跡是HI，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，OP=x由于平行四邊形BCDE在OE的左上方，O,B,E三點(diǎn)共線，所以x≤0，y≥1，故當(dāng)x取得最大值0，y取得最小值1時(shí)，x?y取得最大值?1，D選項(xiàng)正確.故選：CD.三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)a=4,?3，b=x,5，c=?1,y，若a【解題思路】應(yīng)用向量線性關(guān)系的坐標(biāo)表示列方程組求參數(shù)x、y，即可得結(jié)果.【解答過程】由題設(shè)(4,?3)+(x,5)=(x+4,2)=(?1,y)，所以x+4=?1y=2，即x=?5y=2，故故答案為：?5,214．（4分）（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知OA=3,1，OB=?1,2，OC⊥OB，BC∥OA，又【解題思路】設(shè)OC=x,y，根據(jù)已知條件可求出OC=14,7，進(jìn)而得到【解答過程】設(shè)OC=x,y，則則由OC⊥OB可得OC?OB=0又BC∥OA，所以有3y?2所以有2y=3y?7，解得y=7，所以x=14，所以O(shè)C=由OD+OA=所以，AD=故答案為：8,5.15．（4分）（2022春·廣東廣州·高一階段練習(xí)）在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，E為CD的中點(diǎn)，若EF=2FB，AF=λAB+μAD【解題思路】建立如下圖的平面直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，由平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示可得AF的坐標(biāo)，由AF=6λ,4μ，列方程組，解方程組可得λ和【解答過程】建立如下圖的平面直角坐標(biāo)系，由已知得B6,0，D0,4，E3,4由EF=2FB得設(shè)Fx,y，則x?3,y?4可得x?3=2y?4=?83，解得x=5y=4又因?yàn)锳F=λ所以4μ=436λ=5，解得λ=56故答案為：7616．（4分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，O為線段BC上一點(diǎn)，且BO=2OC，G為線段AO的中點(diǎn)，過點(diǎn)G的直線分別交直線AB，AC于D，E兩點(diǎn)，AB=mADm>0，AC=nAE【解題思路】利用共線定理求出m、n的關(guān)系式，再用基本不等式即可求解.【解答過程】因?yàn)锽O=2OC，所以即AO=又因?yàn)镚為線段AO的中點(diǎn)，所以AG=因?yàn)锳B=mAD，所以AG=因?yàn)镈、G、E三點(diǎn)共線，所以m6+n所以1≥1當(dāng)且僅當(dāng)m+4nm即m=2n=3時(shí)取等號(hào)．故答案為：43四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022春·廣東韶關(guān)·高一階段練習(xí)）已知向量a=2,1，b=(1)求2a(2)求滿足c=ma+nb的實(shí)數(shù)【解題思路】（1）直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求解即可．（2）利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算和向量相等列出方程組即可求解．【解答過程】(1)解：∵a=(2,1)，b=(?3,4)，∴2a(2)解：因?yàn)閏=m所以4,7=m所以2m?3n=4m+4n=7，解得m=即m=3711、18．（6分）（2022春·重慶銅梁·高一階段練習(xí)）已知向量a=3,2，b=(－1,3)（1）求滿足a?＝mb?+n（2）若(a?+k【解題思路】（1）利用向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解；（2）利用向量共線的坐標(biāo)表示即可求解.【解答過程】（1）∵a＝mb+nc∴?m+5n=3,3m+2n=2,解得（2∵(a∴4×(3+5k)?(?5)×(2+2k)＝0，∴k=?1119．（8分）（2022秋·山東濟(jì)寧·高三階段練習(xí)）如圖所示，已知在△OCB中，A是CB的中點(diǎn)，D是將OB分成2∶1的一個(gè)內(nèi)分點(diǎn)，DC和OA交于點(diǎn)E，設(shè)OA=a，(1)用a和b表示向量OC，DC；(2)若OE=λOA，求實(shí)數(shù)【解題思路】（1）根據(jù)向量的加減運(yùn)算，即可求得答案；（2）用a和b表示出CE，結(jié)合CE與DC共線，即可求得答案.【解答過程】（1）依題意，A是BC的中點(diǎn)，∴2OA=OBDC=（2）設(shè)OE=λOA(則CE∵CE與DC共線，∴存在實(shí)數(shù)k，使CE=kDC，即則λ?2=2k1=?5320．（8分）（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知平行四邊形ABCD中，