北京西城8中2024屆高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

北京西城8中2024屆高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.在直角坐標(biāo)系中，己知A（1,0）,B（4,0）,若直線X+陽(yáng)-1=0上存在點(diǎn)P,使得%|二2甲見則正實(shí)數(shù)6的最

小值是（）

A.-B.3C.—D.73

33

2.將一塊邊長(zhǎng)為〃cm的正方形薄鐵皮按如圖（1）所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成

一個(gè)正四棱錐形容器，將該容器按如圖（2）放置，若其正視圖為等腰直角三角形，且該容器的容積為72J5cm%則。

的值為（）

3.函數(shù)=二+sinx的圖象的大致形狀是（）

37r

4.已知復(fù)數(shù)Z=?,則，的虛部是()

1-z

A.iB.-iC.-1D.1

5.已知直線產(chǎn)A(x+l)(A>0)與拋物線C:)，2=4x相交于A,B兩點(diǎn),F為C的焦點(diǎn)，若|E4|=2|五見則|以|二()

A.1B.2C.3D.4

6.已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(sin47°,cos47°),則sin(a_13°)=

1J31

A.-B.—C.——

222

7.已知A=WW<1},3={$2'<1},則AJ8=()

A.(-1,0)B.(0,1)C.㈠收)D.(YO,1)

8.關(guān)于函數(shù)/(x)=sin|x|+|cosx|有下述四個(gè)結(jié)論：()

①/(x)是偶函數(shù)；②”X)在區(qū)間(-30)上是單調(diào)遞增函數(shù)；

③在R上的最大值為2；④f(x)在區(qū)間［-2/2可上有4個(gè)零點(diǎn).

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()

A.???B.①@C.①④D.②④

9.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()

:□I—*

B.3

10.四人并排坐在連號(hào)的四個(gè)座位上，其中A與3不相鄰的所有不同的坐法種數(shù)是()

A.12B.16C.20D.8

11.據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的數(shù)據(jù)，2019年11月全國(guó)C/V(居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù))，同比上漲4.5%,C77上漲的主要因素是

豬肉價(jià)格的上漲，豬肉加上其他畜肉影響。7上漲3?27個(gè)百分點(diǎn).下圖是2019年11月。7一籃子商品權(quán)重，根據(jù)該

圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.CP/一籃子商品中所占權(quán)重最大的是居住

B.C尸/一籃子商品中吃穿住所占權(quán)重超過(guò)50%

C.豬肉在C/7一籃子商品中所占權(quán)重約為2.5%

D.豬肉與其他畜肉在CP/一籃子商品中所占權(quán)重約為0.18%

12.已知函數(shù)f（x）=log”（|x—2|—4）（a>0,且awl）,貝代/0）在（3,+8）上是單調(diào)函數(shù)”是"0<a<l”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)雙曲線?-g=lS〉0）的一條漸近線方程為*工,則該雙曲線的離心率為.

14.已知三棱錐尸—ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，PA=PB=PC,AB=2,BC=右，AC=3,E,F

3

分別為乂。，依的中點(diǎn)，EF=-則球。的體積為_____.

2t

15.從編號(hào)為1,2,3,4的張卡片中隨機(jī)抽取一張，放回后再隨機(jī)抽取一張，則第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第

一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為.

16.已知sina-cosa=0,貝!]cos（2a+：）=_______.

2

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）在開展學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)的活動(dòng)中，某校高三數(shù)學(xué)教師成立了黨員和非黨員兩個(gè)學(xué)習(xí)組，其中黨員學(xué)習(xí)組有4名

男教師、1名女教師，非黨員學(xué)習(xí)組有2名男教師、2名女教師，高三數(shù)學(xué)組計(jì)劃從兩個(gè)學(xué)習(xí)組中隨機(jī)各選2名教師參

加學(xué)校的挑戰(zhàn)答題比賽.

（1）求選出的4名選手中恰好有一名女教師的選派方法數(shù)；

（2）記X為選出的4名選手中女教師的人數(shù)，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.

18.（12分）已知函數(shù)/（》）=同+2卜+1|-|工一3|的定義域?yàn)镽.

（1）求實(shí)數(shù)，的取值范圍；

（2）設(shè)實(shí)數(shù)R為/的最小值，若實(shí)數(shù)b,C滿足/+〃+/="2,求+的最小值.

a~+\+2c+3

19.（12分）在AA8C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是b,c,且2a-c=9cosC'.

⑴求sin]△昔+”的值；

(2)若力=JJ,求。一〃的取值范圍.

20.(12分)在AA/C中，角A8,C的對(duì)邊分別為a/,c,且2cc、o§8=2。+8.

(1)求角。的大小；

(2)若函數(shù)/(x)=2sin2x+J+〃2cos2x(“￡/?)圖象的一條對(duì)稱軸方程為x=一且/三=:，求cos(2a+C)

I6J25

的值.

21.(12分)如圖所示，在四棱錐。一ABCD中，AB//CD,AD=AB=-CD.ZDAB=60。，點(diǎn)E/分別為CD.AP

2

的中點(diǎn).

(1)證明：PC〃面BEF；

(2)若PA工PD,且PA=PD,面PA。_L面ABC。，求二面角尸一的一A的余弦值.

22.(10分)如圖，在四棱錐P-4BC。中，B4_L底面ABC。，ADYAB,AB//DC,AD=DC=AP=2f

A8=l,點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).

(1)證明：BEA.DC：

(2)求直線8E與平面A8D所成角的正弦值；

(3)若F為棱PC上一點(diǎn)，滿足8尸_LAC,求二面角尸—A3—P的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

設(shè)點(diǎn)P（1T世,），），由刊二2|叫，得關(guān)于y的方程.由題意，該方程有解，則ANO,求出正實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍，

即求正實(shí)數(shù)m的最小值.

【詳解】

由題意，設(shè)點(diǎn)夕（1一〃少,），）.

-.'\PA\=2\PB\y.\\P^=4\PB\'f

即（1_z?zy-l）2+y2=4^（14）~+,

整理得（，/+1）），2+8加），+12=0,

則AEX""—川"+1卜］220,解得"此6或"三一6.

m>0,/.m>mm.n=百.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與方程，考查平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式，屬于中檔題.

2、I）

【解析】

推導(dǎo)出PM+PN=。，且PM=PN,MN=^a,。歷=；，設(shè)MN中點(diǎn)為。，則PO_L平面ABCO,由此能表

22

示出該容器的體積，從而求出參數(shù)的值.

【詳解】

解：如圖（4）,△尸MV為該四棱錐的正視圖，由圖（3）可知，PM+PN=a,且PM=PN」,由APMN為等

2

腰直角三角形可知，

MN=—a,設(shè)MV中點(diǎn)為O,則PO1平面A3CQ,.??PO=1MN=E。，

224

???%T8s=gx亨〃x亭卷/=720解得a=12.

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖和錐體的體積計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

3、B

【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性，可排除D；求得/(工)及/”(%),由導(dǎo)函數(shù)符號(hào)可判斷“X)在尺上單調(diào)遞增，即可排除AC選項(xiàng).

【詳解】

X3

函數(shù)/(工)=+sinx

3萬(wàn)

易知/(力為奇函數(shù)，故排除D.

r?7T

又r(X)=J+COSX，易知當(dāng)X00,7時(shí)，/'(x)>()；

1L2.

，乃、21"

又當(dāng)XE-,+8時(shí)，fn(x}=----sinx>l-sinx>0,

<2)4

故/'(x)在(g+8)上單調(diào)遞增,所以f\x)>/(^)=?,

綜上，x?0,xo)時(shí)，/'(x)>0,即/")單調(diào)遞增一

又/(x)為奇函數(shù)，所以/(x)在R上單調(diào)遞增，故排除A,C.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象，導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)圖象關(guān)系，屬于中檔題.

4、C

【解析】

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，分子分母同時(shí)乘以1+i,進(jìn)而求得復(fù)數(shù)z,再求出)，由此得到虛部.

【詳解】

=--；=i,z=—if所以z的虛部為—1?

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算，考查共匏復(fù)數(shù)的虛部，屬于基礎(chǔ)題.

5、C

【解析】

方法一：設(shè)2-1,0),利用拋物線的定義判斷出3是AP的中點(diǎn)，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求得8點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋

物線的定義求得1所|,進(jìn)而求得|笈|.

方法二：設(shè)出A3兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)加，由拋物線的定義，結(jié)合|￡4|=2|稗|求得巧的關(guān)系式，聯(lián)立直線

),二刈1+1)的方程和拋物線方程，寫出韋達(dá)定理，由此求得乙,進(jìn)而求得|必|?

【詳解】

方法一:由題意得拋物線=4x的準(zhǔn)線方程為/:x=T,直線y=依尤+D恒過(guò)定點(diǎn)P(T,O),過(guò)A3分別作AM±I

于M,BN_L/于N,連接。8,由|心|=2|依|,貝力AM|二2|BN|,所以點(diǎn)3為AP的中點(diǎn)，又點(diǎn)。是P廠的

中點(diǎn)，

則|。8|=1|4/|,所以|。6|二|8/|,又|。尸|二1

2

所以由等腰三角形三線合一得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為?，

所以|所|=1+!=］，所以1融1=2|所|=3.

22

方法二：拋物線)尸=4工的準(zhǔn)線方程為=直線y=Z(x+l)

由題意設(shè)A,8兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為4,>0),

則由拋物線定義得I幺1=4+1,1M1=/+1

又二

|E4|2|FB|,xA+\=2(XB+1)=>=2A-B+1①

)-4anFf+QF-4)R+爐=()=Xx[②

y=Z(.r+l)

由①②得片一/一2=0,/.XA=2,\FA\=XA+\=3.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查拋物線的定義，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.

6、A

【解析】

由題意可得三角函數(shù)的定義可知:

.cos47…sin47

sina=——；-----------；-----=cos47,cosa=——；-----------；——=sin47,貝I)：

sin-47+cos~47sin"47+cos-47

sin((7-13)=sinacos13-cosasin13

=cos47cos13-sin47sin13

=cos(47+13j=cos60=-i.

本題選擇A選項(xiàng).

7、D

【解析】

分別解出集合4a然后求并集.

【詳解】

解：A=|x||x|<1)=<x<1},8={x2'<l|={x|x<0}

A|JB=(-oo,l)

故選：D

【點(diǎn)睛】

考查集合的并集運(yùn)算，基礎(chǔ)題.

8、C

【解析】

根據(jù)函數(shù)/(X)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點(diǎn)對(duì)四個(gè)結(jié)論逐一分析，由此得出正確結(jié)論的編號(hào).

【詳解】

/(工)的定義域?yàn)镽.

由于/(-x)=/(x),所以/("為偶函數(shù)，故①正確.

由于/T--l=sin—+COS—=+l=sin—+cos—=+,所以/(x)在

6)662I4j442I6；[4)v7

區(qū)間.￡()]上不是單調(diào)遞增函數(shù)，所以②錯(cuò)誤.

\/

當(dāng)x?0時(shí)，/(x)=sinx+|cosx|=sinx±cosx=>/2sinfx±-^-<>/2,

且存在一丫二工，使=sin—+cos—=\p2.

414；44

所以當(dāng)xNO時(shí)，/(x)<V2；

由于/")為偶函數(shù)，所以xwR時(shí)/(x)《夜，

所以/(力的最大值為血，所以③錯(cuò)誤.

依題意，/(0)=sin|0|+|cos0|=l,當(dāng)0<xK2〃時(shí)，

?r\/?！猵3/T/c

sinx+cosx.O<xW—,或——<x<2不

〃加.,t2^

sinx-cosx,—<x<——

22

所以令sinx+cosx=0,解得x二?，令sinx-cosx=0,解得.丫二當(dāng).所以在區(qū)間（0,2句，/（工）有兩個(gè)零點(diǎn).

由于/（目為偶函數(shù)，所以/（x）在區(qū)間［-2小0）有兩個(gè)零點(diǎn).故/"）在區(qū)間［-2萬(wàn),2句上有4個(gè)零點(diǎn).所以④正確.

綜上所述，正確的結(jié)論序號(hào)為①④.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點(diǎn)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

9、A

【解析】

根據(jù)題意，可得幾何體，利用體積計(jì)算即可.

【詳解】

由題意，該幾何體如圖所示：

該幾何體的體積V='x2x2x2—，xlx2x2=3.

2323

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了常見幾何體的三視圖和體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

10、A

【解析】

先將除八，〃以外的兩人先排，再將A,8在3個(gè)空位置里進(jìn)行插空，再相乘得答案.

【詳解】

先將除4〃以外的兩人先排，有人；=2種；再將A,〃在3個(gè)空位置里進(jìn)行插空，有&=3x2=6種，所以共有

2x6=12種.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查排列中不相鄰問(wèn)題，常用插空法，屬于基礎(chǔ)題.

11、D

【解析】

A.從第一個(gè)圖觀察居住占23%,與其他比較即可.B.CP1一籃子商品中吃穿住所占23%十8%+19.9%=50.9%,再判斷.C.

食品占19.9%,再看第二個(gè)圖，分清2.5%是在CP/一籃子商品中，還是在食品中即可.D.易知豬肉與其他畜肉在C77

一籃子商品中所占權(quán)重約為2.1%+2.5%=4.6%.

【詳解】

A.CH一籃子商品中居住占23%,所占權(quán)重最大的，故正確.

B.CH一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,權(quán)重超過(guò)50%,故正確.

C.食品占中19.9%,分解后后可知豬肉是占在C77一籃子商品中所占權(quán)重約為2.5%,故正確.

D.豬肉與其他畜肉在C77一籃子商品中所占權(quán)重約為2.1%+2.5%=4.6%,故錯(cuò)誤.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查統(tǒng)計(jì)圖的識(shí)別與應(yīng)用，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.

12、C

【解析】

先求出復(fù)合函數(shù)/（幻在（3,+8）上是單調(diào)函數(shù)的充要條件，再看其和0＜4＜1的包含關(guān)系，利用集合間包含關(guān)系與充

要條件之間的關(guān)系，判斷正確答案.

【詳解】

=log"（|X-21-4）（。＞0,且〃=1）,

由卜一2|一々＞0得支v2—〃或2+〃，

即/（幻的定義域?yàn)椋簧希?-〃或/＞2+。｝,（。＞0,且awl）

令/=,一2|-。，其在（3,2-0單調(diào)遞減，（2+m+8）單調(diào)遞增，

2+403

/（X）在（3,+8）上是單調(diào)函數(shù)，其充要條件為。＞0

"1

即0<"l.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷問(wèn)題，充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2

2

【解析】

根據(jù)漸近線得到沙=及，c=E計(jì)算得到離心率.

【詳解】

上_4=1(〃>0),一條漸近線方程為：y=3,故人=&，c="，e=-=—.

4b~2a2

故答案為：叵

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線的漸近線和離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

14、4&

【解析】

可證NABC=90。，則E為AA8C的外心，又PA=踐=尸。則PE_L平面A8C

即可求出P3,總的值，再由勾股定理求出外接球的半徑，最后根據(jù)體積公式計(jì)算可得.

【詳解】

解：?.4?=2,BC=>/5fAC=3

AB2+BC2=AC2

/ABC=9^,因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以E為A4BC的外心，

13

:.BE=-AC=-

22

p

因?yàn)樾?尸4=PC,所以點(diǎn)產(chǎn)在A48C內(nèi)的投影為^ABC的外心E,

所以P石_L平面ABC,

平面ABC

PEA.BE,

所以PB=2EF=3,

所以PE=y/PB2-BE2=-6,

2

又球心。在心上，設(shè)＞貝彳?一j+（|）=/，所以,=百，所以球。體積，丫=37/:4信.

故答案為：46兀

【點(diǎn)睛】

本題考查多面體外接球體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

1

15、-

2

【解析】

基本事件總數(shù)〃=4x4=16,第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個(gè)，由此能求

出概率.

【詳解】

解：從編號(hào)為1,2,3,4的張卡片中隨機(jī)抽取一張，放回后再隨機(jī)抽取一張，

基本事件總數(shù)x=4x4=16,

第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個(gè)，分別為：（1』），（1,2）,（1,3）,（1,4）,

（2,2）,（2,4）,（3,3）,（4,4）.

Q1

所以第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為P=3=K

162

故答案為

2

【點(diǎn)睛】

本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

16、-1

【解析】

首先利用sina-cosa=0,將其兩邊同時(shí)平方，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式以及倍角公式得到l—sin"=0,從而求

7F

得sin2a=1,利用誘導(dǎo)公式求得cos(2a+-)=-sin2a=-1,得到結(jié)果.

2

【詳解】

因?yàn)閟ina-cos。=0,所以l-sin2?=0,即sin2a=1,

所以cos(2a+M)=-sin2a=-1,

2

故答案是-1.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有同角三角函數(shù)關(guān)系式，倍角公式，誘導(dǎo)公式，屬于簡(jiǎn)單

題目.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)28種；⑵分布見解析，

【解析】

(1)分這名女教師分別來(lái)自黨員學(xué)習(xí)組與非黨員學(xué)習(xí)組，可得恰好有一名女教師的選派方法數(shù);

(2)X的可能取值為0,1,23,再求出X的每個(gè)取值的概率，可得X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

解：(1)選出的4名選手中恰好有一名女生的選派方法數(shù)為C：C；C；+C：GC；=28種.

(2)X的可能取值為0,1,2,3.

p(x=o)=-^-=—,

C-C-10

P(X=1)=7

15,

c：c：c!cl+c：c；_ii

P(X=2)=

言~30f

P(X=3)=CC=1

C*：—15,

故x的概率分布為:

X0123

17111

P

lo1530

所以

【點(diǎn)睛】

本題主要考查組合數(shù)與組合公式及離散型隨機(jī)變量的期望和方差，相對(duì)不難，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.

9

18、(1)Z>4；(2)—

22

【解析】

(1)首先通過(guò)對(duì)絕對(duì)值內(nèi)式子符號(hào)的討論，將不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組，再分別解各不等式組，最后求各不等

式組解集的并集，得到所求不等式的解集；

(2)首先確定in的值，然后利用柯西不等式即可證得題中的不等式.

【詳解】

(1)因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)镽,即，+2,+1|-卜一3|=0恒成立，所以，之一2k+1|十上一3|恒成立

x+5,x<-1,

-2|x+l|+|x—3|=x1—3x,—

-x-5,x>3.

由單調(diào)性可知當(dāng)x=-l時(shí)，—2k+1|+上一3|有最大值為4,即,24；

222

（2）由（1）知相=4,a+b+c=\6f

由柯西不等式知馬了力+*卜(八1+八2-+3)20+3)*

19

所以~;H—,-----1—;2，即一;-----1—;的最小值為積

從+2〃從+7+3

2C+322+12

2

當(dāng)且僅當(dāng)/=更，b=—f/=U時(shí)，等號(hào)成立

333

【點(diǎn)睛】

本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，柯西不等式及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

19、（1g;⑵（一6,@

【解析】

(1)利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差正弦公式可整理求得cos進(jìn)而求得4和A+C,代入求得結(jié)果;

(2)利用正弦定理可將c—。表示為2sinC—2sinA,利用兩角和差正弦公式、輔助角公式將其整理為2sinC-三

根據(jù)正弦型函數(shù)值域的求解方法，結(jié)合。的范圍可求得結(jié)果.

【詳解】

(1)由正弦定理可得：2sinA-sinC=2sin4cosc

,:A+B+C=TT/.sinA=sin(8+C)

..2sin(8+C)-sinC=2sinBcosC+2cosBsinC-sinC=2sin8cosC

即2cosBainC=sinC

CG(O,TT)/.sinC^OcosB=—

2

n714=2〃

Be(O,乃)B=—/.A+C=—

33

.(A+C「J.2兀6

I2J32

acb&

(2)由(1)知：sinB=sin—=^-------=-------=-------=-廣=2

sinA--sinC---sinB<3

32

T

c=2sinC,a=2sinA

c-a=2sinC-2sinA=2sinC-2sin(B+C)=2sinC-2sinBcosC-2cosBsinC

=2sinC-6cosc-sinC=sinC-A/3cosC=2sinC--

k3,

兀711

QA+C=T/0<C<T:,吟,

.?.2sin(c-(jw卜百,百)，即c—〃的取值范圍為卜萬(wàn)右)

【點(diǎn)睛】

本題考查解三角形知識(shí)的相關(guān)應(yīng)用，涉及到正弦定理邊化角的應(yīng)用、兩角和差正弦公式和輔助角公式的應(yīng)用、與三角

函數(shù)值域有關(guān)的取值范圍的求解問(wèn)題；求解取值范圍的關(guān)鍵是能夠利用正弦定理將邊長(zhǎng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問(wèn)題,

進(jìn)而利用正弦型函數(shù)值域的求解方法求得結(jié)果.

7

20、(1)C-——(2)cos(2a+C)=-----

325

【解析】

(1)由已知利用二角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定埋可求cosC=-!，即可求C的值.

2

(2)利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，可得f(x)=6sin2x+(m+l)cos2x,根據(jù)題意，得到,解得

71

m=-2,得到函數(shù)的解析式，進(jìn)而求得sina--的值，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求cos(2a+C)的值.

6J

【詳解】

(1)由題意，根據(jù)正弦定理，可得2sinCcosB=2sinA+sinB,

又由4="一(8+。)，所以sinA=sin(B4-C)=sinBcosC+cosBsinC,

可得2sinCcosB=2sinBcosC+2cosBsinC+sinB,即2sinBcosC+sinB=0,

又因?yàn)?￡(0,不)，則sinB>0,

I27r

可得cosC=--,VCG(0,71),C=—

(2)由(1)可得f(x)=2sin(2x+l)+mcos2x=2sin2xcos+2cos2xsin+mcos2x

=V3sin2x+(m+l)cos2x,

所以函數(shù)/(x)的圖象的一條對(duì)稱軸方程為x二方

211}

r.f(o)=f,得m+1=>^sin----F(m+1jcos—,即m=—2,

33

/.f(x)=>/3sin2x-cos2x=2sin2x--

k6

716.713

又f值二2sin(a,Asina——

5I65

2-T

:.cos(2a+C)=cos2a-+=-cos2a--j=-cos2a--i=2sina--

工)366)

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中

檔題.

21、(1)證明見解析(2)2叵

13

【解析】

(1)根據(jù)題意，連接AC交叱于〃，連接77/,利用三角形全等得2//PC,進(jìn)而可得結(jié)論;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求得平面的法向量，進(jìn)而可得二面角尸-鹿-A的余弦值.

【詳解】

(D證明：連接AC交破于H,連接FH,

vAB=CE,/HAB=NHCE,/BHA=NCHA,

:.^ABHWbCEH,

:.AH=CHaFH//PC,

FHu面FBE,PCU面FBE,

「.PC〃面fBE,

(2)取A。中點(diǎn)。，連P0,。3.由辦=P￡),.?.PO_LAO

^PADl^ABCD

.?.尸。_1_面4〃?！?,又由N￡>A8=60,AD=AB

：.OB±AD

以04,OB,OP分別為X,y,z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)40=2,則4100),8(0,6,0),￡>(-1,0,0),mO,l),F(pO,1),

EB=DA=(2,0,0),3/=(；,一石,；)，

q=(0,0,1)為面BEA的一個(gè)法向量,

設(shè)面FBE的法向量為%=(x0,%,z0),

2風(fēng)=0

EB"=0

依題意，即彳^-V3y+-1z=0

BF?%=0000

令為=石，解得20=6,x0=0

所以，平面方方石的法向量％=((),G,6),

〃],〃2_6_2>/39

COS(q,〃2)=

同?同底13

又因二面角為銳角,

故二面角F-BE-A的余弦值為名叵.

13

【點(diǎn)睛】

本題考直直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)