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倍半角模型鞏固練習(xí)(基礎(chǔ))1. 已知,求及的值(利用倍半角模型解題).2. 在△ABC中,∠C=90o,AC=8,AB=10,點(diǎn)P在AC上,AP=2,若的圓心在線段BP上,且與AB、AC都相切,試求的半徑.3. 如圖,菱形ABCD的邊長(zhǎng)AB=20,面積為320,∠BAD<90o,與邊AB、AD都相切,AO=10,求的半徑.4. 如圖,以△ABC的邊AB為直徑的交邊BC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作的切線交AC于點(diǎn)D,且ED⊥AC.若線段AB、DE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,∠C=75o,CD=,求的半徑及BF的長(zhǎng).5. 如圖,PA、PB切于A、B兩點(diǎn),CD切于點(diǎn)E,交PA、PB于C、D,若的半徑為,△PCD的周長(zhǎng)等于,求的值.6. 如圖,在△ABC中,∠BAC=90o,AB=3,AC=4,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),將△ABD沿AD翻折得到△AED,連接CE,求線段CE的長(zhǎng).7. 定義:從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā),在角的內(nèi)部引兩條射線,如果這兩條射線所成的角等于這個(gè)角的一半,那么這兩條射線所成的角叫做這個(gè)角的內(nèi)半角.如圖1,若∠COD=12∠AOB,則∠COD是∠(1)如圖1,已知∠AOB=70°,∠AOC=25°,∠COD是∠AOB的內(nèi)半角,則∠BOD=;(2)如圖2,已知∠AOB=60°,將∠AOB繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度α(0<α<60°)至∠COD,當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度α為何值時(shí),∠COB是∠AOD的內(nèi)半角.(3)已知∠AOB=30°,把一塊含有30°角的三角板如圖3疊放,將三角板繞頂點(diǎn)O以3度/秒的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(如圖4),問(wèn):在旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中,射線OA,OB,OC,OD能否構(gòu)成內(nèi)半角?若能,請(qǐng)求出旋轉(zhuǎn)的時(shí)間;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.倍半角模型鞏固練習(xí)(基礎(chǔ))1. 已知,求及的值(利用倍半角模型解題).【解答】,.【解析】由圖1可得,由圖2可得.2. 在△ABC中,∠C=90o,AC=8,AB=10,點(diǎn)P在AC上,AP=2,若的圓心在線段BP上,且與AB、AC都相切,試求的半徑.【解答】的半徑為1【解析】過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D,OE⊥AC于點(diǎn)E,延長(zhǎng)CA至點(diǎn)F,使得AF=AB=10,連接OA、BF,如圖所示:由題意可得OD=OE,AO平分∠EAO,∠F=∠BAC,∴tan∠EAO=tan∠F=,設(shè)的半徑為,由BC=PC=6,∴△PBC為等腰直角三角形,∴EP=OE=,EA=+2,∴,解得,即的半徑為1.3. 如圖,菱形ABCD的邊長(zhǎng)AB=20,面積為320,∠BAD<90o,與邊AB、AD都相切,AO=10,求的半徑.【解答】【解析】如圖,作DG⊥AB于點(diǎn)G,延長(zhǎng)CA至點(diǎn)E,使得AE=AD=20.由題意可得DG=16,AG=12,EG=AG+AE=32,∠E=∠EDA=∠BAD=∠OAH,在Rt△EDG中,有DG:EG:ED=,則OH=.4. 如圖,以△ABC的邊AB為直徑的交邊BC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作的切線交AC于點(diǎn)D,且ED⊥AC.若線段AB、DE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,∠C=75o,CD=,求的半徑及BF的長(zhǎng).【解答】圓的半徑為2;【解析】先由特殊角30o求出(具體做法見知識(shí)精講),如圖,連接OE、AE,則AE⊥BC,由AB=AC得∠EAD=∠BAC=15o,在Rt△CDE中,由得,解得;在Rt△ADE中,由得,解得,∴AB=AC=AD+CD=4,∴該圓的半徑為2;在Rt△OEF中,,即,則,∴BF=OF-OB=.5. 如圖,PA、PB切于A、B兩點(diǎn),CD切于點(diǎn)E,交PA、PB于C、D,若的半徑為,△PCD的周長(zhǎng)等于,求的值.【解答】【解析】【解法一】如圖,連接OA、OB,延長(zhǎng)PA、BO交于點(diǎn)F.由題意可得Rt△FAO∽R(shí)t△FBR,則,設(shè),則,由題意可得,由可得,解得,∴.【解法二】如圖,連接OA、OB、OP,在邊AP上取點(diǎn)Q,使OQ=PQ.由題意可得∠APB=2∠APO,在△APO中,,設(shè),由勾股定理可得,解得,在Rt△AOQ中,,.6. 如圖,在△ABC中,∠BAC=90o,AB=3,AC=4,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),將△ABD沿AD翻折得到△AED,連接CE,求線段CE的長(zhǎng).【解答】【解析】如圖,連接BE交AD于點(diǎn)O,作AH⊥BC于點(diǎn)H.在Rt△ABC中,∵AC=4,AB=3,∴BC=5,∵CD=DB,∴AD=DC=DB=,,∵AE=AB,DE=DB=DC,∴AD垂直平分線段BE,△BCE是直角三角形,,∴BE=2OB=,在Rt△BCE中,.7. 定義:從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā),在角的內(nèi)部引兩條射線,如果這兩條射線所成的角等于這個(gè)角的一半,那么這兩條射線所成的角叫做這個(gè)角的內(nèi)半角.如圖1,若∠COD=12∠AOB,則∠COD是∠(1)如圖1,已知∠AOB=70°,∠AOC=25°,∠COD是∠AOB的內(nèi)半角,則∠BOD=;(2)如圖2,已知∠AOB=60°,將∠AOB繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度α(0<α<60°)至∠COD,當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度α為何值時(shí),∠COB是∠AOD的內(nèi)半角.(3)已知∠AOB=30°,把一塊含有30°角的三角板如圖3疊放,將三角板繞頂點(diǎn)O以3度/秒的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(如圖4),問(wèn):在旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中,射線OA,OB,OC,OD能否構(gòu)成內(nèi)半角?若能,請(qǐng)求出旋轉(zhuǎn)的時(shí)間;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解答】見解析【解析】(1)∵∠COD是∠AOB的內(nèi)半角,∠AOB=70°,∴∠COD=12∠∵∠AOC=25°,∴∠BOD=70°﹣35°﹣25°=10°,故答案為:10°,(2)∵∠AOC=∠BOD=α,∴∠AOD=60°+α,∵∠COB是∠AOD的內(nèi)半角,∴∠BOC=12(60°+α)=60°﹣∴α=20°,∴旋轉(zhuǎn)的角度α為20°時(shí),∠COB是∠AOD的內(nèi)半角;(3)在旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中,射線OA,OB,OC,OD能否構(gòu)成內(nèi)半角;理由:設(shè)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度α,旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t,如圖1,∵∠BOC是∠AOD的內(nèi)半角,∠AOC=∠BOD=α,∴∠AOD=30°+α,∴12(30°+α)=30°﹣α解得:α=10°,∴t=103如圖2,∵∠BOC是∠AOD的內(nèi)半角,∠AOC=∠BOD=α,∴∠AOD=30°+α,∴12(30°+α)=α∴α=90°,∴t=903=如圖3,∵∠AOD是∠BOC的內(nèi)半角,∠AOC=∠BOD=360﹣α,∴∠BOC=360°+30°﹣α,∴12(360°+30°﹣α)=360°﹣α∴α=270°,∴t=90s,如圖4,∵∠A
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