題型10 6類三角恒等變換解題技巧（拼湊思想、升（降）冪、三倍角、半角、萬能、正余弦平方差公式）-高考數(shù)學必考模型歸納（解析版）

題型106類三角恒等變換解題技巧（拼湊思想、升（降）冪、三倍角、半角、萬能、正余弦平方差公式）技法01技法01拼湊思想的應用及解題技巧技法02升（降）冪公式的應用及解題技巧技法03三倍角公式的應用及解題技巧技法04半角公式的應用及解題技巧技法05萬能公式的應用及解題技巧技法06正余弦平方差公式的應用及解題技巧技法01拼湊思想的應用及解題技巧在三角函數(shù)求值題目當中，常常會出現(xiàn)已知條件中給出兩個或者一個三角函數(shù)值，求問題中的三角函數(shù)值，解決此類問題的關(guān)鍵在于用“已知角”來表示“未知角”在三角函數(shù)求值題目當中，常常會出現(xiàn)已知條件中給出兩個或者一個三角函數(shù)值，求問題中的三角函數(shù)值，解決此類問題的關(guān)鍵在于用“已知角”來表示“未知角”1、當“已知角”有兩個時，“所求角"一般表示兩個"已知角”的和與差的關(guān)系2、當"已知角"有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和與差或倍數(shù)的關(guān)系，然后借助三角恒等變換公式把“所求角”變成“已知角”知識遷移例1-1．（全國·高考真題）tan255°=A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+【詳解】=例1-2．（2023·江蘇南京·南京市第一中學?？家荒＃┤簦瑒t（

）A． B． C． D．【詳解】由，所以，則1．（2022·云南·云南民族大學附屬中學?？寄M預測）已知，，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】易知，利用角的范圍和同角三角函數(shù)關(guān)系可求得和，分別在和兩種情況下，利用兩角和差正弦公式求得，結(jié)合的范圍可確定最終結(jié)果.【詳解】且，，.又，，.當時，，，，不合題意，舍去；當，同理可求得，符合題意.綜上所述：.故選：.【點睛】易錯點睛：本題中求解時，易忽略的值所確定的的更小的范圍，從而誤認為的取值也有兩種不同的可能性，造成求解錯誤.2．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預測）已知為銳角，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二倍角正切公式，同角關(guān)系化簡，求，再求，再由兩角差的正切公式求.【詳解】因為，所以，所以，又為銳角，，所以，解得，因為為銳角，所以，又所以.故選：A.3．（2023·湖南湘潭·統(tǒng)考二模）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接利用三角函數(shù)恒等變換進行湊角化簡，再根據(jù)，的范圍即可求出結(jié)果.【詳解】由已知可將，，則，，，即或．又，所以，所以，所以選項A，B錯誤，即，則，所以．則C錯，D對，故選：D技法02升（降）冪公式的應用及解題技巧在三角恒等變換的倍角考查中，升冪公式及降冪公式極其重要，需靈活掌握，在高考中也是高頻考點，要強加練習在三角恒等變換的倍角考查中，升冪公式及降冪公式極其重要，需靈活掌握，在高考中也是高頻考點，要強加練習知識遷移升冪公式：，降冪公式：，例2-1．（2023·全國·模擬預測）已知，則（

）A． B． C． D．【詳解】因為，所以．例2-2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）．A． B． C． D．【詳解】因為，而，因此，則，所以.1．（2023·全國·模擬預測）已知，則（

）A．1 B．－1 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，求得，再求得，結(jié)合倍角公式，即可求解.【詳解】因為，且，所以，可得，所以.故選：A．2．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預測）已知則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定的條件，利用輔助角公式求出，再利用二倍角的余弦公式計算即得.【詳解】由，得，所以.故選：C3．（2023·全國·模擬預測）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用輔助角公式及兩角和差的正弦公式化簡，再根據(jù)計算可得.【詳解】由已知得，，所以，因為，所以，，則，所以.故選：.4．（2023·四川成都·石室中學?？家荒＃┮阎?，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先對兩式進行平方，進而可求出的值，根據(jù)二倍角公式求出結(jié)論.【詳解】解：因為，，所以平方得，，，即，，兩式相加可得，即，故，.故選：D.技法03三倍角公式的應用及解題技巧在在三角函數(shù)或解三角形的一些問題中,會出現(xiàn)三倍角,解決起來需要把三倍角轉(zhuǎn)化成一倍角與二倍角的和，化簡起來會多些步驟，而知道三倍角公式,我們可以更快的得出結(jié)果知識遷移sin例3．已知在△ABC中,角A、B、C的對邊依次為a【解析】B函數(shù)fx=4sin3x?sinx+2sinx2?cosx22的最小正周期為（）.

A.2πB.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若A=2B,且A為銳角,則c∵A=∵A為銳角∴cosA>當且僅當2cosA=1cosA,即技法04半角公式的應用及解題技巧半角公式是三角函數(shù)的一個重要知識點半角公式是三角函數(shù)的一個重要知識點，也是高考重要考點，我們需要知道什么是半角公式及半角公式的考查形式知識遷移sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).例4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．【詳解】因為，而為銳角，所以eq\r(\f(1－cosα,2))．1．（2021·黑龍江·黑龍江實驗中學校考模擬預測）已知，若是第二象限角，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)誘導公式求出，再利用平方關(guān)系可求，然后利用公式即可求解.【詳解】解：因為，所以，又是第二象限角，所以，所以.故選：B．2．（2022·江西上饒·上饒市第一中學校聯(lián)考二模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及半角的余弦公式，再結(jié)合誘導公式即可求解.【詳解】由，得，，，，所以.故選：A.3．（2023·全國·模擬預測）已知是銳角，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)倍角公式的變形求出，，再由兩角和的余弦公式求解.【詳解】因為是銳角，所以，因為，，所以，，所以．故選：D．技法05萬能公式的應用及解題技巧理論上上所有公式都是萬能公式。但是真正提起萬能公式的時候，是指三角函數(shù)中的正切半角公式，或稱以切表弦公式。這組公式可以將角的正弦、余弦、正切這幾個三角函數(shù)統(tǒng)一用半角的正切值來表示，實現(xiàn)化簡的目的。理論上上所有公式都是萬能公式。但是真正提起萬能公式的時候，是指三角函數(shù)中的正切半角公式，或稱以切表弦公式。這組公式可以將角的正弦、余弦、正切這幾個三角函數(shù)統(tǒng)一用半角的正切值來表示，實現(xiàn)化簡的目的。知識遷移例5．在△ABC中,tanC2=3tanA2,則2sinA+2==最小值為41．（2023·山東·山東省五蓮縣第一中學校聯(lián)考模擬預測）已知內(nèi)角分別為，且滿足，則的最小值為.【答案】16【分析】由三角形內(nèi)角和性質(zhì)、誘導公式、和差角正弦公式可得，進而有，結(jié)合，將目標式化為，應用基本不等式求最小值即可.【詳解】由題設(shè)，所以，所以，即，又，，則，當且僅當時取等號，所以的最小值為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：應用三角恒等變換將條件化為，再應用萬能公式用正切表示正弦為關(guān)鍵.2．（2021·全國·高三競賽）已知滿足，則的最小值是．【答案】16【詳解】解析：．令，則．當時，，所以，故．故答案為：16技法06正余弦平方差公式的應用及解題技巧正正余弦平方差公式是數(shù)學中一個重要的公式，它涉及到三角函數(shù)和代數(shù)運