版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進(jìn)行舉報或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
題型125類平面向量解題技巧(“爪子定理”、系數(shù)和(等和線)、極化恒等式、奔馳定理與三角形四心問題、范圍與最值問題)技法01技法01“爪子定理”的應(yīng)用及解題技巧技法02系數(shù)和(等和線)的應(yīng)用及解題技巧技法03極化恒等式的應(yīng)用及解題技巧技法04奔馳定理與三角形四心的應(yīng)用及解題技巧技法05范圍與最值的應(yīng)用及解題技巧技法01“爪子定理”的應(yīng)用及解題技巧“爪子定理”是平面向量基本定理的拓展,用“爪子定理”能更快速求解,需同學(xué)們重點(diǎn)學(xué)習(xí)掌握“爪子定理”是平面向量基本定理的拓展,用“爪子定理”能更快速求解,需同學(xué)們重點(diǎn)學(xué)習(xí)掌握知識遷移形如條件的應(yīng)用(“爪子定理”)“爪”字型圖及性質(zhì):(1)已知為不共線的兩個向量,則對于向量,必存在,使得。則三點(diǎn)共線當(dāng),則與位于同側(cè),且位于與之間當(dāng),則與位于兩側(cè)時,當(dāng),則在線段上;當(dāng),則在線段延長線上(2)已知在線段上,且,則例1-1.(全國·高考真題)設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn),且,則()A.B.C.D.解析:由圖可想到“爪字形圖得:,解得:答案:A例1-2.(2023江蘇模擬)如圖,在中,,是上的一點(diǎn),若,則實數(shù)的值為()A.B.C.D.解:觀察到三點(diǎn)共線,利用“爪”字型圖,可得,且,由可得,所以,由已知可得:,所以答案:C1.(2022·全國·統(tǒng)考高考真題)在中,點(diǎn)D在邊AB上,.記,則(
)A.B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出.【詳解】因為點(diǎn)D在邊AB上,,所以,即,所以.故選:B.(全國·高考真題)在中,,.若點(diǎn)滿足,則()A. B. C. D.【答案】A【詳解】試題分析:,故選A.(2020·新高考全國1卷·統(tǒng)考高考真題)已知平行四邊形,點(diǎn),分別是,的中點(diǎn)(如圖所示),設(shè),,則等于(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】利用向量的線性運(yùn)算,即可得到答案;【詳解】連結(jié),則為的中位線,,故選:A4.(全國·高考真題)在△中,為邊上的中線,為的中點(diǎn),則A. B.C. D.【答案】A【分析】分析:首先將圖畫出來,接著應(yīng)用三角形中線向量的特征,求得,之后應(yīng)用向量的加法運(yùn)算法則-------三角形法則,得到,之后將其合并,得到,下一步應(yīng)用相反向量,求得,從而求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)向量的運(yùn)算法則,可得,所以,故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題,涉及到的知識點(diǎn)有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題,在解題的過程中,需要認(rèn)真對待每一步運(yùn)算.5.(江蘇·高考真題)設(shè)、分別是的邊,上的點(diǎn),,.若(為實數(shù)),則的值是【答案】【詳解】依題意,,∴,∴,,故.【考點(diǎn)定位】平面向量的加法、減法法則.分析、計算能力.中等題.技法02系數(shù)和(等和線)的應(yīng)用及解題技巧近年,高考、模考中有關(guān)“近年,高考、??贾杏嘘P(guān)“系數(shù)和(等和線)定理”背景的試題層出不窮,學(xué)生在解決此類問題時,往往要通過建系或利用角度與數(shù)量積處理,結(jié)果因思路不清、解題繁瑣,導(dǎo)致得分率不高,而向量三點(diǎn)共線定理與等和線巧妙地將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系問題,將系數(shù)和的代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為距離的比例運(yùn)算,數(shù)形結(jié)合思想得到了有效體現(xiàn),同時也為相關(guān)問題的解決提供了新的思路,大家可以學(xué)以致用知識遷移如圖,為所在平面上一點(diǎn),過作直線,由平面向量基本定理知:存在,使得下面根據(jù)點(diǎn)的位置分幾種情況來考慮系數(shù)和的值=1\*GB3①若時,則射線與無交點(diǎn),由知,存在實數(shù),使得而,所以,于是=2\*GB3②若時,(i)如圖1,當(dāng)在右側(cè)時,過作,交射線于兩點(diǎn),則,不妨設(shè)與的相似比為由三點(diǎn)共線可知:存在使得:所以(ii)當(dāng)在左側(cè)時,射線的反向延長線與有交點(diǎn),如圖1作關(guān)于的對稱點(diǎn),由(i)的分析知:存在存在使得:所以于是綜合上面的討論可知:圖中用線性表示時,其系數(shù)和只與兩三角形的相似比有關(guān)。我們知道相似比可以通過對應(yīng)高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑之比來刻畫。因為三角形的高線相對比較容易把握,我們不妨用高線來刻畫相似比,在圖中,過作邊的垂線,設(shè)點(diǎn)在上的射影為,直線交直線于點(diǎn),則(的符號由點(diǎn)的位置確定),因此只需求出的范圍便知的范圍例2-1.(全國·高考真題)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若=+,則+的最大值為A.3 B.2 C. D.2【系數(shù)和】分析:如圖,由平面向量基底等和線定理可知,當(dāng)?shù)群途€與圓相切時,最大,此時故選.例2-2.(衡水中學(xué)二模)邊長為2的正六邊形中,動圓的半徑為1,圓心在線段(含短點(diǎn))上運(yùn)動,是圓上及其內(nèi)部的動點(diǎn),設(shè)向量,則的取值范圍是()分析:如圖,設(shè),由等和線結(jié)論,.此為的最小值;同理,設(shè),由等和線結(jié)論,.此為的最大值.綜上可知.例2-3.已知為邊長為2的等邊三角形,動點(diǎn)在以為直徑的半圓上.若,則的取值范圍是__________【解析】如圖,取中點(diǎn)為,顯然,當(dāng)與重合時,取最小值1.將平行移動至與相切處,為切點(diǎn)時,取最大值.延長交于,易知.由等和線及平行截割定理,.所以的最大值為.故的取值范圍是.在矩形中,,動點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上,若,則的最大值為()解:如圖所示:過作的垂線,垂足為,則,當(dāng)三點(diǎn)共線時,高線最長,即如圖,正六邊形,是內(nèi)(包括邊界)的動點(diǎn),設(shè),則的取值范圍是____________解:連接因為正六邊形,由對稱性知道,設(shè)與交于點(diǎn),與交于點(diǎn),當(dāng)在上時,在上射影最小為;當(dāng)與重合時,在上射影最大為;則設(shè)則則如圖在直角梯形中,,,,動點(diǎn)在以為圓心,且與直線相切的圓內(nèi)運(yùn)動,設(shè)則的取值范圍是____________解:設(shè)圓與直線相切于點(diǎn),過作于,作直線,且直線與圓相切與,連,則過圓心,且,由圖可知,對圓內(nèi)任意一點(diǎn)在直線上的射影長度滿足:,又,所以而,所以若點(diǎn)在以為圓心,6為半徑的弧上,且,則的取值范圍為______【解析】令,則,即,其中.由知點(diǎn)在線段上,如下圖:由于在中,,且點(diǎn)在線段上(含端點(diǎn),因此,其中是邊上的高.可得.可得.所以,.再由可知.(2023·浙江·高三專題練習(xí))如圖,在直角梯形中,,∥,,,圖中圓弧所在圓的圓心為點(diǎn)C,半徑為,且點(diǎn)P在圖中陰影部分(包括邊界)運(yùn)動.若,其中,則的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】建立直角坐標(biāo)系,將由點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化后數(shù)形結(jié)合求解【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),方向為x,y軸正方向建立直角坐標(biāo)系,則,,設(shè),則,解得,故,即,數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)時,取最小值2,當(dāng)直線與圓相切時,,取得最大值.故選:B技法03極化恒等式的應(yīng)用及解題技巧利用向量的極化恒等式可以快速對共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積問題數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化,體現(xiàn)了向量的幾何屬性,讓“秒殺”向量數(shù)量積問題成為一種可能,此恒等式的精妙之處在于建立了向量的數(shù)量積與幾何長度(數(shù)量)之間的橋梁,實現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合,對于不共起點(diǎn)和不共終點(diǎn)的問題可通過平移轉(zhuǎn)化法等價轉(zhuǎn)化為對共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積問題,從而用極化恒等式解決利用向量的極化恒等式可以快速對共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積問題數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化,體現(xiàn)了向量的幾何屬性,讓“秒殺”向量數(shù)量積問題成為一種可能,此恒等式的精妙之處在于建立了向量的數(shù)量積與幾何長度(數(shù)量)之間的橋梁,實現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合,對于不共起點(diǎn)和不共終點(diǎn)的問題可通過平移轉(zhuǎn)化法等價轉(zhuǎn)化為對共起點(diǎn)(終點(diǎn))的兩向量的數(shù)量積問題,從而用極化恒等式解決,需大家強(qiáng)化學(xué)習(xí)。知識遷移極化恒等式恒等式右邊有很直觀的幾何意義:向量的數(shù)量積可以表示為以這兩個向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的,恒等式的作用在于向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積之間的聯(lián)系如圖在平行四邊形中,則在上述圖形中設(shè)平行四邊形對角線交于點(diǎn),則對于三角形來說:例3-1.(全國·高考真題)設(shè)向量滿足,,則A.1 B.2 C.3 D.5由極化恒等式可得:,故選A.例3-2.(2023·全國·統(tǒng)考高考真題)正方形的邊長是2,是的中點(diǎn),則(
)A. B.3 C. D.5設(shè)CD中點(diǎn)為O點(diǎn),由極化恒等式可得:故選:B.1.(江蘇·高考真題)如圖,在中,是的中點(diǎn),是上的兩個三等分點(diǎn),,,則的值是.
【答案】極化恒等式因為是上的兩個三等分點(diǎn),所以聯(lián)立解得:所以如圖,在中,已知,點(diǎn)分別在邊上,且,若為的中點(diǎn),則的值為________解:取的中點(diǎn),連接,則,在中,,(2022·北京·統(tǒng)考高考真題)在中,.P為所在平面內(nèi)的動點(diǎn),且,則的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】D記AB的中點(diǎn)為M,連接CM,則由極化恒等式可得:即故選:D技法04奔馳定理與三角形四心的應(yīng)用及解題技巧平面向量問題是高中數(shù)學(xué)中的一個熱點(diǎn),在高考中考查比重不會很大,一般以選擇填空形式出現(xiàn),難度一般也會控制在中等,有時也會以壓軸題平面向量問題是高中數(shù)學(xué)中的一個熱點(diǎn),在高考中考查比重不會很大,一般以選擇填空形式出現(xiàn),難度一般也會控制在中等,有時也會以壓軸題命題。平面向量中有很多重要的應(yīng)用,比如系數(shù)和(等和線)、極化恒等式、本技法我們繼續(xù)學(xué)習(xí)另一個重要的結(jié)論-奔馳定理。它將三角形的四心與向量完美地融合到一起,高中的同學(xué)們可以將這個內(nèi)容當(dāng)成課外拓展知識,同時也是加強(qiáng)對三角形的認(rèn)識,加深對數(shù)學(xué)的理解。奔馳定理”揭示的是平面向量與三角形面積之間所蘊(yùn)含的一個優(yōu)美規(guī)律并因其圖形與奔馳的logo相似而得名“奔馳定理”,會提升解題效率,可強(qiáng)化學(xué)習(xí)。知識遷移奔馳定理如圖,已知P為內(nèi)一點(diǎn),則有.由于這個定理對應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似,我們把它稱為“奔馳定理”.奔馳定理的證明如圖:延長與邊相交于點(diǎn)則奔馳定理的推論及四心問題推論是內(nèi)的一點(diǎn),且,則有此定理可得三角形四心向量式(1)三角形的重心:三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心,重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2:1.(2)三角形的垂心:三角形三邊上的高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心,垂心和頂點(diǎn)的連線與對邊垂直.(3)三角形的內(nèi)心:三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心,也就是內(nèi)切圓的圓心,三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等,都等于內(nèi)切圓半徑r.(4)三角形的外心:三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)叫做三角形的外心,也就是三角形外接圓的圓心,它到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等.奔馳定理對于利用平面向量解決平面幾何問題,尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題,有著決定性的基石作用.已知點(diǎn)在內(nèi)部,有以下四個推論:①若為的重心,則;②若為的外心,則;或③若為的內(nèi)心,則;備注:若為的內(nèi)心,則也對.④若為的垂心,則,或例4-1.(寧夏·高考真題)已知O,N,P在所在平面內(nèi),且,且,則點(diǎn)O,N,P依次是的(注:三角形的三條高線交于一點(diǎn),此點(diǎn)為三角型的垂心)A.重心外心垂心 B.重心外心內(nèi)心C.外心重心垂心 D.外心重心內(nèi)心因為,所以到定點(diǎn)的距離相等,所以為的外心,由,則,取的中點(diǎn),則,所以,所以是的重心;由,得,即,所以,同理,所以點(diǎn)為的垂心,故選C.
例4-2.(江蘇·高考真題)O是平面上一定點(diǎn),A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn),動點(diǎn)P滿足,,則P的軌跡一定通過的(
)A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心【詳解】,令,則是以為始點(diǎn),向量與為鄰邊的菱形的對角線對應(yīng)的向量,即在的平分線上,,共線,故點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心,故選:B例4-3.(2023·全國·高三專題練習(xí))奔馳定理:已知點(diǎn)O是內(nèi)的一點(diǎn),若的面積分別記為,則.“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論,因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似,故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖,已知O是的垂心,且,則(
)A. B. C. D.【詳解】延長交于點(diǎn)P,是的垂心,,.同理可得,.又,.又,.不妨設(shè),其中.,,解得.當(dāng)時,此時,則A,B,C都是鈍角,不合題意,舍掉.故,則,故C為銳角,∴,解得,故選:B.1.(2023春·上海長寧·高三上海市延安中學(xué)??计谀┤羰莾?nèi)一點(diǎn),,則是的(
)A.內(nèi)心 B.外心 C.垂心 D.重心【答案】D【分析】利用向量的加法法則,結(jié)合重心定義判斷作答.【詳解】取線段的中點(diǎn),連接,則,而,
因此,即三點(diǎn)共線,線段是的中線,且是靠近中點(diǎn)的三等分點(diǎn),所以是的重心.故選:D2.(2023·江蘇·高三專題練習(xí))在中,若,則點(diǎn)H是的(
)A.垂心 B.重心 C.內(nèi)心 D.外心【答案】A【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算結(jié)合向量垂直分析判斷.【詳解】因為,則,所以,即點(diǎn)H在邊的高線所在直線上,同理可得:,所以點(diǎn)H為的三條高線的交點(diǎn),即點(diǎn)H是的垂心.故選:A.3.(2023春·湖南株洲·高三炎陵縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末)(多選)如圖.為內(nèi)任意一點(diǎn),角的對邊分別為,總有優(yōu)美等式成立,因該圖形酯似奔馳汽車車標(biāo),故又稱為奔馳定理.則以下命題是真命題的有(
)A.若是的重心,則有B.若成立,則是的內(nèi)心C.若,則D.若是的外心,,,則【答案】AB【分析】對于A:利用重心的性質(zhì),代入即可;對于B:利用三角形的面積公式結(jié)合與可知點(diǎn)到的距離相等.對于C:利用將表示出來,代入,化簡即可表示出的關(guān)系式,用將表示出來即可得處其比值.對于D:利用三角形的圓心角為圓周角的兩倍,再將兩邊平方,化簡可得,結(jié)合的取值范圍可得出答案.【詳解】對于A:如圖所示:因為分別為的中點(diǎn),所以,,同理可得、,所以,又因為,所以.正確;對于B:記點(diǎn)到的距離分別為,,因為,則,即,又因為,所以,所以點(diǎn)是的內(nèi)心,正確;對于C:因為,所以,所以,所以,所以,化簡得:,又因為不共線,所以,所以,所以,錯誤;對于D:因為是的外心,,所以,,所以,因為,則,化簡得:,由題意知同時為負(fù),記,,則,因為,所以,所以,所以,錯誤.故答案為:AB.技法05范圍與最值的應(yīng)用及解題技巧平面向量中的平面向量中的范圍與最值范圍問題是向量問題中的命題熱點(diǎn)和重難點(diǎn),綜合性強(qiáng),體現(xiàn)了高考在知識點(diǎn)交匯處命題的思想,常以選擇填空題的形式出現(xiàn),難度稍大,方法靈活?;绢}型是根據(jù)已知條件求某個變量的范圍、最值,"比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍的等,在復(fù)習(xí)過程中要注重對基本方法的訓(xùn)練,把握好類型題的一般解法。本講內(nèi)容難度較大,需要綜合學(xué)習(xí)。例5-1.(浙江·高考真題)已知,是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量,若向量滿足,則的最大值是A.1 B.2 C. D.【詳解】試題分析:由于垂直,不妨設(shè),,,則,,表示到原點(diǎn)的距離,表示圓心,為半徑的圓,因此的最大值,故答案為C.例5-2.(四川·高考真題)在平面內(nèi),定點(diǎn)A,B,C,D滿足==,===–2,動點(diǎn)P,M滿足=1,=,則的最大值是A. B. C. D.【詳解】試題分析:由已知易得.以為原點(diǎn),直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,則設(shè)由已知,得,又,它表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離的平方的,,故選B.例5-3.(2023·全國·高三專題練習(xí))若平面向量,,滿足,,,,則,夾角的取值范圍是(
)A. B. C. D.【詳解】設(shè),,,以O(shè)為原點(diǎn),方向為x軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系,,,,,,三者直接各自的夾角都為銳角,,,,,,即在上的投影為1,在上的投影為3,,,如圖,即,且則,由基本不等式得,,與的夾角為銳角,,由余弦函數(shù)可得:與夾角的取值范圍是,1.(湖南·高考真題)已知是單位向量,.若向量滿足()A. B.C. D.【答案】A【詳解】因為,,做出圖形可知,當(dāng)且僅當(dāng)與方向相反且時,取到最大值;最大值為;當(dāng)且僅當(dāng)與方向相同且時,取到最小值;最小值為.2.(湖南·高考真題)已知點(diǎn)A,B,C在圓上運(yùn)動,且ABBC,若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0),則的最大值為A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【詳解】由題意,AC為直徑,所以,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B為(-1,0)時,取得最大值7,故選B.考點(diǎn):直線與圓的位置關(guān)系、平面向量的運(yùn)算性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】與圓有關(guān)的最值問題是命題的熱點(diǎn)內(nèi)容,它著重考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想.由平面幾何知識知,圓上的一點(diǎn)與圓外一定點(diǎn)距離最值在定點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個交點(diǎn)處取到.圓周角為直角的弦為圓的半徑,平面向量加法幾何意義這些小結(jié)論是轉(zhuǎn)化問題的關(guān)鍵.3.(2023·全國·高三專題練習(xí))已知平面向量,,,滿足,,則向量與所成夾角的最大值是(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】由向量線性運(yùn)算和數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可化簡已知等式得到,,根據(jù)向量夾角公式,結(jié)合推導(dǎo)出的等式可化簡得到,利用基本不等式可求得,由此可得的最大值.【詳解】,即,;,即,;設(shè)向量與所成夾角為,(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號);又,.故
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 2025版礦山開采廢棄物資源化利用合作協(xié)議3篇
- 2025年石英玻璃纖維繩合作協(xié)議書
- 2025年B119型一氧化碳高溫變換催化劑項目發(fā)展計劃
- 2025勞動合同書(定稿)費(fèi)
- 2025民間借貸個人借款合同范本「」
- 2025的廣告公司的勞動合同范本
- 2024年美發(fā)店合伙人權(quán)益分配合同
- 2024年聚苯板產(chǎn)品供需合同
- 2025年度辦公樓能源消耗監(jiān)測與分析合同3篇
- 2024年物業(yè)清潔服務(wù)承包協(xié)議3篇
- 潛在供應(yīng)商審核報告模版13-02
- 學(xué)校委托書:圖書館志愿者招募
- 河北省秦皇島市昌黎縣2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題
- 礦山治理專項研究報告范文
- 經(jīng)典安徒生童話故事100篇
- 智慧社區(qū)建設(shè)方案利用人工智能推動社區(qū)服務(wù)
- 國家開放大學(xué)2023年7月期末統(tǒng)一試《11124流行病學(xué)》試題及答案-開放本科
- 高中生物-選擇性必修一-綜合練習(xí)卷1-含詳細(xì)答案解析
- 廣東省東莞市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末化學(xué)試題(含答案)
- 汽車租賃服務(wù)投標(biāo)方案
- 柴油存放告知書范本
評論
0/150
提交評論