人教版高二下學期數(shù)學(必修二)《8.6空間直線、平面的垂直》同步測試題有答案

第第頁人教版高二下學期數(shù)學(必修二)《8.6空間直線、平面的垂直》同步測試題有答案考試時間：60分鐘；滿分：100分學校：___________班級：___________姓名：___________考號：___________1．異面直線所成的角(1)兩條異面直線所成的角的定義

如圖，已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O分別作直線a'∥a，b'∥b，我們把直線a'，b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)異面直線所成的角的范圍

異面直線所成的角必須是銳角或直角，即的范圍是<.(3)兩條異面直線垂直的定義

如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直.直線a與直線b垂直，記作a⊥b.2．直線與平面垂直(1)定義如果直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面互相垂直，記作l⊥.直線l叫做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足.(2)點到平面的距離過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離.3．直線與平面垂直的判定定理(1)自然語言：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直．(2)圖形語言：如圖所示．(3)符號語言：a?α，b?α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b?l⊥α.該定理可簡記為“若線線垂直，則線面垂直”.4．直線與平面所成的角(1)定義①斜線和斜足：如圖，一條直線l與一個平面相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點A叫做斜足.

②斜線在平面上的射影：如圖，過斜線上斜足以外的一點P向平面引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影.

③斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.(2)直線與平面所成的角的范圍

①一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是.

②一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是.

③與平面相交且不垂直于此平面的直線和此平面所成的角的范圍是<.

④直線與平面所成的角的取值范圍是.5．直線與平面垂直的性質(zhì)定理(1)直線與平面垂直的性質(zhì)定理①自然語言：垂直于同一個平面的兩條直線平行．②圖形語言：如圖所示．③符號語言：a⊥α，b⊥α?a∥b.

(2)性質(zhì)定理的作用

①由線面垂直證明線線平行.

②構(gòu)造平行線.6．點在平面內(nèi)射影位置的確定立體幾何中經(jīng)常遇到由一個點向一個平面作垂線的問題，垂線的位置由這個點在平面內(nèi)的射影位置來確定，因此確定這個點的射影位置是解題的關(guān)鍵.一般來說，可以直接過這個點作平面的垂線，然后通過證明或計算說明垂足的位置，也可以借助以下一些常見結(jié)論進行確定.

(1)如果一個角所在平面外一點到角的兩邊距離相等，那么這一點在平面內(nèi)的射影在這個角的平分線上.

(2)經(jīng)過一個角的頂點引這個角所在平面的斜線，如果斜線與這個角的兩邊的夾角相等，那么該斜線在平面內(nèi)的射影是這個角的平分線所在直線.【題型1異面直線所成的角】【方法點撥】(1)構(gòu)造：根據(jù)異面直線的定義，用平移法(常利用三角形中位線、平行四邊形的性質(zhì))作出異面直線所成的角.(2)證明：證明作出的角就是要求的角.(3)計算：求角度(常利用三角形的有關(guān)知識).(4)結(jié)論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補角就是所求異面直線所成的角.【例1】在三棱錐P?ABC中，PB⊥平面ABC，且AB=PB=23，AC=BC=2，E，F(xiàn)分別為BC，PA的中點，則異面直線EF與PC所成角的余弦值為（

A．38 B．58 C．35【變式1-1】（2023春·安徽·高二開學考試）如圖，已知等腰直角三角形ABC的斜邊BC的中點為O，且BC=4，點P為平面ABC外一點，且PB=PC=22，PA=2，則異面直線PO與AB所成的角的余弦值為（

A．38 B．34 C．28【變式1-2】（貴州畢節(jié)·統(tǒng)考一模）圖（1）是由正方形ABCD和正三角形PAD組合而成的平面圖形，將三角形PAD沿AD折起，使得平面PAD⊥平面ABCD，如圖（2），則異面直線PB與DC所成角的大小為（

）A．15° B．30° C．45°【變式1-3】（河南鄭州·統(tǒng)考一模）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為A．π2 B．π3 C．π4【題型2線線垂直的判定】【方法點撥】通過異面直線所成的角為，來證明線線垂直；通過基本的平面圖形的幾何性質(zhì)來實現(xiàn)線線垂直的探索；通過線面垂直的關(guān)系來證明線線垂直.【例2】（2022·高一課時練習）在正方體ABCD?A1B1CA．AB B．CD C．A1B 【變式2-1】（2022·高一課時練習）如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有（

）A．2條 B．4條C．6條 D．8條【變式2-2】（2022·高一課時練習）如圖，P為△ABC所在平面α外一點，PB⊥α，PC⊥AC，則△ABC形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定【變式2-3】（2022·廣東·高三學業(yè)考試）如圖所示，在正方體ABCD?A1B1CA．BC1 B．A1D C．【題型3線面垂直判定定理的應用】【方法點撥】利用直線與平面垂直的判定定理判定線面垂直的步驟：(1)在這個平面內(nèi)找兩條直線，使要證直線和這兩條直線垂直；(2)確定這個平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線；(3)根據(jù)判定定理得出結(jié)論.【例3】（2022·上?！じ叨ｎ}練習）在正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2及G2G3的中點，D是EF的中點．現(xiàn)在沿SE、SF及EF把這個正方形折成一個空間四邊形，使A．SG⊥△EFG所在平面 B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面 D．GD⊥△SEF所在平面【變式3-1】（2022春·遼寧·高一期末）已知α,β,γ是三個不同的平面，l,m,n是三條不同的直線，且α∩β=l,m,n?γ.在下列條件中，能推出l⊥γ的是（

）A．n⊥l,m⊥l B．m⊥l,n⊥αC．n⊥α,m⊥α D．m⊥α,n⊥β【變式3-2】（2022秋·寧夏石嘴山·高二階段練習）如圖，PA是圓柱的母線，AB是圓柱的底面直徑，C是圓柱底面圓周上的任意一點（不與A，B重合），則下列說法錯誤的是（

）A．PA⊥平面ABC B．BC⊥平面PACC．AC⊥平面PBC D．三棱錐P?ABC的四個面都是直角三角形【變式3-3】（2022春·天津河西·高一期末）如圖，圓柱OO'中，AA'是側(cè)面的母線，AB是底面的直徑，A．BC⊥平面A'AC B．BC⊥C．AC⊥平面A'BC D．AC⊥【題型4直線與平面所成的角】【方法點撥】求直線與平面所成的角的一般步驟：(1)作：在斜線上選取恰當?shù)狞c向平面引垂線，在這一步確定垂足的位置是關(guān)鍵.(2)證：證明所找到的角為直線與平面所成的角，其證明的主要依據(jù)為直線與平面所成的角的定義.(3)求：一般借助三角形的相關(guān)知識求角.【例4】（2023春·四川達州·高二開學考試）在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，A．13 B．36 C．33【變式4-1】（2022春·山東聊城·高一階段練習）在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，BC=2，PC與平面PAB所成的角為30A．433π B．43π 【變式4-2】（2022秋·廣西玉林·高二階段練習）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2A．1 B．2 C．23 D．【變式4-3】（2022春·廣西桂林·高二期中）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且PD=AB=a，G為△ABC的重心，則PG與底面ABCD所成的角的正弦值等于（

）A．34 B．1717 C．317【題型5直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應用】【方法點撥】(1)線面垂直的性質(zhì)定理、基本事實4及線面平行的性質(zhì)定理都是證明線線平行的依據(jù)，至于線面平行、面面平行，歸結(jié)到最后還是要先證明線線平行.(2)要證線線垂直，只需證線面垂直，再利用線面垂直的性質(zhì)即可得到線線垂直.【例5】（2023春·甘肅天水·高三開學考試）如圖，四棱錐P—ABCD，底面ABCD是邊長為2的菱形，PA=PC，PD=2，∠DAC=π(1)證明：AC⊥PD；(2)若PB=23，求四棱錐P—ABCD【變式5-1】（全國·高三專題練習）如圖（1），在梯形ABCD中，AD?//?BC且AD⊥CD，線段AD上有一點E，滿足CD=DE=1，AE=BC=2，現(xiàn)將△ABE，△CDE分別沿BE，CE折起，使AD=5，【變式5-2】（2022秋·山東濰坊·高二階段練習）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.【變式5-3】（湖北·模擬預測）如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，點D為線段(1)若AA1=(2)求三棱柱ABC?A【題型6平面內(nèi)的射影問題】【方法點撥】立體幾何中經(jīng)常遇到由一個點向一個平面作垂線的問題，垂線的位置由這個點在平面內(nèi)的射影位置來確定，因此確定這個點的射影位置是解題的關(guān)鍵.【例6】（2022秋·上海靜安·高二期中）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中AE、AF、EF把正方形折成一個四面體，使B、C、D三點重合，重合后的點記為P，點P在△AEF內(nèi)的射影為O，則O為△AEF的（）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【變式6-1】（2022秋·山東濰坊·高二開學考試）若P是△ABC所在平面外一點，且PA⊥BC，PB⊥AC，則點P在△ABC所在平面內(nèi)的射影O是△ABC的（

）A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【變式6-2】（2022春?瑤海區(qū)月考）已知正方體ABCD﹣A′B′C′D′中，E、F、G分別是棱A'B'、AA'、A'D'上的點，則點A′在平面EFG上的射影是三角形EFG的（）A．垂心 B．重心 C．外心 D．內(nèi)心【變式6-3】（2022·高一課時練習）下列四個命題：①∠AOB所在平面外一點P到角的兩邊距離相等，若點P在平面AOB上的射影H在∠AOB的內(nèi)部，則H在∠AOB的平分線上；②P是△ABC所在平面外一點，點P到△ABC三個頂點的距離相等，則點P在平面ABC上的射影O是△ABC的外心；③P是△ABC所在平面外一點，點P到△ABC三邊的距離相等，則點P在平面ABC上的射影O是△ABC的內(nèi)心；④P是△ABC所在平面外一點，點PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=PB=PC，則點P在平面ABC上的射影O是△ABC的中心.其中，正確命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案【題型1異面直線所成的角】【方法點撥】(1)構(gòu)造：根據(jù)異面直線的定義，用平移法(常利用三角形中位線、平行四邊形的性質(zhì))作出異面直線所成的角.(2)證明：證明作出的角就是要求的角.(3)計算：求角度(常利用三角形的有關(guān)知識).(4)結(jié)論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補角就是所求異面直線所成的角.【例1】在三棱錐P?ABC中，PB⊥平面ABC，且AB=PB=23，AC=BC=2，E，F(xiàn)分別為BC，PA的中點，則異面直線EF與PC所成角的余弦值為（

A．38 B．58 C．35【解題思路】要求異面直線的夾角，利用線線平行進行轉(zhuǎn)化，如圖分別取AB，PB的中點M，G，連接FM，ME，GE，F(xiàn)G，則GE∥PC，所以∠FEG或其補角為異面直線EF與【解答過程】如圖所示，分別取AB，PB的中點M，G，連接FM，ME，GE，F(xiàn)G，則GE∥PC，所以∠FEG（或其補角）為異面直線EF與因為AB=PB=23，AC=BC=2，所以FM=3，因為PB⊥平面ABC，BC?平面ABC，F(xiàn)M//PB，∴FM⊥平面ABC，PB⊥BC，∵ME?平面ABC，所以FM⊥ME，且PC=B在Rt△FME中，F(xiàn)E=在△FEG中，EG=12PC=2=FE由余弦定理得cos∠FEG=所以異面直線EF與PC所成角的余弦值為58故選：B.【變式1-1】（2023春·安徽·高二開學考試）如圖，已知等腰直角三角形ABC的斜邊BC的中點為O，且BC=4，點P為平面ABC外一點，且PB=PC=22，PA=2，則異面直線PO與AB所成的角的余弦值為（

A．38 B．34 C．28【解題思路】取AC中點D，連接OD，PD，則∠POD即為所求角，再利用余弦定理求解即可.【解答過程】如圖取AC中點D，連接OD，PD，因為O是BC中點，所有OD∥BC，則∠POD即為所求角，因為BC=4，PB=PC=22，所以PO=2又因為△ABC是等腰直角三角形，所以AB=AC=22，OD=在△PAC中由余弦定理可得cos∠PAC=所以在△PAD中由余弦定理可得PD=A所以cos∠POD=故選：D.【變式1-2】（貴州畢節(jié)·統(tǒng)考一模）圖（1）是由正方形ABCD和正三角形PAD組合而成的平面圖形，將三角形PAD沿AD折起，使得平面PAD⊥平面ABCD，如圖（2），則異面直線PB與DC所成角的大小為（

）A．15° B．30° C．45°【解題思路】由平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，從而AB⊥PA．由AB∥DC可知∠PBA為異面直線PB與DC所成角，從而得解．【解答過程】∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB?平面ABCD，AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，又PA?平面PAD，∴AB⊥PA．∵AB∥DC，∴∠PBA為異面直線PB與DC所成角，∵PA=AB，∴∠PBA=45故選：C．【變式1-3】（河南鄭州·統(tǒng)考一模）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為A．π2 B．π3 C．π4【解題思路】平移直線B1C至A1D，將直線DP與B1【解答過程】如圖，連接A1P，A1D，所以∠PDA1或其補角為直線DP與因為BB1⊥平面A1B1C1DBB1∩B1D1=B又PD?平面BDD1B設(shè)正方體的棱長為2，則A1D=22在Rt△A1DP中，故選：D.【題型2線線垂直的判定】【方法點撥】通過異面直線所成的角為，來證明線線垂直；通過基本的平面圖形的幾何性質(zhì)來實現(xiàn)線線垂直的探索；通過線面垂直的關(guān)系來證明線線垂直.【例2】（2022·高一課時練習）在正方體ABCD?A1B1CA．AB B．CD C．A1B 【解題思路】證明A1B⊥平面AB1C1,從而得到【解答過程】連結(jié)A1C1,BC1,則在直角三角形AA1C1中，∠C∠C1AB為直線AB在直角三角形C1AB中，∠C1AB由AB//CD，所以AB,CD與AC在正方體ABCD?A1BB1C1⊥平面ABB1由AB1∩B1AC1?平面AB1C故選:C.【變式2-1】（2022·高一課時練習）如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有（

）A．2條 B．4條C．6條 D．8條【解題思路】根據(jù)線線之間的垂直關(guān)系判斷即可.【解答過程】在長方體ABCD－A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8條．故選：D.【變式2-2】（2022·高一課時練習）如圖，P為△ABC所在平面α外一點，PB⊥α，PC⊥AC，則△ABC形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定【解題思路】根據(jù)垂直關(guān)系，先證明AC⊥平面PBC，即可證明BC⊥AC，可以判斷三角形形狀.【解答過程】由題PB⊥α，AC?α，所以PB⊥AC，又PC⊥AC，PC,PB是平面PBC內(nèi)兩條相交直線，所以AC⊥平面PBC，BC?平面PBC，所以BC⊥AC，所以△ABC形狀為直角三角形.故選：B.【變式2-3】（2022·廣東·高三學業(yè)考試）如圖所示，在正方體ABCD?A1B1CA．BC1 B．A1D C．【解題思路】由平行關(guān)系可確定B1D1【解答過程】∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD，∵B1D1故選：C.【題型3線面垂直判定定理的應用】【方法點撥】利用直線與平面垂直的判定定理判定線面垂直的步驟：(1)在這個平面內(nèi)找兩條直線，使要證直線和這兩條直線垂直；(2)確定這個平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線；(3)根據(jù)判定定理得出結(jié)論.【例3】（2022·上海·高二專題練習）在正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2及G2G3的中點，D是EF的中點．現(xiàn)在沿SE、SF及EF把這個正方形折成一個空間四邊形，使A．SG⊥△EFG所在平面 B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面 D．GD⊥△SEF所在平面【解題思路】注意翻折前后的角度的變與不變，根據(jù)線面垂直的判定定理得到SG⊥平面GEF，A正確；假設(shè)SD⊥平面EFG，推出SD//由SG⊥平面GEF得到SG⊥GF，結(jié)合GF⊥GE證明出GF⊥平面GES，假設(shè)GF⊥平面SEF，則平面GES//平面SEF由SG⊥面EFG得到SG⊥GD，假設(shè)GD⊥平面SEF，則GD⊥SD，結(jié)合三線在同一平面可推出SD//【解答過程】對于A，在正方形SG1G2G所以在四面體S?EFG中，SG⊥GE，SG⊥GF，又GE,?GF?平面GEF，GE∩GF=G，所以SG⊥平面對于B，若SD⊥平面EFG，結(jié)合選項A，則SD//對于C，因為SG⊥面EFG，GF?面EFG，所以SG⊥GF，又GF⊥GE，GE,?GS?平面GES，GE∩GS=G，所以GF⊥平面假設(shè)GF⊥平面SEF，則平面GES//平面SEF對于D，因為SG⊥面EFG，GD?面EFG，所以SG⊥GD，若GD⊥平面SEF，SD?平面SEF，則GD⊥SD，SG,?GD,?SD?平面故選：A.【變式3-1】（2022春·遼寧·高一期末）已知α,β,γ是三個不同的平面，l,m,n是三條不同的直線，且α∩β=l,m,n?γ.在下列條件中，能推出l⊥γ的是（

）A．n⊥l,m⊥l B．m⊥l,n⊥αC．n⊥α,m⊥α D．m⊥α,n⊥β【解題思路】由線面垂直的判定定理結(jié)合圖象判斷即可求解【解答過程】當m//n時（如圖所示），由n⊥l,m⊥l推不出l⊥γ，即A錯誤；同理可知，B,若m⊥α,n⊥β，可知m與n交于一點，且n⊥l,m⊥l，所以l⊥γ，即D正確.故選：D.【變式3-2】（2022秋·寧夏石嘴山·高二階段練習）如圖，PA是圓柱的母線，AB是圓柱的底面直徑，C是圓柱底面圓周上的任意一點（不與A，B重合），則下列說法錯誤的是（

）A．PA⊥平面ABC B．BC⊥平面PACC．AC⊥平面PBC D．三棱錐P?ABC的四個面都是直角三角形【解題思路】根據(jù)圓柱的結(jié)構(gòu)特征，利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理即可判斷作答.【解答過程】因PA是圓柱的母線，AB是圓柱的底面直徑，C是圓柱底面圓周上的任意一點（不與A，B重合），則PA⊥平面ABC，A正確；而BC?平面ABC，則PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC=A，PA,AC?平面PAC，則有BC⊥平面PAC，B正確；由選項A知，△PAB,△PAC都是直角三角形，由選項B知，△ABC,△PBC都是直角三角形，D正確；假定AC⊥平面PBC，PC?平面PBC，則AC⊥PC，即∠PCA=90°，而△PAC中所以AC⊥平面PBC不正確，C錯誤.故選：C.【變式3-3】（2022春·天津河西·高一期末）如圖，圓柱OO'中，AA'是側(cè)面的母線，AB是底面的直徑，A．BC⊥平面A'AC B．BC⊥C．AC⊥平面A'BC D．AC⊥【解題思路】根據(jù)線面垂直的判定定理及定義判斷即可；【解答過程】解：依題意AA'⊥平面ABC，BC?平面ABC又AB是底面圓的直徑，所以BC⊥AC，AA'∩AC=A，AA',AC?平面對于B：顯然BC與AB不垂直，則BC不可能垂直平面A'對于C：顯然AC與A'C不垂直，則AC不可能垂直平面對于D：顯然AC與AB不垂直，則AC不可能垂直平面A'故選：A.【題型4直線與平面所成的角】【方法點撥】求直線與平面所成的角的一般步驟：(1)作：在斜線上選取恰當?shù)狞c向平面引垂線，在這一步確定垂足的位置是關(guān)鍵.(2)證：證明所找到的角為直線與平面所成的角，其證明的主要依據(jù)為直線與平面所成的角的定義.(3)求：一般借助三角形的相關(guān)知識求角.【例4】（2023春·四川達州·高二開學考試）在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，A．13 B．36 C．33【解題思路】連接B1C交BC1于F，由題意可知D1C1與平面A1BC1所成角與A1B1與平面A1BC1所成角相等，由題意可證平面A1B1F⊥平面【解答過程】解：連接B1C交BC設(shè)D1C1與平面A1BC1所以A1B1與平面A如圖：因為在長方體ABCD?A1B1C所以四邊形BB1C1C是正方形，F(xiàn)A1B=A又A1F∩BC1=F所以BC1⊥平面A1B所以平面A1B1過B1作B1E⊥因為面A1B1F⊥面A1BC1，A1F=面所以B1E⊥平面所以∠B1A所以sinθ=故選：A.【變式4-1】（2022春·山東聊城·高一階段練習）在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，BC=2，PC與平面PAB所成的角為30A．433π B．43π 【解題思路】判斷出PC是外接球的直徑，求得PC，從而計算出外接球的體積.【解答過程】由于PA⊥平面ABCD，BC,CD?平面ABCD，所以PA⊥BC,PA⊥CD，由于四邊形ABCD是矩形，所以BC⊥AB,CD⊥AD，由于PA∩AB=A,PA,AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB，由于PB?平面PAB，所以BC⊥PB；同理可證得CD⊥PD，所以PC是外接球的直徑.由BC⊥平面PAB可知：∠CPB是PC與平面PAB所成的角，所以∠CPB=30°，所以PC=2BC=22所以外接球的半徑為12所以外接球的體積為4π3故選：C.【變式4-2】（2022秋·廣西玉林·高二階段練習）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2A．1 B．2 C．23 D．【解題思路】由長方體性質(zhì)確定線面角∠DED1且tan∠DE【解答過程】根據(jù)長方體性質(zhì)知DD1⊥面ABCD，故∠DED所以∠DED1=π所以在Rt△AED中故選：B.【變式4-3】（2022春·廣西桂林·高二期中）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且PD=AB=a，G為△ABC的重心，則PG與底面ABCD所成的角的正弦值等于（

）A．34 B．1717 C．317【解題思路】連接BD，判斷G在BD上，判斷∠PGD為PG與底面ABCD所成的角，解直角三角形求得所求正弦值.【解答過程】連接BD交AC于O，四邊形ABCD為正方形，則O為AC中點，∵G為△ABC的重心，則G在BD上，且OGGB∴DG=OD+OG=2∵PD⊥底面ABCD，∴∠PGD為PG與底面ABCD所成的角，BD?面ABCD，則PD⊥BD，∴PG=a∴sin∠PGD=故選：C.【題型5直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應用】【方法點撥】(1)線面垂直的性質(zhì)定理、基本事實4及線面平行的性質(zhì)定理都是證明線線平行的依據(jù)，至于線面平行、面面平行，歸結(jié)到最后還是要先證明線線平行.(2)要證線線垂直，只需證線面垂直，再利用線面垂直的性質(zhì)即可得到線線垂直.【例5】（2023春·甘肅天水·高三開學考試）如圖，四棱錐P—ABCD，底面ABCD是邊長為2的菱形，PA=PC，PD=2，∠DAC=π(1)證明：AC⊥PD；(2)若PB=23，求四棱錐P—ABCD【解題思路】（1）設(shè)AC∩BD=O，PO⊥AC，再由AC⊥BD，得AC⊥平面PBD，從而得證線線垂直；（2）由（1）AC⊥平面PBD，因此可由VP?ABCD【解答過程】（1）設(shè)AC∩BD=O，連接PO，因為PA=PC，所以PO⊥AC，又ABCD是菱形，所以AC⊥BD，PO∩BD=O，PO,BD?平面PBD，所以AC⊥平面PBD，又PD?平面PBD，所以AC⊥PD；（2）ABCD是菱形，∠DAC=π6，則∠DAB=π3，AC=2AO=23△PBD中，PD=BD=2，PB=23，所以PB邊上高為?=S△PBD由（1）AC⊥平面PBD，VP?ABCD=V【變式5-1】（全國·高三專題練習）如圖（1），在梯形ABCD中，AD?//?BC且AD⊥CD，線段AD上有一點E，滿足CD=DE=1，AE=BC=2，現(xiàn)將△ABE，△CDE分別沿BE，CE折起，使AD=5，【解題思路】在△BEC中，求得BE=2，結(jié)合勾股定理證得BE⊥EC，AB⊥BE，從而證得AB⊥平面BDE，再在Rt△EDC和△BDC中，分別證得ED⊥CD和BD⊥CD，從而證得CD⊥平面BDE，即可證得AB【解答過程】證明：在Rt△EDC中，CD=DE=1，所以EC=2，∠DEC=∠ECB=45°在△BEC中，EC=2，BC=2，∠ECB=45°由余弦定理得BE=2+4?2×所以EC2+B同理可得，在△ABE中，AB=2，且AB⊥BE在△ABD中，AB2+B因為BD∩BE=B，BD，BE?平面BDE，所以AB⊥平面BDE，在Rt△EDC中，ED⊥CD，在△BDC中，BD2+C因為ED∩BD=D，ED,BD?平面BDE，所以CD⊥平面BDE，所以AB?//?【變式5-2】（2022秋·山東濰坊·高二階段練習）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.【解題思路】根據(jù)線面垂直的判定定理可證AE⊥平面PCD，MN⊥平面PCD，則可得AE∥MN．【解答過程】因為AB⊥平面PAD，AE?平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.因為AD＝AP，E是PD的中點，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD?平面PCD，所以AE⊥平面PCD.因為MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.又因為MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.【變式5-3】（湖北·模擬預測）如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，點D為線段(1)若AA1=(2)求三棱柱ABC?A【解題思路】（1）取AB中點H，連接A1H,C1H,CH，證明CH⊥（2）計算S=32t【解答過程】（1）取AB中點H，連接A1H,C1H,CH則AH⊥BAA1⊥平面ABC，CH?平面ABCCH⊥AB，AA1∩AB=A，AA1,AB?平面B1D?平面A1又A1H∩CH=H，A1H,CH?平面A1而A1C?平面A1（2）設(shè)AB=t>0，表面積S=2×1體積V=1VS=3【題型6平面內(nèi)的射影問題】【方法點撥】立體幾何中經(jīng)常遇到由一個點向一個平面作垂線的問題，垂線的位置由這個點在平面內(nèi)的射影位置來確定，因此確定這個點的射影位置是解題的關(guān)鍵.【例6】（2022秋·上海靜安·高二期中）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中AE、AF、EF把正方形折成一個四面體，使B、C、D三點重合，重合后的點記為P，點P在△AEF內(nèi)的射影為O，則O為△AEF的（）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【解題思路】利用線面垂直的判定、性質(zhì)證明EF⊥AO、AF⊥EO、AE⊥FO，即可得結(jié)果.【解答過程】由題意知：BE=EC=FC=DF，AE=AF，四面體如下圖示：因為AP⊥PE,AP⊥PF，PE∩PF=P，PE,PF?面PEF，所以AP⊥面PEF，同理證：EP⊥面PAF，F(xiàn)P⊥面PAE，由EF?面PEF，則AP⊥EF，同理證：EP⊥AF，F(xiàn)P⊥AE，由P在△AEF內(nèi)的射影O，故PO⊥面AEF，而EF,AF,AE?面AEF，所以PO⊥EF,PO⊥AF,PO⊥AE，由AP∩PO=P，AP,PO?面APO，則EF⊥面APO，AO?面APO，所以EF⊥AO，同理可證：AF⊥EO，AE⊥FO，所以O(shè)為△AEF的垂心.故選：D.【變式6-1】（2022秋·山東濰坊·高二開學考試）若P是△ABC所在平面外一點，且PA⊥BC，PB⊥AC，則點P在△ABC所在平面內(nèi)的射影O是△ABC的（

）A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【解題思路】根據(jù)且PA⊥BC，PB⊥AC，利用線面垂直的判定定理得到B