題型15 等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及其前n項和解題技巧-高考數(shù)學(xué)必考模型歸納

題型15等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及其前n項和解題技巧技法01技法01等差數(shù)列的性質(zhì)解題技巧技法02等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)解題技巧技法03等比數(shù)列的性質(zhì)解題技巧技法04等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)解題技巧技法01等差數(shù)列的性質(zhì)解題技巧等差數(shù)列通項公式的性質(zhì)是等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識，也是新高考的重要考點，常在小題中進(jìn)行考查，需熟悉知識點強(qiáng)化復(fù)習(xí)等差數(shù)列通項公式的性質(zhì)是等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識，也是新高考的重要考點，常在小題中進(jìn)行考查，需熟悉知識點強(qiáng)化復(fù)習(xí).知識遷移等差數(shù)列通項公式的性質(zhì)（1）若，或（2）若，為等差數(shù)列，則，仍為等差數(shù)列例1-1．（江西·高考真題）已知等差數(shù)列，若，則.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，解得，所以.例1-2．設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，則a5＋b5＝．因為{an}，{bn}都是等差數(shù)列,所以也成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，a1＋b1＝7，a3＋b3＝21,a5＋b5成等差數(shù)列，因而a5＋b5＝.1．（2024·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)校考一模）數(shù)列中，，，則（

）A．210 B．190 C．170 D．1502．（2024·河南鄭州·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，則（

）A．19 B．22 C．25 D．273．（2023·全國·校聯(lián)考二模）已知等差數(shù)列滿足，，則（

）A．25 B．35 C．40 D．504．（2023·廣西南寧·南寧二中?？寄M預(yù)測）在等差數(shù)列中，若，則.5．（2023·上海崇明·上海市崇明中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知為等差數(shù)列，若，則的值為.技法02等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)解題技巧等差數(shù)列前等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)是等差數(shù)列的重點知識，也是新高考的重要考點，常在小題中進(jìn)行考查，需熟悉知識點強(qiáng)化復(fù)習(xí).知識遷移等差數(shù)列前n項和與函數(shù)關(guān)系令，，等差數(shù)列前項和公式是無常數(shù)項的二次函數(shù)等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)，，……仍成等差數(shù)列為等差數(shù)列推導(dǎo)過程：（一次函數(shù)）為等差數(shù)列例2-1．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）等差數(shù)列的前項和為，，則（

）A．9 B． C．12 D．【詳解】由已知，，，即3，，成等差數(shù)列，所以，所以，例2-2．（2023·遼寧大連·校聯(lián)考二模）設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，則（

）A． B． C． D．【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知、、、成等差數(shù)列，∵，即，，∴，，∴，，∴.例2-3．（2022·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）設(shè)等差數(shù)列，的前項和分別為，，若，則（

）A． B． C． D．【詳解】因為，為等差數(shù)列，所以，，所以，例2-4．（2022·全國·模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列與等差數(shù)列的前n項和分別為，.若對于任意的正整數(shù)n都有，則（

）A． B． C． D．【詳解】設(shè)，，.則，，所以.1．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（

）A．0 B． C． D．2．（2021·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2024·廣東廣州·鐵一中學(xué)?？家荒＃┰O(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，則（

）A． B． C． D．4．（2024·廣東中山·中山一中?？家荒＃┮阎炔顢?shù)列，的前項和分別為，，若，則（

）A． B． C． D．5．（2022·全國·模擬預(yù)測）設(shè)為等差數(shù)列的前項和，若，，則.6．（2023·全國·模擬預(yù)測）（多選）已知數(shù)列的前項和為，若，，則下列說法正確的是（

）A．是遞增數(shù)列 B．是數(shù)列中的項C．?dāng)?shù)列中的最小項為 D．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列技法03等比數(shù)列的性質(zhì)解題技巧等比數(shù)列通項公式的性質(zhì)是等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，也是新高考的重要考點，常在小題中進(jìn)行考查，需熟悉知識點強(qiáng)化復(fù)習(xí)等比數(shù)列通項公式的性質(zhì)是等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，也是新高考的重要考點，常在小題中進(jìn)行考查，需熟悉知識點強(qiáng)化復(fù)習(xí).知識遷移等比數(shù)列通項公式的性質(zhì)（1）若或（2）若，為等比數(shù)列，則，仍為等比數(shù)列例3-1．（全國·高考真題）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{}，=5，=10，則=A． B．7 C．6 D．由等比數(shù)列的性質(zhì)知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比數(shù)列，所以a4a5a6＝例3-2．（全國·高考真題）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則（

）A．12 B．10 C．8 D．為等比數(shù)列，則．1．（2023·安徽安慶·安慶一中?？既＃┰诘缺葦?shù)列中，，則（

）A．4 B．8 C．32 D．642．（2023·云南·云南師大附中?？寄M預(yù)測）已知為遞增的等比數(shù)列，且滿足，，則（

）A． B．1 C．16 D．323．（2023·吉林·統(tǒng)考一模）在等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．114．（2024·黑龍江大慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)是等比數(shù)列，且，，則.5．（2023·江西·校聯(lián)考二模）在正項等比數(shù)列中，與是方程的兩個根，則.技法04等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)解題技巧等比數(shù)列前等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)是等比數(shù)列的重點知識，也是新高考的重要考點，常在小題中進(jìn)行考查，需熟悉知識點強(qiáng)化復(fù)習(xí).知識遷移等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)（1），，……仍成等比數(shù)列（2）例4-1．（2021·全國·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項和.若，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10∵為等比數(shù)列的前n項和，∴，，成等比數(shù)列∴，∴，∴.例4-2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項為，若，則，與題意不符，所以；若，則，與題意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故選：C．方法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，否則，從而，成等比數(shù)列，所以有，，解得：或，當(dāng)時，，即為，易知，，即；當(dāng)時，，與矛盾，舍去．例4-3．（2023·遼寧·朝陽市第一高級中學(xué)校聯(lián)考三模）（多選）已知數(shù)列的前n項和是，則下列說法正確的是（

）A．若，則是等差數(shù)列B．若，，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列D．若是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列對于A，，時，，解得，因此，，是等差數(shù)列，A正確；對于B，，，則，而，是等比數(shù)列，B正確；對于C，設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項是，，，因此，則，成等差數(shù)列，C正確；對于D，若等比數(shù)列的公比，則不成等比數(shù)列，D錯誤.1．（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)等比數(shù)列的前項和是.已知，則（

）A．13 B．12 C．6 D．32．（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)等比數(shù)列的前項和是．已知，，則（

）A．900 B．1200C． D．3．（2023·