機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)（第3版）課件：周期信號(hào)及其離散頻譜

掌握周期信號(hào)的描述方法周期信號(hào)的分析方法周期信號(hào)與諧波信號(hào)的關(guān)系周期信號(hào)的離散頻譜特性傅立葉級(jí)數(shù)的主要性質(zhì)及應(yīng)用

周期信號(hào)及其離散頻譜學(xué)習(xí)重點(diǎn)一、周期信號(hào)的定義按一定時(shí)間T

不斷重復(fù)出現(xiàn)的信號(hào)

x

(

t

)＝

x

(

t

+

nT

)

，T稱為周期。簡(jiǎn)單周期信號(hào)復(fù)雜周期信號(hào)簡(jiǎn)單的周期信號(hào)，如正弦信號(hào)，頻率單一，又稱為諧波信號(hào)。x(t)=Asin(Ot

+Q)

復(fù)雜周期信號(hào)是由頻率比為有理數(shù)的不同頻率的正弦信號(hào)迭加而成。x(t)=sin

t

+sin3t

+sin5t任何周期函數(shù)，都可以展開成由正交函數(shù)線

性組合的無(wú)窮級(jí)數(shù)(如三角函數(shù)集的傅里葉級(jí)數(shù)):{cosnO0

t,sinnO0

t}二

、

周期信號(hào)的頻譜分析1.Dirichlet條件信號(hào)X(t)在一個(gè)周期內(nèi)：(連續(xù)|〈只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)

|只有有限個(gè)極值點(diǎn)三、

Fourier級(jí)數(shù)的三角展開式1.左極限右極限，即f(x0-0)f(x0+0)2.左極限＝右極限，但f(x0)即f(x0-0)＝f(x0+0)f(x0)3.左極限＝右極限，但f(x0)不確定第

一

類間斷點(diǎn)中學(xué)時(shí)曾受教于物理學(xué)家G.S.歐姆；1822~

1826年在巴黎求學(xué)，深受J.B.J.傅里葉的影響。

回國(guó)后先后在布雷斯勞大學(xué)、柏林軍事學(xué)院和柏林大學(xué)任教27年，對(duì)德國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生巨大影響。1839年任柏林大學(xué)教授，1855年接任

C.F.高斯在哥廷根大學(xué)的教授職位。狄里克利Dirichlet

(1805~1859)，德國(guó)數(shù)

學(xué)家。對(duì)數(shù)論、數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn)，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一。Fourier傅里葉?1768年生于法國(guó)?1807年提出“任何周期信號(hào)都可用正弦函數(shù)級(jí)數(shù)表示”?1822年首次發(fā)表“熱的分析理論”?1829年狄里克利為他證明,

第一個(gè)給出收斂條件(拉格

朗日反對(duì)發(fā)表)任何周期信號(hào)X(t)

，在滿足Dirichlet條件時(shí)，均可以展開成Fourier級(jí)數(shù)，且級(jí)數(shù)收斂。測(cè)試技術(shù)中的周期信號(hào)，大都滿足該條件2.

周期函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)三角展開(同頻項(xiàng)合并)

變形為：x(t)

=

a0

+

An

sin(nO0t

+Qn

)

x(t)=a0

+

(an

cosnO0t+bn

sinnO0t)n=1周期信號(hào)Fourier級(jí)數(shù)的表達(dá)形式：(n

=1,2,,3,...)(n

=1,2,,3,...)n=1

An――某頻率分量的幅值φn――某頻率分量的相位

(相角)An-O稱為幅頻譜，Qn-O稱為相頻譜，

統(tǒng)稱為頻譜。?由于n為整數(shù)，各頻率分量?jī)H在ω＝nω0處取值，因而得到的是關(guān)于幅值A(chǔ)n和相角φn的離散譜線。周期信號(hào)的頻譜是離散的!?常值a0為周期信號(hào)的平均值或直流分量

；?從n=1開始，分別稱為信號(hào)的一次諧波(基波)

、二次諧波、三次諧波、……、n次諧波；討論“和諧”這個(gè)詞最早起源于音樂(lè)，要想讓樂(lè)器發(fā)出優(yōu)美的樂(lè)章，必須在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)刻，把琴弦繃到恰當(dāng)?shù)膹埩?幅值)，太松

沒(méi)有聲音、太緊就會(huì)崩斷。傅里葉老師告訴我們：任何周期函數(shù)，都可以看作是不同振幅、不同相位的各個(gè)正弦波的疊加。Why要把周期信號(hào)展開為博里葉級(jí)數(shù)？主要目的：了解周期信號(hào)含有哪些頻率分量？各分量振幅、相位的比例關(guān)系，這種關(guān)系就是信號(hào)的“頻率特性”。其中，振幅與頻率的關(guān)系稱為幅頻特性，相位與頻率的關(guān)系稱為相頻特性。尋找信號(hào)頻率特性的過(guò)程，稱為信號(hào)的

頻譜分析隨著正弦波數(shù)量逐漸增多，最終可以疊加成一個(gè)標(biāo)

準(zhǔn)的矩形，大家從中體會(huì)到了什么道理？只要努力，彎的都能掰直！但是要多少個(gè)正弦波疊加起來(lái)才能形成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)90角

的矩形波呢？不幸的告訴大家，答案是無(wú)窮多個(gè)---奮斗永無(wú)止境。不僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如法炮制用正弦波疊加起來(lái)。世界上每一個(gè)看似混亂的表象，都是一條時(shí)間軸上不規(guī)則的曲線，這個(gè)曲線實(shí)際都是由無(wú)窮無(wú)盡的正弦波組成。

看似不規(guī)律的事情，是規(guī)律的正弦波的疊加。?三角傅立葉級(jí)數(shù)與指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)并不是兩種不同類

型的級(jí)數(shù)，而只是同一級(jí)數(shù)的兩種不同的表示方法。

指數(shù)形式比三角形式更簡(jiǎn)化、更便于計(jì)算。?周期信號(hào)另一種更常用的表示方法是傅立葉級(jí)數(shù)的指

數(shù)表示法，稱為指數(shù)

(復(fù)數(shù))

傅立葉級(jí)數(shù)。四、指數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)v離散性：周期信號(hào)的頻譜是離散譜，每一條

譜線代表一個(gè)頻率分量。信號(hào)的頻譜是由間隔為ω0

的譜線組成的，信號(hào)周期T越大，ω0就越小，則譜線越密。反之，T越小，ω0越大，譜線則越疏。v諧波性：頻譜中的譜線僅出現(xiàn)在基波及各次諧波頻率處。v收斂性：各頻率分量的譜線高度(幅值)隨著頻率的升高而減小(最終趨于零)，頻率越高，幅值越小。五、