2024屆四川省成都石室天府高三第二學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

2023屆四川省成都石室天府高三第二學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．關(guān)于函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，下列敘述正確的是（）A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減 C．先遞減后遞增 D．先遞增后遞減2．如圖，正方體中，，，，分別為棱、、、的中點(diǎn)，則下列各直線中，不與平面平行的是（）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線3．某校8位學(xué)生的本次月考成績(jī)恰好都比上一次的月考成績(jī)高出50分，則以該8位學(xué)生這兩次的月考成績(jī)各自組成樣本，則這兩個(gè)樣本不變的數(shù)字特征是（）A．方差 B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．平均數(shù)4．已知集合，，，則集合()A． B． C． D．5．函數(shù)在上的圖象大致為（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，若不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．7．函數(shù)，，的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達(dá)式為（）A． B．C． D．8．已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，則滿足A∪C＝B的集合C的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．19．為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)（）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度10．雙曲線的漸近線方程是（）A． B． C． D．11．已知，且，則（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，則（）A． B．1 C．-1 D．0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，是一個(gè)四棱錐的平面展開圖，其中間是邊長(zhǎng)為的正方形，上面三角形是等邊三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，則此四棱錐的體積為_____．14．“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員、面向全社會(huì)的優(yōu)質(zhì)平臺(tái)，現(xiàn)已日益成為老百姓了解國(guó)家動(dòng)態(tài)，緊跟時(shí)代脈搏的熱門app.該款軟件主要設(shè)有“閱讀文章”和“視聽學(xué)習(xí)”兩個(gè)學(xué)習(xí)板塊和“每日答題”、“每周答題”、“專項(xiàng)答題”、“挑戰(zhàn)答題”四個(gè)答題板塊.某人在學(xué)習(xí)過(guò)程中，將六大板塊依次各完成一次，則“閱讀文章”與“視聽學(xué)習(xí)”兩大學(xué)習(xí)板塊之間最多間隔一個(gè)答題板塊的學(xué)習(xí)方法有________種.15．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上，，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，則球的體積為__________．16．工人在安裝一個(gè)正六邊形零件時(shí)，需要固定如圖所示的六個(gè)位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€(gè)螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個(gè)螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求在的切線方程；（2）求證：的極大值恒大于0.18．（12分）已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓上位于第一象限的任一點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓上點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸，垂足為，連接并延長(zhǎng)交于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn).（?。┣竺娣e最大值；（ⅱ）證明：直線與斜率之積為定值.19．（12分）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，直線AF與直線垂直，垂足為B，且點(diǎn)A是線段BF的中點(diǎn).（I）求橢圓C的方程；（II）若M，N分別為橢圓C的左，右頂點(diǎn)，P是橢圓C上位于第一象限的一點(diǎn)，直線MP與直線交于點(diǎn)Q，且,求點(diǎn)P的坐標(biāo).20．（12分）在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且.（1）求角A的大小；（2）若，的平分線與交于點(diǎn)D，與的外接圓交于點(diǎn)E（異于點(diǎn)A），，求的值.21．（12分）等差數(shù)列的公差為2,分別等于等比數(shù)列的第2項(xiàng)，第3項(xiàng)，第4項(xiàng).（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前2020項(xiàng)的和．22．（10分）已知曲線C的極坐標(biāo)方程是.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程是:（是參數(shù)）.（1）若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn),且,試求實(shí)數(shù)m值.（2）設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

先用誘導(dǎo)公式得,再根據(jù)函數(shù)圖像平移的方法求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象可由向左平移個(gè)單位得到,如圖所示,在上先遞減后遞增.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的平移與單調(diào)性的求解.屬于基礎(chǔ)題.2．C【解析】

充分利用正方體的幾何特征，利用線面平行的判定定理，根據(jù)判斷A的正誤.根據(jù)，判斷B的正誤.根據(jù)與相交，判斷C的正誤.根據(jù)，判斷D的正誤.【詳解】在正方體中，因?yàn)?，所以平面，故A正確.因?yàn)?，所以，所以平面故B正確.因?yàn)?，所以平面，故D正確.因?yàn)榕c相交，所以與平面相交，故C錯(cuò)誤.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查正方體的幾何特征，線面平行的判定定理，還考查了推理論證的能力，屬中檔題.3．A【解析】

通過(guò)方差公式分析可知方差沒(méi)有改變，中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)都發(fā)生了改變.【詳解】由題可知，中位數(shù)和眾數(shù)、平均數(shù)都有變化.本次和上次的月考成績(jī)相比，成績(jī)和平均數(shù)都增加了50，所以沒(méi)有改變，根據(jù)方差公式可知方差不變.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查樣本的數(shù)字特征，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.4．D【解析】

根據(jù)集合的混合運(yùn)算，即可容易求得結(jié)果.【詳解】，故可得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的混合運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.5．C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在時(shí)的符號(hào)，即可求解.【詳解】由可知函數(shù)為奇函數(shù).所以函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除選項(xiàng)A，B；當(dāng)時(shí)，，，排除選項(xiàng)D，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定及奇偶函數(shù)圖像的對(duì)稱性，屬于中檔題.6．A【解析】

先求出函數(shù)在處的切線方程，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在處的切線方程為：，令，它與橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象如下圖的所示：利用數(shù)形結(jié)合思想可知：不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式恒成立問(wèn)題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.7．A【解析】

根據(jù)圖像的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊點(diǎn)求出，化簡(jiǎn)即得所求.【詳解】由圖像知，，，解得，因?yàn)楹瘮?shù)過(guò)點(diǎn)，所以，，即，解得，因?yàn)?，所以?故選：A【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)圖像求正弦型函數(shù)的解析式，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.8．A【解析】

由可確定集合中元素一定有的元素，然后列出滿足題意的情況，得到答案.【詳解】由可知集合中一定有元素2，所以符合要求的集合有，共4種情況，所以選A項(xiàng).【點(diǎn)睛】考查集合并集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.9．D【解析】

通過(guò)變形，通過(guò)“左加右減”即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，故只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得到函數(shù)的圖象，故答案為D.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，難度不大.10．C【解析】

根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出該雙曲線的漸近線方程.【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的合理運(yùn)用．11．B【解析】分析：首先利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合題中所給的角的范圍，求得的值，之后借助于倍角公式，將待求的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，代入從而求得結(jié)果.詳解：根據(jù)題中的條件，可得為銳角，根據(jù)，可求得，而，故選B.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)同角三角函數(shù)關(guān)系式以及倍角公式的應(yīng)用，在解題的過(guò)程中，需要對(duì)已知真切求余弦的方法要明確，可以應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式求解，也可以結(jié)合三角函數(shù)的定義式求解.12．A【解析】

由函數(shù)，求得，進(jìn)而求得的值，得到答案.【詳解】由題意函數(shù)，則，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的求值問(wèn)題，其中解答中根據(jù)分段函數(shù)的解析式，代入求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

畫圖直觀圖可得該幾何體為棱錐,再計(jì)算高求解體積即可.【詳解】解：如圖,是一個(gè)四棱錐的平面展開圖,其中間是邊長(zhǎng)為的正方形,上面三角形是等邊三角形,左、右三角形是等腰直角三角形,此四棱錐中,是邊長(zhǎng)為的正方形,是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,故,又,故平面平面,的高是四棱錐的高,此四棱錐的體積為:．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了四棱錐中的長(zhǎng)度計(jì)算以及垂直的判定和體積計(jì)算等,需要根據(jù)題意14．【解析】

先分間隔一個(gè)與不間隔分類計(jì)數(shù)，再根據(jù)捆綁法求排列數(shù),最后求和得結(jié)果.【詳解】若“閱讀文章”與“視聽學(xué)習(xí)”兩大學(xué)習(xí)板塊相鄰，則學(xué)習(xí)方法有種;若“閱讀文章”與“視聽學(xué)習(xí)”兩大學(xué)習(xí)板塊之間間隔一個(gè)答題板塊的學(xué)習(xí)方法有種;因此共有種.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查排列組合實(shí)際問(wèn)題，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.15．【解析】

由題意可得三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則它的外接球就是棱長(zhǎng)為的正方體的外接球，求出正方體的對(duì)角線的長(zhǎng)，就是球的直徑，然后求出球的體積.【詳解】解：因?yàn)?，為正三角形，所以，因?yàn)?，所以三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，所以它的外接球就是棱長(zhǎng)為的正方體的外接球，因?yàn)檎襟w的對(duì)角線長(zhǎng)為，所以其外接球的半徑為，所以球的體積為故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查球的體積，幾何體的外接球，考查空間想象能力，計(jì)算能力，屬于中檔題.16．60【解析】分析：首先將選定第一個(gè)釘，總共有6種方法，假設(shè)選定1號(hào)，之后分析第二步，第三步等，按照分類加法計(jì)數(shù)原理，可以求得共有10種方法，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，求得總共有種方法.詳解：根據(jù)題意，第一個(gè)可以從6個(gè)釘里任意選一個(gè)，共有6種選擇方法，并且是機(jī)會(huì)相等的，若第一個(gè)選1號(hào)釘?shù)臅r(shí)候，第二個(gè)可以選3,4,5號(hào)釘，依次選下去，可以得到共有10種方法，所以總共有種方法，故答案是60.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，在解題的過(guò)程中，需要逐個(gè)的將對(duì)應(yīng)的過(guò)程寫出來(lái)，所以利用列舉法將對(duì)應(yīng)的結(jié)果列出，而對(duì)于第一個(gè)選哪個(gè)是機(jī)會(huì)均等的，從而用乘法運(yùn)算得到結(jié)果.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）求導(dǎo)，代入，求出在處的導(dǎo)數(shù)值及函數(shù)值，由此即可求得切線方程；（2）分類討論得出極大值即可判斷.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，，則在的切線方程為；（2）證明：令，解得或，①當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)無(wú)極值；②當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得或，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，∴；③當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得或，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，∴，綜上，函數(shù)的極大值恒大于0.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.18．（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）證明見(jiàn)解析.【解析】

（1）由，解方程組即可得到答案；（2）（?。┰O(shè)，，則，，易得，注意到，利用基本不等式得到的最大值即可得到答案；（ⅱ）設(shè)直線斜率為，直線方程為，聯(lián)立橢圓方程得到的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)的斜率公式計(jì)算即可.【詳解】（1）設(shè)，由，得.將代入，得，即，由，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，，則，（?。┮字獮榈闹形痪€，所以，所以，又滿足，所以，得，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以面積最大值為.（ⅱ）記直線斜率為，則直線斜率為，所以直線方程為.由，得，由韋達(dá)定理得，所以，代入直線方程，得，于是，直線斜率，所以直線與斜率之積為定值.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及到橢圓中的最值及定值問(wèn)題，在解橢圓與直線的位置關(guān)系的答題時(shí)，一般會(huì)用到根與系數(shù)的關(guān)系，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力，是一道有一定難度的題.19．（I）．（II）【解析】

（I）寫出坐標(biāo)，利用直線與直線垂直，得到.求出點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得到的一個(gè)關(guān)系式，由此求得和的值，進(jìn)而求得橢圓方程.（II）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由此寫出直線的方程，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入，化簡(jiǎn)可求得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（I）∵橢圓的左焦點(diǎn)，上頂點(diǎn)，直線AF與直線垂直∴直線AF的斜率，即①又點(diǎn)A是線段BF的中點(diǎn)∴點(diǎn)的坐標(biāo)為又點(diǎn)在直線上∴②∴由①②得：∴∴橢圓的方程為．（II）設(shè)由（I）易得頂點(diǎn)M、N的坐標(biāo)為∴直線MP的方程是：由得：又點(diǎn)P在橢圓上，故∴∴∴或（舍）∴∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，考查兩直線垂直的條件，考查向量數(shù)量積的運(yùn)算.屬于中檔題.在解題過(guò)程中，首先閱讀清楚題意，題目所敘述的坐標(biāo)、所敘述的直線是怎么得到的，向量的數(shù)量積對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)都有哪一些，應(yīng)該怎么得到，這些在讀題的時(shí)候需要分析清楚.20．（1）；（2）【解析】

（1）由，利用正弦定理轉(zhuǎn)化整理為，再利用余弦定理求解.