機(jī)械工程測試技術(shù)（第3版）課件：信號及其描述

機(jī)械工程測試技術(shù)

信號及其描述本章學(xué)習(xí)要求：1.了解信號的種類2.掌握信號時域波形分析方法

3.掌握信號時域相關(guān)分析方法

4.掌握信號頻域頻譜分析方法

5.了解其它信號分析方法?微信如何通過網(wǎng)絡(luò)傳到對方的手機(jī)？?空中為什么可以同時有許多個無線電信號而相互不打架？?一根CATV電纜為什么可以同時傳輸那么多路電視信號？……想知道這些問題的答案，那就請參加我們的課程吧！

在這里你還會知道信號如何獲取與分析的原理，了解大咖傅里葉是誰？1

從信號數(shù)學(xué)描述上分--確定性信號、非確定性信號3

根據(jù)分析域--時域與頻域4

從連續(xù)性5

能否實現(xiàn)--物理可實現(xiàn)信號、物理不可實現(xiàn)信號2.1

信號的分類為深入了解信號的物理實質(zhì)，將其進(jìn)行分類研究是非常必要的。從不同角度觀察信號，可以將其分為：2

從信號的幅值和能量--能量信號、功率信號--時間連續(xù)信號與離散信號動態(tài)信號的分類與描述一、

確定性信號與非確定性信號確定性信號－－可以用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式完整描述。非確定性信號(隨機(jī)信號)－－無數(shù)學(xué)關(guān)系式，不可預(yù)測，概率。圖2.2?1.1正余弦信號(簡諧信號，又稱諧波)具有如下的一般表達(dá)式：x

(t

)

=

Asin(

t

+

)

=

Asin[

(t

+

T)]T2幾T2幾?1.2偽隨機(jī)信號

是周期信號的特

例，它們具有準(zhǔn)

隨機(jī)的特性。貌似隨機(jī)而遵循嚴(yán)格規(guī)律圖2.3偽隨機(jī)信號正、余弦信號2.

非周期信號：不會重復(fù)出現(xiàn)的信號。非周期信號又可分成準(zhǔn)周期信號和瞬態(tài)信號兩類。2.1

準(zhǔn)周期信號:

由

多

個周期信號疊加而成

，

但各信號頻率不成公倍數(shù)

(頻率比是無理

數(shù))。如：x(t)

=

sin(t)+sin(

√2t)2.2

瞬態(tài)信號:持續(xù)時間有限

(時間歷程短)

的信

號。

如

x(t)=

e-Bt

.

Asin(2*pi*f*t)心電圖波形醫(yī)學(xué)相

同

點不

同

點復(fù)雜周期信號由多個簡諧信

號迭加而成。

頻譜都是

離散的各簡諧分量中任

意2個分量的頻

率比是有理數(shù)準(zhǔn)周期信號任意2個分量的頻率比是無理數(shù)復(fù)雜周期信號與準(zhǔn)周期信號的異同3.非確定性信號

(隨機(jī)信號)

：無數(shù)學(xué)式，其幅值、

相位變化不可預(yù)知，所描述物理現(xiàn)象是一種隨機(jī)過程統(tǒng)計特性變異噪聲信號

(

非平穩(wěn)

)噪聲信號(平穩(wěn))二、

能量信號與功率信號1.能量信號－－在所分析的區(qū)間

(

-∞

，

∞

)

，

能量為有限值的信號。滿足條件：j-

w

x

2

(

t

)

dt

<

www一般，持續(xù)時間有限的瞬態(tài)信號是能量信號。當(dāng)信號滿足條件：0

<

lT

j

x

(t

)

2

dt

<

w或者

T

w

j-

T

x2

(t)dt

<

w即信號具有有限的(非零)

平均功率，則稱

信號為有限平均功率信號，簡稱功率信號。TT——

lim

wim2.功率信號在所分析的區(qū)間

(-∞

，

∞)

，能量不是有限

值。此時，研究信號的平均功率更為合適。三、時限與頻限信號1.

時域有限信號只在時間段

(t1，t2)內(nèi)有定義，其外恒等于零2.

頻域有限信號只在頻率區(qū)間(f1，f2

)內(nèi)有定義，其外恒等于零三角脈沖信號正弦波幅值譜?分類依據(jù)：信號的幅值是連續(xù)的還是離散的；自變量(即時間t)是連續(xù)的還是離散的

。?連續(xù)信號模擬信號--自變量和幅值均取連續(xù)值量化信號--自變量連續(xù)、但幅值為離散值?離散信號數(shù)字信號--信號的自變量及幅值均為離散值采樣信號--自變量為離散值、但其幅值為連續(xù)值四、連續(xù)信號和離散信號五、

物理可實現(xiàn)與不可實現(xiàn)信號1.

物理可實現(xiàn)信號(又稱為單邊信號)

滿足條件：t＜0時，x(t)

=

0即在時刻小于零的一側(cè)全為零2.

物理不可實現(xiàn)信號在事件發(fā)生前(t<0)就預(yù)知信號。?方法一：時域描述法x(t)---t

，主要反映信號的幅值與時間的變化關(guān)系時域分析方法-信號時域分析(線性系統(tǒng)疊加原理)–微分或差分方程–單位脈沖響應(yīng)和單位序列響應(yīng)-卷積積分的應(yīng)用及其數(shù)學(xué)描述?方法二：頻域描述法將x(t)---t變換為X(f)---f，X(O)---

O主要描述信號的幅值、相位與頻率的變化關(guān)系。2.3

信號的描述方法一、

信號的時域波形分析信號的時域波形分析是最常用的信號分析手段，用示波器、萬用表等普通儀器直接顯示信號波形，讀取特征參數(shù)。Pp-p2

、周期T，頻率f=1/T3

、峰值P

，雙峰值Pp-pP1、信號波形圖ATt4

、均值均值E[x(t)]表示集合平均值或數(shù)學(xué)期望值。

x

=E[x(t)]=lim

j0

x(t

)dtTT均值反映了信號變化的中心趨勢，也稱為直流分量T

—

”

x5

、

均方值均方值E[x2(t)]

，表達(dá)了信號的強(qiáng)度；其正平

方根值(均方根值)

，又稱為有效值(RMS)

，也是

信號平均能量的一種表達(dá)。

2

x

=E[x

2

(t)]=

limj0

x

2

(t)dtTTT

—

6

、方差信號x(t)的方差定義為：Q2x

=E[(x(t)E[x(t)])2

]=lim

l0

(x(t)x

)2

dtTT方差：反映了信號繞均值的波動程度大方差小方差T—

二、

信號的幅值域分析1

概率密度函數(shù)以幅值大小為橫坐標(biāo)，以每個幅值間隔內(nèi)出現(xiàn)

的概率為縱坐標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)計分析的方法。它反映了信號落在不同幅值強(qiáng)度區(qū)域內(nèi)的概率情況。p

(

x

)

=

lim

x

—

0以幅值大小為橫坐標(biāo)，以每個幅值間隔內(nèi)

出現(xiàn)的頻次為縱坐標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)計分析的一種方法9

08

07

06

05

04

03

02

01

00-

11概率密度函數(shù)-

0

.

5

0

.

5歸一化2

直方圖直方圖三、信號的頻域分析信號頻域分析是采用傅立葉變換將時域信號x(t)

變換為頻域信號X(f)

，從而幫助人們從另一個角度

來了解信號的特征。傅里葉變換X(t)=

sin(2πnft)0tf0

SPSPSPSPSPSPSPSPSPSPSPSPSPSPSPSPSPSPSPSPzHG5.62-zHk9REANALYZANALYZANALYZANALYZANALYZANALYZMUTRTRECECSPSP8563A什么是頻域？我們看到的世界都以時間貫穿。股票的走勢、人的身高、汽車的軌跡都隨時間發(fā)生改變。這種以時間作為參照來觀察動態(tài)世界的方法我們稱其為時域分析。世間萬物都在隨著時間不停的改變，并且永遠(yuǎn)不會靜止下來。但如果用另一種方法來觀察世界的話，你會發(fā)現(xiàn)世界是永恒不變的，這個靜止的世界就叫做頻域。這是音樂在頻域的樣子。所以頻域這一概念對大家都不陌生，只是沒意識到而已。一段音樂是一個隨著時間變化的震動，音樂的時域圖如下：但對于樂器行家來說，音樂更直觀的理解是這樣的：時域：我們觀察到鋼琴的琴弦一上一下的擺動。在頻域，只有一個永恒的音符。將上面兩圖簡化：2024年8月19日8時49分動手做：用計算機(jī)聲卡和麥克風(fēng)對

樂器進(jìn)行測量分析，給出

不同音階對應(yīng)的頻率。

設(shè)計一個計算機(jī)電子琴。2024年8月19日8時49分掌握周期信號的描述方法周期信號的分析方法周期信號與諧波信號的關(guān)系周期信號的離散頻譜特性傅立葉級數(shù)的主要性質(zhì)及應(yīng)用2.4

周期信號及其離散頻譜學(xué)習(xí)重點一、周期信號的定義按一定時間T

不斷重復(fù)出現(xiàn)的信號

x

(

t

)＝

x

(

t

+

nT

)

，T稱為周期。簡單周期信號復(fù)雜周期信號簡單的周期信號，如正弦信號，頻率單一，又稱為諧波信號。x(t)=Asin(Ot

+Q)

復(fù)雜周期信號是由頻率比為有理數(shù)的不同頻率的正弦信號迭加而成。x(t)=sin

t

+sin3t

+sin5t任何周期函數(shù)，都可以展開成由正交函數(shù)線

性組合的無窮級數(shù)(如三角函數(shù)集的傅里葉級數(shù)):{cosnO0

t,sinnO0

t}二

、

周期信號的頻譜分析1.Dirichlet條件信號X(t)在一個周期內(nèi)：(連續(xù)|〈只有有限個第一類間斷點

|只有有限個極值點三、

Fourier級數(shù)的三角展開式1.左極限右極限，即f(x0-0)f(x0+0)2.左極限＝右極限，但f(x0)即f(x0-0)＝f(x0+0)f(x0)3.左極限＝右極限，但f(x0)不確定第

一

類間斷點中學(xué)時曾受教于物理學(xué)家G.S.歐姆；1822~

1826年在巴黎求學(xué)，深受J.B.J.傅里葉的影響。

回國后先后在布雷斯勞大學(xué)、柏林軍事學(xué)院和柏林大學(xué)任教27年，對德國數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生巨大影響。1839年任柏林大學(xué)教授，1855年接任

C.F.高斯在哥廷根大學(xué)的教授職位。狄里克利Dirichlet

(1805~1859)，德國數(shù)

學(xué)家。對數(shù)論、數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn)，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一。Fourier傅里葉?1768年生于法國?1807年提出“任何周期信號都可用正弦函數(shù)級數(shù)表示”?1822年首次發(fā)表“熱的分析理論”?1829年狄里克利為他證明,

第一個給出收斂條件(拉格

朗日反對發(fā)表)任何周期信號X(t)

，在滿足Dirichlet條件時，均可以展開成Fourier級數(shù)，且級數(shù)收斂。測試技術(shù)中的周期信號，大都滿足該條件2.

周期函數(shù)的Fourier級數(shù)三角展開(同頻項合并)

變形為：x(t)

=

a0

+

An

sin(nO0t

+Qn

)

x(t)=a0

+

(an

cosnO0t+bn

sinnO0t)n=1周期信號Fourier級數(shù)的表達(dá)形式：(n

=1,2,,3,...)(n

=1,2,,3,...)n=1

An――某頻率分量的幅值φn――某頻率分量的相位

(相角)An-O稱為幅頻譜，Qn-O稱為相頻譜，

統(tǒng)稱為頻譜。?由于n為整數(shù)，各頻率分量僅在ω＝nω0處取值，因而得到的是關(guān)于幅值A(chǔ)n和相角φn的離散譜線。周期信號的頻譜是離散的!?常值a0為周期信號的平均值或直流分量

；?從n=1開始，分別稱為信號的一次諧波(基波)

、二次諧波、三次諧波、……、n次諧波；討論“和諧”這個詞最早起源于音樂，要想讓樂器發(fā)出優(yōu)美的樂章，必須在恰當(dāng)?shù)臅r刻，把琴弦繃到恰當(dāng)?shù)膹埩?幅值)，太松

沒有聲音、太緊就會崩斷。傅里葉老師告訴我們：任何周期函數(shù)，都可以看作是不同振幅、不同相位的各個正弦波的疊加。Why要把周期信號展開為博里葉級數(shù)？主要目的：了解周期信號含有哪些頻率分量？各分量振幅、相位的比例關(guān)系，這種關(guān)系就是信號的“頻率特性”。其中，振幅與頻率的關(guān)系稱為幅頻特性，相位與頻率的關(guān)系稱為相頻特性。尋找信號頻率特性的過程，稱為信號的

頻譜分析隨著正弦波數(shù)量逐漸增多，最終可以疊加成一個標(biāo)

準(zhǔn)的矩形，大家從中體會到了什么道理？只要努力，彎的都能掰直！但是要多少個正弦波疊加起來才能形成一個標(biāo)準(zhǔn)90角

的矩形波呢？不幸的告訴大家，答案是無窮多個---奮斗永無止境。不僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如法炮制用正弦波疊加起來。世界上每一個看似混亂的表象，都是一條時間軸上不規(guī)則的曲線，這個曲線實際都是由無窮無盡的正弦波組成。

看似不規(guī)律的事情，是規(guī)律的正弦波的疊加。?三角傅立葉級數(shù)與指數(shù)傅立葉級數(shù)并不是兩種不同類

型的級數(shù)，而只是同一級數(shù)的兩種不同的表示方法。

指數(shù)形式比三角形式更簡化、更便于計算。?周期信號另一種更常用的表示方法是傅立葉級數(shù)的指

數(shù)表示法，稱為指數(shù)

(復(fù)數(shù))

傅立葉級數(shù)。四、指數(shù)形式的傅立葉級數(shù)v離散性：周期信號的頻譜是離散譜，每一條

譜線代表一個頻率分量。信號的頻譜是由間隔為ω0

的譜線組成的，信號周期T越大，ω0就越小，則譜線越密。反之，T越小，ω0越大，譜線則越疏。v諧波性：頻譜中的譜線僅出現(xiàn)在基波及各次諧波頻率處。v收斂性：各頻率分量的譜線高度(幅值)隨著頻率的升高而減小(最終趨于零)，頻率越高，幅值越小。五、周期信號的頻譜特點群體的特征是由個體的特征構(gòu)成的。

要分析復(fù)雜群體，只要從個體入手即可突破。每個學(xué)生都有理想、守紀(jì)律、為中華之崛起而勤奮學(xué)習(xí)，國家何愁不強(qiáng)大？

天下興亡，匹夫有責(zé)！周期信號的頻譜是各頻率分量構(gòu)成的離散頻譜掌握非周期信號的描述方法非周期信號及其連續(xù)頻譜傅立葉變換的主要性質(zhì)及應(yīng)用2.5

非周期信號及其連續(xù)頻譜學(xué)習(xí)重點周期信號與非周期信號之間沒有絕

對的差別

，

當(dāng)周期信號fT(t)的周期T無限增大時

，

就轉(zhuǎn)化為非周期信號

f(t)

。

即:lim

fT

(t)=f(t)T

w一、傅立葉變換非周期信號一般為時域有限信號，具有

收斂可積條件，其能量為有限值。這種信

號的頻域分析手段是傅立葉變換。〈(|x

(t

)

=

j

X

(

f

)e

j

2

ft

df

|

X(f)=j-

x(t)e

-

j

2

ft

dt

-

1

傅立葉變換的性質(zhì)a.奇偶虛實性?x(t)為時間t的實函數(shù)x(t)為偶函數(shù)[即x(t)=x(-t)]，則X(ω)為ω的實、偶函數(shù)；x(t)為奇函數(shù)[即x(t)=-x(-t)]，則X(ω)為ω的虛、奇函數(shù)；?x(t)為時間t的實函數(shù)b.線性疊加性若

x1(t)

←→

X1(f)

，x2(t)

←→

X2

(f)

則：a

x1(t)

+

b

x2(t)

←→

a

X1

(f)

+b

X2(f)c.對稱性若

x(t)

←→

X(f)

，則

X(-t)

←→

x(-f)d.

時間尺度改變特性若

x(t)

←→

X(f)

，則對于實常數(shù)k

，有x(k

t)←→1/k[X(f/k)]?若信號x

(t)在時間軸上被壓縮至原信號的1/k

，則其頻譜函數(shù)在頻率軸上將展寬k倍，而其幅值相應(yīng)地

減至原信號幅值的1/k?信號的持續(xù)時間與信號占

有的頻帶寬度成反比。?k

<1

時(圖a)：時間尺度擴(kuò)展，快錄慢放，頻譜變窄(f,聲音變低沉)，幅值個。對后續(xù)設(shè)備(放大器、濾波器等)的通頻帶要求可以降低，但信號處理效率不高。?k>1時(圖c)：時間尺度壓縮，慢錄快放，頻譜變寬(f

個,聲音變尖)，幅值。信號處理效率個，但頻譜變寬后，如果后續(xù)設(shè)備的通頻帶不夠?qū)?，可能?dǎo)致失真。窗函數(shù)的尺度變換(k=3)e.

時移性如果有x(t)

←

→

X(f)

，則

x(t±t0)

←→

e

±j2πft0

X(f)例8求圖2.30所示矩形脈

沖函數(shù)的頻譜。解：該函數(shù)的表達(dá)式可寫為可視為一個中心位于坐標(biāo)原點的矩形脈沖時移至t0

點位置所形成。則幅頻譜和相頻譜分別為圖2.30具有時移t0

的矩形脈沖f.

頻移性

(亦稱調(diào)制性)若x(t)

←→

X(f)

，則x(t)

e

±j2πf0t

←→

X(f

±f0)f0——常數(shù)。0t的頻

譜x(t)cosωG

(O)=j

g

(t)e一jOt

dt

=j

一T

2

A

.e一jOt

dt=

A「ej

一

e一

j

]=

2

A

sin

OT=AT=ATSinc()sin

xxT/T//2一ww2.幾種典型信號的傅立葉變換2.1矩形窗函數(shù)(矩形脈沖函數(shù))。矩形脈沖g(t)及其對應(yīng)的頻域函數(shù)G(ω)分別如下：g

(t

)

=

A

一

T

/

2

共

t

共

T/

20

其它?當(dāng)ω=0時，

G(ω)=AT

；?ω=2kπ/T時，

G(ω)=0sin

c(x)=,稱為抽樣函數(shù)L」O

22.26函數(shù):一個理想函數(shù)，物理不可實現(xiàn)。幅值無限，持續(xù)時間為零的脈沖。l0,

t

豐

06(t)

=〈(w,

t

=

06

(t

)

=

lic

S

c

(t

))0mj_w6(t)dt=1S(t)S(t)S(t)1/ctttc單位脈沖函數(shù)的頻譜---6(t)的傅立葉變換：即6(t)及其傅立葉變換6(t)函數(shù)的性質(zhì)1)采樣特性j

x(t)

.6(t)dt

=

j

x(0)

.6(t)dt

=

x(0)

.

j

6(t)dt

=

x(0)

j

x(t)

.6(t

t0

)dt

=

j

x(t0

)

.6(t

t0

)dt

=

x(t0

)

.

j

6(t

t0

)dt

=

x(t0

)

00

t0

t

-

1t

-

1x(t)+

1

x(t)+

1x(t)+

1

x(t)+

1

0

t0

t0

t6(t)6(t)××＝＝-

1-

10t0tx(t)*6(t)=j

x(T)6(t

T)dT

=

x(t)

結(jié)果：x(t)與6(t)的卷積等于x(t)2)

6(t)與其它信號的卷積6函數(shù)具有等強(qiáng)度、無限寬廣的頻譜，這種頻譜常稱

為“均勻譜”。

(f)10

(jf)=j

6(t)e

j2

ftdt

=

e0

=

1

6(t)=j

1.ej

2

ftdf

3)

6(t)函數(shù)的頻譜6(t)

?11?6(f)t

0

f直流分量的頻譜δ函數(shù)的頻譜逆變換：即：

6(t)余弦函數(shù)的頻譜：

正弦函數(shù)的頻譜：正弦函數(shù)的頻譜2.3正、余弦信號的頻譜歐拉公式：2.4周期單位脈沖序列的頻譜相等間隔的周期單位脈沖序列，常稱為梳狀函數(shù)g(t)=6(t

-nTs

)n=-“式中，Ts—周期，n—整數(shù)，n=0,±1,±2,±3,…。頻率fs=1/Ts用傅立葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式表示：g(t)=C

n

e

j

2

"nf

s

tn

=-“““Cn

=

j-2Ts

g(t)e-j

2"nfs

t

dt

=

j-2Ts

6(t)e-j

2"nfs

t

dt2TsTs2TsTs1=

Ts時域中，序列的周期為Ts

，頻域中，序列的周期為1/Ts時域中，幅值為1,頻域中，幅值為1/Tsg(t)=ej

2

nfs

ts

n

=-“進(jìn)行傅立葉變換：“G(jf)=(f

-nfs

)=(f

-)s

n=-“s

n=-“s““ej2π?0t?δ(?-?0)?s=1/Ts由周期信號到非周期信號的頻譜分析傅立葉級

數(shù)的復(fù)指

數(shù)函數(shù)展傅立葉級數(shù)

的三角函數(shù)

展開式從傅立葉級數(shù)到傅立葉積分傅立葉積分非周期信號連續(xù)頻譜周期信號傅立葉級數(shù)傅立葉積分離散頻譜歐拉公式T

T

開周林頻譜保健治療儀簡稱周林頻譜儀?生物頻譜技術(shù)在治療保健領(lǐng)域的應(yīng)用?能近似模擬人體輻射頻譜，工作時通過輻照將電磁能轉(zhuǎn)化成人體易于吸收的生物能?基于匹配吸收原理，促進(jìn)血液循環(huán)、調(diào)節(jié)和改善機(jī)體免疫功能、促進(jìn)新陳代謝、增強(qiáng)組織的修復(fù)與再生能力北京周林頻譜科技有限公司董事長周林，畢業(yè)于上海交通大學(xué)，他潛心鉆研，發(fā)明了周林頻譜保健治療儀樹苗如何澆水？一般人：定期、定量澆水。但是，老天爺下雨，不可能定期、定量。聰明人應(yīng)該怎么做？才能確保露天植樹的成活率。答案是：隨機(jī)澆水(不定期、不定量)l

隨機(jī)信號(非確定性信號)的特點：寫不出數(shù)學(xué)方程式，瞬時值不可預(yù)測；所描述物理現(xiàn)象是一種隨機(jī)過程。l

研究隨機(jī)信號必須采用概率統(tǒng)計的方法

樣本函數(shù)xi(t)：一次觀測記錄

樣本記錄：有限時間區(qū)間上的樣本函數(shù)

隨機(jī)過程：同一試驗條件下，全部樣本函數(shù)的集合(又稱為總體)，記為{x(t)}

x(t)}=x1

(t),x2

(t),…

,xi

(t),…}一、隨機(jī)過程常用的統(tǒng)計特征參數(shù)

1.均值：

x

(t1

)

=

li

xi

(t1

)

2.均方值

(t1

)

=

li

x

(t1

)v另外還有：方差、概率密度函數(shù)、概率分布函數(shù)、功率譜密度函數(shù)等。v這些特征參數(shù)均是按集合平均(總體平均)

來計算的，即在某個時刻對所有樣本函數(shù)的觀測值取平均。Ni2

mN

m二、隨機(jī)過程的分類平穩(wěn)隨機(jī)信號的每一個樣本都同樣地經(jīng)歷了其它樣本的各種可能狀態(tài)，因而從一個樣本的統(tǒng)計特性(時間平均)就能得到全部樣本的統(tǒng)計特性(集合平均)。----此類隨機(jī)信號稱為各態(tài)歷經(jīng)信號。未必都是必定是1.均值、均方值和方差

對于一個各態(tài)歷經(jīng)過程x(t)，其均值μx

定義為px

=

E[x